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专题突破卷 07 导数与零点问题
1.讨论零点的个数
1．（ 2023春·广东江门·高二统考期末）已知函数 ，其中 ．
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)讨论函数 的零点个数．
【答案】(1)递减区间是 ，递增区间是 ；
(2)当 时，函数 有1个零点，当 时，函数 无零点.
【分析】（1）把 代入，利用导数求出函数的单调区间作答.
（2）按照 与 分别求出函数 的最小值，即可判断作答.
【详解】（1）函数 的定义域为R，求导得
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学科网（北京）股份有限公司，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的递减区间是 ，递增区间是 .
（2）当 时，由（1）知， ，因此函数 只有1个零点，
当 时，由 ，得 ，当 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，于是函数 无零点，
所以当 时，函数 有1个零点，当 时，函数 无零点.
【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性及函数最值，借助数形
结合思想分析解决问题.
2．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)讨论函数 的零点个数．
【答案】(1)极小值 ，无极大值.
(2)当 时，函数 没有零点；
当 或 时，函数 有1个零点；
当 时，函数 有2个零点.
【分析】（1）根据题意得出 ，然后分别令 以及 ，通过计算即可得出函数的
单调性，进而求出结果；
（2）可将 转化为 ，记 ，求出函数 的单调性以
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学科网（北京）股份有限公司及最值，最后根据函数 的单调性以及最值，然后数形结合可得出结果.
【详解】（1）当 时， ， ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
故函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间为 ；
当 时，函数取极小值 ，无极大值.
（2）令 ，因为 ，所以 ，
记 ，有 ，
令 ，则 ；令 ，则 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，从而 ，
因此当 时，直线 与 的图像没有交点；
当 或 时，直线 与 的图像有1个交点；
当 时，直线 与 的图像有2个交点.
综上：当 时，函数 没有零点；当 或 时，函数 有1个零点；当 时，函数
有2个零点.
3．已知函数 ，在点 处的切线方程是 .
(1)求 ， 的值；
(2)设函数 ，讨论函数 的零点个数.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；
（2） ，求函数 的零点个数即 与 图象的交点个数，对 求导，
求出 的单调性和极值，画出 的图象，结合图像即可得出答案.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又因为在点 处的切线斜率为 ，
又 ，求得： .
（2）由（1）知， ，
令 ，则 ，
求函数 的零点个数即 与 图象的交点个数，
， ，
令 ，解得： ；令 ，解得： 或 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ， 的图象如下：
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学科网（北京）股份有限公司当 或 ， 与 图象有1个交点，
当 或 ， 与 图象有2个交点，
当 ， 与 图象有3个交点.
4．（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 是 的极值点 B． 是 的最小值
C． 最多有2个零点 D． 最少有1个零点
【答案】AD
【分析】求 确定 在定义域上的单调性及极值可判断选项A；用零点存在性定理判断 在
上存在1个零点可判断选项D；分析 在 上可能的零点个数可判断选项C；根据
有可能为正值，可判断选项B.
【详解】 ，
，
而 ，
所以当 时， ，当 时 ，当 时 ，
故 在 时为减函数，在 时为减函数，在 时为增函数，
且 ，所以 是 的极值点，故A正确；
对于C：取 ，因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以当 时， ，
取 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以当 时， ，
又 在 为连续函数，
所以 在 上存在1个零点，故D正确；
对于C：当 时， ， ，
所以 ，
又 在 上为减函数，所以存在唯一 ，使得 ，
，
又 在 上为增函数，所以存在唯一 ，使得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以当 时，在 上有两个零点，则 在定义域上存在3个零点，故C错误；
对于B： ，当 时， ，
由上知存在 ，使得 ，故 不是 的最小值，故B错误；
故选：AD
5．已知函数
(1)讨论函数 的单调性；
(2)讨论函数 的零点个数．
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析.
【分析】（1）通过对函数求导，对 进行分类讨论，即可求出函数 的单调性；
（2）令 ，通过构造新函数 并求导，比较 和 的大小即可求出函数 的零点个数.
【详解】（1）由题意，
在 中，
当 时， ，则 在R上单调递增；
当 时，令 ，解得： ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增．
综上所述，
当 时， 在R上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
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学科网（北京）股份有限公司（2）在 中，
当 时， ，
当 时， 无解，
∴ 无零点．
当 时， ．
令 ，
在 中， ，
当 时， ；
当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ，
∵当 时， 时， ，
∴当 即 时， 无零点，
当 即 时， 有一个零点；
当 即 时， 有两个零点；
当 ，即 时， 有一个零点．
综上所述，
当 时， 无零点；
当 或者 时， 有一个零点；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 有两个零点．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的求导，构造函数和函数的单调性，考查学生分类讨论的思想和通过
导函数求函数零点，具有很强的综合性.
6．已知函数 ， .
(1)讨论 零点的个数；
(2)当 时，若存在 ，使得 ，求证： .
【答案】(1) 时， 有两个零点； 时， 没有零点； 时，
有一个零点；
(2)证明见详解.
【分析】（1）先求导函数 ，然后分类讨论 的值，判断函数的单调性及极值、最值，
判断极值、最值与零的大小，结合零点存在性定理判断零点个数即可；
（2）先证 ，再根据 转化为
，解不等式 得
，累加即可证明结论.
【详解】（1） ，所以 ，
若 ，由 ， ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，
若 ，则 ，此时函数无零点；
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学科网（北京）股份有限公司若 ， ，此时函数只有一个零点；
若 ， ， 时， ， ，
即 使得 ，即此时函数有两个零点；
若 ，由 或 ， ，
即 在 和 上单调递增，在 上单调递减，故 在 处取得极大值，
而 ，且 ，
即 使得 ，此时函数有且仅有一个零点；
若 ，此时 恒成立，即 在 上单调递增， ，
即 使得 ，此时函数有且仅有一个零点；
若 ，由 或 ， ，
即 在 和 上单调递增，在 上单调递减，故 在 处取得极大值
， ，
又 ，
即 使得 ，此时函数有且仅有一个零点；
综上所述： 时， 有两个零点； 时， 没有零点；
时， 有一个零点.
