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第 03 讲 认识有理数（11 个知识点+7 种题型+过关检测）
知识点1：具有相反意义的量
1.定义 在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把
这样的量叫做具有相反意义的量 .
特别提醒： 具有相反意义的量的“两要素”：
(1)具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能称为具有相反意义的量 .
(2)具有相反意义的量必须是同类量，只要求具有相反意义，不要求数量一定相等 .
2. 用正数、负数表示具有相反意义的量
为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用
负数表示 .
特别提醒：用正数、负数表示具有相反意义的量时，一般地，向指定趋势变化用正数表示，向指定趋
势的相反趋势变化用负数表示.
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学科网（北京）股份有限公司知识点2：正数、负数的定义
1.定义
正数：像 2%,4,3.5 这样大于 0 的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如
+2,+0.7。
负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数
注意： 0 既不是正数，也不是负数 .
2. 数的符号
一个数前面的“ +”“－”号叫做它的符号，其中“ +”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写
.
3. 符号“+”“－”的双重含义
(1) 作为运算符号是加减号；
(2) 作为性质符号是正负号 .
特别解读
1. 正数的实质是大于 0的数，它可以带着“+” (正)号，也可以省略 “+”号.
2. 负数就是在正数的前面加上“-”号的数.
3. 正数与负数的特征：
(1)不为0；
(2)含“+”“－”号.
知识点3：有理数
1. 整数
正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等
2.分数
正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限
循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数.
3.有理数
整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式，
4.几个常用数学名词的含义
(1)正整数:既是正数,又是整数的数
2 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司(2)负整数:既是负数,又是整数的数
(3)正分数:既是正数,又是分数的数
(4)负分数:既是负数,又是分数的数
(5)非负数:正数和 0.
(6)非正数:负数和 0.
(7)非负整数(也叫自然数):正整数和0.
(8)非正整数:负整数和0.
(9)正有理数:正整数和正分数
(10)负有理数:负整数和负分数
(11)非正有理数:0、负整数和负分数
(12)非负有理数:0、正整数和正分数
特别提醒
1. 非负整数是在整数范围内取非负数，包括正整数和 0.
2. 引入负数后，奇数和偶数的范围也相应地扩大了.奇数和偶数也可以是负数 .
3. 自然数包括 0 和正整数 .
知识点4：有理数的分类
1.有理数的分类：
正整数 正整数
正有理数
整数零
正分数
按意义分：有理数
负整数；按符号分：有理数零 ．
正分数 负整数
分数
负有理数
负分数 负分数
特别警示
1. 不管按什么标准分类，最终都将有理数分为五类：正整数、 0、负整数、正分数、负分数.
2. 正有理数都是正数，但正数不一定都是正有理数.
2. 有理数分类的三原则
3 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司(1) 分类不重复： 所分的各类应当互不包含 .
(2) 分类无遗漏： 所分各类之“和”必须是原来的全部 .
(3) 标准要统一： 必须按同一分类标准进行分类 .
知识点5：相反数
1.定义
只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.
要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.
2.相反数的性质
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.
（2）互为相反数的两数和为0.
知识点6：绝对值的意义
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点分析：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任
何有理数a都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离
原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
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学科网（北京）股份有限公司知识点7：绝对值的性质
1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
2.求法
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
知识点8：比较有理数的大小
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
同为正号：绝对值大的数大
两数同号
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号 正数大于负数
正数与0：正数大于0
－数为0
负数与0：负数小于0
要点分析：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的
大小．
知识点9：数轴（重点）
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
要点归纳：
（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度
而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．
知识点10：数轴上的点与有理数的关系（重点）
数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他
5 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司数，比如 .
要点归纳：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，
负数用原点左边的点表示，零用原点表示.
