文档内容
第 01 讲 平面向量的概念及线性运算
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：平面向量的基本概念............................................................................................................2
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题....................................................................................3
题型三：共线定理及其应用................................................................................................................4
题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用........................................................................7
题型五：平面向量的直角坐标运算..................................................................................................10
题型六：向量共线的坐标表示..........................................................................................................13
02 重难创新练....................................................................................................................................14
03 真题实战练....................................................................................................................................21题型一：平面向量的基本概念
1．下列说法正确的是（ ）
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行
C．模为1的向量都是相等向量
D．向量的模可以比较大小
【答案】D
【解析】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错；
由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错；
长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错；
向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确.
故选：D.
2．关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小
C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的
【答案】B
【解析】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确；
速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误；
零向量方向任意，D错误.
故选：B
3．若向量 与 为非零向量，下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．
C．若非零向量 ，则 与 的方向相同
D．若 ，则
【答案】C
【解析】对于A选项，由于向量不能比大小，所以A选项错误；对于B选项， ，B错误；
对于C选项， 因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，设向量
又向量 与 是非零向量，所以 ，又 ，
所以 ，故 与 的方向相同；C正确；
若 ， 方向不一定相同，则 不一定相等，D错误；
故选：C.
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题
4．如图所示，在平行四边形 中， 与 交于点 ， 是线段 的中点， 的延长线与 交
于点 .若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在平行四边形 中， 与 交于点 ， 是线段 的中点， 的延长线与 交于点
，
则 ，所以 ，则 ，
所以 ，则 .
故选：B.
5．（2024·山东聊城·一模） 是 内的一点，若 ， ，则
（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D【解析】由 ，则 ，
所以 ，即 ，又 ，
故 ，故 .
故选：D
6．已知向量 共线，且 ，则 ．
【答案】 或
【解析】由向量 共线，故向量 可能同向、可能反向，
当向量 同向时，由 ，则 ，
当向量 反向时，由 ，则 .
即 可能为 或 .
故答案为： 或 .
题型三：共线定理及其应用
7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量 ， 是平面上两个不共线的单位向量，且 ，
， ，则（ ）
A． 、 、 三点共线 B． 、 、 三点共线
C． 、 、 三点共线 D． 、 、 三点共线
【答案】C
【解析】对A，因为 ， ，不存在实数 使得 ，故 、 、 三点不共
线，故A错误；
对B，因为 ， ，不存在实数 使得 ，故 、 、 三点不共线，故B
错误；
对C，因为 ， ，则 ，故 、 、 三点共线，故C正确；
对D，因为 ， ，不存在实数 使得
，故 、 、 三点不共线，故D错误.
故选：C
8．已知非零向量 和 不共线，若 与 共线，则 的值为 ．
【答案】 /
【解析】非零向量 和 不共线，则 ，
由 与 共线，得 ，
因此 ，解得 ，所以 的值为 .
故答案为：
9．已知 是不共线的向量，且 ，则（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线C． 三点共线D．
三点共线
【答案】C
【解析】A：假设存在实数 ，使得 ，则 三点共线.
，得 ，无解，所以假设不成立，故A错误；
B：假设存在实数 ，使得 ，则 三点共线.
，得 ，无解，所以假设不成立，故B错误；
C： ，
假设存在实数 ，使得 ，则 三点共线.
，得 ，解得 ，所以假设成立，故C正确；
D： ，
假设存在实数 ，使得 ，则 三点共线.，得 ，无解，所以假设不成立，故D错误.
故选：C
10．已知 分别为 的边 上的点，线段 和 相交于点 ，若 ， ，
，其中 ．则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图所示：
因为 ，所以
又 ，所以
，所以
,
三点共线， ，化简得 ；
，当且仅当 ， ， 取等；
故答案为： .
11．在 中， 为 上的一点，满足 .若 为 上的一点，满足
，则 与 的关系为 ； 的最小值为 .
【答案】
【解析】如图所示，由 得 ，即 ，
又 ，
所以 ，又 为 上的一点，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： ； .
题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用
12．已知 分别为 的边 上的中线，设 ， ,则 ＝（ ）
A． ＋ B． ＋
C． D． ＋
【答案】B
【解析】 分别为 的边 上的中线,
则 ,,
由于 ， ，所以 ,
故解得
故选：B
13．（2024·广东汕头·三模）已知四边形 是平行四边形， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在 中，由 ， ，
得 .
故选：A
14．设 为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】C
【解析】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，
C选项中， ，即 和 为共线向量，
所以它们不能作为基底.
其它选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底.
故选：C
15．在 中， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，
所以M是位于BC上的靠近点B的四等分点，N为AC的中点，如下图所示：所以 .
