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综合训练 03 函数的概念与性质（14 种题型 60 题专
练）
一．函数的定义域及其求法（共3小题）
1．（2023•东城区一模）函数 的定义域为 （ 0 ， 1 ] ．
【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立取交集即可．
【解答】解：要使 有意义，则 ，解得0＜x≤1．
所以原函数的定义域为（0，1]．
故答案为（0，1]．
【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的
自变量x的取值范围，是基础题．
2．（2023•湖北模拟）函数 的定义域是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（0，+∞） C．（0，1） D．（﹣∞，0]
【分析】利用根式及对数函数的定义建立不等式组，解不等式组得到定义域即可．
【解答】解：由 ，得 ，解得x≤0，
所以函数的定义域为（﹣∞，0]．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
3．（2023•泸县校级模拟）已知函数f（x）＝ 的定义域为R．
（1）求实数m的范围；
（2）若m的最大值为n，当正数a，b满足 + ＝n时，求4a+7b的最小值．
【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可得出；
（2）利用柯西不等式的性质即可得出．
【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，∴|x+2|+|x﹣4|﹣m≥0在R上恒成立，即m≤
（|x+2|+|x﹣4|） ，
min
∴|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|＝6，∴m≤6；
（2）由（1）知 n＝6，4a+7b＝ （4a+7b）（ + ）＝ [（a+5b）
+（3a+2b）]（ + ）≥ ，
当且仅当a＝ ，b＝ 时取等号，
学科网（北京）股份有限公司 1∴4a+7b的最小值为 ．
【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、函数的定义域，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
二．函数的值域（共7小题）
4．（2023•全国模拟）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有
“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如
[1.1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2．已知 ， ，则函数f（x）的值域为
（ ）
A．{4，6，8} B．{4，5，6} C．{4，5，6，7，8} D．{4，8}
【分析】根据函数 的单调性先求出函数的值域，再由已知定义可求．
【解答】解：易知 ， 在 上单调递减，[2，6）上单调递增．
当x＝2时， ；当 时， ；当x＝6时， ，
所以 ，则函数f（x）的值域为{4，5，6，7，8}．
故选：C．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数单调性在函数最值求解中的应用，属于
基础题．
5．（2023•沈阳三模）已知函数 ，若f（x）的值域是R，则实数a的
取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0] B．[0，1] C．[0，+∞） D．（﹣∞，1]
【分析】y＝x+1与y＝2x有两个交点（0，1），（1，2），结合图象可确定实数a的取
值范围．
【解答】解：函数y＝x+1在（﹣∞，a]上为增函数，值域为（﹣∞，a+1]，如图：
学科网（北京）股份有限公司 2y＝2x（x＞a）的值域为（2a，+∞），
又y＝x+1与y＝2x有两个交点（0，1），（1，2）要使函数f（x）的值域为R，
则0≤a≤1．
故选：B．
【点评】本题考查分段函数的值域，属于基础题．
6．（2023•安徽三模）函数 的值域是 [ 2 ， + ∞） ．
【分析】分段分别求出函数f（x）的值域，最后取并集即可．
【解答】解：函数 ，
当x≤2时，f（x）＝﹣x+4≥2，
当x＞2时，f（x）＝1+log x＞2，
2
所以函数f（x）的值域为[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
【点评】本题主要考查了求函数的值域，属于基础题．
7．（2023•虹口区二模）对于定义在 R 上的奇函数 y＝f（x），当 x＞0 时，
学科网（北京）股份有限公司 3，则该函数的值域为 （﹣∞，﹣ 5 ] ∪ {0 } ∪ [ 5 ， + ∞） ．
【分析】根据奇函数的性质求得f（0）＝0，再结合基本不等式求x＞0时y＝f（x）的取
值范围，再结合奇函数的性质求x＜0时函数值的范围，由此可得函数值域．
【解答】解：因为y＝f（x）为R上的奇函数
所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（0）＝0，
又当x＞0时，2x+1＞2，
所以 ＝2x+1+ ﹣1≥2 ﹣1＝5，
当且仅当x＝1时等号成立，
即当x＞0时，f（x）≥5，
因为y＝f（x）为R上的奇函数，
所以函数y＝f（x）的图象关于原点对称，所以x＜0时，f（x）≤﹣5，
所以函数y＝f（x）的值域为（﹣∞，﹣5]∪{0}∪[5，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣5]∪{0}∪[5，+∞）．
【点评】本题考查函数的值域和奇偶性，属于基础题．
8．（2023•南部县校级模拟）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，
若对任意x [a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是
“亲密函数”，区间[a，b]称为“亲密区间”．若f（x）＝x2﹣3x+4与g（x）＝2x﹣1
∈
在[a，b]上是“亲密函数”，则b﹣a的最大值是 1 ．
【分析】根据新定义先解出亲密区间[a，b]，即可得出答案．
【解答】解：由|f（x）﹣g（x）|＝|x2﹣5x+5|≤1，得﹣1≤x2﹣5x+5≤1，解得1≤x≤2
或3≤x≤4．
∴f（x）＝x2﹣3x+4与g（x）＝2x﹣1在[1，2]或[3，4]上是“亲密函数”，
则b﹣a的最大值是1．
故答案为1．
【点评】正确理解新定义是解题的关键．
（多选）9．（2023•广州二模）已知函数 的定义域是[a，b]（a，
b Z），值域为[0，1]，则满足条件的整数对（a，b）可以是（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣1，1） C．（0，2） D．（﹣1，2）
∈
【分析】可设 ，该函数在（0，2]上单调递减，在[﹣2，0）上单调
递增，从而得出f（x）在（0，2]和[﹣2，0）上的单调性及值域，并得出f（0）＝1，从
而得出f（x）在[﹣2，0]，[0，2]，[﹣1，2]上的值域都是[0，1]，从而得出a，b的可能
取值．
学科网（北京）股份有限公司 4【解答】解：x≠0时，设 ，g（x）在（0，2]上单调递减，在[﹣2，
0）上单调递增，且 ，
∴f（x）在（0，2]上单调递减，0≤f（x）＜1；f（x）在[﹣2，0）上单调递增，0≤f
（x）＜1，且f（0）＝1，
∴f（x）在[0，2]，[﹣2，0]，[﹣1，2]上的值域为[0，1]，a，b中至少一个取﹣2或2，
∴整数对（a，b）可以是（﹣2，0），（0，2），（﹣1，2）．
故选：ACD．
【点评】本题考查了函数 的单调性，函数 的单调性，根据函数单
调性求函数值域的方法，函数单调性的定义，考查了计算能力，属于中档题．
10．（2023•全国二模）已知函数f（x）＝4x﹣2x+2﹣1，x [0，3]，则其值域为 [ ﹣ 5 ，
31] ．
∈
【分析】令t＝2x，将问题转化为求二次函数在区间[1，8]上的值域问题，结合二次函数
单调性，即可求解．
【解答】解：令t＝2x，
∵x [0，3]，
∴1≤t≤8，
∈
∴g（t）＝t2﹣4t﹣1＝（t﹣2）2﹣5，t [1，8]
又y＝g（t）关于t＝2对称，开口向上，所以g（t）在[1，2）上单调递减，在（2，8]上
∈
单调递增，
且|8﹣2|＞|2﹣1|，
∴t＝2时，函数取得最小值，即g（t） ＝﹣5，t＝8时，函数取得最大值，即g（t）
min
＝31，
max
∴f（x） [﹣5，31]．
故答案为：[﹣5，31]．
∈
【点评】本题主要考查了指数函数及二次函数性质的应用，还考查了换元法的应用，属
于中档题．
三．函数解析式的求解及常用方法（共4小题）
11．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知函数f（x）＝x﹣ ，则如图所对应的函数的解析式
为（ ）