（2）当 时，由（1）任取 设 ，
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学科网（北京）股份有限公司先证 ，即证 ，
设 ，即 在定义域上单调递增，
故 ，则 成立，
由 得：
所以 ，
即 ，
解得 ，
故 ，证毕.
2.已知零点个数求参数
7．已知函数 ，若函数 的图象与曲线 有三个交点，则 的取值范围是______.
【答案】
【分析】将问题转为 有三个不同的交点.构造函数 ，利用导数求解单
调性，进而根据极值即可求解.
【详解】由于 的图象与曲线 有三个交点，所以 有三个不同的实数根，即
有三个不同的交点.
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学科网（北京）股份有限公司记 ,则 ，
令 ，则 或 ，此时 单调递增，
令 ，则 ，此时 单调递减，
故 和 分别为 的极大值点和极小值点，
要使 有三个不同的交点，则 ,
即 而 ，
故 ，
故答案为：
8．已知函数 （e为自然对数的底数，a∈R）有3个不同的零点，则实数a
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先分析 时二次函数零点的情况，而 时可将零点的问题转化为两个函数图象交点的问题，
利用导数求解即可.
【详解】当 时， ，且 ，∴二次函数开口向下且
在 内抛物线与 轴只有一个交点，
∴ 在 内只有一个零点，
当 时， ， 不是 的零点，
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学科网（北京）股份有限公司由已知得当 时， 有两个零点，
由 得 ，令 ，即 ，只有函数 与 有两个交点时，函数 有两个
零点，
∵ ，∴ 时， ， 时， ，
∴ 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，当 时， ，
∴ 时，函数 有两个零点，
综上所述，实数a的取值范围是 ，
故选： .
9．已知函数 若 恰有两个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将问题转化为 恰有两个实数根，求导确定函数的单调性，进而画出函数的图象，结合函
数图象即可确定 的取值.
【详解】 恰有两个零点，即 恰有两个实数根，由于 ，
所以 恰有两个实数根等价于 恰有两个实数根，
令 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，故当 此时 单调递增，
当 ，此时 单调递减，故当 时， 取极小值也是最小值，
且当 时， ，
当 时， ，且 单调递增，
在直角坐标系中画出 的大致图象如图：
要使 有两个交点，则 ，
故选：D
10．已知函数 .
(1)若 ，求 的最小值；
(2)若 的图象与直线 在区间 上有两个不同交点，求a的取值范围.
参考数据： .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导由函数的单调性即可求解最值，
（2）分类讨论 的单调性，构造函数 即可求解不等式.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ,则 ，令 ,则 ，所以 在 时单调递增，在 时单调递减，
故当 时， 取极小值也是最小值，故 ，
（2） ，
当 时， 恒成立，此时 在 单调递增，所以 的图象与直线 在区
间 上至多有1个交点，不符合题意，故舍去，
当 时，令 则 ，所以当 时 单调递减，当 时
单调递增，
要使 的图象与直线 在区间 上有两个不同的交点，则 在 上不单调，故需满足
，
故 在 单调递减，在 单调递增，
，
所以 即 ，化简得
记 ，则 ，
令 ，故当 单调递增，当 单调递减，所以
，
故对任意的 ， 恒成立，故 ，
综上可得：
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
11．已知函数 ， .
(1)求 的单调区间；
(2)若 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系对 进行分类讨论可求；
（2）结合（1）中函数的单调性，再由函数零点判定定理可求.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
导函数 ，
当 时， 恒成立， 在定义域上单调递增；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）得，当 时， 在定义域上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， ， 时， ，
若函数 有两个零点，则 ，解得 ，
故 的取值范围为
【点睛】关键点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为
不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的
单调性、极(最)值问题处理．
12．已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 对 恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：若 在区间 上存在唯一零点 ，则 ．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）讨论 、 ，结合导数的符号确定单调区间；
（2）由 ，讨论 、 研究导数符号判断 单调性，进而判断题设不等式是否恒成
立，即可得参数范围；
（3）根据（2）结论及零点存在性确定 时 在 上存在唯一零点，由零点性质及区间单调
性，应用分析法将问题转化为证 在 上恒成立，即可证结论.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由题设 ，
当 时，令 ，则 ，
若 ，则 ， 在 上递减；
若 ，则 ， 在 上递增；
综上， 时 的递减区间为 ，递增区间为 .
（2）由 ，
当 时， 在 上恒成立，故 在 上递增，则 ，满足要求；
当 时，由（1）知： 在 上递减，在 上递增，而 ，
所以 在 上递减，在 上递增，要使 对 恒成立，
所以，只需 ，
令 且 ，则 ，即 递减，
所以 ，故在 上 不存在 ；
综上， .
（3）由（2）知： 时，在 恒有 ，故不可能有零点；
时， 在 上递减，在 上递增，且 ，
所以 上 ，无零点，即 ，且 趋向于正无穷时 趋向正无穷，
所以，在 上存在唯一 ，使 ，
要证 ，只需 在 上恒成立即可，
令 ，若 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，即 在 上递增，故 ，
所以 ，即 在 上递增，故 ，
所以 在 上恒成立，得证；
故 .
【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定 在某一单调区间上存在唯一零点的a的范围后，应用分
析法证 恒成立即可.
3.证明零点个数
13．已知函数 .
(1)求 的单调区间：
(2)求证： 在区间 上有且仅有一个零点.
【答案】(1)递增区间是 ，递减区间是 ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出函数 的单调区间作答.
（2）利用（1）的结论，借助零点存在性定理推理作答.
【详解】（1）函数 的定义域为R，求导得 ，
由 ，得 或 ，由 ，得 ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 的递增区间是 ，递减区间是 .
（2）因为 ，则由（1）知，函数 在 上单调递增，
而 ，因此存在唯一实数 ，使得 ，
所以函数 在区间 上有且仅有一个零点.
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学科网（北京）股份有限公司14．已知函数 .
