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综合训练 05 三角函数（16 种题型 60 题专练）
一．扇形面积公式（共3小题）
1．（2022•甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧
长度的“会圆术”．如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D
在 上，CD⊥AB．“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB+ ．
当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝（ ）
A． B． C． D．
2．（2023•青羊区校级模拟）如图，已知在扇形OAB中，半径OA＝OB＝3，
，圆O 内切于扇形OAB（圆O 和OA，OB，弧AB均相切），作圆O 与圆O ，OA，
1 1 2 1
OB相切，再作圆O 与圆O ，OA，OB相切，以此类推．设圆O ，圆O ，…的面积依
3 2 1 2
次为S ，S …，那么S +S +⋯+S ＝ ．
1 2 1 2 n
3．（2023•柳州模拟）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂．作
为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的
特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．
如图， 所在圆的圆心O在线段AB上，若∠CAB＝ ，|AC|＝m，则扇形OAC的面积
为 ．
α
学科网（北京）股份有限公司 1二．任意角的三角函数的定义（共2小题）
4．（2023•重庆模拟）若点 在角 的终边上，则 cos2 ＝
．
α α
5．（2023•江苏模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点 ，将线段OA绕原点
顺时针旋转 得到线段OB，则点B的横坐标为 ．
三．三角函数线（共1小题）
6．（2022•甲卷）已知a＝ ，b＝cos ，c＝4sin ，则（ ）
A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b
四．三角函数的周期性（共4小题）
7．（2023•日照一模）已知函数 的最小
正周期为 ，其图象关于直线 对称，则 ＝ ．
π
8．（2023•佛山一模）已知函数f（x）＝sin（ x+ ）（其中 ＞0， ）．T为
ω φ ω
f（x）的最小正周期，且满足 ．若函数f（x）在区间（0， ）上恰有
2个极值点，则 的取值范围是 ．
π
ω
9．（2023•河南模拟）已知函数 的图象关
于点 中心对称，其最小正周期为 T，且 ，则 的值为
．
ω
10．（2023•浙江模拟）写出一个满足下列条件的正弦型函数， f（x）＝
．
①最小正周期为 ；
π
②f（x）在 上单调递增；
③ x R，|f（x）|≤2成立．
五．运用诱导公式化简求值（共1小题）
∀ ∈
11．（ 2023•韶关二模）已知锐角 满足 ，则 sin （ ﹣ ）＝
．
α π α
六．正弦函数的图象（共12小题）
学科网（北京）股份有限公司 212．（2023•咸阳模拟）已知函数 ．对于下列四种说法：
①函数f（x）的图像关于点 成中心对称；
②函数f（x）在（﹣ ， ）上有8个极值点；
π π
③函数f（x）在区间 上的最大值为 ；
④函数f（x）在区间 上单调递增．
其中正确的序号是 ．
13．（2023•北海模拟）已知函数 的图象关于点
对称，则 ＝ ．
14．（2023•新疆模拟）以函数y＝sin x（ ＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角
φ
形是正三角形，则 ＝ ．
ω ω
ω
15．（2023•惠州一模）函数 的非负零点按照从小到大
的顺序分别记为 x ，x ，…，x ，…，若 ，则 x 的值可以是
1 2 n n
．（写出符合条件的一个值即可）
16．（2023•攀枝花一模）若函数 （ ＞0）在 上单调，
ω
且在 上存在极值点，则 的取值范围为 ．
ω
17．（2023•株洲一模）已知f（x）＝sin x（ N+），若在区间 上存在两个不
相等的实数a，b，满足f（a）+f（b）＝2，则 可以为 ．（填一个值
ω ω∈
即可）
ω
18．（2022•全国）已知函数f（x）＝sin（2x+ ）．若f（ ）＝f（﹣ ）＝ ，则 ＝