学科网（北京）股份有限公司 5A．y＝f（|x+1|） B．y＝f（|x|﹣1） C．y＝f（|x|+1） D．y＝|f（x+1）|
【分析】根据图象的对称性，定义域看确定选项．
【解答】解：函数图象关于y轴对称，为偶函数，则排除A，D选项，
从图象上观察，x R，
∈
B项，y＝f（|x|﹣1）＝|x|﹣1﹣ ，x≠±1，与图象不符，
C项，y＝f（|x|+1）是偶函数，且x R．
故选：C．
∈
【点评】本题考查函数的图象，函数的性质，属于基础题．
12．（2023•浙江模拟）定义在R上的非常数函数f（x）满足：f（﹣x）＝f（x），且f（2
﹣x）+f（x）＝0．请写出符合条件的一个函数的解析式f（x）＝ （答案
不唯一） ．
【分析】根据已知f（﹣x）＝f（x），且f（2﹣x）+f（x）＝0得出对称轴和对称中心，
确定一个具体函数即可．
【解答】解：因为f（2﹣x）+f（x）＝0．得出对称中心（1，0），且f（﹣x）＝f（x）
得出对称轴为y轴，
所以周期为4的函数都可以．
故答案为： （答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了函数的对称性和周期性，属于基础题．
（多选）13．（2023•全国模拟）已知函数 f（x）满足：2f2（x）+3f2（2﹣x）＝5x4﹣
16x3+48x2﹣64x+32，则以下不正确的有（ ）
A．f（0）＝4 B．f（x）对称轴为x＝4
C．f（2）＝3 D．f（7）＝25
【分析】变形给定等式，求出函数f（x）的解析式，再逐项分析判断作答．
【解答】解：因为5x4﹣16x3+48x2﹣64x+32＝2（x4﹣8x3+24x2﹣32x+16）+3x4
＝2[（x4﹣8x3+16x2）+8（x2﹣4x）+16]+3x4＝2[（x2﹣4x）+8（x2﹣4x）+16]+3x4
＝2（x2﹣4x+4）+3x4＝2（x﹣2）4+3x4，
于是2f2（x）+3f2（2﹣x）＝2（x﹣2）4+3x4，
可得2f2（2﹣x）+3f2（x）＝2x4+3（2﹣x）4，
两式联立解得f（x）＝（x﹣2）2，f（2﹣x）＝x2，
学科网（北京）股份有限公司 6因此f（x）＝（x﹣2）2，f（0）＝4，f（7）＝25，AD正确；
函数f（x）图象的对称轴为x＝2，f（2）＝0，BC错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了求函数解析式，属于中档题．
14．（2023•历城区校级二模）若函数 ， ，则 f
（x）+g（x）＝ ．
【分析】先求出函数的定义域，然后结合函数定义域即可求解．
【解答】解：∵ ，
由﹣（x﹣1）2≥0，得（x﹣1）2≤0得x﹣1＝0，
解得x＝1，
即函数 的定义域为{1}，
∵ ，
∴x2+3x﹣2≥0，
解得 或 ，
∴函数 的定义域为 ，
故函数f（x）+g（x）的定义域为{1}，
∴ ，x {1}．
故答案为： ． ∈
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件先求出函数的定义域是解决本题的关键，
是中档题．
四．函数的图象与图象的变换（共4小题）
15．（2023•南开区二模）已知函数f（x）＝ln|x|﹣ex，则f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】求出f（1）＜0，可排除A，B，C，即可得出答案．
学科网（北京）股份有限公司 7【解答】解：当x＝1时，f（1）＝ln1﹣e＝﹣e＜0，排除A，B，C．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数图象的变换，属于基础题．
16．（2022•甲卷）函数 f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx 在区间[﹣ ， ]的图像大致为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可．
【解答】解：f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx，
可知f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）cos（﹣x）＝﹣（3x﹣3﹣x）cosx＝﹣f（x），
函数是奇函数，排除BD；
当x＝1时，f（1）＝（3﹣3﹣1）cos1＞0，排除C．
故选：A．
学科网（北京）股份有限公司 8【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．
17．（2022•甲卷）函数y＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣ ， ]的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可．
【解答】解：f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx，
可知f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）cos（﹣x）＝﹣（3x﹣3﹣x）cosx＝﹣f（x），
函数是奇函数，排除BD；
当x＝1时，f（1）＝（3﹣3﹣1）cos1＞0，排除C．
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．
18．（2022•乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[﹣3，3]的大致图像，则该函
数是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 9A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
【分析】首先分析函数奇偶性，然后观察函数图像在（1，3）存在零点，可排除B选项，
再利用基本不等式可判断CD选项错误．
【解答】解：首先根据图像判断函数为奇函数，
其次观察函数在（1，3）存在零点，
而对于B选项：令y＝0，即 ，解得x＝0，或x＝1或x＝﹣1，故排除B选项；
C选项：当x＞0时，2x＞0，x2+1＞0，因为cosx [﹣1，1]，
∈
故 ＝ ，且当x＞0时， ，故 ，
而观察图像可知当x＞0时，f（x） ≥1，故C选项错误．
max
D选项，y＝ 中，当x＝3时，y＝ ＞0，故排除D选项．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题．
五．函数单调性的性质与判断（共3小题）
19．（2022•全国）设函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）是增函数，若 ＝
，则a＝ 3 ．
【分析】先利用指数幂的运算化简求出a，再利用指数函数的单调性求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴3a2﹣10a+3＝0，
学科网（北京）股份有限公司 10∴a＝3或a＝ ，
∵函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）是增函数，
∴a＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查指数函数的单调性和指数幂的运算，属于基础题．
20．（2023•石家庄三模）已知函数f（x）同时满足性质：①f（﹣x）＝﹣f（x）；②对
于 x ，x （0，1）， ，则函数f（x）可能是（ ）
1 2
∀ ∈
A．f（x）＝ex﹣e﹣x B．
C．f（x）＝sin4x D．f（x）＝x2
【分析】由函数奇偶性和单调性的定义进行辨析即可．
【解答】解：由函数奇偶性的定义，若函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），则函数f
（x）为奇函数，
由函数单调性的定义，若函数f（x）满足 x ，x （0，1）， ，
1 2
则函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，
∀ ∈
选项中四个函数定义域均为R， x R，都有﹣x R，
对于A，f（﹣x）＝e﹣x﹣ex＝﹣
∀
（ ∈ex﹣e﹣x）＝﹣ ∈f（x），故f（x）为奇函数，满足性质
①，f（x）＝ex﹣e﹣x在R上单调递增，满足性质②；
对于B，由指数函数的性质， 为非奇非偶函数，在R上单调递减，性质
①，②均不满足；
对于C，f（﹣x）＝sin（﹣4x）＝﹣sin4x＝﹣f（x），故f（x）为奇函数，满足性质①，
令 ，k Z，解得 ，k Z，
∈ ∈
∴f（x）的单调递增区间为 ，k Z，故f（x）在（0，1）不
单调，不满足性质②；
∈
对于D，由幂函数的性质，f（x）＝x2为偶函数，在区间[0，+∞）单调递增，不满足性
质①，满足性质②．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断及应用，属于中档题．
学科网（北京）股份有限公司 1121．（2023•杨浦区校级三模）已知函数 ，设x（i＝1、2、3）为实数，且
i
x +x +x ＝0，给出下列结论：①若x •x •x ＞0，则 ；