(1)若 ，求 在 处切线方程；
(2)求 的极大值与极小值；
(3)证明：存在实数 ，当 时，函数 有三个零点.
【答案】(1)
(2)见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解；
（2）求出函数导数，分类讨论得函数单调性，根据单调性求函数极值即可；
（3）根据（2）判断函数大致变化趋势，由函数零点个数即函数图象与x轴交点个数可证明.
【详解】（1）当 时， ， ，
所以 ，
又 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2） ，
当 时， ，解得 ，
故 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增，
故 时， 的极小值为 ，无极大值；
当 时，令 ，解得 ， ，
故当 或 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司故 的极大值为 ，极小值为 ；
当 时，令 ，解得 ， ，
故当 或 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 的极大值为 ，极小值为 ；
综上，当 时， 的极小值为 ，无极大值；当 时， 的极大值为 ，极
小值为 .
（3）当 时，由（2）知， 在 和 上单调递增，
在 上单调递减，且 时， 恒成立，
时， ，
又 的极大值为 ，极小值为 ，
所以存在实数 时，函数 有三个零点.
15．（ 2023春·广东广州·高二统考期末）已知函数 .
(1)若函数 与 的图象有一条斜率为1的公切线，求 的值；
(2)设函数 ，证明：当 时， 有且仅有两个零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）设公切线与 的切点分别为 ，由条件结合导数的几何意义列方程
求 即可；
（2）方法一：利用导数与单调性的关系判断函数 的单调性，证明 ， ，
，结合零点存在性定理证明结论；方法二，利用导数函数 的单调性，证明
，再判断当 时， ，当 时， ，结合零点存在性定理证明
结论；
【详解】（1）设公切线与 的切点分别为 ，
由题意得 得 所以 ，
所以公切线方程为 ， ，
又因为 ，所以 ，①
且 ，②
由①②解得 ， ；
（2）方法一： ，
所以 ，
因为 ，所以 .
令 ，可得 ，
当 时， ，函数 在 单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，所以 ，
取 ，则有 ，
记 ，
则有 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以当 时， ，
所以 在 有且仅有一个零点，
当 时 ，即 ，
又设 ， ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以当 时， ，
即 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
取 ，则有 ，
所以 在 有且仅有一个零点，
综上所述：当 时， 有且仅有两个零点.
方法二： ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为 ，所以 .
令 ，可得 ，
当 时， ，函数 在 单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
故在 和 上 各有一个零点，
所以当 时， 有且仅有两个零点.
【点睛】关键点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为
不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的
单调性、极(最)值问题处理．
16．已知函数 ，其中 .
(1)若 ，求函数 在 上的最值；
(2)当 时，证明： 在 上存在唯一零点.
【答案】(1)最小值为 ，最大值为
(2)证明见解析
【分析】（1）当 时， ，利用导数分析其在 上的单调性，进而求解即可；
（2）由题意可得 ， ，令 ，先利用导
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学科网（北京）股份有限公司数研究 在 上的单调性，再利用零点存在性定理研究 在 上存在一个零点，进而得到函
数 在 上的单调性，进而求证即可.
【详解】（1）当 时， ，
所以 ，
令 ，即 ；令 ，即 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
所以函数 在 上的最小值为 ，最大值为 .
（2）证明：因为 ， ，
所以 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以存在 ，使得 ，
即当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 上存在一个零点，在 上没有零点，
故 在 上存在唯一零点.
【点睛】关键点睛：本题第（2）问关键在于利用导数得到 在 上单调递增，进而得到存在
，使得 在 上单调递减，在 上单调递增，从而求证.
17．设函数 ，若曲线 在 处的切线方程为 ．
(1)求实数 的值．
(2)证明：函数 有两个零点．
(3)记 是函数 的导数， ， 为 的两个零点，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义代入 即可得 的值；
（2）根据导函数判断出函数单调性，由零点存在性定理即可证明结论；
（3）利用（1）（2）中的结论，结合 单调性并构造函数并求其单调性，即可实现不等式证明.
【详解】（1）由题意可得 ，
由切线方程可知其斜率为 ，
所以 ，解得 ．
（2）由 可得 ，所以 ；
函数 有两个零点即函数 有两个零点．
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学科网（北京）股份有限公司，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
又 ， ， ，
所以 ， ，
由零点存在定理可得 使得 ，
使得 ，
所以函数 有两个零点．
（3）由（1）（2）知 ，
可得 且 ．
要证明 ，即证明 ，
即证明 ．
令 ，则
，
因此 单调递减，则 ．因此 ，
即 ，又 ，所以 ；
即 ，又 ， ，且 在 上单调递增，
因此 ，即 ．命题得证．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：本题第（3）问证明的关键在于将不等式 转化成求证 ，然
后再利用构造函数利用函数单调性证明.
18．已知函数 ．
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 ，证明：方程 仅有1个实根．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出 的定义域和导数，判断导数在相应区间内的符号可得 的单调区间；
（2）方程 仅有1个实根可转化为方程 有且仅有1个实根，令
，求出 的单调性用零点存在性定理可证得 有唯一零点，从而命题得
证.
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
， ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，而 ，
所以当 时， ，即有 ， 单调递增；
当 时， ，即有 ， 单调递减，
综上，当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
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学科网（北京）股份有限公司（2） ，
要证方程 仅有1个实根，只需证方程
即 有且仅有1个实根，
设 ， ，
所以当 时 ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
又 ， 时 ，
， ，
所以当 时 无零点； 时， 有唯一零点，
故 在 上有且只有一个零点，
即方程 有且仅有1个实根，命题得证.
【点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确
定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通
过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想
研究；③构造辅助函数硏究.
4.存在零点求参数
19．若函数 有零点，则实数 的取值范围是________.
【答案】
【分析】利用导数分析 的图像，从而得到关于 的不等式，由此得解.
