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专题 15 圆周角定理的五类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用圆周角定理求角
类型二、利用圆周角定理证明
类型三、半圆（直径）所对的圆周角是直角
类型四、90°的圆周角所对的弦是直径
类型五、已知圆内接四边形求角度
压轴专练
类型一、利用圆周角定理求角
知识点总结
1.核心定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，且等于它所对圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径。
2.关联性质：圆周角的度数由所对弧的度数决定，若两圆周角对同弧（或等弧），则角相等，可实现角
的转化与等量代换。
解题技巧
1.定位弧与角：先找到待求圆周角所对的弧，再找该弧所对的其他圆周角或圆心角，利用“同弧对等
角”“圆周角是圆心角一半”转化角。
2.善用直径特性：遇直径时，优先连接直径端点与圆上点，构造 90°圆周角，结合直角三角形性质（如
两锐角互余）求解，避免忽略直径的特殊作用。
例1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与
量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，点B，D对应的读数分别为 ， ，连接AB，则 的度
数为 ．
【答案】
【分析】连接 ， ，求出 ，由圆周角定理得到 ．
【详解】解：如图，连接 ， ，∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆周角定理，角的计算，关键是由圆周角定理得到 ．
【变式1-1】（2024·湖南·模拟预测）如图，直线 ， 为 的两条直径，点E 在 上，连接 ，
点 C 为 的中点，若 ，则 °．
【答案】25
【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
连接 ， ，根据等弧所对圆周角等于所对圆心角的一半，求得 ，再根据同弧所对圆周角
相等求解即可．
【详解】解：连接 ， ，如图，
∵点 C 为 的中点，∴
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：25．
【变式1-2】（24-25九年级下·广东中山·期中）如图，在 中，直径 与弦 相交于点 ，连接 ，
， ，若 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理、三角形外角的性质，根据 是 的直径，可得 ，根据圆
周角定理可知 ，根据三角形外角的性质可以求出 ，根据角之间的关系可以求出
．
【详解】解： 是 的直径，
，
，
，
是 的外角，
，
，
，
.
故答案为： ．【变式1-3】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）筒车（图1）是我国古代一种水利灌溉工具，利用水
流的动力进行灌溉，工作原理基于圆周运动和重力作用．如图2，筒车 与水面分别交于点A、B，筒车
上均匀分布着若干个盛水筒，D是其中之一， 是 的直径，连接 ，点M在 的延长线上，
若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
连接 ，由圆周角定理可得 ， ，再结合已知条件以及直角三角形锐角互余即
可求解．
【详解】解：连接 ，
是 的直径，
，
，
，
，
故答案为： ．
类型二、利用圆周角定理证明
知识点总结
1.核心依据：同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为 90°；圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半，这些是证明角相等、线段垂直或三角形特殊性质的关键。
2.关联结论：可结合等腰三角形性质（等角对等边）、全等/相似三角形判定，通过圆周角相等推导线
段关系或图形全等/相似。
解题技巧
1.找“同弧”纽带：证明角相等时，先确定两角是否对着同一段弧，若能找到公共弧或等弧，直接用圆
周角定理证角等。
2.造“直径直角”：需证垂直时，若图形中有圆，可尝试构造直径，利用直径所对圆周角为 90°，将垂
直关系转化为圆周角问题，简化证明步骤。
例2．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，A，B，C，D是 上的四点，且 ．
(1)求证： ；
(2)设 与 交于点E．求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了圆周角定理、弧弦之间的关系、等角对等边等知识，熟练掌握圆周角定理是关键．
（1）根据弧弦之间的关系得到 ，根据弧的和差即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到 ，再根据等角对等边即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵ ，
，
，
即 ；
（2）连接 ，
，，
【变式2-1】（25-26九年级上·全国·阶段练习）如图，A是 上一点， 是直径，点D在 上且平分
．
(1)连接 ，求证： 平分 ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、直径所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识点是解题的关
键．
（1）根据圆周角定理即可证明；
（2）根据题意推出 ，结合勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵点D在 上且平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）解：∵ 是直径，
