文档内容
平面向量的概念及其运算
目录
题型一： 平面向量的有关概念...................................................4
题型二： 平面向量的线性运算...................................................6
题型三： 平面向量的线性运算的几何意义.........................................9
题型四： 范围问题............................................................13
题型五： 共线向量定理的应用..................................................18
知识点总结
1．向量的有关概念
名称 定义 说明
向量 既有大小又有方向的量叫做向量 平面向量是自由向量
有向
具有方向的线段叫做有向线段，向量可
有向线段包含三个要素：起
以用有向线段表示，也可用字母a，b，
点、方向、长度
c，…表示
线段
向量
向量AB的大小称为向量AB的长度(或称
向量的模是数量
模)，记作|AB|
的模
零向量 长度为0 的向量叫做零向量，记作0
单位
长度等于 1 个单位长度 的向量，叫做单 a是非零向量，则±是单位向
位向量 量
向量
平行向
方向相同或相反的非零向量叫做平行向
规定：零向量与任意向量平行
量，平行向量也叫做共线向量
量(共线向量)
相等
长度相等且方向相同的向量叫做相等向 两向量可以相等也可以不相
量 等，但不能比较大小
向量
相反
与向量a长度相等，方向相反的向量，
0的相反向量仍是0
叫做a的相反向量，记作－a
向量
2.向量的线性运算
运算 定义 法则(或几何意义) 运算律(性质)
交换律：a＋b＝b＋a，并规
三角形法则
定：a＋0＝0＋a＝a；结合
求两个向量和
加法 律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c；|a
的运算
＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 a，b
方向相同时等号成立
平行四边形法则
求两个向量差
减法 a－b＝a＋(－b)
的运算
设λ，μ∈R，则
λa是一个向量，其长
度：|λa|＝ | λ | | a |；
λ(μa)＝ μ ( λ a ) ；
求实数λ与向
数乘 量a的积的运
其方向：λ>0时，与a
算
方向相同；λ<0时，与 (λ＋μ)a＝ λ a ＋ μ a ；
a 方向相反；λ＝0
时，λa＝0
λ(a＋b)＝ λ a ＋ λ b3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
4．向量三角不等式
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两
边之差小于第三边”知“<”成立；两向量共线时，可得出“＝”成立(分同向、反向两种不
同情形)．
常用结论与知识拓展
(1)首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即
A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋A A ＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量
n－1 n
和为零向量．
(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB)；若G为△ABC的重心，
则GA＋GB＋GC＝0.
(3)若OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，且OB，OC不共线，则点A，B，C共线的充要条件是
λ＋μ＝1.
(4)如图，△ABC中，BD＝m，CD＝n，则AD＝AB＋AC，特别地，D为BC的中点时(m＝
n)，AD＝AB＋AC.
例题精讲
题型一：平面向量的有关概念
【例1】下列命题不正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0
C．若 ， 都为非零向量，则使 成立的条件是 与 反向共线
D．若 ， ，则
【解答】解：A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
C选项，因为 与 都是单位向量，所以只有当 与 是相反向量，即 与
是反向共线时 才成立，故C正确；
D选项，由向量相等的定义知D正确．
故选：A．
【变式训练1】下列说法正确的是
A．若 ， ，则
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．两个单位向量的长度相等
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【解答】解： ．当 时，满足 ，而 不一定平行，故错误；
．两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，
故错误；
．由单位向量的定义知，两个单位向量的长度相等，故正确；
．若两个单位向量平行，则方向相同或相反，但大小不一定相同，则这两个单位向量不
一定相等，故错误；
故选： ．
【变式训练2】下列说法正确的是A．若 ，则
B．若 ，则存在唯一实数 使得
C．若 ， ，则
D．与非零向量 共线的单位向量为
【解答】解：若 ，则 与 不一定有共线关系，所以选项 错误；
若 ，此时 不存在，选项 错误；
若 ，由 ， ，不一定得到 ，选项 不正确；
由向量 为非零向量，根据单位向量的定义，选项 正确．
故选： ．
【变式训练3】下列各命题中，正确的是
A．若 ，则 或
B．与非零向量 共线的单位向量是
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D．若 ，则
【解答】解：对于 选项，若 ，则 、 的方向关系无法确定， 错；
对于 选项，与非零向量 共线的单位向量是 ， 错；
对于 选项，长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量， 对；
对于 选项，若 ，但向量 、 不能比大小， 错．
故选： ．【变式训练4】下列说法中，正确的是
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量都是同方向；
④任意向量与零向量都共线．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【解答】解：①长度为0的向量都是零向量，正确；
②零向量的方向任意，故错误；
③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；
④任意向量与零向量都共线，正确．
故选： ．
题型二：平面向量的线性运算
【要点讲解】1.平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的:可直接运用相应运算法则求解;
(2)含图形的:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量以及三角
形的中位线、平行四边形的性质等,把未知向量用已知向量表示出来求解.