故选：D
16．（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）如图，在 中，点 为线段 的中点，点 是线段 上靠近
的三等分点，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 为线段 的中点，则
，
因为点 是线段 上靠近 的三等分点，则 ，
因此， .
故选：A.
17．如图，在平行四边形 中， 为 的中点， 与 交于点 ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，且 ，所以 ，
即 .
故选：D
18．（2024·云南昆明·一模）在 中，点 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如下图所示：
易知 ；
即可得 .
故选：C
题型五：平面向量的直角坐标运算
19．若向量 ，则 对应的位置向量的终点坐标是 ．
【答案】
【解析】 ，所以 对应的位置向量的终点坐标是 .
故答案为：
20．如图，直线 ､ 与 轴正方向的夹角分别为 和 ， ， ，则 的坐
标是 .【答案】
【解析】
如图所示，过点A、B分别作垂线，垂足分别为C、D,
由题得A的坐标为
由于 ,所以点B的坐标为
所以 的坐标为 即 .
故答案为：
21．（2024·福建泉州·模拟预测）菱形 中， ， ，则 ．
【答案】-3
【解析】由题意，
在菱形 中， ， ，
可得 ，
，
∴ ，
解得： ．
故答案为：-3．22．已知 ， ，点 在线段 延长线上，且 ，则点P的坐标为 .
【答案】
【解析】设 是坐标原点，
由于 在线段 延长线上，且 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
所以 点的坐标是 .
故答案为：
23．已知梯形ABCD，其中AB DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标
为 ．
∥
【答案】(2，4)
【解析】∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB DC，
, ∥
∴设点D的坐标为(x，y)，
则 ， ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴点D的坐标为(2，4).
故答案为：(2，4).
24．已知点 ，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为 .
【答案】(3,3)
【解析】法一:由O，P，B三点共线，可设 ,
则 ,又 ，
由 共线，得 ，
解得 ，所以 ,
所以点P的坐标为(3,3),
故答案为：
法二:设点P(x,y)，则 ，因为 ，且 与 共线，
所以 ，即x=y.
又 ， ，且 共线，
所以 ，解得x=y=3，
所以点P的坐标为(3,3)，
故答案为：
题型六：向量共线的坐标表示
25．如果 三点共线，则 的值为 .
【答案】3
【解析】因为 三点共线，所以存在 使得 .
即 ，解得 .
故答案为：3
26．已知 ， ，且 ，则实数 ．
【答案】
【解析】因为 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，解得 .
故答案为：
27．若 ， ， 三点共线，则 .
【答案】
【解析】因为 ， ， ，所以 ，
因为 ， ， 三点共线，
所以 与 共线，所以 ，得 ，
故答案为：
28．在平面直角坐标系中， ，若A，B，C三点能构成三角形，则实数
m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】A，B，C三点能构成三角形，则 与 不共线，
，若 与 共线，则有 ，解得 ，
若A，B，C三点能构成三角形 ，即实数m的取值范围为 .
故答案为：
1．已知向量 ， 不共线，实数 ， 满足 ，则 （ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由 ， 不共线，实数 ， 满足 ，
得 ，解得 ， ，
所以 .
故选：A
2．设 是非零向量，则 是 成立的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】对于非零向量 ，由 可知向量 共线，但不一定是 ，所以充分性不成立；
由 ，可知向量 共线同向，则 ，所以必要性成立，
所以设 是非零向量，则 是 成立的必要不充分条件，
故选：C.
3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点 ， ， ， ，则与向量 同方
向的单位向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意 ，所以 ，
从而与向量 同方向的单位向量为 .
故选：A.
4．已知 为不共线向量， ，则（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
【答案】A
【解析】因为 ，所以 三点共线，
故选：A．
5．（2024·陕西铜川·模拟预测）在 中， ，若 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】如图，设 的中点为 ，则 ，所以
， ，则 ．
设 ，由于 ，则 ，则 ．
假如 的起点均为 ，运用加法的平行四边形法作图求和，对角线对应的终点 如图所示，所以
．
故选：A．
6．（2024·贵州六盘水·三模）已知点O为 的重心， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．6
【答案】A
【解析】根据向量加法三角形运算法知 （∗）；
F为 中点，则 （∗∗）；
点O为 的重心，则 ，
代入（∗∗）得到， ，
代入（∗）得到， ，
结合 ，可得 ，所以 .
故选：A.
7．（2024·青海海西·模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】B
【解析】若 ，有 ，解得 ．故选：B．
8．（2024·河北承德·二模）在 中， 为 中点，连接 ，设 为 中点，且 ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由于 ，所以 ，
故选：D
9．（多选题）（2024·高三·山东泰安·期末）如图，在四边形ABCD中，
为BC边上一点，且 为AE的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由 ，
由向量加法的三角形法则得
，
又F为AE的中点，则 ，故A正确；
，故B正确；
，故D正确；
，故C错误.