（ ）
φ φ
A．2k + （k Z） B．2k + （k Z）
π ∈ π ∈
C．2k ﹣ （k Z） D．2k ﹣ （k Z）
π ∈ π ∈
19．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ x+ ）+b（ ＞0）的最小正周期为T．若
ω ω
学科网（北京）股份有限公司 3＜T＜ ，且y＝f（x）的图像关于点（ ，2）中心对称，则f（ ）＝（ ）
π
A．1 B． C． D．3
20．（2022•甲卷）设函数f（x）＝sin（ x+ ）在区间（0， ）恰有三个极值点、两个
零点，则 的取值范围是（ ）
ω π
ω
A．[ ， ） B．[ ， ） C．（ ， ] D．（ ， ]
21．（2023•金昌二模）若函数 ，又A（ ，2），B
α
（ ，0）是函数f（x）的图象上的两点，且|AB|的最小值为 ，则 的值
为 ．
β
22．（2023•榆林三模）已知函数f（x）＝tan2x与 的图象在区间[﹣
， ]上的交点个数为m，直线x+y＝2与f（x）的图象在区间[0， ]上的交点的个数为
n，则m+n＝ ．
π π π
23．（2023•山西模拟）已知函数 f（x）＝Asin（ x+ ）（A＞0， ＞0）的图象是由
ω φ ω
的图象向右平移 个单位长度得到的．
（1）若f（x）的最小正周期为 ，求f（x）的图象与y轴距离最近的对称轴方程；
π
（2）若f（x）在 上有且仅有一个零点，求 的取值范围．
ω
七．正弦函数的单调性（共7小题）
24．（2023•长沙模拟）已知函数y＝sin（ x+ ）（ ＞0， （0，2 ））的一条对称轴
ω φ ω φ∈ π
为 ，且f（x）在 上单调，则 的最大值为 ．
ω
25．（2023•湖南模拟）已知函数 ，
x R，若 ，且f（x）在 上单调递增，则 的值为 ．
∈ ω
26．（2023•吉林模拟）规定： 设函数f（x）＝Max{sin x，
ω
学科网（北京）股份有限公司 4cos x}（ ＞0），若函数f（x）在 上单调递增，则实数 的取值范围是
．
ω ω ω
27．（2023•湛江二模）若函数 在 上具有
单调性，且 为 f（x）的一个零点，则 f（x）在 上单调递
（填增或减），函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数为 ．
28．（2023•汕头二模）已知函数 ．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若 ，求函数f（x）的单调区间．
29．（2023•南京二模）已知f（x）＝sin x﹣ cos x， ＞0．
ω ω ω
（1）若函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为 ，求f（ ）的值；
（2）若函数f（x）的图象关于（ ，0）对称，且函数f（x）在[0， ]上单调，求
的值．
ω
30．（2023•全国）已知函数 ，则（ ）
A． 上单调递增 B． 上单调递增
C． 上单调递减 D． 上单调递增
八．正弦函数的奇偶性和对称性（共2小题）
31．（2023•四川模拟）写出曲线 的一条对称轴的方程：
．
32．（2023•湖北模拟）已知函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0），若 是函数y＝f
ω φ ω
学科网（北京）股份有限公司 5（x）的图像的一条对称轴， 是函数y＝f（x）的图像的一个对称中心，则
的最小值为 ．
ω
九．余弦函数的图象（共5小题）
33．（2023•绵阳模拟）已知函数f（x）＝4cos（2x+ ）﹣3，则f（x）在（﹣ ，
）上的零点个数为 ．
34．（2023•安康模拟）已知函数f（x）＝cos x（ ＞0）的图象关于点 对称，
ω ω
且在区间 单调，则 的一个取值是 ．
35．（2023•山东模拟）若 G（x，y）是函数 y＝cosx 图象上的任意一点，则
ω
是函数f（x）＝Acos（ x+ ）（A＞0， ＞0，0＜ ＜ ）图象上的相
ω φ ω φ π
应的点，那么 ＝ ．
36．（2023•拉萨一模）已知函数 在[﹣ ，0]上有且仅
有两个零点．若m，n [0， ]，且f（m）＜f（n），对任意的x [0， ]，都有[f（x）﹣f
π
（m）][f（x）﹣f（n）]≤0，则满足条件的m的个数为 ．
∈ π ∈ π
37．（2023•承德模拟）已知 ＞1，函数 ．
（1）当 ＝2时，求f（x）的单调递增区间；
ω
ω
（2）若f（x）在区间 上单调，求 的取值范围．
ω