1 2 3 1 2 3
②若x •x •x ＜0，则 ．则（ ）
1 2 3
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都正确 D．①②都错误
【分析】令 ，得到g（x）为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设
x ＜0，x ＜0，x ＞0，结合 A（x +x ，f（x +x ）），利用直线 OA 的方程得到 g
1 2 3 1 2 1 2
（x ）+g（x ）＜g（x +x ），进而得到g（x ）+g（x ）+g（x ）＜0，可判断①正确；
1 2 1 2 1 2 3
②中，不妨设 x ＜0，x ＞0，x ＞0，得到点B（x +x ，f（x +x ）），利用直线OB的
1 2 3 2 3 2 3
方程判断②正确．
【解答】解：令函数 ，
可得函数g（x）为单调递增函数，
又由 ，即g（﹣x）＝﹣g（x），
所以函数g（x）为奇函数，图象关于点（0，0）对称，如图（1）所示，
①中，因为 x +x +x ＝0，且 x ⋅x ⋅x ＞0，则 x ＝﹣（x +x ），不妨设 x ＜0，x ＜
1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 2
0，x ＞0，
3
则点A（x +x ，f（x +x ）），此时直线OA的方程为 ，
1 2 1 2
可 得 ， 则
学科网（北京）股份有限公司 12，
可得g（x ）+g（x ）﹣g（x +x ）＜0，又由 g（x ）＝g[﹣（x +x ）]＝﹣g（x +x ），
1 2 1 2 3 1 2 1 2
所以g（x ）+g（x ）+g（x ）＜0，即 ，
1 2 3
即 ，所以①正确；
②中，若 x ⋅x ⋅x ＜0，不妨设 x ⋅x ⋅x ＞0，则x ＝﹣（x +x ），不妨设 x ＜0，x ＞
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2
0，x ＞0，
3
则点B（x +x ，f（x +x ）），此时直线OB的方程为 ，
2 3 2 3
可得 ，
则 ，
可得g（x ）+g（x ）﹣g（x +x ）＞0，
2 3 2 3
又由g（x ）＝g[﹣（x +x ）]＝﹣g（x +x ），
1 2 3 2 3
所以g（x ）+g（x ）+g（x ）＞0，
1 2 3
即 ，
即 ，所以②正确．
故选：C．
【点评】本题考查函数的性质，考查直线与函数的综合应用，属于中档题．
六．复合函数的单调性（共3小题）
22．（2023•黄山模拟）“a＜1”是“函数f（x）＝log [（1﹣a）x﹣1]在区间（1，+∞）
2
上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案．
【解答】解：令u＝（1﹣a）x﹣1，y＝log u，
2
若f（x）＝log [（1﹣a）x﹣1]在（1，+∞）上单调递增，
2
因为y＝log u是（1，+∞）上的增函数，
2
则需使u＝（1﹣a）x﹣1是（1，+∞）上的增函数且u＞0，
则1﹣a＞0且1﹣a﹣1≥0，解得a≤0．
学科网（北京）股份有限公司 13因为（﹣∞，0] （﹣∞，1），
故a＜1是a≤0的必要不充分条件．
⫋
故选：C．
【点评】本题主要考查了复合函数的单调性，考查了充分条件和必要条件的定义，属于
基础题．
23．（2023•重庆模拟）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．（﹣∞，﹣1） C． D．（2，+∞）
【分析】求出函数的定义域，根据二次函数、对数函数及复合函数的单调性即可得答案．
【解答】解：由x2﹣x﹣2＞0，可得：x＜﹣1或x＞2，
所以函数 的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），
令t＝x2﹣x﹣2，
由二次函数的性质可知t在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
又 在定义域内为减函数，
由复合函数的性质可知函数y＝ （x2﹣x﹣2）单调递减区间为（2，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数、对数函数及复合函数的单调性，属于基础题．
24．（2023•济宁一模）若函数f（x）＝log （ax﹣x3）（a＞0且a≠1）在区间（0，1）内
a
单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．[3，+∞） B．（1，3] C． D．
【分析】令 ＝g（x）＝ax﹣x3，利用导数求出函数g（x）的单调区间，再分a＞1和0
＜a＜1两种情况讨论，结合复合函数的单调性即可得解．
μ
【解答】解：令 ＝g（x）＝ax﹣x3，则g'（x）＝a﹣3x2，
μ
当 或 时，g'（x）＜0，当 时，g'（x）＞0，
所以g（x）在 和 上递减，在 上递增，
当a＞1时，y＝log 为增函数，且函数f（x）在区间（0，1）内单调递增，
a
μ
学科网（北京）股份有限公司 14所以 ，解得a≥3，
此时g（x）在（0，1）上递增，则g（x）＞g（0）＝0恒成立，
当0＜a＜1时，y＝log 为减函数，且函数f（x）在区间（0，1）内单调递增，
a
μ
所以 ，无解，
综上所述，a的取值范围是[3，+∞）．
故选：A．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数的性质，考查分类讨论思想与运算
求解能力，属于中档题．
七．函数的最值及其几何意义（共3小题）
25．（2023•南充模拟）设函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣3|，若关于x的方程f（x）＝m仅有两个
不同的正实数根a，b．
（1）求m的取值范围；
（2）求 的最大值．
【分析】（1）作出f（x）的图象，将方程根的问题转化为函数图象交点的问题即可求
解；
（2）利用柯西不等式求解即可．
【解答】解：（1）由 ，
得函数f（x）图像如图所示，
∵f（0）＝f（4）＝4，
∴2＜m＜4，即m的取值范围为（2，4）．
（2）由f（x）图像可知：其图像关于x＝2对称，故a+b＝4，
∴
学科网（北京）股份有限公司 15∴ ，当且仅当 ，即 时等号成立，
∴ 的最大值为 ．
【点评】本题主要考查函数最值的求法，数形结合思想的应用，考查运算求解能力，属
于中档题．
26．（2023•温州模拟）已知函数 ，存在实数x ，x ，…，x 使得f
1 2 n
（x
1
）+f（x
2
）+…+f（x
n﹣1
）＝f（x
n
）成立，若正整数n的最大值为6，则a的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设 ，易知﹣1﹣a＜g（x）﹣a＜1﹣
a，然后分0≤a≤1，a＞1，﹣1≤a＜0以及a＜﹣1讨论即可．
【解答】解：设 ，
由于 单调递减，则g（x）单调递增，
因为e2x+1＞1，
所以﹣1＜g（x）＜1，则﹣1﹣a＜g（x）﹣a＜1﹣a，
当0≤a≤1时，﹣1﹣a＜﹣1，0＜1﹣a＜1，
则0≤f（x）＜a+1，
显然存在任意正整数n，使得f（x
1
）+f（x
2
）+…+f（x
n﹣1
）＝f（x
n
）成立；
当a＞1时，﹣1﹣a＜1﹣a＜0，a﹣1＜f（x）＜a+1，
要使正整数n的最大值为6，则 ，解得 ；
当﹣1≤a＜0时，﹣1＜﹣1﹣a＜0，1﹣a＞1，0≤f（x）＜1﹣a，
显然存在任意正整数n，使得f（x
1
）+f（x
2
）+…+f（x
n﹣1
）＝f（x
n
）成立；
当a＜﹣1时，0＜﹣1﹣a＜1﹣a，﹣a﹣1＜f（x）＜﹣1﹣a，
要使正整数n的最大值为6，则 ，解得 ．
学科网（北京）股份有限公司 16综上，实数a的取值范围为 ．
故选：C．
【点评】本题考查绝对值函数的性质，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档
题．
27．（2023•茂名二模）黎曼函数R（x）是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无
法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛的应用，R（x）在[0，1]上的
定义为：当 （p＞q，且p，q为互质的正整数）时， ；当x＝0或x＝1或
x为（0，1）内的无理数时，R（x）＝0，则下列说法错误的是（ ）
A．R（x）在[0，1]上的最大值为
B．若a，b [0，1]，则R（a•b）≥R（a）•R（b）
∈
C．存在大于1的实数m，使方程 有实数根
D． x [0，1]，R（1﹣x）＝R（x）
【分析】根据黎曼函数的定义，逐项分析判断即可．
∀ ∈
【解答】解：对于A，由题意，R（x）的值域为 ，
其中p是大于等于2的正整数，选项A正确；
对于 B，①若 a，b （0，1]，设 （p，q 互质，m，n 互质），
∈
，则R（a•b）≥R（a）•R（b），
②若a，b有一个为0，则R（a•b）≥R（a）•R（b）＝0，选项B正确；
对于C，若n为大于1的正数，则 ，而R（x）的最大值为 ，
所以该方程不可能有实根，选项C错误；