【例2】在正方形 中， 在 上且有 ， 与对角线 交于 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：如图：
在正方形 中， 在 上且有 ， 与对角线 交于 ，，且 ，
，
可得 ，可得 ，
，
故选： ．
【变式训练1】向量 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则
A． B．4 C．2 D．
【解答】解：如图，
把向量 平移到同一起点，得出 ，然后把 平移到同一起点，则：
，
．
故选： ．【变式训练2】已知 、 分别是 的边 ， 上的中线，且 ， ，
则
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
， ．
，
解得 ．
故选： ．
【变式训练3】设 是单位向量， ， ， ，则四边形
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【解答】解： ，
四边形 是平行四边形
又
四边形 是菱形
故选： ．
【变式训练4】设 是平行四边形 的对角线的交点，则
A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 为平行四边形， 是 ， 的中点，
， ，故选： ．
题型三：平面向量的线性运算的几何意义
【例3】设点 在 内部，且有 ，点 是边 的中点，设
与 的面积分别为 、 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：如图，取 的中点为 ，
，
，
，
、 、 三点共线且 ，
，
，
故选： ．【变式训练1】在 中， 为 的中点， ， ， 与 交于 ，
，则
A． B． C． D．
【解答】解：由 中， 为 的中点， ， ， 与 交于 ，
，
则 ，
由点 、 、 三点共线，
则 ，
解得 ，
故选： ．
【变式训练2】已知 是三角形 内部一点，满足 ， ，则
实数
A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：如图，令 ，则：
， ， 三点共线；
与 共线反向， ；
；
解得 ．
故选： ．
【变式训练3】我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早
的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．
“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第 24届国际数学
家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成
的，若 ，E为BF的中点，则 ＝（ ）A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
不妨设AB＝1，BE＝x，则AE＝2x．
∴x2+4x2＝1，解得x＝ ．
设∠BAE＝θ，则sinθ＝ ，cosθ＝ ．
∴x ＝ cosθ＝ ，y ＝ sinθ＝ ．
E E
设 ＝m +n ，
则（ ， ）＝m（1，0）+n（0，1）．
∴m＝ ，n＝ ．
∴ ＝ + ，
另解：过E分别作EM⊥AB，EN⊥AD，垂足分别为M，N．
通过三角形相似及其已知可得：AM＝ AB，AN＝ AD．
即可得出结论．
故选：A．题型四：范围问题
【例4】已知向量 ， ， 都是单位向量，若 ，则 的最大值为
A． B．2 C． D．
【解答】解：由 ，得 ，即 ．
设 ，则 ，显然 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 的最大值为 ．
故选： ．
【变式训练1】已知平面向量 ， 是单位向量，且 ，向量 满足
则 的最大值为A． B． C． D．
【解答】解： 平面向量 ， 是单位向量，且 ，
，
， ，设 ， ，则 ，
， 点 在以 为圆心，以 为半径
的圆上，
的最大值表示圆上的点到原点 距离的最大值，如下图所示：
设圆心为 ，则 ，
的最大值为： ．
故选： ．
【变式训练2】 中， ，则 的最大值为
A． B． C． D．