【详解】因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 在 处取得极小值 ，
因为 有零点，所以 ，
则 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
20．已知函数 存在零点a，函数 存在零点b，且 ，则实数m
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出函数 的零点 ，再把问题转化为方程 在 上有解，构造函数，利用
导数法研究单调性，求出值域即可求出实数m的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ，则函数 单调递增，
又 ，所以函数 的零点 ，
由 ，得 ，解得 ，
函数 存在零点b，即方程 在 上有解，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
因为 ，当 且无限趋向于 时， 无限趋向于负无穷，
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学科网（北京）股份有限公司则函数 在 上的值域为 ，
所以实数m的取值范围是 .
故选：D
21．若函数 有零点，则实数 的取值范围是________.
【答案】
【分析】将问题转化为 ，构造函数 ，利用导数研究 的图像性质，结合图像
即可得解.
【详解】由题易得函数 的定义域为
函数 有零点，等价于 有实数根，即 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ，当 时， ，当 时， ，
画出 与 的大致图像，如图，
结合图像，易知 ，即
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司22．（ 2023春·北京通州·高二统考期中）已知函数 ．
(1)求 的零点；
(2)设 ， ．
（ⅰ）若 在区间 上存在零点，求a的取值范围；
（ⅱ）当 时，若 在区间 上的最小值是0，求a的值．
【答案】(1)零点是0；
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）a的值为 ．
【分析】（1）由 即可求解零点；
（2）（ⅰ）对 求导，再对 分类讨论，判断函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解 的范围；
（ⅱ）对 分类讨论，求出 的最小值，从而可得 的值．
【详解】（1）因为 ，
令 ，即 ，
解得 ，
所以 的零点是0；
（2）（ⅰ）因为 ，所以 ，所以 ，
①当 时， ．所以 在区间 上单调递增．
所以 ．
所以 在区间 上不存在零点，不符合题意．
②当 时，令 ，即 ，得 ．
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学科网（北京）股份有限公司若 ，即 时， ．所以 ．
所以 在区间 上单调递增．
又 ，所以 在区间 上不存在零点，不符合题意．
若 ，即 时，令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
因为 ，所以存在 ，使得 ．
当 ， ．
所以存在 ，使得 ．
由零点存在性定理，存在 ，使得 ．
所以 在区间 上存在零点．
综上所述，a的取值范围是 ；
（ⅱ）当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
所以当 时， 取得极小值，也是最小值．
①当 ，即 时， 在区间 上单调递增．
所以 在区间 上最小值为 ．
所以 ．
所以 ．
②当 ，即 时， 在区间 上单调递减．
所以 在区间 上最小值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司所以 ．
所以 ，不符合题意．
③当 ，即 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
所以 在区间 上最小值为 ．
所以 ，即 ．
令 ，
所以 ．
所以 在区间 上单调递减．
因为 ，
所以 在区间 上无零点．
所以当 时，方程 无解，不符合题意．
综上所述，a的值为 ．
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且 ，还必须结
合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同
的值，就有几个不同的零点．
23．已知函数 ．
(1)若 ，证明： 恒成立．
(2)若 存在零点，求a的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【分析】（1）当 时，求得 ，得出函数 的单调区间，结合 ，即可求解；
（2）解法1：令 ，可得 ，令函数 ，求得
，令 ，求得 在 上单调递增，得到 的单调性，进而
求得实数a的取值范围；
解法2：求得 ，转化为关于x的方程 有唯一正根，设 的唯
一正根为m，求得 的单调性，得到 ，设 ，结合单调
性，即可求解.
【详解】（1）证明：当 时， ，可得 ，
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，可得 ，
所以当 时， 恒成立．
（2）解法1：令 ，可得 ，
令函数 ，可得 ．
令函数 ，则 ，所以 在 上单调递增，
又因为 ，所以当 时， ；当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ．
当 时， ；当 时， ，
因为 存在零点，所以 ，故实数a的取值范围为 ．
解法2：由函数 ，可得 ，
由 ，可得 ，其判别式 ，
由一元二次方程根与系数的关系知，关于x的方程 有唯一正根，
设 的唯一正根为m，则有 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
当 时， ；当 时， ．
因为 存在零点，所以 ，
设 ，则 ，
则 ，所以 在 上是增函数，
所以 ，即 ，由 ，可得 ，
由 ，得 ，故a的取值范围为 ．
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值
范围；
（2）分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
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学科网（北京）股份有限公司（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与 和 相关的常见同构模型
① ，构造函数 （或 ，构造函数
）；
② ，构造函数 （或 ，构造函数 ）；
③ ，构造函数 （或 ，
构造函数 ）.
5.与三角函数有关的零点
24．函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【分析】求出 为奇函数，并得到 ，考虑 时无零点， 时，求导，得到
函数极值和最值情况，结合零点存在性定理得到零点，结合函数的对称性求出零点个数.
【详解】 定义域为R， ，
又 ，故 为奇函数，
当 时，由于 恒成立，故 恒成立，无零点，故 时，也不存在零点，
当 时， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故 在 处取得极大值，也时最大值， ，显然 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
故由零点存在性定理知，在 上存在一零点，
结合函数为奇函数，在 上存在一零点，
综上， 一共有3个零点.
故选：B
25．已知函数 .
(1)求函数 在区间 上的最小值；
(2)判断函数 的零点个数，并证明.
【答案】(1)
(2) 有 个零点，证明见解析
【分析】（1）对 求导，令 ， ，得出 在 的单调性，
结合零点存在性定理可得 在 上单调递增，在 上单调递减，再比较 的大小，
即可得出答案.
（2）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论 ， 和 时， 的正负，
即可得出证明.
【详解】（1） 的定义域为 ，故 ，
令 ， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，且 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司所以由零点存在定理可知，在区间 存在唯一的 ，使
又当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又因为 ， ，
所以函数 在区间 上的最小值为 .
（2） 有 个零点，证明如下：
因为 ， ，
若 ， ，
所以 在区间 上单调递增，又 ， ，
结合零点存在定理可知， 在区间 有且仅有一个零点，
若 ，则 ，则 ，
若 ，因为 ，所以 ，
综上，函数 在 有且仅有一个零点.