对于D，x＝0，1或（0，1）内的无理数，则R（x）＝0，R（1﹣x）＝0，R（x）＝R
（1﹣x），
若 x 为（0，1）内的有理数，设 （p，q 为正整数， 为最简真分数），则
，选项D正确．
故选：C．
【点评】本题考查考查新定义，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
八．奇函数、偶函数（共2小题）
28．（2023•昌江县二模）已知f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），当x
∈
学科网（北京）股份有限公司 17（0，2）时，f（x）＝x2+2x，则f（15）＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．255 D．﹣255
【分析】由已知结合函数的奇偶性及周期进行转化，代入已知函数解析式可求．
【解答】解：因为f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），
所以f（x+4）＝f（x），
当x （0，2）时，f（x）＝x2+2x，
则f（15）＝f（3）＝﹣f（1）＝﹣3．
∈
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数值求解中的应用，属于基础题．
29．（2023•重庆一模）设函数f（x）定义域为R，且f（x）﹣1是奇函数，当0≤x≤2时，
f（x）＝ +1；当x＞2时，f（x）＝2|x﹣4|+1．当k变化时，方程f（x）﹣kx﹣1＝
0的所有根从小到大记为x ，x ，…，x ，则f（x ）+f（x ）+…+f（x ）取值的集合为（
1 2 n 1 2 n
）
A．{1，3} B．{1，3，5} C．{1，3，5，7} D．{1，3，5，7，
9}
【分析】先根据题意可作出f（x）在[0，+∞）上的草图，再将方程f（x）﹣kx﹣1＝0
的根转化成数y＝f（x）与直线y＝kx+1交点的横坐标，接着数形结合，分类讨论即可求
出f（x ）+f（x ）+…+f（x ）的值，从而得解．
1 2 n
【解答】解：∵f（x）﹣1是奇函数，∴y＝f（x）关于（0，1）对称，
∵当0≤x≤2时，y＝f（x）＝ +1，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，（y≥1），
又当x＞2时，f（x）＝2|x﹣4|+1，
∴可作出f（x）在[0，+∞）上的草图如下；
又方程f（x）﹣kx﹣1＝0的根即为函数y＝f（x）与直线y＝kx+1交点的横坐标，
数形结合可知：
①当直线y＝kx+1为图中l 时，函数与直线只有1个交点，x＝0，f（0）＝1，
1
②当直线y＝kx+1为图中l 时，函数与直线有3个交点，由图象对称性可知：
2
学科网（北京）股份有限公司 18f（x ）+f（x ）+f（x ）＝1+2×1＝3，
1 2 3
③当直线y＝kx+1为图中l 时，函数与直线有5个交点，由图象对称性可知：
3
f（x ）+f（x ）+f（x ）+f（x ）+f（x ）＝1+2×1+2×1＝5，
1 2 3 4 5
④当直线y＝kx+1为图中l 时，函数与直线有7个交点，由图象对称性可知：
4
f（x ）+f（x ）+f（x ）+f（x ）+f（x ）+f（x ）+f（x ）＝1+2×1+2×1+2×1＝7，
1 2 3 4 5 6 7
综合可得所求取值的集合为{1，3，5，7}．
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性，数形结合思想，方程的根与图象交点的横坐标的转化，
分类讨论思想，属中档题．
九．函数奇偶性的性质与判断（共8小题）
30．（2023•全国二模）已知函数f（x）＝ax5+bsinx+c，若f（﹣1）+f（1）＝2，则c＝（
）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
【分析】代入计算并运用函数奇偶性求解即可．
【解答】解：因为f（﹣1）+f（1）＝2，
所以﹣a﹣bsin1+c+a+bsin1+c＝2，
所以c＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
31．（2023•重庆模拟）已知函数 为奇函数，则sin ＝ 0 ．
【分析】根据函数奇偶性的定义化简可得答案．
α
【解答】解：由函数 为奇函数可得 x﹣sin ≠0，f（﹣x）＝﹣f
（x），
α
∴ ，
化简得﹣sin ＝sin ，
∴sin ＝0，
α α
α
此时 符合题意，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的应用，属于基础题．
32．（2023•淇滨区校级模拟）若函数 为奇函数，则实数a
＝ ﹣ ．
学科网（北京）股份有限公司 19【分析】根据题意，设 ，由f（x）的奇偶性可得g（x）为偶
函 数 ， 由 此 可 得 ， 变 形 可 得
恒成立，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设 ，则f（x）＝xg（x），
函数f（x）为奇函数，即（﹣x）g（﹣x）＝﹣xg（x），则有g（x）＝g（﹣x），
即 ，变形可得 ，
则有 恒成立，化简可得x（1+2a）＝0恒成立，
则 ．
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数的运算，属于基础题．
33．（2022•全国）设f（x）是定义域为R的奇函数，g（x）是定义域为R的偶函数．若f
（x）+g（x）＝2x，则g（2）＝ ．
【分析】由函数的奇偶性的定义和指数的运算性质，解方程可得所求值．
【解答】解：由f（x）是定义域为R的奇函数，可得f（﹣2）＝﹣f（2）；
由g（x）是定义域为R的偶函数，可得g（﹣2）＝g（2）．
若f（x）+g（x）＝2x，则f（2）+g（2）＝4，①
又f（﹣2）+g（﹣2）＝﹣f（2）+g（2）＝ ．②
①+②可得2g（2）＝ ，
即有g（2）＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，体现了方程思想和数学运算等核心素养，
属于基础题．
34．（2023•全国三模）若对于定义在R上的函数y＝f（x），当且仅当存在有限个非零自
变量值x ，使得f（﹣x ）＝﹣f（x ），则称y＝f（x）为类奇函数，若函数y＝x4+（a2
0 0 0
﹣1）x2+asinx为类奇函数，则实数a的取值范围为 （﹣ 1 ， 1 ） ．
学科网（北京）股份有限公司 20【分析】根据题意可得x2+a2﹣1＝0存在有限个非零实数解，由此可建立关于 a的不等
式，解出即可．
【解答】解：依题意，令x4+（a2﹣1）x2+asinx+（﹣x）4+（a2﹣1）（﹣x）2+asin（﹣
x）＝0，
即2x4+2（a2﹣1）x2＝0，即x2[x2+（a2﹣1）]＝0，
则x2+a2﹣1＝0存在有限个非零实数解，
则1﹣a2＞0，解得﹣1＜a＜1．
故答案为：（﹣1，1）．
【点评】本题考查函数奇偶性的应用，理解类奇函数的定义，方程有解的含义是解题的
关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
35．（2023•上虞区二模）已知函数y＝f（2x+1）为偶函数，且f（x）+f（﹣x）＝2，则f
（2022）+f（2024）＝ 2 ．
【分析】根据函数奇偶性和对称性，判断函数是周期为4的周期函数，利用函数的周期
性进行转化求解即可．
【解答】解：∵y＝f（2x+1）为偶函数，
∴f（﹣2x+1）＝f（2x+1），即f（x）关于x＝1对称，
则f（﹣x）＝f（2+x），
由f（x）+f（﹣x）＝2，得函数关于（0，1）对称，
令x＝0，得2f（0）＝2，得f（0）＝1，
则f（x）+f（2+x）＝2，
即f（x+2）+f（x+4）＝2，
即f（x+2）+f（x+4）＝f（x）+f（2+x），
得f（x+4）＝f（x），即f（x）是周期为4的周期函数，
令x＝0，由f（﹣x）＝f（2+x）得，f（0）＝f（2），即f（2）＝1，
∴f（2022）+f（2024）＝f（505×4+2）+f（506×4）＝f（2）+f（0）＝1+1＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性，求出函数的周期性是
解决本题的关键，是中档题．
36．（2022•乙卷）若f（x）＝ln|a+ |+b是奇函数，则a＝ ﹣ ，b＝ l n 2 ．
【分析】显然a≠0，根据函数解析式有意义可得，x≠1且x ，所以1+ ＝﹣1，
进而求出a的值，代入函数解析式，再利用奇函数的性质f（0）＝0即可求出b的值．
【解答】解：f（x）＝ln|a+ |+b，
若a＝0，则函数f（x）的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不具有奇偶性，
∴a≠0，
学科网（北京）股份有限公司 21由函数解析式有意义可得，x≠1且a+ ，
∴x≠1且x ，
∵函数f（x）为奇函数，∴定义域必须关于原点对称，
∴1+ ＝﹣1，解得a＝﹣ ，
∴f（x）＝ln| |+b，定义域为{x|x≠1且x≠﹣1}，
由f（0）＝0得，ln +b＝0，
∴b＝ln2，
故答案为：﹣ ；ln2．
