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综合训练 07 平面向量及其应用（10 种题型 60 题专练）
一．平面向量数量积的性质及其运算（共9小题）
1．（2023•大理州模拟）若平面向量 与 的夹角为 60°， ， ，则 等于
（ ）
A． B． C．4 D．12
2．（2023•广西模拟）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝3，∠BAC＝ ， ＝2 ，则 • ＝（
）
A．18 B．9 C．12 D．6
3．（2023•市中区校级模拟）在△ABC中，有 ，则tanC的最大值是（
）
A． B． C． D．
4．（2023•阿勒泰地区一模）在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝135°， ，若AD⊥AC，则
λ
＝（ ）
A． B． C． D．
5．（2023•河北模拟）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如
图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形
即为莱洛三角形，已知A，B两点间的距离为2，点P为 上的一点，则 的最小值为
．
学科网（北京）股份有限公司 16．（2023•重庆模拟）已知向量 的夹角为60°， ，若对任意的x 、x （m，+∞），
1 2
∈
且x ＜x ， ，则m的取值范围是（ ）
1 2
A．[e3，+∞） B．[e，+∞） C． D．
7．（2023•毕节市模拟）已知点G为三角形ABC的重心，且 ，当∠C取最大值时，
cosC＝（ ）
A． B． C． D．
8．（2023•合肥三模）哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形
拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为
常见，它是由线段AB和两个圆弧AC、BC围成，其中一个圆弧的圆心为A，另一个圆弧的圆心为B，
圆O与线段AB及两个圆弧均相切，若AB＝2，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
9．（2023•宜章县二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2csin（ ）．
（1）求C；
（2）若c＝1，D为△ABC的外接圆上的点， • ＝ 2，求四边形ABCD面积的最大值．
学科网（北京）股份有限公司 2二．投影向量（共6小题）
10．（2023•湖南模拟）已知向量 ， 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为
（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
11．（2023•全国二模）已知向量 ， 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023•武陵区校级模拟）若向量 ， 满足 ， ，则向量 在向量 上的投影
向量为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023•静安区二模）已知向量 ，且 ， 的夹角为 ， ，则
在 方向上的投影向量等于 ．
14．（2023•石家庄二模）已知非零向量 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（
）
A． B． C． D．
15．（2023•河北三模）已知平面向量 ， 为单位向量，且 ，则向量 在向
学科网（北京）股份有限公司 3量 上的投影向量的坐标为 ．
三．平面向量的基本定理（共5小题）
16．（2023•泰州模拟）在平行四边形 ABCD中， ， ．若 ，则m+n＝（
）
A． B． C． D．
17．（2023•贵阳模拟）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 ＝（ ）
A． ﹣ B．﹣ + C． + D． ﹣
18．（2023•淄博模拟）已知△ABO中，OA＝1，OB＝2， ，过点O作OD垂直AB于点D，则
（ ）
A． B．
C． D．
19．（2023•开封一模）已知△ABC中，D为BC边上一点，且 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
20．（2023•海安市校级一模）已知等边△ABC的边长为2，D为BC的中点，P为线段AD上一点，
PE⊥AC，垂足为E，当 时， ＝（ ）
A． B． C． D．
四．平面向量共线（平行）的坐标表示（共4小题）
21．（2023•乌鲁木齐模拟）已知向量 ＝（2，3）， ＝（﹣1，2），若m +n 与 ﹣2 共线，则 等于
（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
学科网（北京）股份有限公司 422．（2023•龙口市模拟）已知向量 ＝（m2，﹣9）， ＝（1，﹣1），则“m＝﹣3”是“ ∥ ”的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
23．（2023•林芝市二模）已知向量 ， ，且 ，则 ＝
．
24．（2023•高州市二模）已知向量 ， ，若 与 平行，则实数 的值
λ
为（ ）
A． B． C．6 D．﹣6
五．数量积表示两个向量的夹角（共4小题）
25．（2023•2月份模拟）平面向量 与 相互垂直，已知 ＝（6，﹣8）， ，且 与向量（1，0）
的夹角是钝角，则 ＝（ ）
A．（﹣3，﹣4） B．（4，3） C．（﹣4，3） D．（﹣4，﹣3）
26．（2023•沈阳三模）已知 ， ，若 与 的夹角是锐角，则实数x的取值范围是
．
27．（2023春•大理市校级期中）已知平面向量 ，则向量 与 的夹角为
．
28．（2023•杨浦区校级三模）对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 ＝ ．若平面向量
⊗
， 满足| |≥| |＞0， 与 的夹角 （0， ），且 和 都在集合{ |n Z}中，则 ＝
． θ∈ ⊗ ⊗ ∈ ⊗
六．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共5小题）
学科网（北京）股份有限公司 529．（2023•运城三模）已知向量 满足 ，且 ，则实数 ＝（
λ
）
A．1或 B．﹣1或 C．1或 D．﹣1或
30．（2023•安徽模拟）已知平面向量 ，若 与 垂直，则实数 t＝
（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
31．（2023•桃城区校级模拟）已知向量 ， ，若 ，则cos2
θ
＝（ ）
A． B． C． D．
32．（2023•红河州一模）已知向量 ＝（2，m）， ＝（4，﹣1），且（ ﹣ ）⊥（ + ），则实数m
＝（ ）
A．2 B． C．8 D．
33．（2023•平定县校级模拟）已知向量 ， ， ，且 ，则
实数m＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．任意实数
七．正弦定理（共5小题）
34．（2023•汕头二模）在△ABC中，已知C＝45°，b＝ ，c＝2，则角B为（ ）
A．30°或150° B．60° C．30° D．60°或120°
35．（2023•宝鸡模拟）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c， ．
（1）证明：2a＝b+c；
（2）若cosA＝ ，a＝2 ，求△ABC的面积．
学科网（北京）股份有限公司 636．（2023•榆林二模）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且2csin（B﹣A）＝
2asinAcosB+bsin2A，则 的取值范围是 ．
37 ． （ 2023• 邢 台 一 模 ） 已 知 △ ABC 内 角 A ， B ， C 所 对 的 边 长 分 别 为 a ， b ， c ， 2
．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝4，求△ABC面积的取值范围．