一十．正切函数的奇偶性与对称性（共1小题）
38．（2023•石家庄模拟）曲线f（x）＝ （cosx≠0）的一个对称中心为
（答案不唯一）．
一十一．函数y＝Asin（ x+ ）的图象变换（共7小题）
39．（2023•咸阳模拟）ω已知φ函数f（x）＝sin xcos x﹣ x（ ＞0）的最小正周
期为 ，对于下列说法：
ω ω ω ω
① ＝1；
π
ω
学科网（北京）股份有限公司 6②f（x）的单调递增区间为 ，（k Z）；
∈
③将f（x）的图象向左平移 个单位长度后所得图象关于y轴对称；
④ ．
其中正确的序号是 ．
40 ． （ 2023• 乌 鲁 木 齐 三 模 ） 已 知 函 数
的部分图象如图所示，若将
函数f（x）图象上所有的点向右平移 个单位长度得到函数g（x）的图象，则
的值为 ．
41．（2023•龙岩模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinA﹣
bsinB＝2sin（A﹣B），且a≠b．
（1）求c；
（2）把y＝sinx的图象向右平移 个单位长度，再把所得图象向上平移c个单位长度，
得到函数y＝f（x）的图象，若函数y＝f（ x）（ ＞0）在x （0， ）上恰有两个极值
点，求 的取值范围．
ω ω ∈ π
ω
42．（2023•济南三模）已知f（x）＝sin x（ ＞0），其图象相邻对称轴间的距离为 ，
ω ω
若将其图象向左平移 个单位得到函数y＝g（x）的图象．
（1）求函数y＝g（x）的解析式及图象的对称中心；
（2）在钝角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ，
求 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司 743．（2023•济宁二模）已知函数 ．
（1）求函数f（x）在 上的单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移 个单位长度后得到函数g（x）
的图象，若函数g（x）的图象关于点 成中心对称，在 上的值域
为 ，求 的取值范围．
α
44．（2022•甲卷）将函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0）的图像向左平移 个单位长
度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
ω ω
ω
A． B． C． D．
45．（2022•浙江）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+ ）图象上
所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度
B．向右平移 个单位长度
学科网（北京）股份有限公司 8C．向左平移 个单位长度
D．向右平移 个单位长度
一十二．由y＝Asin（ x+ ）的部分图象确定其解析式（共3小题）
46 ． （ 2023• 威 海 二 模 ） 已 知 偶 函 数
ω φ
的部分图象如图所示，A，
B，C为该函数图象与x轴的交点，且D为图象的一个最高点．
（1）证明：2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC；
（2）若 ，CD＝2， ，求f（x）的解析式．
47 ． （ 2023• 全 国 二 模 ） 已 知 函 数
的部分图像如图所示，其
中f（x）的图像与x轴的一个交点的横坐标为﹣ ．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣a在区间 上存在零点，求实数a的取值范
围．
学科网（北京）股份有限公司 948．（2023•南昌二模）如图是函数 的
部分图象，已知 ．
（1）求 ；
ω
（2）若 ，求 ．
φ
一十三．三角函数的最值（共2小题）
49．（2023•佛山模拟）已知函数 在区间 上存
在最大值，则实数a的取值范围为 ．
50．（2023•芜湖模拟）已知函数f（x）＝asin2x+cos2x，且 ．
（1）求f（x）的最大值；
（2）从①②中任选一个作答．若选择多个分别作答．按第一个解答计分．
①A为函数f（x）图象与x轴的交点，点B，C为函数f（x）图象的最高点或者最低点，
求△ABC面积的最小值．
②O为坐标原点，复数z ＝﹣2﹣4i，z ＝﹣2+f（t）i在复平面内对应的点分别为A，
1 2
B，求△OAB面积的取值范围．
一十四．两角和与差的三角函数（共5小题）