26．已知函数 ．
(1)若 ，求函数 在点 处的切线方程；
(2)若函数 在区间 内有两个不同的零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）当 时，求得 ，得到切线的斜率 ，进而求得 在点
处的切线方程；
（2）根据题意转化为方程 有两个不同的解，得到 ，令 ，利
用导数得出函数的单调性与极大值，结合 ， ，得出不等式 ，即可求解．
【详解】（1）解：当 时，函数 ，可得 ，
则切线的斜率 ，
又因为 ，
所以函数 在点 处的切线方程为： ，即 ．
（2）解：由题意知，函数 在区间 内有两个不同的零点，
即 有两个不同的解，即 ，
令 ，即 与函数 的图像有两个不同的交点．
，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以函数 的极大值为∴ ，
又因为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司故 与函数 有两个不同的交点，
则满足 ，即 ，即实数 的取值范围 ．
27．已知 .
(1)求函数 的值域；
(2)当 时，
①讨论函数 的零点个数；
②若函数 有两个零点 ， ，证明 .
【答案】(1)
(2)①答案见解析；②证明见解析
【分析】（1）设 ， 可得函数 的值域；
（2）① ，分 、 、 、 讨论函数 零点；②由①可知 ，
满足方程 可得 ，再根据 可得答案.
【详解】（1） ，
设 ， ，对称轴为 ，
则 ，
则函数 的值域为 ，即函数 的值域为 ；
（2）①， 即 ，
当 时， ， ，题设即 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 或 ，即 或 时，方程 无解；
当 ，即 时，方程 仅有一解 ，此时 ；
当 ，即 时，方程 有两解，此时函数 有两个零点；
综上所述，当 时，函数 没有零点；
当 时，函数 有一个零点；
当 时，函数 有两个零点；
②，由①可知 ， 满足方程 ，
则 ，
则 ，
由于 ，则 ，
则 ，则 ，
则 ，
由于 ， ，则 ，即 ，即证.
【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从 中分离
参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通
过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函
数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的
各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
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学科网（北京）股份有限公司28．已知函数 .
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明：对任意的 ， ；
(3)讨论函数 在 上零点的个数.
【答案】(1) 的增区间是 ，减区间是
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）代入 ，求出导函数，根据导函数，即可得出函数的单调区间；
（2）代入 ，求出导函数 .构造函数二次求导，即可推得 在
单调递增，根据 ，即可得出 的单调性，进而得出证明；
（3）易知，当 时， ，所以 没有零点；当 时，求出导函数，构造函数，二次求导
可得出 的单调性.进而结合特殊点的导数值，结合零点存在定理，即可得出 的单调性.然后根据
端点处的函数值，即可得出函数零点的个数.
【详解】（1）当 时， ， .
当 ， ，所以 在 上单调递增；
当 ， ，所以 在 上单调递减.
所以 的增区间是 ，减区间是 .
（2）当 时， ，
则 .
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 .
由（1）知 时 ，所以 ，
所以， ，即 在 单调递增，所以 ，
所以 在 单调递增，所以 .
（3）
当 时， ， ，
所以 .
由（2）知，此时 ，所以 没有零点.
若 时， 的导函数 .
令 ，则 .
令 ，则 .
①当 时， 在 上恒成立，
所以 ，即 在 上单调递增.
又 ， ，
所以 在 上存在唯一零点，记作 .
则当 时， ，所以 在 上单调递减；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，所以 在 上单调递增.
②当 时， ，所以 在 上恒成立，所以 在
上单调递增.
综合①②，可得当 时， 单调递减；当 时， 单调递增.
又因为 ，所以，当 时， ， ；
又 ，所以存在唯一实数 ，使得 .
所以当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，此时 单调递增.
又因为 ，所以 时， ，所以 在 上没有零点.
由（1）知 时， ，则 .
又 ， 在 上单调递增，所以 在 上存在唯一零点.
所以， 在 上存在唯一零点.
综上，当 时， 在 上无零点；
当 时， 在 上存在唯一零点.
【点睛】关键点睛：构造函数，结合零点存在定理得出导函数的单调性，进而得出函数的单调性.
29．已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)若函数 在 上只有一个零点，求实数a的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）变形所证不等式，构造函数，利用导数探讨单调性推理作答.
（2）由函数零点的意义，分离参数并构造函数，再利用导数求出函数的值域作答.
【详解】（1）函数 ，不等式 ，
令函数 ，求导得 ，
当 时，函数 单调递减，即有函数 单调递增， ，
当 时， ，则有 ，因此 ， 成立，
于是函数 在 上单调递增，则 ，即 ，
所以当 时，不等式 成立.
（2）当 时，由 得 ，令 ， ，
求导得 ，令 ， ，
求导得 ，即函数 在 上单调递减， ，
于是 ，函数 在 上单调递减， ，
而当 时， ，函数 在 上单调递减，其值域为 ，
因此函数 在 上的值域为 ，则函数 在 上只有一个零点，当且仅当 ，即
，
所以a的取值范围为 .
【点睛】关键点睛：涉及函数零点求参数问题，利用函数零点的意义等价变形等式，构造函数，利用导数
探求新函数零点问题解决.
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学科网（北京）股份有限公司30．已知函数 .
(1)求证：当 时， ；
(2)求函数 在 上的零点个数.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明出当 时， ，将所证不等式变形为 ，先证
，其中 ，构造函数 ，其中 ，利用导数分析函数
在 上的单调性，证得 ，即可证得结论成立；
（2）求导得到 ，因无法轻易求得 的解，故根据导函数的性质将 的取值范围
分为三段分别讨论，即可求解零点个数.
【详解】（1）证明：构造函数 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，则当 时， ，即 ，
当 时，要证 ，即证 ，
即证 ，先证 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递减，
故当 时， ，即 ，则 ，
故当 时， .