【点评】本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于中档题．
37．（2023•江西模拟）已知函数g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
且 ，若函数f（x）＝2023﹣|x﹣2023|﹣ g
（x﹣2023）﹣2 2有唯一零点，则实数 的值为（ ）
λ
λ λ
A．﹣1或 B．﹣1或 C．﹣1 D．
【分析】根据 g（x）是 R 上的偶函数，h（x）为 R 上的奇函数可得出
， 从 而 得 出
，这样即可得出g（x﹣2023）关于x＝2023对称，进而
得出f（x）关于x＝2023对称，然后根据f（x）有唯一零点得f（2023）＝0，从而得出
关于 的方程，解出 即可．
λ λ
【解答】解：因为g（x）+h（x）＝ ①，
又函数g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
则 g（﹣x）+h（﹣x）＝ 即 g（x）﹣h（x）＝
②，
①+②可得， ，
由于y＝|x﹣2023|关于直线x＝2023对称，
学科网（北京）股份有限公司 22则y＝2023﹣|x﹣2023|关于直线x＝2023对称，
因为g（x）为偶函数，则y＝g（x）关于y轴对称，
所以g（x﹣2023）关于x＝2023对称，
∴f（x）关于x＝2023对称，
由于函数f（x）＝2023﹣|x﹣2023|﹣ g（x﹣2023）﹣2 2有唯一零点，
则必有f（2023）＝0，且g（0）＝1，
λ λ
即f（2023）＝20230﹣ g（0）﹣2 2＝1﹣ ﹣2 2＝0，
λ λ λ λ
解得 ＝﹣1或 ．
故选：A．
λ
【点评】本题考查了奇函数和偶函数的定义，偶函数图象的对称性，函数零点的定义，
考查了计算能力，属于中档题．
一十．奇偶函数图象的对称性（共2小题）
38．（2023•晋中模拟）已知函数 ，则f（x）的图象（ ）
A．关于直线x＝2对称 B．关于点（2，0）对称
C．关于直线x＝0对称 D．关于原点对称
【分析】根据函数解析式可得f（x）+f（4﹣x）＝0，由此得解．
【解答】解：f（x）＝2x﹣24﹣x，
则f（4﹣x）＝24﹣x﹣24﹣（4﹣x）＝24﹣x﹣2x，
所以f（x）+f（4﹣x）＝0，
则函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，
故选：B．
【点评】本题考查函数对称性的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
39．（2023•安阳三模）已知函数 的图象关于坐标原点对称，则
a+b＝ ．
【分析】由f（x）的图象关于坐标原点对称得f（x）是一个奇函数，根据定义域关于原
点对称及奇函数的性质求得结果．
【解答】解：依题意函数f（x）是一个奇函数，
又2x﹣a≠0，所以x≠log a，
2
所以f（x）定义域为{x|x≠log a}，
2
因为f（x）的图象关于坐标原点对称，所以log a＝0，
2
解得a＝1，
学科网（北京）股份有限公司 23又f（﹣x）＝﹣f（x），所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了奇函数的性质，属于基础题．
一十一．奇偶性与单调性的综合（共3小题）
40．（2023•林芝市二模）已知定义在 R上的函数f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，且f
（x+2）为偶函数，则不等式f（x﹣1）＞f（2x）的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由f（x+2）为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：∵函数f（x+2）为偶函数，
∴f（﹣x+2）＝f（x+2），即f（2﹣x）＝f（2+x），
∴函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，
又∵函数f（x）定义域为R，在区间（﹣∞，2]上单调递减，
∴函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，
∴由f（x﹣1）＞f（2x）得，|（x﹣1）﹣2|＞|2x﹣2|，解得 ．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性在不等式求解中的应用，属于基础题．
41．（2023•河南三模）已知函数 ，若f（2x﹣1）+f（2﹣x）＞
0，则x的取值范围是 （﹣ 1 ， + ∞） ．
【分析】利用定义可判断函数的奇偶性，根据单调性求解双“f”问题．
【解答】解：因为函数 ，
f（﹣x）+f（x）＝ + ＝ln1＝0，
所以f（x）是奇函数且在R上单调递增．
∵f（2x﹣1）+f（2﹣x）＞0，∴f（2x﹣1）＞f（x﹣2），
则2x﹣1＞x﹣2，∴x＞﹣1．
故答案为：（﹣1，+∞）．
【点评】本题考查函数的性质，属于基础题．
学科网（北京）股份有限公司 2442．（2023•九江三模）已知定义在R上的函数f（x）在[0，1]上单调递增，f（x+1）是奇
函数，f（x﹣1）的图像关于直线x＝1对称，则f（x）（ ）
A．在[2020，2022]上单调递减
B．在[2021，2023]上单调递增
C．在[2022，2024]上单调递减
D．在[2023，2025]上单调递增
【分析】根据f（x+1）是奇函数得出f（x+1）+f（﹣x+1）＝0，从而得出f（x）关于
（1，0）对称，然后得出f（x）在[0，2]上单调递增；由f（x+1）＝﹣f（﹣x+1）得f
（2﹣x）＝﹣f（x），而根据f（x﹣1）关于x＝1对称得出f（x）为偶函数，从而得出f
（x﹣2）＝﹣f（x），进而得出f（x+4）＝f（x），从而得出f（x）的周期为4，然后即
可判断每个选项的正误．
【解答】解：∵f（x+1）是奇函数，∴f（x+1）＝﹣f（﹣x+1），即f（x）的图像关于
点（1，0）对称，
又∵f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）在[1，2]上单调递增，即f（x）在[0，2]上单
调递增，
由f（x+1）＝﹣f（﹣x+1）可得f（2﹣x）＝﹣f（x），由f（x﹣1）图像关于直线x＝1
对称可知f（x）为偶函数，
∴f（2﹣x）＝f（x﹣2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝f（x），
∴f（x）是周期函数，最小正周期为4，且f（x）在[﹣2，0]上单调递减，
∴f（x）在[2022，2024]上单调递减．
故选：C．
【点评】本题考查了奇函数和偶函数的定义，偶函数图象的对称性，偶函数在对称区间
上的单调性特点，周期函数的定义，考查了计算能力，属于中档题．
一十二．抽象函数及其应用（共7小题）
43．（2023•青羊区校级模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）＝﹣f（x），g
（x）＝f（x）﹣2为奇函数，则f（198）＝ 2 ．
【分析】根据奇函数性质可求得f（0），由已知抽象函数关系式可知f（x）周期为6，
由周期性可推导求得结果．
【解答】解：∵g（x）为定义域为R的奇函数，∴g（0）＝f（0）﹣2＝0，解得：f
（0）＝2，
由f（x+3）＝﹣f（x）得：f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），
∴f（x）是周期为6的周期函数，∴f（198）＝f（33×6）＝f（0）＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，函数奇偶性与周期性的综合，考查运算求解
能力，属于基础题．
44．（2023•江西模拟）已知函数f（x）是偶函数，对任意x R均有f（x）+f（8﹣x）＝
6，f（8）＝4，f（﹣2）+f（2）＝5，则下列正确结论的序号为（ ）
∈
学科网（北京）股份有限公司 25①f（0）＝2；②f（x﹣4）是奇函数；③直线x＝8是f（x）图像的一条对称轴；④
记 ，则 ．
A．①②④ B．①③④ C．①④ D．②③
【分析】令x＝0，可判断①；令x＝4，得f（﹣4）＝3≠0，可判断②；由条件可得f
（x）＝f（x+16），故 16是f（x）的一个周期，进而得 f（16﹣x）＝f（﹣x）＝f
（x），可判断③；由条件结合③求得f（2），f（4），f（6），f（8），f（10），f
（12），f（14），f（16），结合函数的周期性求解可判断④．
【解答】解：令x＝0，知f（0）+f（8）＝6，故f（0）＝2，故①正确；
令x＝4，知f（4）+f（4）＝6，故f（4）＝3，又f（x）为偶函数，
故f（﹣4）＝3≠0，则f（x﹣4）不是奇函数，故②错误；
因为f（﹣x）＝f（x），f（x）+f（8﹣x）＝6，则f（﹣x）+f（8+x）＝6，即f（x）+f
（x+8）＝6，
于是有f（x+8）+f（x+16）＝6，则f（x）＝f（x+16），故16是f（x）的一个周期，
则f（16﹣x）＝f（﹣x）＝f（x），故f（x）的图像关于x＝8对称，故③正确；
因为f（2）＝f（﹣2），f（﹣2）+f（2）＝5，所以 ，