51．（2023•天津一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝1，c＝
2，sinB＝2sinA．
学科网（北京）股份有限公司 10（1）求cosC的值；
（2）求sinA的值；
（3）求sin（2C﹣A）的值．
52．（2023•天津模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a＞c），已知
bcosC＝（3a﹣c）cosB， ．
（1）求cosB；
（2）求a，c的值；
（3）求sin（B﹣C）的值．
（多选）53．（2023•海口模拟）已知锐角 ， ， 满足 + + ＝ ，则（ ）
A．tan ，tan 可能是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根
α β γ α β γ π
B．若 ＞ ，则sin ＞sin
α β
α β α β
C．
D．tan +tan +tan ＝tan •tan •tan
α β γ α β γ
54．（2023•杭州模拟）已知锐角 ， 满足 ， ，则
+ ＝ ．
α β
α β
55．（2022•新高考Ⅱ）若sin（ + ）+cos（ + ）＝2 cos（ + ）sin ，则（ ）
A．tan（ ﹣ ）＝1 B．tan（ + ）＝1
α β α β α β
C．tan（ ﹣ ）＝﹣1 D．tan（ + ）＝﹣1
α β α β
一十五．三角函数中的恒等变换应用（共1小题）
α β α β
56（2023•安徽模拟）已知函数
为奇函数，且其图象相邻两对称轴间的距离为 ．
（1）求 和 ；
ω φ
（2）当 时，记方程 的根为x ，x ，x （x ＜x ＜
1 2 3 1 2
学科网（北京）股份有限公司 11x ），求 的范围．
3
一十六．三角函数应用（共4小题）
57．（2023•宝鸡三模）我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神
器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平
衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为y＝sin（ t+ ）（ ＞0，| |＜ ），
如图2．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t ，t ，t （0＜t
ω φ ω 1 2φ 3 π 1
＜t ＜t ），且t +t ＝2，t +t ＝5，则1分钟内阻尼器由其它位置摆动经过平衡位置的次
2 3 1 2 2 3
数最多为（ ）
A．19 B．40 C．20 D．41
58．（2023•滨州二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今
还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆
时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，盛
水筒M从点P 处开始运动，OP 与水平面的所成角为30°，且每分钟恰好转动1圈，则
0 0
盛水筒M距离水面的高度H（单位；m）与时间t（单位：s）之间的函数关系式的图象
可能是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 12A． B．
C． D．
59．（2023•广东模拟）如图，均匀的圆面绕圆心O作逆时针方向的匀速旋转，圆面上一
初始位置为A点，t秒后转到点B，旋转的角速度为 ，在旋转圆面的右
侧有一固定相机C（C，O两点分别在AB的异侧），且OA＝5m，AC＝7m．
（1）记旋转角为 ，若 （（2n+1） ，2（n+1） ）（n N），求t的取值范围及弦
AB的长度；
θ θ∈ π π ∈
（2）在（1）的条件下，若t＝110s，BC＝8m，求OC的长．
60．（2023•南昌一模）潮汐现象是地球上的海水在太阳和月球双重引力作用下产生的全球
性的海水的周期性变化人们可以利用潮汐进行港口货运．某港口具体时刻t（单位：小
时）与对应水深y（单位：米）的函数关系式为y＝3sin t+10（0≤t≤24）某艘大型货
船要进港，其相应的吃水深度（船底与水面的距离）为 7米，船底与海底距离不小于
4.5米时就是安全的，该船于2点开始卸货（一次最长时间不超过8小时），同时吃水深
度以0.375米/小时的速度减少，该船8小时内没有卸货，要及时驶入深水区域，则该船
第一次停止卸货的时刻为 ．
学科网（北京）股份有限公司 13