（2）解：由已知得 ， ，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司①当 时，因为 ，
所以 在 上单调递减，所以 ．
所以 在 上无零点；
②当 时，因为 单调递增，且 ， ，
所以存在 ，使 ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ．
所以 ．设 ， ，则 ．
令 ，得 ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以 ．
所以 ．所以 ．
所以 ．所以 在 上存在一个零点．
所以 在 有 个零点；
③当 时， ，
所以 在 上单调递增．
因为 ，所以 在 上无零点．
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学科网（北京）股份有限公司综上所述， 在 上的零点个数为 ．
6.隐零点问题
31．已知函数 ，其中 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，设 ，
（ⅰ）证明：函数 在区间 内有唯一的一个零点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的零点为 ，求证： ．
【答案】(1)当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
(2)(i)见详解；（ii）见详解.
【分析】（1）求导后，求出 的两根，再讨论两根的大小可得 的单调性；
（2）（ⅰ）根据 的单调性及零点存在定理可证结论成立；
（ⅱ）转化所证的不等式，再利用（i）的结论即可.
(1)
，
令 ，得 或 ，
当 时，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，所以 在 上单调递增；
当 时，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
综上所述：当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
(2)
（ⅰ）当 时， ， 与 的单调性相同，
由（1）知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
令 ，则
令 则 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
所以函数 在区间 内有唯一的一个零点；
（ⅱ）由（ⅰ） ， ， ，
即 ，
因为当 时， ，所以
又 ，所以 .
【点睛】关键点睛：分析结论表达式与所及函数的关系，可得解题思路.
32．已知函数 ，其导函数为 .
(1)若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围：
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学科网（北京）股份有限公司(2)当 时，证明： 在区间 上有且只有两个零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据分离参数，转化成最值问题.
（2）构造函数，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理即可求解.
【详解】（1） ，
由题意得： 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
由于函数 在 上单调递减，所以 ， ，
所以
（2）当 时， .
设 ，则
令 ，
则 ，所以 在 上单调递减，
又 ， ，
故存在 ，使得 ，
当 时， ，即 ， 在 上单调递增；
当 时， ，即 ， 在 上单调递减；
又 ， ， ，
所以 在 和 上各有一个零点，
从而 在 上有且仅有两个零点.
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学科网（北京）股份有限公司33．已知函数 为 的导函数．
(1)判断函数 在区间 上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理
由；
(2)求证：函数 在区间 上只有两个零点．
【答案】(1)存在；极小值
(2)证明见解析
【分析】（1）转化为判断导函数是否存在变号零点，对 求导后，判断 的单调性，结合零点存在
性定理可得结果；
（2）当 时，利用单调性得 恒成立，此时 无零点；当 时， ；
当 时，利用导数得到单调性，结合零点存在性定理可得 在 上只有一个零点.由此可证结论
正确.
【详解】（1）由 ，可得 ，
则 ，
令 ，其中 ，可得 ，
所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增，
因为 ，所以存在 ，使得 ，
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，
所以当 时，函数 取得极小值．
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学科网（北京）股份有限公司（2）由 ，当 时， ，所以 ，
所以 在 上为增函数，所以 ，
此时函数 在 上没有零点；
当 时，可得 ，所以 是函数 的一个零点；
当 时，由 ，
令 ，
可得 ，令
则 ，
当 ，可得 ；
当 ，可得 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ，所以存在 使得 ，
当 时， ；当 时， ，
又因为 ，
所以存在 使得 ，即 是函数 的一个零点．
综上可得，函数 在 上有且仅有两个零点．
【点睛】关键点点睛：第二问中，分段讨论并利用导数和零点存在性定理求解是解题关键.
34．设函数
(1)当 时，求证：
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学科网（北京）股份有限公司(2)若 有唯一零点，求正实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）代入 求导得 ，令 求导确定 单调递增，又 ，
确定 单调性，求出 最小值即可证明；
（2）先求导得 ，再构造函数求导得 ，当 时，由 单调递增，
确定 单调性，求出 最小值即可；当 时，说明除了 之外还存在其他零点即可.
(1)
当 时， ， ，令 ， ，
故 单调递增，又 ，故当 时， ， 单调递减；当 时，
， 单调递增，故 ；
(2)
由题意知： ， ，令 ， ，
当 时，易得 ，故 单调递增，即 单调递增，又 ，
故当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，故
，有唯一零点；
当 时，易知存在 使 ，即 ，则当 时， ，
单调递减，即 单调递减；当 时， ， 单调递增，即 单调递增，又
，
当 时， ， 单调递减，又 ，故 时， ，又 ，
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学科网（北京）股份有限公司故 在 上至少存在1个零点，在 上至少存在2个零点，不合题意；
综上， .
35．已知函数 ，若 在 存在零点，则实数 值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得 ，令 ， ，则函数 在
上存在零点等价于 与 的图像有交点，再根据 的单调性求解即可.
【详解】根据题意，令 ，所以 ，
令 ， ，
则函数 在 上存在零点等价于 与 的图像有交点．
，
令 ， ，
则 ，故 在 上单调递增，
因为 ， ，所以存在唯一的 ，使得 ，
即 ，即 ， ，
所以当 时， ， ， 单调递减，
当 时， ， ， 单调递增，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 时， ，故 ， ，所以 .
故选：D．
【点睛】利用导数研究函数零点的核心是根据题意构造合适的函数，通过研究函数的单调性，进而确定函
数大致图形，数形结合，有助于简化题目.
36．已知函数 在区间 内有唯一极值点 .
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明： 在区间 内有唯一零点 ，且 .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，再讨论 时，函数单增不合题意， 时，由导数的正负确定函数单调性知符合
题意；
（2）先由导数确定函数 在区间 上的单调性，再由零点存在定理即可确定在区间 内有唯一
零点；表示出 ，构造函数求导，求得 ，又由 ，结合 在 上的单调
性即可求解.
【详解】（1） ，当 时， ， ，
①当 时， ， 在 上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；
②当 时，显然 在 上递增，又因为 ， ，
所以 在 上有唯一零点 ，所以 ， ； ， ，
所以 在 上有唯一极值点，符合题意.综上， .
