文档内容
第 04 讲 解题技巧专题：利用勾股定理求最短路径问题
(4 类热点题型讲练)
目录
【模型一 圆柱中的最短路径模型】........................................................................................................................1
【模型二 长方体中的最短路径模型】....................................................................................................................8
【模型三 阶梯中的最短路径模型】......................................................................................................................19
【模型四 将军饮马与最短路径模型】..................................................................................................................24
【模型一 圆柱中的最短路径模型】
【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：
计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定
理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周
长的一半进行计算.
注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
（2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数.
【最值原理】两点之间线段最短.
例题：（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图①，圆柱的底面直径为 ，高 ，蚂蚁在圆柱侧面爬
行，探究蚂蚁从点 爬到点 的最短路径长多少厘米：(1)图②是将圆柱侧面沿 裁剪后展开形成的四边形 ，点 在线段 上，求 的长（ 取
3）；
(2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度．
【变式训练】
1．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，地上有一圆柱，在圆柱下底面的A点处有一蚂蚁，它想沿圆柱
表面爬行，吃到上底面与A点相对的B点处的食物，当圆柱的高 厘米，底面半径 厘米时，蚂
蚁沿侧面爬行的最短路程是 ．
2．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，实心圆柱的底面周长为 ，高 ， 的中点B处有一块面
包．一只蚂蚁沿圆柱侧面从A处到B处觅食，要爬行的最短路程为 ．
3．（23-24八年级下·辽宁营口·期中）如图，圆柱的底面直径为 ，高为 ，一只蚂蚁在 处，
沿圆柱的侧面爬到 处，现将圆柱侧面沿 “剪开”，则在侧面展开图上蚂蚁爬行的最短路程是4．（2024八年级下·安徽·专题练习）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高 ，底面圆的直径为 ，在外
侧距下底 的点 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口 的 处有一苍蝇，试求
急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．（结果保留根号）
5．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常
常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，
难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？
(1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行
路程是多少厘米？
(2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行
10圈到达树顶，则树干高多少厘米？
6．（22-23八年级下·全国·单元测试）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三
尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱
体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点 处缠绕而上．(1)若绕五周后其末端恰好到达点 处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
(2)若绕 周后其末端恰好到达点 处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
【模型二 长方体中的最短路径模型】
【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：
计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理
进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论.
注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同.
【最值原理】两点之间线段最短.
例题：（22-23八年级下·湖南永州·阶段练习）如图是长 、宽 、高 的长方体
容器．
(1)求底面矩形 的对角线的长；(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？
(3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？
【变式训练】
1．（23-24八年级下·广西防城港·期末）深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形
象．如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形 ，现已知 ， ，
蜘蛛侠欲从点 开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点 处，则蜘蛛侠行走的最短距离
为 ．
2．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，有一长、宽各2m、高3m且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从
顶点A爬到与A点相对的顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路径为 m．
3．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，一只蚂蚁从长 、宽 、高是 的长方体纸箱的 点
沿纸箱表面爬到 点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ．
4．（2024八年级·全国·竞赛）如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，
现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点 开始经过四个侧面绕到上底
面的顶点 ，如果缠绕的圈数是 ，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米．5．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图所示，一个实心长方体盒子，长 ，宽 ，高
，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 处，问怎样走路线最短？最短路线长
为多少？（点拨：分三种情况讨论解答）
6．（23-24九年级下·山东聊城·阶段练习）如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 与点
之间的距离为 ，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点 爬到点 去吃一滴蜜糖．
(1)求点 到点 的距离；
(2)蚂蚁从点 爬到点 的最短路程是多少？
7．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）如图 ，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，
，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短路程是 ；
（2）如图 ，小明家住 楼，一天他与爸爸去买了一根长 的钢管，如果电梯的长、宽、高分别是 ，
， ，在不损坏钢管的前提下请你帮小明计算一下这根钢管能否放进电梯内？8．（23-24八年级上·四川达州·期中）如图是一个长 、宽 、高 的仓库，在其内壁的点A（长的四
等分点）处有一只壁虎、点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少 ？
【模型三 阶梯中的最短路径模型】
【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下：
注意：展开—定点—连线—勾股定理
【最值原理】两点之间线段最短.
例题：（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为 、 、
，则它爬行的最短路程为 ．【变式训练】
1．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）将矩形纸片 折叠，如图所示，已知 ，
， ，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是
．
2．（23-24八年级下·河北·期中）如图，这是一个三级台阶，它的每一级的长．宽、高分别为
，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想爬到点B处去吃可口的食物，
则蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最短路径是 ，确定最短路径的依据是 ．
3．（2024·黑龙江大庆·一模）如图，教室的墙面 与地面 垂直，点 在墙面上，若
，点 到 的距离是 ，有一只蚂蚁要从点 爬行到点 ，则它的最短行程是
m．
4．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在一张长方形纸板 上放着一根长方体木块．已知
米， 米．该木块的长与 平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点 爬过木块
到达点 需要走的最短路程是 米．5．（23-24八年级下·江西新余·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面
周长为 ，在容器内壁离容器底部 的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器
上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒器爬行的最短路径的长
6．（22-23八年级上·海南海口·期末）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为 ，宽为 的长方
形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽 ，木块从正面看是一个边
长为 的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块
的侧面展开图，并用实线连接 ；
(2)线段 的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________；
(3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
【模型四 将军饮马与最短路径模型】
【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下：解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决.
注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定
理求解.
【最值原理】两点之间线段最短.
例题：（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）如图， 、 两个村在河流 的同侧，分别到河的距离为
千米， 千米，且 千米，现在要在河边建一自来水厂，向 、 俩村供水，铺设水
管的费用为每千米 万，请你在河流 上选择水厂的位置 ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是
多少？
【变式训练】
1．（23-24八年级下·河南·阶段练习）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长 ，高
，水深 ，在水面上紧贴内壁的 处有一块面包屑， 在水面线 上，且
，一只蚂蚁想从鱼缸外的 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的 处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为
．
2．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线
的距离分别为 ， ， ．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，
B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为 ．3．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，圆柱形纸杯高为5cm，底面周长为16cm，在杯内壁底的点B
处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处．画出圆柱形纸杯侧面展
开图（画一半侧面展开图即可），并求出蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离是多少？（杯壁厚度
不计）
4．（23-24七年级上·辽宁朝阳·期中）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度略不计）的高为16cm，在
容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜．此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点
A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，求：该圆柱底面周长？
5．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的
马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？6．（23-24八年级下·重庆南川·期中）如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B
两村到江边的距离分别为 和 ，且A、B两村相距 ．
(1)水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置；
(2)若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多
少元？
7．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分
别为 ， ， ，现在要在河岸 上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求
水厂E到A、B两村的距离之和最短．
(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．8．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，
A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15
的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为______，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着
玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，
此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所
爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