由③可知f（2）＝f（14），故 ，
因为f（2）+f（6）＝6，故 ，
又f（16）＝f（0）＝2，f（4）＝f（12）＝3，
故 f（2）+f（4）+f（6）+f（8）+f（10）+f（12）+f（14）+f（16）＝24，
，
故④正确．
综上，①③④正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了抽象函数的应用，考查了函数的奇偶性，对称性和周期性，属
于中档题．
45．（2023•长沙模拟）设函数f（x），f'（x）的定义域均为R，且函数f（2x﹣1），f'（x
﹣2）均为偶函数．若当x [1，2]时，f'（x）＝ax3+1，则f'（2022）的值为 ﹣ 7 ．
【分析】对函数求导，根据函数的奇偶性，对称性，周期性分析即可求解．
∈
【解答】解：因为函数f（2x﹣1）为偶函数，
则f（﹣2x﹣1）＝f（2x﹣1），
又﹣f'（﹣2x﹣1）＝f'（2x﹣1），
学科网（北京）股份有限公司 26即f'（x﹣1）＝﹣f'（﹣x﹣1），
所以函数y＝f'（x）的图像关于（﹣1，0）对称．
因为函数f'（x﹣2）为偶函数，
所以f'（x﹣2）＝f′（﹣x﹣2），
所以函数y＝f'（x）的图像关于x＝﹣2对称，
由函数y＝f'（x）的图像关于（﹣1，0）对称，且关于直线x＝﹣2对称．
所以函数y＝f'（x）的周期为T＝4×[﹣1﹣（﹣2）]＝4，．
由f'（x﹣1）＝﹣f'（﹣x﹣1） f'（﹣1）＝﹣f'（﹣1） f'（﹣1）＝0，
f'（x﹣1）＝﹣f'（﹣x﹣1） f'（1）＝﹣f'（﹣3） f'（1）+f'（﹣3）＝0，f'（x﹣2）＝
⇒ ⇒
f'（﹣x﹣2） f'（﹣1）＝f'（﹣3）＝0，
⇒ ⇒
所以f'（1）＝0，即a+1＝0，即a＝﹣1，
⇒
所以当x [1，2]时，f'（x）＝﹣x3+1，
于是f'（ ∈2022）＝f'（505×4+2）＝f'（2）＝﹣23+1＝﹣8+1＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性在函数求值中的应用，还考查了导数的
求解，属于中档题．
46．（2022•乙卷）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g
（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则 f
（k）＝（ ）
A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣24
【分析】由y＝g（x）的对称性可得f（x）为偶函数，进而得到f（x）关于点（﹣1，﹣
1）中心对称，所以f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，再结合f（x）的周期为4，即可求出结果．
【解答】解：∵y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，则g（2﹣x）＝g（2+x），
∵f（x）+g（2﹣x）＝5，∴f（﹣x）+g（2+x）＝5，∴f（﹣x）＝f（x），故f（x）为
偶函数，
∵g（2）＝4，f（0）+g（2）＝5，得f（0）＝1．由g（x）﹣f（x﹣4）＝7，得g（2﹣
x）＝f（﹣x﹣2）+7，代入f（x）+g（2﹣x）＝5，得f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，故f
（x）关于点（﹣1，﹣1）中心对称，
∴f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，由f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，f（﹣x）＝f（x），得f（x）
+f（x+2）＝﹣2，
∴f（x+2）+f（x+4）＝﹣2，故f（x+4）＝f（x），f（x）周期为4，
由f（0）+f（2）＝﹣2，得f（2）＝﹣3，又f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，
所以 f（k）＝6f（1）+6f（2）+5f（3）+5f（4）＝11×（﹣1）+5×1+6×（﹣3）＝﹣
24，
学科网（北京）股份有限公司 27故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题．
47．（2023•青秀区校级一模）已知f'（x），g'（x）分别为定义在R上的f（x），g（x）
的导函数，且f（x）﹣g'（x）＝2，f（x）+g'（2﹣x）＝2，若g（x）是偶函数，则下列
结论一定正确的是（ ）
A．函数f（x）的图象关于点（1，1）对称
B．函数f'（x）的图象关于直线x＝2对称
C．3是g'（x）的一个周期
D．f（2024）＝1
【分析】根据函数f（x）与f′（x），g′（x）之间的关系分别进行转化判断即可．
【解答】解：∵g（x）是偶函数，∴g（﹣x）＝g（x），则﹣g′（﹣x）＝g′（x），
即g′（﹣x）＝﹣g′（x），则g′（x）是奇函数，图象关于原点对称，
由f（x）﹣g'（x）＝2得f（x）＝g'（x）+2，则f（x）的图象关于（0，2）对称，
由f（x）﹣g'（x）＝2，f（x）+g'（2﹣x）＝2，得﹣g'（x）＝g'（2﹣x），则g′（x）
也关于点（1，0）对称，则f（x）的图象关于（1，2）对称，故A错误，
由f（x）＝g'（x）+2，得f′（x）＝g″（x），
∵g′（x）是奇函数，∴g′（﹣x）＝﹣g′（x），则﹣g″（﹣x）＝﹣g″（x），即
g″（﹣x）＝g″（x），则g″（x）是偶函数，则图象关于x＝0对称，则f′（x）的
图象关于x＝0对称，
由f（x）﹣g'（x）＝2，f（x）+g'（2﹣x）＝2得f（x）﹣g'（x）＝f（x）+g'（2﹣x），
即﹣g'（x）＝g'（2﹣x），
∵g′（x）是奇函数，∴﹣g'（x）＝g'（2﹣x）＝﹣g'（x﹣2），即 g'（x﹣2）＝
g'（x），即g'（x+2）＝g'（x），则g'（x）的周期是2，故C错误，
∵f（x）﹣g'（x）＝2，∴f（x）的周期和g′（x）的周期相同，f（x）的周期和f′
（x）的周期相同，
∴f′（x）的周期是2，
∵f′（x）的图象关于x＝0对称，∴f′（x）的图象也关于x＝2对称，故B正确，
由f（x）﹣g'（x）＝2得f（x）＝g'（x）+2，则f（2024）＝g'（2024）+2＝g′（0）+2
＝2，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数的应用，利用函数奇偶性和导数之间的关系进行转化是解决
本题的关键，是中档题．
48．（2023•浙江模拟）对任意 x R，恒有f（1﹣x）＝f（x+1）＝f（x﹣1），对任意
∈
，现已知函数y＝f（x）的图像与y＝kx有4个
不同的公共点，则正实数k的值为 ．
学科网（北京）股份有限公司 28【分析】由 ，得f（x）＝1﹣x2（0≤x≤1），
由已知条件可得函数f（x）的图像的对称性和周期性，可作出函数f（x）的图像，由题
意y＝kx（k＞0）的图像函数y＝f（x）在[3，5]上的图像相切，联立方程组利用判别式
求解．
【解答】解： ，sin [0，1]，f（sin ）＝cos2 ＝1﹣sin2 ，
令x＝sin ，则有f（x）＝1﹣x2（0≤ θ∈x≤1），
θ θ θ
任意x R，恒有f（1﹣x）＝f（x+1）＝f（x﹣1），
θ
则函数f（x）的图像关于x＝1对称，函数f（x）是以2为周期的周期函数，
∈
在同一直角坐标系下作出函数y＝f（x）与y＝kx（k＞0）的图像，如图所示，
函数y＝f（x）的图像与y＝kx有4个不同的公共点，
由图像可知，y＝kx（k＞0）的图像函数y＝f（x）在[3，5]上的图像相切，
由 ，得x2+（k﹣8）x+15＝0，
则 ，解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查分段函数的应用，数形结合思想，属中档题．
49．（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f
（y），f（1）＝1，则 f（k）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1
【分析】先根据题意求得函数f（x）的周期为6，再计算一个周期内的每个函数值，由
此可得解．
【解答】解：令y＝1，则f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），即f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣
1），
∴f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x），f（x+3）＝f（x+2）﹣f（x+1），
∴f（x+3）＝﹣f（x），则f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），
∴f（x）的周期为6，
令x＝1，y＝0得f（1）+f（1）＝f（1）×f（0），解得f（0）＝2，
学科网（北京）股份有限公司 29又f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），
