文档内容
专题 7.5 空间向量与立体几何
目录
题型一： 空间向量的线性运算.......................................................................................................3
题型二： 共线、共面向量定理.......................................................................................................6
题型三： 数量积运算.....................................................................................................................10
题型四： 求夹角取值范围.............................................................................................................11
知识点总结
知识点一、空间向量及其有关概念
名称 定义
共线(平行)
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那
么这些向量叫做共线向量或平行向量
向量
共面向量 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量
共线向
对于任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数
λ，使 a ＝ λ b
量定理
共面向
如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件
是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝ x a ＋ y b
量定理
空间向量
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在
唯一的有序实数组 ( x ， y ， z ) ，使得p＝xa＋yb＋zc
基本定理
知识点二、空间向量及其运算的坐标表示
(1)空间向量运算的坐标表示：设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)，则
1 2 3 1 2 3a＋b＝ ( a ＋ b ， a ＋ b ， a ＋ b)，
1 1 2 2 3 3
a－b＝ ( a － b ， a － b ， a － b)，
1 1 2 2 3 3
λa＝ ( λa ， λ a ， λ a)，λ∈R，
1 2 3
a·b＝ab ＋ ab ＋ ab.
1 1 2 2 3 3
(2)空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示：设a＝(a ，a ，a)，b＝(b ，b ，
1 2 3 1 2
b)，则
3
当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a ＝ λ b ， a ＝ λ b ， a ＝ λ b(λ∈R)；
1 1 2 2 3 3
a⊥b⇔a·b＝0⇔ab ＋ ab ＋ ab ＝ 0；
1 1 2 2 3 3
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝
.
(3)空间向量的坐标及两点间的距离公式：设P(x ，y ，z)，P(x ，y ，z)，则P1P2＝ ( x －
1 1 1 1 2 2 2 2 2
x ， y － y ， z － z)，|PP|＝.
1 2 1 2 1 1 2
知识点三、用空间向量研究直线、平面的位置关系
位置关系 向量表示
直线l，l 的方向 l∥l n∥n⇒n＝λn
1 2 1 2 1 2 1 2
向量分别为n，n l⊥l n⊥n⇔n·n＝0
1 2 1 2 1 2 1 2
l∥α n⊥m⇔m·n＝0
直线 l的方向向量为 n，平面 α
的法向量为m
l⊥α n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β
n∥m⇔n＝λmα⊥β n⊥m⇔n·m＝0
例题精讲
题型一：空间向量的线性运算
【要点讲解】用基向量表示指定向量的步骤：①结合已知向量和所求向量观察图形；②将
已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中；③利用三角形法则或平行四边形法则
把所求向量用已知基向量表示出来.
【例1】已知点 ，3， ， ，3， ， ，则点 的坐标为
A． ，3， B． ， ， C． ，6， D． ，3，
【变式训练1】在正四面体 中，过点 作平面 的垂线，垂足为 点，点 满
足 ，则
A． B．
C． D．
【变式训练2】如图，在空间四边形 中， ， ， ，点 满足
，点 为 的中点，则
A． B． C． D．【变式训练3】在平行六面体 中，点 是线段 上的一点，且 ，
设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【变式训练4】如图，在平行六面体 中， 是 的中点，点 在 上，
且 ，设 ， ， ．则
A． B．
C． D．
【变式训练5】如图，四棱锥 的底面是矩形，设 ， ， ，
是棱 上一点，且 ，则 ，则
A．1 B． C． D．【变式训练6】平行六面体 的所有棱长都是 1， 为 中点，
， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式训练7】如图，平行六面体 的各棱长均为1，
， ，则
A． B． C． D．
【变式训练8】在 平 行 六 面 体 中 ， ， ， ，
， ，则 的长
A．10 B． C． D．
【例2】三棱柱 中， 、 分别是 、 上的点，且 ，
．设 ， ， ．
（Ⅰ）试用 表示向量 ；
（Ⅱ）若 ， ， ，求 的长．【变式训练1】如 图 ， 在 三 棱 柱 中 ， 为 空 间 一 点 ， 且 满 足
，则下列说法错误的是
A．当 时，点 在棱 上 B．当 时，点 在线段 上
C．当 时，点 在棱 上 D．当 时，点 在线段 上
题型二：共线、共面向量定理
【要点讲解】(1)对空间三点P，A，B，可通过证明下列结论成立来证明三点共线：①PA＝
λPB；②对空间任一点O，存在实数t，使OP＝OA＋tAB；③对空间任一点O，OP＝(1－
t)OA＋tOB或OP＝xOA＋yOB，这里x＋y＝1.(2)对空间四点P，M，A，B，可通过证明下列结论成立来证明四点共面：①MP＝xMA＋
yMB；②对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB；③对空间任一点O，OP＝xOA＋yOB＋
zOM，其中x＋y＋z＝1；④PM∥AB.