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
知识点11：数轴法比较有理数的大小
在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
一．正数和负数（共5小题）
1．（2023秋•大化县月考）商店卖出一瓶水收入2元，可表示为 元；则购水花费20元记为
A．20 B． C． D．
2．（2023秋•科左中旗期末）一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片包装上注明净含量为 ，则下列
同类产品中净含量不符合标准的是
A． B． C． D．
3．（2023秋•兴隆县期末）某品牌酸奶外包装上标明“净含量： ”．随机抽取四种口味的这种酸奶分别称
重如下表．其中，净含量不合格的是
种类 原味 草莓味 香草味 巧克力味
净含量 295 300 310 305
A．原味 B．草莓味 C．香草味 D．巧克力味
4．（2023秋•镇江期末）下表是小辰的妈妈元旦当天的微信零钱收支明细（单位：元）
微信转账
6 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司如意水果店
微信红包
便民菜场
观察表格信息，可知小辰的妈妈元旦当晚微信零钱余额和前一天相比
A．多了23元 B．少了23元 C．多了116元 D．少了93元
5．（2024•青秀区校级开学）如果向东走 ，记作 ，那么向西走 ，记作 ．
二．有理数（共9小题）
6．（2024•广西模拟）下列四个数中，属于负整数的是
A． B． C．0 D．6
7．（2023秋•凉山州期末）
A．是负数，不是分数 B．不是分数，是有理数
C．是负数，也是分数 D．是分数，不是有理数
8．（2024•重庆模拟）在 ， ，0， 这四个数中，属于负整数的是
A． B． C．0 D．
9．（2023秋•仓山区期末）定义：有序有理数 ， 满足 ，则称有序有理数 ， 为“共生有序有理数”．
若有序有理数 ， 是“共生有序有理数”，则下列各组有序有理数组合中一定属于“共生有序有理数”的是
A． ， B． ， C． ， D． ，
10．（2023秋•广阳区期末）下列说法正确的是
A．所有的整数都是正数
B．整数和分数统称有理数
C．0是最小的有理数
7 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司D．零既可以是正整数，也可以是负整数
11．（2023秋•梁山县期末）在3.14， ，0， ，0.1010010001中有理数的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2024春•绥棱县期末） 既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界线．
13．（2023秋•凉州区校级期末）把下列各数填到相应的集合中．
1， ，0.5， ，0， ， ， ， ，0.3， ， ， ．
正数集合： ；
负数集合： ；
整数集合： ；
分数集合： ．
14．（2023秋•平阴县期末）请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里．
1，0.0708， ， ，0，3.14， ， ．
正有理数集合： ，
负整数集合： ，
正分数集合： ，
非负整数集合： ．
三．数轴（共12小题）
15．（2023秋•沈北新区期末）一名同学画了四条数轴，只有一个正确，你认为正确的是
A． B．
C． D．
8 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司16．（2024•钦州二模）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是
A．0.5 B． C． D．
17．（2023秋•新宾县期末）若数轴上的点 表示的数是 ，则与点 相距5个单位长度的点表示的数是
A． B． C．3或 D． 或7
18．（2023秋•南明区期末）数轴上点 表示 ，点 表示3，则 、 两点间的距离是
A． B． C．7 D．1
19．（2024春•同安区期中）如图，半径为1个单位长度的圆从 点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点 ，则点
表示的数是
A． B． C． D．
20．（2024•海珠区校级二模）数轴上的点 距原点5个单位长度，将点 向右移动3个单位长度至点 ，则点
表示的数是
A．8 B．2 C． 或2 D．8或
21．（2023秋•南平期末）数轴上的点 到原点的距离是4，则点 表示的数为 ．
22．（2024•兴庆区校级一模）在一条可以折叠的数轴上， ， 表示的数分别是 ，4，如图，以点 为折点，将
此数轴向右对折，若点 在点 的右边，且 ，则 点表示的数是 ．
23．（2023秋•西城区校级期末）对于数轴上的点 ，线段 ，给出如下定义： 为线段 上任意一点，如果 ，
两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点 ，线段 的“近距”，记作 （点 ，线段 ；如果 ，
两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点 ，线段 的“远距”，记作 （点 ，线段 ．特别的，
9 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司若点 与点 重合，则 ， 两点间距离为0．已知点 表示的数为 ，点 表示的数为3．例如，若点 表示的
数为5，则 （点 ，线段 ， （点 ，线段 ．
（1）若点 表示的数为 ，则 （点 ，线段 ， （点 ，线段 ；
（2）若点 表示数为 ，点 表示数为 ． （点 ，线段 是 （点 ，线段 的4倍，求 的值．
24．（2023秋•蒲城县期末）已知数轴上表示 的点到原点的距离为6，表示 的点在原点的左侧，求 的值．
25．（2024春•曲沃县期末）综合与探究
已知，数轴上三点 ， ， 对应的数分别为 ，0，1，点 为数轴上任意一点，其对应的数为 ．
（1） 的长为 ， 的长为 ；
（2）若 ，求 的值；
（3）数轴上，如果动点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动；同时动点 和 分别从点 和点
出发，分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度也沿数轴正方向运动．当点 到点 的距离等于点 到点 的
距离时，直接写出点 所表示的数．
10 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司26．（2023秋•钢城区期末）邮递员从邮局出发，先向西骑行 到达 村，继续骑行 到达 村，然后向东行骑