∴f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1，
f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2，
f（4）＝f（3）﹣f（2）＝﹣1，
f（5）＝f（4）﹣f（3）＝1，
f（6）＝f（5）﹣f（4）＝2，
∴ ，
∴ ＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）
＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查抽象函数以及函数周期性的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
一十三．函数的周期性（共3小题）
50．（2023•南昌二模）f（x）是以2为周期的函数，若x [0，1]时，f（x）＝2x，则f（3）
＝ 2 ．
∈
【分析】直接根据函数的周期性求解即可．
【解答】解：因为f（x）是以2为周期的函数，若x [0，1]时，f（x）＝2x，
所以f（3）＝f（1）＝2．
∈
故答案为：2．
【点评】本题主要考查函数的周期性，属于基础题．
51．（2023•乌鲁木齐模拟）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+3）＝﹣f（x），
且当 时，f（x）＝x2﹣6x+8，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（100）＝（
）
A．6 B．3 C．0 D．﹣3
【分析】根据函数f（x）恒有f（x+3）＝﹣f（x），得到函数f（x）的周期是6，再由f
（x）定义在 R 上的奇函数，得到 f（0）＝0，f（3）＝0，然后 f（0）+f（1）+f
（2）+...+f（100）＝[f（0）+f（1）+f（2）+...+f（5）]×16+f（0）+f（1）+f（2）+f
（3）+f（4）求解．
【解答】解：因为函数f（x）对任意的实数x，恒有f（x+3）＝﹣f（x），
所以f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），
所以函数f（x）是以6为周期的周期函数，
又f（x）定义在R上的奇函数，
所以f（0）＝0，f（3）＝﹣f（0）＝0，
学科网（北京）股份有限公司 30又当 时，f（x）＝x2﹣6x+8，
所以f（1）＝3，f（2）＝f（﹣1+3）＝﹣f（﹣1）＝f（1）＝3，f（4）＝f（1+3）＝﹣f
（1）＝﹣3，f（5）＝f（2+3）＝﹣f（2）＝﹣3，
所以f（0）+f（1）+f（2）+...+f（100）＝[f（0）+f（1）+f（2）+...+f（5）]×16+f
（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0×16+3＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的周期性，考查转化能力，属于基础题．
52．（2023•上饶二模）关于函数 ，有如下四个命题：
①函数f（x）的图像关于y轴对称；
②函数f（x）的图像关于直线 对称；
③函数f（x）的最小正周期为2 ；
④函数f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是 ①②④ ．
π
【分析】对于①：由奇偶函数的定义，可判断出f（x）为偶函数，图像关于y轴对称；
对于②：由f（ ﹣x）＝f（x）即可判断出函数f（x）的图像关于直线 对称；对
于③：由 f（ +x）＝f（x）得出函数 f（x）的最小正周期为 ；对于④：设
π
π π
，则 ，由基本不等式即可求出最小值．
【解答】解：对于①：f（x）定义域为R，
因为 ，所以 f（x）是 R
上的偶函数，
所以f（x）图像关于y轴对称，故①正确；
对 于 ② ： 对 于 任 意 的 x R ，
∈
，
所以函数f（x）的图像关于直线 对称，故②正确；
对 于 ③ ： 因 为
所以函数f（x）的最小正周期为 ，故③错误；
π
对于④：设 ，
学科网（北京）股份有限公司 31则 ，
因为 ，当且仅当 ，即t＝1时等号成立，
所以函数f（x）的最小值为2，故④正确，
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，考查了函数的对称性和周期性，属于中档
题．
一十四．函数恒成立问题（共8小题）
53．（2023•惠州一模）若函数f（x）的定义域为D，如果对D中的任意一个x，都有f
（x）＞0，﹣x D，且f（﹣x）f（x）＝1，则称函数f（x）为“类奇函数”．若某函数
g（x）是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是（ ）
∈
A．若0在g（x）定义域中，则g（0）＝1
B．若g（x） ＝g（4）＝4，则
max
C．若g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g（x）在（﹣∞，0）上单调递减
D．若g（x）定义域为R，且函数h（x）也是定义域为R的“类奇函数”，则函数G
（x）＝g（x）h（x）也是“类奇函数”
【分析】对A，根据“类奇函数”的定义，代入x＝0求解即可；对B，根据题意可得
，再结合函数的单调性判断即可；对C，根据 ，结合g
（x）的单调性判断即可；对D，根据“类奇函数”的定义，推导G（x）G（﹣x）＝1
判断即可．
【解答】解：对于A，由函数g（x）是“类奇函数”，所以g（x）g（﹣x）＝1，且g
（x）＞0，
所以当x＝0时，g（0）g（﹣0）＝1，即g（0）＝1，故A正确；
对于B，由g（x）g（﹣x）＝1，即 随g（x）的增大而减小，
若g（x） ＝g（4）＝4，则 成立，故B正确；
max
对于C，由g（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以 ，在x （0，+∞）上单调递减，设t＝﹣x （﹣∞，0），
∴g（t）在t （﹣∞，0）上单调递增，即g（x）在x （﹣∞，0）上单调递增，故C
∈ ∈
错误；
∈ ∈
对于D，由g（x）g（﹣x）＝1，h（x）h（﹣x）＝1，
所以G（x）G（﹣x）＝g（x）g（﹣x）h（x）h（﹣x）＝1，
所以函数G（x）＝g（x）h（x）也是“类奇函数”，故D正确；
学科网（北京）股份有限公司 32故选：C．
【点评】本题主要考查了新定义问题，考查了利用函数的单调性求函数的最值，属于中
档题．
54．（2023•遂宁模拟）已知函数f（x）＝|x﹣t|+|x+t|，t R．
（1）若t＝1，求不等式f（x）≤8﹣x2的解集；
∈
（2）已知m+n＝4，若对任意x R，都存在m＞0，n＞0使得f（x）＝ ，求实数
t的取值范围．
∈
【分析】（1）将t＝1代入，再将f（x）写成分段函数，分段求解后取并集即可；
（2）由绝对值三角不等式可得f（x） ＝2|t|，由基本不等式可得 ≥ ，从而有
min
，求解即可．
【解答】解：（1）当t＝1时，f（x）＝|x﹣t|+|x+t|＝|x﹣1|+|x+1|＝ ，
∵f（x）≤8﹣x2，
当x＞1时，即2x≤8﹣x2，∴1＜x≤2；
当﹣1≤x≤1时，即2≤8﹣x2，∴﹣1≤x≤1；
当x＜﹣1时，即﹣2x≤8﹣x2，∴﹣2≤x＜﹣1，
综上可得不等式的解集为[﹣2，2]；
（2）∵f（x）＝|x﹣t|+|x+t|≥|（x﹣t）﹣（x+t）|＝2|t|，当且仅当（x﹣t）（x+t）≤0时
取等号，
∴f（x） ＝2|t|，
min
又m＞0，n＞0且m+n＝4，∴ ＝ ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 ，
根据题意可得 ，解得 或 ，
∴t的取值范围是 ．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式、基本不等式的应用，属
于中档题．
学科网（北京）股份有限公司 3355．（2023•平江县模拟）若对任意x （0，2）， 恒成立，则实数a的
取值集合为 {2 } ．
∈
【分析】构造函数g（x）＝alnx+1﹣ ，0＜x＜2，令g（x）≤0恒成立，结合g
（1）＝0，再利用g（x）的单调性验证g（1）是该函数的极大值，也是最大值即可．
【解答】解：由题意设g（x）＝alnx+1﹣ ，0＜x＜2，
由题意g（x）≤0恒成立，显然g（1）＝0，所以g（x） ＝g（1）＝0，且g′（1）
max
＝0，
又 ，所以g′（1）＝a﹣2＝0，即a＝2，
当a＝2时，g′（x）＝ ，当0＜x＜2时，x2﹣5x+8＞0，（x﹣
2）3＜0，
所以当 （0，1）时，g′（x）＞0，当x （1，2）时，g′（x）＜0，
所以g（x）≤g（1）＝0，符合题意，
∈ ∈
故实数a的取值集合为{2}．
故答案为：{2}．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，进而解决不等式恒成立问题的解
题思路，属于中档题．
56．（2023•雁塔区校级三模）已知函数f（x）＝|x﹣a|+2|x+1|．
（1）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）≤6；