（2）由（1）知 ，所以 时， ，所以 ， ， 单调递
减；
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学科网（北京）股份有限公司， ， 单调递增，所以 时， ，则 ，又因为
，
所以 在 上有唯一零点 ，即 在 上有唯一零点 .
因为 ，由（1）知 ，所以 ，
则 ，构造 ，所以
，
记 ，则 ，显然 在 上单调递增，所以
，
所以 在 上单调递增，所以 ，所以 ，所以 在 上单调递增，所以
，
所以 ，由前面讨论可知： ， ，且 在 单调递增，所以
.
1．设函数 ，则“ ”是“ 有 个零点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出函数 的导数，探讨函数的极值情况，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】函数 定义域为R，求导得 ，
当 ，即 时， 恒成立，函数 在R上单调递增，最多1个零点，
当 ，即 时，方程 有两个不等实根 ，
当 或 时， ，当 时， ，
因此函数 在 取得极大值 ，在 取得极小值 ，
当 且 时，函数 有3个零点，
由上，当 时，不能确保函数 有3个零点，
反之函数 有3个零点，由三次函数性质知， 必有两个极值点， ，即 ，
所以“ ”是“ 有 个零点”的必要而不充分条件.
故选：B
2．已知 ，若关于x的方程 存在正零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化简 ，令 ，转化为 有解，设
，利用导数求得函数 的单调性，结合 ，得到 存在唯一零点 ，转化为
在 有解，令 ，利用导数求得函数的单调性，得到 ，
即可求解.
【详解】由题意得， ，
令 ，问题转化为 有解，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
又由 ，所以 存在唯一零点 ，即 在 有解，
即 ，令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 .
故选：B.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
3．已知函数 .
①若 ，不等式 的解集为______；
②若函数 恰有两个零点，则实数 的取值范围为______.
【答案】
【分析】（空1） 时，借助导数工具判断 ，结合三次函数的零点情况，分段求解不等式；
（空2）结合上一空 进行零点个数的判断
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 时， ，则 ，
令 ，即 ，解得 ，
令 ， ，
即 在 上单调递减，于是 ，
即 ，即 无解，
综上可知， 的解集为 ；
，根据上一空的分析可知， ， 取得等号，
故 时， 无解， ， ， 或 ，
在 时有 个根，即 这个根需排除在外，则 ，于是 ；
当 时， 有唯一解 ，于是 在 时有 个根，
即 这个根需恰好被包含在内，故 ，即 .
综上所述， .
故答案为： ；
4．给定方程： ，则下列命题中：
①该方程没有小于0的实数解；
②该方程有无数个实数解；
③该方程在 内有且只有一个实数解；
④若 是该方程的实数解，则 .
正确的命题是________．
【答案】②③④
【分析】根据指数函数的图象与正弦函数的周期性、有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；令
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学科网（北京）股份有限公司，求导，通过导数分析 在 和 的单调性，进而确定 在
和 内的零点判断①③④的正误．
【详解】对于②：原方程等价于 ，
当 时， ，
根据正弦函数的周期性得：函数 与 的图象在 上有无穷多个交点，因此方程
有无数个实数解，故②正确；
令 ，则
当 时，
则 当 时恒成立
∴ 在 上单调递减，则
∴ 在 内无零点
当 时， 在 上单调递增
，
在 内存在唯一得零点
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增
则
∴ 在 内存在唯一零点，在 内无零点
①错误；③正确；④正确；
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：②③④．
5．已知函数 ，e是自然对数的底数，若 恰为 的极值点.
(1)求实数a的值；
(2)求 在区间 上零点的个数.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）求出函数的导数，令起等于0，即可求得a的值，结合极值点定义进行验证即可；
（2）对于 分段讨论，判断 的单调性，结合函数值情况，即可判断其零点个数.
【详解】（1）由题意得 ，
因为 为 的极值点，故 ，
此时 ，则 时， ，故 ，
则 在 上单调递增；
由 ，
令 ，
当 时， ，则 ，
则 在 上单调递减，故 ，即 ，
故 在 上单调递减，
则 为 的极大值点，符合题意，
故 .
（2）由（1）知 ， ，
时， ， 在 上单调递增，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司故 在 上不存在零点；
当 时， ，故 在 上单调递减，则 ，
故 在 上不存在零点；
当 时， ，即 为 的零点，
综合上述， 在区间 上零点的个数为1.
【点睛】方法点睛：（1）根据极值点求参数时，利用导数等于0求得参数值之后，要注意验证；（2）判
断函数零点个数，要注意对区间分段讨论，结合函数的单调性进行判断.
6．已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)设函数 ，求证:当 时， 恰有两个零点.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求得 的定义域和导函数，然后对 进行分类讨论，由此求得 的单调区间.
（2）利用多次求导的方法，利用导数研究 的单调性，结合零点存在性定理证得结论成立.
【详解】（1） 的定义域为 ，
，
当 时， ， 在 上单调递增;
当 时， ， 在 上单调递增;
当 时，令 ，得 ，此时 单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，得 ，此时 单调递减;当 时， ，
在 上单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递增;
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减;
当 时， 在 上单调递减.
（2）当 时， ，
令 ，则 ，
①当 时， ，所以 在 上单调递减，
又因为 ，所以 在 上有唯一的零点 .
当 时， 单调递增;
当 时， 单调递减，
所以 在 上存在唯一的极大值点 ，且 ，
所以 ，
又因为
所以 在 上恰有一个零点.
又因为 ，
所以 在 上也恰有一个零点.
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 上有两个零点.
②当 时，因为 ，
所以 ，设 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
所以当 时， 恒成立，所以 在 上没有零点.
③当 时， ，
设 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ,
所以当 时， 恒成立，
所以 在 上没有零点.
综上， 恰有两个零点.
【点睛】利用导数研究函数的单调性，若导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到
不重不漏.在利用导数研究函数的过程中，若一次求导无法求得函数的单调区间，则可考虑利用多次求导的
方法来进行研究.