38．（2023•潮阳区三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．C＝ ，AB边上的高为 ．
（1）若S△ABC ＝2 ，求△ABC的周长；
（2）求 的最大值．
八．余弦定理（共8小题）
39．（2023•雁塔区校级模拟）在△ABC中，若a2+c2﹣b2＝﹣ac，则角B＝（ ）
A．120° B．60° C．135° D．150°
40．（2023•蒙城县校级三模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且cos2C﹣cos2A＝
sinAsinB﹣sin2B．
（1）求∠C的大小；
（2）已知a+b＝4，求△ABC的面积的最大值．
学科网（北京）股份有限公司 741．（2023•崇州市校级模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，B＝60°，
a2+c2＝3ac，则b＝ ．
42．（2023•铜仁市模拟）锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2＝a（a+b），则sinA
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
43．（2023•琼山区校级一模）已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．a＝2 ，b＝2，且
cosA（ccosB+bcosC）+asinA＝0．
（1）求A；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
44．（2023•江西模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，a2+b2﹣c2
＝2S．
（1）求cosC；
（2）若acosB+bsinA＝c， ，求b．
学科网（北京）股份有限公司 845．（2023•榆林二模）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是 a，b，c，若△ABC的面积是
，则A＝（ ）
A． B． C． D．
46．（2023•大理州模拟）在①2a﹣b＝2ccosB，②S＝ （a2+b2﹣c2），③ sin（A+B）＝1+2sin2
三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设△ABC的面积为S，已知______．
（1）求角C的值；
（2）若b＝4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，△CDB的面积为 ，求边长a的值．
九．三角形中的几何计算（共4小题）
47．（2023•天门模拟）某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形
三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，
且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）．如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为2，
且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P．若AB＝3，则sin∠PAC＝ ；若AC：
AB：BC＝6：5：4，则PA+PB+PC的值为 ．
学科网（北京）股份有限公司 948．（2023•江宁区校级模拟）已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足
．
（1）求角B的大小；
（2）若 ，设△ABC的面积为S，满足 ，求b的值．
49．（2023•江西模拟）《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕
影而视之，空正掩目，而日应空之孔．”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径 d是一寸，筒长l是八
尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰
好填满竹管的内孔．”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司 10A． B． C． D．
50．（2023•浑南区校级三模）如图，函数f（x）＝2sin（ x+ ）（ ＞0，0＜ ＜ ）的图象与坐标轴交
于点A，B，C，直线BC交f（x）的图象于点D，O（ω坐标φ原点）ω为△ABDφ的重π心（三条边中线的交
点），其中A（﹣ ，0），则tanB＝ ．
π
一十．解三角形（共10小题）
51．（2023•宜春模拟）如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km．行员为了避开某一区域的雷雨
云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原
来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约
多飞了（ ）（sin12°≈0.21，sin18°≈0.31）
学科网（北京）股份有限公司 11A．10km B．20km C．30km D．40km
52．（2023•衡水模拟）已知△ABC中，a，b，c分别为内角 A，B，C的对边，且 2asinA＝（2b+c）
sinB+（2c+b）sinC．
（1）求角A的大小；
（2）设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且AD＝2，b＝3，求△ABC的面积．
53．（2023•重庆模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求A；
（2）设AB的中点为D，若CD＝a，且b﹣c＝1，求△ABC的面积．
54．（2023•桃城区校级模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（cosB+cosC）+
（b+c）cos（B+C）＝0．
（1）求A；
（2）若D为线段BC延长线上的一点，且BA⊥AD，BD＝3CD，求sin∠ACD．
55．（2023•晋江市校级模拟）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，△ABC的面积 ．
学科网（北京）股份有限公司 12（1）若 ，求 的值；
（2）求 的取值范围．
56．（2023•黄石模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+csinA＝b．
（1）求A；
（2） ，BD＝3，求△ABC面积的最大值．
57．（2023•宁波一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求cosA．
58．（2023•宜春一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b＝2ccosB．
（1）求证：C＝2B；
学科网（北京）股份有限公司 13（2）求 的最小值．
59．（2023•江西二模）在① ；②a（3sinB+4cosB）＝4c，这两个条件中任选一个，
补充在下面问题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，_____．
（1）求sinA的值；
（2）若△ABC的面积为2，a＝4，求△ABC的周长．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
60．（2023•开福区校级二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为2
的等差数列．
（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积．
（2）是否存在正整数b，使得△ABC的外心在△ABC的外部？若存在，求b的取值集合；若不存在，
请说明理由．
学科网（北京）股份有限公司 14