（2）已知g（x）＝|x﹣1|+2，若对任意x R，都存在x R，使得f（x ）＝g（x ）成立，
1 2 1 2
求实数a的取值范围．
∈ ∈
【分析】（1）当a＝1时，利用绝对值的意义，将f（x）表示成分段函数形式，然后求
不等式即可．
（2）利用对任意 x R，都存在x R，使得f（x ）＝g（x ）成立，转化为{y|y＝f
1 2 1 2
（x）} {y|y＝g（x）}，然后利用不等式的性质求最值关系即可．
∈ ∈
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 当 a ＝ 1 时 ， f （ x ） ＝ |x﹣ 1|+2|x+1| ， 则 f （ x ） ＝
⊆
，
当x＜﹣1时，由﹣3x﹣1≤6，得﹣ ≤x＜﹣1；
当﹣1≤x≤1时，f（x）≤6恒成立：
学科网（北京）股份有限公司 34当x＞1时，由3x+1≤6，得1＜x≤ ，
综上，﹣ ≤x≤ ，
即f（x）≤6的解集为[﹣ ， ]．
（2）∵对任意x R，都存在x R，使得f（x ）＝g（x ）成立，
1 2 1 2
∴{y|y＝f（x）} {y|y＝g（x）}，
∈ ∈
又f（x）＝|x﹣a|+2|x+1|≥|x﹣a﹣（x+1）|+|x+1|＝|a+1|+|x+1|≥|a+1|，当x＝﹣1时等号
⊆
成立，
g（x）＝|x﹣1|+2≥2，
∴|a+1|≥2，解得a≥1或a≤﹣3，
..实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的应用，根据绝对值的意义，求出 f（x）的表达式，
利用分类讨论思想进行求解是解决本题的关键，是中档题．
57．（2023•全国三模）已知函数f（x）＝|x+4|+|x﹣2a|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤13的解集；
（2）若f（x）≥a2+5a恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）把a＝2代入，将函数化为分段函数的形式，然后列出不等式组求解即可
得到结果．
（2）利用绝对值三角不等式可得f（x）≥|2a+4|，即可转化为|2a+4|≥a2+5a，解出即可．
【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|x+4|+|x﹣4|，
不等式f（x）≤13，即为|x+4|+|x﹣4|≤13，
则 或 或 ，
解得 或﹣4＜x＜4或 ，
故不等式f（x）≤13的解集为 ．
（2）f（x）＝|x+4|+|x﹣2a|≥|x+4﹣（x﹣2a）|＝|2a+4|（当且仅当（x+4）（x﹣2a）≤0
时等号成立），
因为f（x）≥a2+5a恒成立，所以|2a+4|≥a2+5a，
所以2a+4≥a2+5a①或2a+4≤﹣（a2+5a）②，
由①解得﹣4≤a≤1，由②解得 ．
综上所述， ，
学科网（北京）股份有限公司 35故实数a的取值范围是 ．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立求参数范围问题，考查运算
求解能力，属于中档题．
58．（2023•青羊区校级模拟）已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+1|+x．
（1）解不等式 ；
（2）是否存在正实数k，使得对任意的实数x，都有f（x+k）≥f（x）成立？若存在，
求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将函数f（x）化为分段函数的形式，再分别讨论解不等式即可；
（2）结合函数f（x）的图象可知k≥4，再进一步证明．
【解答】解：（1） ，
①当x＜﹣1时， ， ，x＜﹣6；
②当﹣1≤x≤1时， ，则 ， ，则 ；
③当x＞1时， ， ，x＜2，则1＜x＜2．
综上所述，不等式 的解集为 ．
（2）函数 的图象如下图所示，
假设存在正实数k，使得对任意的实数x，都有f（x+k）≥f（x）成立．
当x＝﹣1时，因为f（﹣1+k）≥f（﹣1）＝1＝f（3）成立，
结合函数f（x）的图象可知，﹣1+k≥3，所以k≥4．
下面进一步验证：若k≥4，则 x （﹣∞，﹣1）⋃（﹣1，+∞），f（x+k）≥f（k）成立．
①当x （﹣∞，﹣1）时，f（x+k）﹣f（x）＝x+k+|x+k﹣1|﹣|x+k+1|﹣（x+2）＝k+|x+k
∈
﹣1|﹣|x+k+1|﹣2，
∈
学科网（北京）股份有限公司 36因为|x+k﹣1|﹣|x+k+1|≥﹣|（x+k﹣1）﹣（x+k+1）|＝﹣2，
所以f（x+k）﹣f（x）≥k﹣2﹣2≥0，所以f（x+k）≥f（x）成立．
②当x （﹣1，+∞）时，
f（x+k）﹣f（x）＝x+k﹣2﹣（x+|x﹣1|﹣|x+1|）＝k﹣2﹣|x﹣1|+|x+1|．
∈
因为|x+1|﹣|x﹣1|≥﹣|（x+1）﹣（x﹣1）|＝﹣2，
所以f（x+k）﹣f（x）≥k﹣2﹣2≥0，所以f（x+k）≥f（x）成立．
综上所述，存在正实数k，使得对任意的实数x，都有f（x+k）≥f（x）成立，
此时k的取值范围是[4，+∞）．
【点评】本题考查绝对值函数的运用，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想以
及运算求解能力，属于中档题．
59．（2023•广西模拟）已知函数 ，
（1）当a＝3时，求f（x）的最小值；
（2）若对 m （0，6）， x R，不等式 恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）首先化简得f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2a+1|，利用绝对值不等式即可求出f（x）
∀ ∈ ∀ ∈
的最小值；
（2）利用三元基本不等式求出 ，再根据绝对值不等式得 f（x）≥|a﹣
1|，则有|a﹣1|＞8，解出即可．
【解答】解：（1）化简得f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2a+1|，
当a＝3时，f（x）＝|x﹣3|+|x﹣5|≥|（x﹣3）﹣（x﹣5）|＝2，
当3≤x≤5时等号成立，所以f（x）的最小值为2；
（2）由基本不等式得 ，
当且仅当m＝12﹣2m，即m＝4时，等号成立．
又因为f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2a+1|≥|（x﹣a）﹣（x﹣2a+1）|＝|a﹣1|，
当且仅当（x﹣a）（x﹣2a+1）≤0时，等号成立．
所以|a﹣1|＞8，
解得a＞9或a＜﹣7，
即a的取值范围为{a|a＞9或a＜﹣7}．
【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了利用基本不等式求最值，属于中
档题．
60．（2023•江西模拟）已知函数 ．
（1）求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；
（2）若m为整数，且关于x的不等式f（x）≥lnx恒成立，求整数m的最小值．
【分析】（1）讨论m的取值范围，结合二次函数的对称轴与区间的位置关系，即可求
得答案；
学科网（北京）股份有限公司 37（ 2 ） 将 不 等 式 f （ x ） ≥ lnx 恒 成 立 ， 转 化 为 函 数 的 最 值 问 题 ， 即 设
，利用导数求其最值，分类讨论，即可求
得答案．
【解答】解：（1）若m＝0时，f（x）＝﹣x﹣1，f（x）在区间[1，2]上单调递减，
所以f（x） ＝﹣2，
max
若m＞0，则二次函数图象对称轴 ，
当 ，即 时，1离对称轴近，2离对称轴远，
所以f（x） ＝f（2）＝4m﹣3，
max
当 ， 即 时 ， 1 离 对 称 轴 远 ， 2 离 对 称 轴 近 ，
，
若 m ＜ 0 ， 对 称 轴 在 区 间 [1 ， 2] 上 单 调 递 减 ，
，
综上， ．
（2）因为f（x）≥lnx恒成立，
即 恒成立，
令 ，
所以 ，
当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0，
所以G（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，
又因为 ，所以关于x的不等式G（x）≤0不能恒成立，
当m＞0时， ，
令G'（x）＝0得 ，所以当 时，G′（x）＞0；当 时，
学科网（北京）股份有限公司 38G′（x）＜0，
因此函数G（x）在 上是增函数，在 上是减函数，
故函数G（x）的最大值为 ．
令 ，因为 ，
又因为h（m）在m （0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0，
即关于x的不等式G（x）≤0恒成立，
∈
所以整数m的最小值为2．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题，函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中
档题．
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