7．已知函数 在 上的最小值为 ．
(1)求a的值；
(2)若函数 有3个零点，求实数b的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）求导，再对 分四种讨论，求出函数的单调性即得解；
（2）由（1） ，可得 ，构造函数 ，利
用导数求出函数的单调区间和极值，结合函数图象可得答案.
【详解】（1）由 , ,
当 时, 在 上恒大于等于0,所以 在 上单调递增,
,不合题意；
当 时,则 时, , 单调递减； 时, , 单调递增,所以
, ,
所以 ,不满足 ；
当 时,在 上, 且不恒为0,所以 在 上单调递减,
,适合题意；
当 时,在 上, ,所以 在 上单调递减,
,所以 ,不满足 ；
综上, ．
（2）由（1） ,所以 ,
令 ,则 ,
所以 ,且当 时, ；当 时, ；当 时, ,
所以 极小值为 ,
极大值为 ,
如图：
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学科网（北京）股份有限公司当 时,函数 有3个零点．
8．已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 在 上零点的个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，求导即可得到 ，从而得到切线方程；
（2）根据题意，构造函数 ，求导得到其值域，将函数零点问题转化为函数
图像交点问题，即可得到结果.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
（2）令 ，得 ．
设函数 ，
则 ．
当 时， ；当 时， ．
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学科网（北京）股份有限公司所以 ．
，
， ．
当 时，方程 无解，则 在 上零点的个数为0；
当 或 时，方程 只有一解，则 在 上零点的个数为1；
当 时，方程 有两解，则 在 上零点的个数为2．
9．设函数 ，曲线 在点 处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)求函数 的单调区间；
(3)令函数 ，是否存在实数k使得 没有零点？若存在，请求出实数k的范围；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
(2)函数 的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ， ；
(3)
【分析】（1）利用导数在 的值为0可得答案；
（2）分别令 ， 可得答案；
（3）利用单调性求出函数 的极值，画出大致图象，转化为函数 与 的图象没有交点可得
答案．
【详解】（1） ，
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学科网（北京）股份有限公司因为曲线 在点 处取得极值，
所以 ，
解得 ；
（2）由（1） ，
，
当 ，
当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递减，
所以函数 的单调递增区间为 ， ；
函数 的单调递减区间为 ， ；
（3）存在，理由如下，
由（2）函数 的单调递增区间为 ， ；函数 的单调递减区间为 ， ；
所以 ， ，
，当 时， ，当 时， ，可得 的大致
图象如下，
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学科网（北京）股份有限公司若函数 没有零点，则函数 与 的图象没有交点，
所以 .
【点睛】关键点点睛：函数 没有零点，转化为函数 与 的图象没有交点问题，
数形结合可得答案.
10．已知函数 .
（1）讨论 在 上的单调性；
（2）当 时，求 在 上的零点个数.
【答案】（1）当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在
上单调递增（2）有1个零点
【分析】（1）求得 的导函数 ，对 分成 和 两种情况，分类讨论 的单调性.
（2）当 时，利用 的二阶导数判断出一阶导数 的单调性，结合零点存在性定理求得
的零点，由此判断出 的单调区间，再结合零点存在性定理，判断出 在区间上的零点个数.
【详解】（1）因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司①当 ，即 时， ，
所以 在 上单调递增.
②当 ，即 时，令 ，得 .
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上所述，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上
单调递增.
（2）当 时， ，则 .
设 ，则 .
当 时， ，所以 在 上单调递增.
因为 ， ，所以存在 ，使得 ，
且在 上 ， 单调递减，在 上 ， 单调递增.
所以 为 在 上的最小值.
又因为 ， ，
所以 在 上有1个零点.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的零点，考查零点存在性定
理，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
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学科网（北京）股份有限公司11．已知函数 ， ， 为 的导数，证明：
（1） 在区间 上有唯一零点；
（2） 有且仅有两个零点．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】(1)先求得 ，要判断导数存在唯一零点，得先对导数求导，得到 ，再由
零点存在定理进行证明即可
（2）由（1）可知 存在 ，使得 ，即 ， 要求证 有且仅
有两个零点，得先验证存在两点使得 ，可取 和 验证，再证明 ，由
于 无法结合 进行代换，但 ，通过 ，
可将 进行代换，进一步可证明 ，从而得到 ，即可求证
【详解】解：（1） ，
故 在 上单调递减．
又 ，
故 在 上有唯一零点．
（2）设 在 上的零点为 ，由第（1）问知 ，
且 在 上单调递增，在 上单调递减．
，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，故
故
即
故 在 有且只有一个零点，在 有且只有一个零点
故 有且仅有两个零点
【点睛】本题考查函数的导函数零点个数的判断问题，函数零点个数的求证问题，其中利用零点存在性定
理求证函数存在两零点是难点，（2）问和（1）问联系紧密，利用导数为零关系式进行代换是解题核心，
利用配方法代换 过程并不容易想到，解决此类题型要多思考，多观察，注意关联性．
12．已知设函数 .
（1）若 ，求 极值；
（2）证明：当 ， 时，函数 在 上存在零点.
【答案】（1） 取得极大值0，无极小值（2）见证明
【分析】（1）通过求导得到 ，求出 的根，列表求出 的单调区间和极值.
（2）对 进行分类，当 时，通过对 求导，得到 在 单调递减，找到其零点，进而
得到 的单调性，找到 ， ，可证 在 上存在零点.
当 时，根据（1）得到的结论，对 进行放缩，得到 ，再由 ，可证 在
上存在零点.
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，由 得 ．
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学科网（北京）股份有限公司当 变化时， ， 的变化情况如下表：
极大值
故当 时， 取得极大值 ，无极小值．
（2） ， ．
当 时，因为 ，所以 ，
在 单调递减．
因为 ， ，
所以有且仅有一个 ，使 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 单调递减．
所以 ，而 ，
所以 在 存在零点．
当 时，由（1）得 ，
于是 ，所以 ．
所以 ．
于是 ．
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 在 存在零点．
综上，当 ， 时，函数 在 上存在零点．
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学科网（北京）股份有限公司