行 到达 村，最后回到邮局．
（1）如图，请在以邮局为原点，向东为正方向， 为1个单位长度的数轴上表示出 、 、 三个村庄的位置；
（2） 村离 村有多远？
（3）邮递员一共行驶了多少千米？
四．相反数（共12小题）
27．（2024春•萨尔图区校级期末）若 与2互为相反数，则 ．
28．（2024春•固始县期末） 的相反数是 ．
29．（2023秋•椒江区校级期末）若 与 互为相反数，那么 ．
30．（2023秋•德化县校级月考）化简下列各数：
① ；
11 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司② ；
③ ；
④ ．
31．（2024•思明区校级二模） 的相反数是
A．2 B． C． D．
32．（2024•九台区三模）下列各对数中，互为相反数的是
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
33．（2024•盐城二模）如果 与1互为相反数，那么
A．2 B． C．1 D．
34．（2024•惠州模拟）2024年央视春晚主题、主标识近日正式发布，本次龙年春晚主题为“龙行龖龖 dá ，欣欣家
国”，请问2024的相反数是
A． B． C．2024 D．
35．（2024•旬阳市开学）如果一个数的相反数等于它本身，那么这个数是 ．
36．（2023秋•铜川期末）如图，数轴上 ， 两点表示的数是互为相反数，且点 与点 之间的距离为4个单位长
度，则点 表示的数是 ．
37．（2023秋•珠海校级月考）已知 与 互为相反数，求 的值．
38．（2023秋•疏勒县期中）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
（1）如果点 、 表示的数是互为相反数，那么点 表示的数是多少？
12 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司（2）如果点 、 表示的数是互为相反数，那么点 、 表示的数是多少？
五．绝对值（共13小题）
39．（2024•邗江区一模）绝对值等于2的数是
A． B． C．2 D．
40．（2023秋•抚州期末）适合 的整数 的值有
A．4个 B．5个 C．7个 D．9个
41．（2023秋•德化县期末）下列说法正确的是
A．有理数的绝对值一定是正数
B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
C．如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身
D．如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数
42．（2023秋•平泉市期末）若 ，则 ．
43．（2023 秋•青羊区校级期末）已知数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，且 ，化简
．
44．（2023秋•长寿区期末）数 ， 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ．
13 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司45．（2024春•杨浦区校级期末） 的最小值 ．
46．（2023秋•和平区校级期末）有理数 ， ， 在数轴上表示的点如图所示，化简 ．
47．（2024•芝罘区一模）已知 ，则 ．
48．（2023秋•郓城县校级月考）探索规律题
试用“ ”、“ ”或“ ”填空：
；
；
；
；
．
49．（2023秋•余干县期末）有理数 、 、 在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“ ”或“ ”填空： 0， 0， 0．
（2）化简： ．
50．（2023秋•天河区期末）我们记一对有理数 ， 为数对 ．如果数对 使等式 成立，则称之
为“有趣数对”．
（1）如果数对 是“有趣数对”，那么 是“有趣数对”吗？请说明理由；
（2）如果数对 是“有趣数对”，求 的值；
（3）如果 和 互为相反数，那么 是“有趣数对”吗？请说明理由．
14 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司51．（2023秋•闽侯县期末）阅读下列材料： ，即当 时， ，当 时， ，
运用以上结论解决下面问题：
（1）已知 ， 是有理数，当 时，则 ；
（2）已知 ， ， 是有理数，当 时，求 的值；
（3）已知 ， ， 是有理数， ，且 ，求 的值．
六．非负数的性质：绝对值（共3小题）
52．（2023秋•颍泉区校级月考）若 ，求 的值．
53．（2023秋•凉州区期末）若 与 互为相反数，求 的值．
15 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司54．（2023秋•确山县期末）请根据图示的对话解答下列问题．
（1） ， ．
（2）已知 ，求 的值．
七．有理数大小比较（共6小题）
55．（2023秋•射阳县期末）在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小．3， ， ，0，2.5， ．
56．（2023秋•东莞市校级期末）有理数 、 、 在数轴上的位置如图．
（1）用“ ”或“ ”填空： 0， 0， 0．
（2）化简： ．
16 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司57．（2023秋•南关区校级月考）已知有理数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，
（1）分别判断以下式子的符号（填“ ”或“ ”或“ ”
0； 0；
（2）化简： ．
58．（2023秋•仙居县期末）如图的数轴上，每小格的宽度相等．
（1）填空：数轴上点 表示的数是 ，点 表示的数是 ．
（2）点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，请在数轴上分别画出点 和点 的位置．
（3）将 ， ， ， 四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“ ”连接．
59．（2023秋•遂川县期末）有理数 ， ， 在数轴上的位置如图所示．
（1）填空： ； 0； 0；（填“ ”，“ ”或“ ”
（2）化简： ．
17 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司60．（2024春•东坡区期末）有理数 、 、 在数轴上的位置如图：