∴ ，
∵点D在 上且平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ．
【变式2-2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图， 是 的直径， 是弦，
于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（ ）连接 ，过点 作 于 ，则 ，由圆周角定理和等腰三角形的性
质可得 ，即得 ，得到 ，进而可证 ，得到
，即可求证；
（ ）连接 ，由 得 ，即得 ，设 ，则
，在 中，由勾股定理得 ，解方程求出 即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，过点 作 于 ，则 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧弦圆心角的关系，垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，
等腰三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式2-3】（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形 中， ，垂足为E．
(1)如图1，若 ，求证： 平分 ；
(2)如图2，若 ， ， 是圆的直径，连接 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）根据垂径定理的推论证明即可；
（2）连接 ，首先得到 ，然后得到 ，推出 ，得到
，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ 是 的直径，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）解：如图2，连接 ，∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的半径是5．
【点睛】此题考查了垂径定理的推论， 角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理等
知识，解题的关键是掌握以上知识点．
类型三、半圆（直径）所对的圆周角是直角
知识点总结
1.核心定理：半圆或直径所对的圆周角为90°，反之，90°的圆周角所对的弦是直径、所对的弧是半
圆。该定理建立了直径与直角的直接关联，是圆与直角三角形结合的关键纽带。
2.关联性质：可结合直角三角形性质（如勾股定理、斜边上中线等于斜边一半），通过直径构造直角三
角形，或由直角圆周角确定直径，实现边角关系转化。
解题技巧
1.遇直径构直角：若题干中有直径，连接直径两端点与圆上任意一点，直接构造直角三角形，利用直角
条件推导边或角的关系。
2.遇直角定直径：若图形中有90°圆周角，先确定其对边，根据定理判定该边为直径，进而利用直径特
性（如半径与直径关系）求解未知量，避免遗漏定理逆用。
例3．（2025·江苏常州·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦．若 ， ，则 ．
【答案】
【分析】根据直径所对的圆周角为 ，可知 ，求出 ，得到 ，
利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ 是 的直径，
，
∵ 与 对应同一段弧 ，
，
，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为 ，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性
质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
【变式3-1】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 的弦， ，
．在图中作弦 ，使 ，则 的度数为 ．
【答案】 或
【分析】此题主要考查了圆周角定理以及圆有关的概念，利用圆周角定理、圆弧、弧所对的弦的关系，进
而得出 ，进而得出答案．【详解】解：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
以A为圆心 长为半径画弧可得点D，再连接 即可，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
同理可得： ；
综上所述： 的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
【变式3-2】（2025·四川南充·二模）如图， 是 的直径，点 ， 是 上位于直径 两侧的点，
连接 ， ，且 ，则 度．
【答案】45
【分析】本题考查了圆周角定理，由圆周角定理得出 ，再根据 得出 ，
进而即可求出答案．
【详解】解：连接 ，是 的直径，
，
又 ，
，
，
故答案为：45．
【变式3-3】（2025·山西吕梁·二模）如图，在 中，以 为直径的 交边 于点 ，交边 于
点 ，连接 ．若 为 的中点， ，则 的度数为 ．
【答案】 /70度
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．
连接 ，根据 为 的直径，以及 为 的中点，可得 ，从而得到 ，再由圆内接
四边形的性质可得 ，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，即 ，
∵ 为 的中点，
∴ 垂直平分 ，∴ ，
∴ ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
类型四、90°的圆周角所对的弦是直径
知识点总结
1.核心定理：90°的圆周角所对的弦是直径（圆周角定理逆用），其依据是圆周角等于所对圆心角的一