故选：ABD
10．（多选题）（2024·湖南长沙·一模）下列说法不正确的是（ ）A．若 ，则 与 的方向相同或者相反
B．若 ， 为非零向量，且 ，则 与 共线
C．若 ，则存在唯一的实数 使得
D．若 是两个单位向量，且 ，则
【答案】ACD
【解析】对A，若 为零向量时， 与 的方向不确定，故A错误；
对B， 分别表示 ， 方向上的单位向量，根据题意可知B正确；
对C，若 为零向量， 不为零向量时，不存在实数 使得 ，故C错误；
对D，由 ，
所以 ，故D错误.
故选：ACD
11．（多选题）（2024·山西晋中·模拟预测）在 中， 为边 上一点且满足 ，若 为边
上一点，且满足 ， ， 为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为1 B． 的最大值为
C． 的最大值为12 D． 的最小值为4
【答案】BD
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，
因为 、 、 三点共线，所以 ，
又 ， 为正实数，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故A错误，B正确；
，当且仅当 ，即 ， 时取等号，故C错误，D正确.
故选：BD
12．（2024·上海·三模）设平面向量 ， ，若 ， 不能组成平面上的一个基底，
则 ．
【答案】 /
【解析】由 ， 不能组成平面上的一个基底，得 ，而 ， ，
因此 ，所以 .
故答案为：
13．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在 中， ，P是线段AD上的动点（与端点不重合），
设 ，则 的最小值是 .
【答案】
【解析】因为在 中， ，
所以 ，
又因为 ，则 ，
因为 三点共线，则 ，结合题意知 ，
所以 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故答案为：
14．（2024·上海·模拟预测）如图，矩形 中， 为 中点， 与 交于点 ，若将 ，
作为平面向量的一个基，则向量 可表示为 （用 表示）.【答案】
【解析】由已知 ，
则 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
15．（2024·江西鹰潭·模拟预测） 的三内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，设向量
， ，若向量 与向量 共线，则角 ．
【答案】
【解析】因为向量 ， 共线，所以 ，
即 ，得 ，
在 中，由余弦定理得， ，
又 ，所以 ．
故答案为： .
16．（2024·上海松江·二模）已知正三角形 的边长为2，点 满足 ，且 ， ，
，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】取 的中点 ，则 ，
又 ，又因为 ，
故 三点共线，即点 在中线 上运动，
在正三角形 中， ，又 ， ，则 ，
故 .
故答案为：
1．（2008 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（广东卷））已知平面向量 ， ，且
，则 等于（ ）
A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）
【答案】D
【解析】因为 ， ，且 ，
所以m=-4， ，
所以 =（-4，-8），
故选：D
2．（2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（陕西卷））已知向量 ， ，若
，则实数m等于（ ）
A．－ B．
C．－ 或 D．0
【答案】C
【解析】由 知：1×2－m2＝0，即 或 .
故选：C.
3．（2015年山东省春季高考数学真题）如下图， 是线段 的中点，设向量 ， ，那么能够表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意， ．
故选：B
4．（2020年山东省春季高考数学真题）已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如图
所示），设 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连结 ，则 为 的中位线，
，
故选：A
5．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（大纲卷Ⅱ））在 中， 是 边上一点.若
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】 ，
， ，
故选：A．
6．（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（琼、宁卷））平面向量 ， 共线的充要条件是
（ ）
A． ， 方向相同 B． ， 两向量中至少有一个为零向量
C． ， D．存在不全为零的实数 ， ，
【答案】D
【解析】根据 ， 共线的定义得到向量 ， 共线的充要条件由 ， 共线的定义，
若 ， 均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数 ，使得 ；
若 ，则由两向量共线知，存在 ，使得 ，
即 ，符合题意.
故选:D.
7．（2004年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））已知向量 ， ，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
8．（2005年普通高等学校招生考试数学试题（广东卷））已知向量 ， ，且 ，则
．
【答案】
【解析】因为 ， ，且 ，
所以 ，解得 ；
故答案为：
9．（2020年江苏省高考数学试卷）在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，
使得AP=9，若 （m为常数），则CD的长度是 ．【答案】 或0
【解析】∵ 三点共线，
∴可设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
若 且 ，则 三点共线，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
, , ，
∴ ，
∵
设 ， ，则 ， .
∴根据余弦定理可得 ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ 的长度为 .
当 时， ， 重合，此时 的长度为 ，
当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去.
故答案为：0或 .