【例3】已知向量 ， ， ，若向量 与向量 ， 共面，
则实数 的值为
A．1 B． C． D．
【变式训练1】在下列条件中，点 与点 ， ， 一定共面的是
A． B．
C． D．
【变式训练2】已知 是空间两个不共线的向量， ，那么必有
A． 共线 B． 共线
C． 共面 D． 不共面
【变式训练3】在下列条件中，一定能使空间中的四点 ， ， ， 共面的是
A． B．
C． D．
【变式训练4】已知 ，若 共面，则实数 的值为A．6 B．5 C．4 D．3
【变式训练5】已知向量 ， ，若 ，则
A． B． C． D．7
【例4】在正四面体 中， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点．
设 ， ， ．
（1）用 ， ， 表示 ， ；
（2）求证： ， ， ， 四点共面．
【变式训练1】已知空间三点 ， ， ， ，1， ， ，3， ，设 ，
， ．
（1）判断 的形状；
（2）若 ，求 的值．【变式训练2】已知 ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求实数 的值．
【变式训练3】如图所示，在平行六面体 中， 、 分别在 和 上，
且 ， ．
（1）证明 、 、 、 四点共面；
（2）若 ，求 的值．题型三：数量积运算
【要点讲解】由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a
与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
【例5】向量 ， ， 满足 ， ，且 ，则
A． B． C．22 D．
【变式训练1】已知点 ，2， ， ，1， ， ，0， ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练2】设 ，向量 在向量 上的投影向量为 ，则
的最小值为
A． B． C． D．
【变式训练3】已知空间向量 ，则向量 在坐标平面 上的投影向量是
A． ，2， B． ，2， C． ，2， D． ，2，
【变式训练4】已知四面体 的所有棱长都等于2， 是棱 的中点， 是棱
靠近 的四等分点，则 等于
A． B． C． D．【变式训练5】已知向量 ，若 ， ， ， 共面，
则 在 上的投影向量的模为
A． B． C． D．
【变式训练6】已知空间向量 ， ， ， ，2， ，若 ，则 的
值为
A．1 B． C．2 D．
题型四：求夹角取值范围
【例6】已知空间三点 ， ， ， ，0， ， ，3， ，则向量 与 的
夹角为
A． B． C． D．
【变式训练1】已知向量 ，则 与 的夹角为
A． B． C． D．
【变式训练2】若 ， ，且 与 的夹角为钝角，则 的取值范
围是
A． B．
C． D．【变式训练3】已知向量 ， ， ， ，2， 的夹角为钝角，则实数 的取值
范围为
A． B．
C． D．
【变式训练4】若单位向量 与向量 的夹角等于 ，则
A． B． C． D．
【例7】设 ， ，向量 ，1， ， ， ， ， ， ， ，且 ，
，
（1）求 ；
（2）求向量 与 夹角．
【变式训练1】如图，在底面为矩形的四棱锥 中， 底面 ， 为棱
上一点，且 ， ．以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方
向，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；（2）求 ， ．