半——90°圆周角对应180°圆心角，即圆心角为平角，所对弦为直径。
2.关联应用：可结合直角三角形性质（如斜边中线等于斜边一半），通过 90°圆周角确定直径（即直角
三角形斜边），或用直径反证圆周角为90°，建立圆与直角三角形的联系。
解题技巧
1.定弦判直径：若已知圆周角为90°，先找出该角的对边，直接依据定理判定此对边为圆的直径，进而
确定圆心（直径中点）和半径。
2.构直角证直径：需证明某弦为直径时，可在弦的两端点外找圆上一点，连接形成圆周角，若能证明该
角为90°，即可通过定理证弦为直径，避免忽略角与弦的“对边”关系。
例4．（24-25九年级上·全国·期末）如图，圆A与坐标系交于 ， ，且经过原点，则圆A的半
径等于 ．
【答案】 / /2.5
【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
连接 ，利用圆周角定理得出 为圆 的直径，再根据勾股定理求出 的长度，进而得到圆 的半径．
【详解】解：连接 ，∵ ，
∴ 是圆 的直径．
∵ ， ，
∴ ， ，
根据勾股定理，在 中，
．
∴圆 的半径为 ．
故答案为： ．
【变式4-1】（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在等腰直角三角形 中， ，E为 的中
点， 上有一点F，若 ，则 的面积等于 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．作 的外接圆 ，圆心为点
O，过点C作 于点H，根据等腰直角三角形性质得 ， ，则 ，进而
得 ， 是 外接圆 的直径，再根据 得点F在 外接圆 上，
则 ，由此得 是等腰直角三角形，设 ， ，据此得 ，则，继而得 ，然后根据三角形的面积公式即可得出 的面积．
【详解】解：作 的外接圆 ，圆心为点O，过点C作 于点H，如图所示：
在等腰 中， ，
， ，
由勾股定理得： ，
，
，
，
是 外接圆 的直径，
又 ，
根据圆周角定理得：点F在 外接圆 上，
，
即 ，
，
是等腰直角三角形，
设 ，
由勾股定理得： ，
点E是 的中点，
，
，
解得： ，，
，
的面积为： ．
故答案为： ．
【变式4-2】（24-25九年级下·重庆长寿·期中）如图，在四边形 中， ， 的平分线
交 于点 ，连接 和 ， ， ，若 ， ，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，取 的中点F，以 为直径作
，根据题意可得A，B，C，E在 上，根据角平分线的定义可得 ，则 即可得
出 ，进而证明 ，得出 ，在 中，勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，取 的中点F，以 为直径作 ，
∵ ， ，
∴ ，∴A，B，C，E在 上，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
故答案为：4．
【变式4-3】（2025·山东潍坊·三模）如图，点E在边长为2的正方形 内，且 ，点F是边
的中点，点G是边 上的一动点，连接 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】先判断出点E在以 为直径的 上，作点F关于直线 的对称点 ，连接 ，交 于
E，交 于G，此时， 最短，因为 ，所以 最小
值为 ，利用勾股定理求出 长即可求解．
【详解】解：∵∴
∴点E在以 为直径的 上，
∵点E在边长为2的正方形 内，
∴点E在以直径 上方的半圆弧上，
作点F关于直线 的对称点 ，连接 ，交 于E，交 于G，如图，
此时， 最短，
∵边长为2的正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
由对称的性质知： ， ，
∴ ，
∴ 最小，最小值为 ，
∵点F是边 的中点，点F关于直线 的对称点 ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理，得 ，
∴ 最小值 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考了查正方形的性质，圆周角定理的推论，利用轴对称求最短路径问题，勾股定理．正确作
出辅助线，得出 最小值为 是解题的关键．类型五、已知圆内接四边形求角度
知识点总结
1.核心性质：圆内接四边形的对角互补（即对角和为180°），且任一外角等于它的内对角（外角与相
邻内角的对角相等），这是求角度的关键依据。
2.关联知识：常结合圆周角定理（同弧所对圆周角相等），通过圆内接四边形的角关系，转化或关联其
他圆周角，实现角度计算。
解题技巧
1.标角定关系：先在图形中标出已知角，明确四边形的对角与邻角，优先利用“对角互补”计算未知对
角，若遇外角则用“外角等于内对角”转化。
2.结合圆周角：若已知角或未知角涉及同弧，可借助圆周角定理找到相等角，再代入圆内接四边形的角
关系中，避免孤立计算单个角。
例5．（2025·江苏宿迁·三模）如图，四边形 内接于 ， 为直径， ，连接 ．若
，则 的度数为 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理．
由圆周角定理，结合已知可得 ，根据直径所对圆周角为直角，直角三角形的两个锐角互余，可得
，由圆内接四边形的性质，即可得 的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．【变式5-1】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数
为 ．
【答案】80
【分析】此题考查圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形对角互补求解即可．
【详解】∵四边形 内接于 ，
∴ ．
故答案为：80．
【变式5-2】（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图， 是四边形 的外接圆，过点B作