（1）请用“ ”比较 、 、 、 四个数的大小为 ．
（2）化简： ．
一．选择题（共6小题）
1．（2023秋•湖北期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把气温为零上
记作 ，则 表示气温为
A．零上 B．零下 C．零上 D．零下
2．（2023秋•荔湾区期末）有 四个数，其中最小的是
A．4 B． C． D．0
3．（2024•江海区一模） 、 是数轴上两点，在线段 上的点表示的数中，有互为相反数的是
A． B．
C． D．
4．（2023秋•康县期末）下列说法：①符号相反的数互为相反数；② 一定是一个负数；③正整数、负整数统称为
整数；④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；⑤当 时， 总是大于0，正确的有
18 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（2023秋•抚顺县期末）排球的国际标准指标中有一项是排球的质量，规定排球的标准质量为 ，现随机
选取8个排球进行质量检测，结果如表所示：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8
275 263 278 270 261 277 282 269
质量
则仅从质量的角度考虑，不符合要求的排球有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023秋•德化县期末）下列说法正确的是
A．有理数的绝对值一定是正数
B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
C．如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身
D．如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数
二．填空题（共8小题）
7．（2023秋•蜀山区期末）比较大小： （填“ ”“ ”“ ” ．
8．（2023秋•郑州期末）月球表面的白天平均温度为零上 ，记作 ；夜间平均温度为零下 ，记作
．
9．（2024•太原开学）一瓶饮料，饮料瓶瓶身标注的净含量是 ，测得实际净含量为 ，记作“ ”，
那么“ ”表示 ．
10．（2023秋•辽中区期末）在有理数 、 、0、1 中，最小的数是 ．
11．（2023秋•射阳县期末）数轴上，若 ， 表示互为相反数的两个数且 在 的右侧，并且这两点的距离为9，
则点 表示的数是 ．
12．（2023秋•淮安区校级月考）在数轴上，将表示 的点向左移动4个单位后，对应点表示的数是 ．
13．（2023秋•无为市期末）如图1，点 ， ， 是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为 ， ，4，
某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点 ，发现点 对应刻度 ，点 对齐刻度 ．
19 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司则数轴上点 所对应的数 为 ．
14．（2023秋•长垣市期末）有理数 、 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
三．解答题（共5小题）
15．（2023秋•泉港区期末）某市为培育青少年科技的创新能力，举办了 设计比赛．小明设计了 移动视频巡检
车在直线轨道上做运动的一个雏形．规定：巡检车运动前的位置为原点，向前运动为正方向．巡检车从开始运动至停
止的记录为： ， ， ， ， ．问：当巡检车运动停止时，停在哪个数的位置上？
16．（2024•旬阳市开学）有6筐苹果，每筐质量分别为（单位：千克）
48，52，47，49，53，54
（1）如果以50千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则用正、负数表示这6筐苹果的质量
分别为（单位：千克）
， ， ， ， ， ．
（2）求出这6筐苹果的总质量．
20 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司17．（2023秋•樊城区期末）如图1，将一根木棒放在数轴（单位长度为 上，木棒左端与数轴上的点 重合，右端
与数轴上的点 重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点 时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿
数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点 时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为 ；
图中点 所表示的数是 ；点 所表示的数是 ；
（2）受（1）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
①一天，爸爸对小明说：“我若是你现在这么大，你才刚出生；你若是我现在这么大，我就 84岁啦！”则爸爸的年
龄是 岁．（在图2中标出分析过程）
②爷爷对小明说：“我若是你现在这么大，你还要14年才出生；你若是我现在这么大．我就118岁啦！”则爷爷的年
龄是 岁．（画出示意图展示分析过程）
18．（2023秋•湛江期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点 ， ， ，其中 ，设点 ， ，
所对应数的和是 ．
（1）若点 为原点， ，则点 ， 所对应的数分别为 ， ， 的值为 ；
（2）若点 为原点， ，求 的值．
（3）若原点 到点 的距离为8，且 ，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司19．（2023秋•东港区期末）对于数轴上的 ， ， 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好
满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点 ， ， 所表示的数分别为1，3，
4，此时点 是点 ， 的“联盟点”．
（1）若点 表示数 ，点 表示的数是4，下列各数3，2，0所对应的点分别为 ， ， ，其中是点 ， 的
“联盟点”的是 ；
（2）点 表示数 ，点 表示的数是30，点 为数轴上一个动点：若点 在线段 上，且点 是点 ， 的
“联盟点”，求此时点 表示的数．
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