【解答】解：由 ，
两边同时平方得 ，展开整理得 ，
即 ，
，
当且仅当 时等号成立．
又 且 ， 时，
所以 取最大值 ．
故选： ．
【变式训练3】如图．在直角梯形 中． ， ， ， ，
点 是腰 上的动点，则 的最小值为 ．
【解答】解：在直角梯形 中， ， ， ， ，
则 ，则以 为原点， ， 为 ， 轴建立平面直角坐标系，
设 ，设 ，则 ， ， ，
故 ， ，所以 ，故 ，
当且仅当 即 时取得等号，
即 的最小值为4，
故答案为：4．
【变式训练4】若平面向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则
的最小值为 ．
【解答】解：在平面直角坐标系中，不妨设 ， ， ，
， ， ，
， ， ，
，
，
当且仅当 时，等号成立，
故 的最小值为2．
故答案为：2．
【变式训练5】已知非零平面向量 、 、 满足 ， ，且 ，
则 的最小值是 ．
【解答】解：如图 ，则 ，
已知 ，即 ，所以 ，取 的中点 ，则有 ，
而 ，根据三角形的三边关系可知 ，
则 ，所以 ，当 ， ， 三点共线时取等
号，
记 向量的夹角为 ，则 ，
同理 ，
由 ，可得 ，
则 ，
当 ，即 时取等号，
所以 ，即 的最小值是 ，
故答案为： ．
【例5】已知空间向量 、 、 、 满足： ， ， ，
，则 的最大值为 ．
【解答】解：根据题意， ，且 ， ，且设与 的夹角为 ，
① 时，
，
，当 时取等号，
时， 取最大值3；
② 时，
，
，当 时取等号，
时， 取最大值2，
综上得， 的最大值为3．
故答案为：3．
【变式训练1】已知平面内一正三角形 的外接圆半径为4，在三角形 中心为圆心为半径的圆上有一个动点 ，则 最大值为
A．13 B． C． D．
【解答】解：建立如图所示坐标系，
则点 ，
设点 ，且 ，
则
故当 ， 时， 有最大值为13，
故选： ．
题型五：共线向量定理的应用
【要点讲解】(1)a∥b a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程
思想的运用; ⇔
(2)当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即 A , B , C 三点共线⇔ , 共线;
(3)若a与b不共线且λa=μb,则 λ = μ =0 ;
(4) =λ +μ (λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则 λ + μ =1 .
【例6】设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实数
A． B． C． D．【解答】解： 不平行，
，且 与 平行，
存在实数 ，使 ，
，解得 ．
故选： ．
【变式训练1】设 ， 是两个不共线的向量，且 与 共线，则实数
A． B．3 C． D．
【解答】解： ， 是两个不共线的向量，
若 与 共线，
则存在实数 使得： ，即 ，
即 ，解得： ，
故选： ．
【变式训练2】已知向量 与 为一组基底，若 与 平行，则实数
．
【解答】解： 与 平行， 设 ，
由 向量 与 为一组基底， ，解得： ．
故 的值为：2．
【变式训练3】 为 内一点，且 ， ，若 ， ， 三点共线，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解：以 ， 为邻边作平行四边形 ，连接 与 相交于点 ， 为
的中点．
， ，
点 是直线 的中点．
， ， 三点共线， ， 点 是 与 的交点．
过点 作 交 于点 ，则点 为 的中点．
则 ，
，
，
， ，
．
另解：由 ， 点 是直线 的中点．
， ， 三 点 共 线 ， 存 在 实 数 使 得
，
， ，解得 ．
故选： ．【变式训练4】设 、 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是
A． B． C． D． 且
【解答】解： 与 共线且同向 且 ，
故选： ．
【变式训练5】设两个非零向量 与 不共线．
（1）若 ， ， ．求证： ， ， 三点共线；
（2）试确定实数 ，使 和 共线．
【解答】解：（1）
，