，交 于点E．若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、平行线的性质，先根据圆内接四边形的性质求出 ，再
根据平行线的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵ 是四边形 的外接圆，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式5-3】（2025·宁夏·模拟预测）如图，四边形 内接于 ，过点 作 ，交 于点 ．
若 ，则 ．【答案】
【分析】本题考查平行线的性质，圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
由平行线的性质，可得 的度数，根据圆内接四边形对角互补，计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
一、单选题
1．（24-25九年级上·全国·期末）如图， 是 的直径，点A，B在 上．若 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查了圆心角、弧之间的关系以及圆周角定理，解题的关键是利用等弧对等圆心角求出相关
圆心角的度数，再结合圆周角与圆心角的关系计算角度．
由等弧 可得等圆心角 ，再根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧上
圆心角度数的一半，求出 的度数．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ．
∵ 是 所对的圆周角， 是 所对的圆心角，
∴ ，即 ．
故选：B．
2．（2025·云南昆明·三模）如图， 是 的直径， ， 若 ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角，根据圆周角定理求出 的度数，然后根据同弧所对圆心角
相等求出 的度数，然后根据平角定义即可求解【详解】解∶∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选∶D．
3．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在 的内接四边形 中， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先由圆内接四边形的性质得
，再在 中，由三角形内角和定理求 即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
4．（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是 上的点， 是圆的直径，在 延长线上取一点
D，使 ，连接 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得 ，再利用等腰三角形的性质即可解答．
【详解】解： 是圆的直径，
，
，
，
，
故选：C．
5．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，点A在x轴负半轴上，点B
在y轴正半轴上， 经过 四点， ， ，则圆心点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用圆内接四边形的性质得到 ，再根据圆周角定理得到 为 的直径，则 点
为 的中点，接着利用含 度的直角三角形三边的关系得到 ， ，所以 ，
，然后利用线段的中点坐标公式得到 点坐标．
【详解】解：∵四边形 为 的内接四边形， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为 的直径，
∴点 为 的中点，
在 中， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵点 为 的中点，
∴ 点坐标为 ．
故选D．
【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质，圆的内接四边形对角互补．含 度的直角三角形三边的关系，
的圆周角所对的弦是直径，坐标与图形性质，中点坐标公式，掌握圆内接四边形的性质和含30度的直
角三角形三边的关系是解题的关键．
二、填空题
6．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图， 为 的弦，点 在弧 上，若 ，则
的度数为 ．
【答案】 /56度
【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
7．（2025·广东广州·二模）如图， 的直径 平分弦 ，若 ，则 ．【答案】 /30度
【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，垂径定理以及圆周角定理，先根据 的直径 平分弦
（不是直径），得 ，再结合 ，得 ，最后由同弧所对的圆周角是相等的，得
，即可作答．
【详解】解：∵ 的直径 平分弦 （不是直径），
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
8．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，连接 ．
若 ，则 的度数是 ．
【答案】 /116度
【分析】此题考查直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质．
由 是 的直径，得 ，求出 ，然后利用圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴
∵ ，
∴ ，∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ．
故答案为： ．