与 共线
两个向量有公共点 ，
， ， 三点共线．
（2） 和 共线，则存在实数 ，使得 ，
即 ，
非零向量 与 不共线，且 ，
．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．如图，一质点从原点 出发沿向量 到达点 ，再沿 轴正方向从点 前进
到达点 ，再沿 方向从点 前进 到达点 ，再沿 轴正方向从点
前进 到达点 ，则点 的坐标是
A． B． C． D．
【解答】解：探究 轴正方向的规律，得 ，
同理也可发现 轴正方向形成无穷等比数列的变化规律 ．
故选： ．
2．已知 ， ，则与 同向的单位向量的坐标为
A． B． C． D．【解答】解：由题知 ， ， ， ，
所以与 同向的单位向量为 ．
故选： ．
3．下列命题正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则
D．若 ，则
【解答】解： ． ，则 ，不正确；
． ，则 与 不能比较大小；
，则 ，正确；
． ，则 ，因此不正确．
故选： ．
4．已知向量 ， ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解： ， 推不出 ，
“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选： ．
5．已知 ， 为非零向量，且 ，则
A． ，且 与 方向相同 B． ， 是共线向量
C． D． ， 无论什么关系均可【解答】解： ， 为非零向量，且 ，
，
，
，
，
，且 与 方向相同．
故选： ．
6．已知点 ，2， ， ，11， ， ，1， ，若点 满足 ，则
A．37 B． C．57 D．
【解答】解：设 ， ， ，则 ， ， ， ， ，
，
由题意有 ， ， ， ， ，解得 ， ， ，
， ， ，故 ．
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．已知 ， ， ，若 ，则 的值可能是
A．2 B． C．1 D．
【解答】解： ， ， ，
， ，若 ，则 ，即 或 ．
故选： ．
8．下列说法正确的是
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 与 是非零向量且 ，则 与 的方向相同或者相反
D．若 ， 都是单位向量，则
【解答】解：若 ，满足 ， ，但是不满足 ，故 错误；
若 ， ，则 ，故 正确；
若 与 是非零向量且 ，则 与 的方向相同或者相反，故 正确；
若 ， 都是单位向量，由单位向量的定义可知， ，故 正确．
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．已知 ， ， ，则实数 2 ．
【解答】解：由已知得 ，
，
解得 ．
故答案为：2．
10．若 ， ，点 在线段 的延长线上，且 ，则点 坐标为．
【解答】解： 点 在线段 的延长线上，且 ，
，
设 ，且 ， ，
， ， ，
，解得 ，
．
故答案为： ．
11．已知 ， ，若向量 与 共线，则 ．
【解答】解： ， ，
若向量 与 共线，则 ，
解得 ，
，
．
故答案为： ．
12．设 ， 是空间两个不共线的向量，已知 ， ，
，且 ， ， 三点共线，则实数 1 ．
【解答】解： ， ， 三点共线，向量 和 共线，故存在实数 ，使 ，
由题意可得 ，
即 ，
故可得 ，解得 ，
故 ，
故答案为：1．
四．解答题（共3小题）
13．如图所示，用向量方法证明：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍．
【解答】证明：设 ， ，则 ， ， ， ，
，
同理 ，
．
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的二倍．
14．向量 ， 与 从长度和方向上分析具有怎样的关系？
【解答】解：长度上关系为： ，
方向上为： 与 的方向相同，都与 的方向相反．15．在如图的方格纸中，画出下列向量．
（1） ，点 在点 的正西方向．
（2） ，点 在点 的北偏西 方向．
（3）求出 的值．
【解答】解：（1）（2）如下图所示：
（3）根据图形， ．