9．（2024·湖北·模拟预测）如图， 内接于 ，且 ，直径 交 于点 ， 是 的中
点，如果 ， ，则线段 的长为 ．
【答案】
【详解】本题考查的知识点有圆的性质(直径所对圆周角为直角)、三角形全等的判定、等腰三角形三线合
一的性质以及勾股定理．通过连接辅助线 ，利用圆的性质(直径所对圆周角为直角)、三角形全等判定
以及勾股定理，逐步推导得出线段 的长度．
【解答】解：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， 是 的中点，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形 内接于 ， 交 的延长线于点
E，若 平分 ， ， ，则 ．
【答案】4
【分析】连接 ，根据 平分 ，可得 ；根据四边形 内接于 ，可得，进而可得 ，即有 ，则有 ，最后利用勾股
定理即可作答，
【详解】解：连接 ，如图，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴在 中， ；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等
知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．
三、解答题
11．（24-25九年级上·贵州·期末）如图， 是 的直径，点 是 上一点，连接 ， ，
于 ，交 于点 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)证明过程见详解
(2) 的半径为
【分析】本题主要考查直径或半圆所对圆周角为直角，垂径定理，勾股定理，掌握直径或半圆所对圆周角
为直角，垂径定理与勾股定理的结合求线段长的方法是解题的关键．
（1）根据直径所对圆周角为直角，垂直的定义可得 ，结合同位角相等，两直线平行
即可求证；
（2）根据垂径定理可得 ， ，设 的半径为 ，则
，在 中，由勾股定理得 ，据此计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：设 的半径为 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，解得， ，
∴ 的半径为 ．
12．（2025·安徽·模拟预测）如图， 是三角形 的外接圆， 是 的直径， 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 长为8， ，求 的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握垂径定理：“垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧”是解题关键．
（1）根据垂径定理和圆周角定理进行判断即可；
（2）设 的半径为 ，根据垂径定理得出点 为 的中点，在 中，利用勾股定理列式计算，
即可求出结果．
【详解】（1）证明： ，
，
；
（2）解：连接 ，如图，设 的半径为 ，则 ，
，
，
在 中， ，
解得 ，
即 的半径长为5．13．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在 中，弦 ，点 在 上．
(1)如图①，若 是 的直径，求 的度数；
(2)如图②，在弧 上取一点 ，若 ，请用含 的式子表示 的度数．
【答案】(1)135°
(2)
【分析】（1）根据圆周角的性质和圆内接四边形性质即可求解；
（2）连接 ，根据等弦对等弧，等弧对等角并结合圆内接四边形性质即可得到 和 的关系．
本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的
关键．
【详解】（1）∵ 是 的直径，
又
是等腰直角三角形，
∵四边形 是 的内接四边形，
（2）如图，连接 ，∵四边形 是 的内接四边形，
14．（2025·青海玉树·模拟预测）如图，已知 的半径为 ，四边形 内接于 ，连接 、 ，
， ．
(1)求 的长；
(2)若 经过圆心 ，延长 交 延长线于点 ，求 的长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到直角，再根据勾股定理即可解决问题；
（2）根据等边对等角得到角相等，根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，根据对角互补和邻补角得到
角相等，进而得到角平分线，判断三角形全等，根据三角形全等的性质得到边相等，再根据中位线的性质
得到 的长，进而可得到答案；
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 的半径为 ，
∴ ，
∴ 的长为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 的外角 ．
∵ 经过圆心 ，
∴ ，即 ，
∴
∴ ，
作 ，垂足为 ，
，
∵ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题主要考查同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，中位线
定理，圆周角定理等知识点，解决此题的关键是合理的作出辅助线．
15．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习） 是 的直径， ，垂足为 ，点 是
弧 上一动点（不与 重合）， 与 交于点 ．
(1)求 的度数；
(2)若点 在弧 的中点处，求证： ；
(3)设 ．
①若 ，分别计算 与 的值，并判断它们的大小关系；
②若 的值发生变化，请判断 与 的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)135°
(2)证明见解析
(3)① ；② ，理由见解析
【分析】（1）连接 ，如图所示，由 是 的直径， ，得到，利用等腰直角三角形性质得到 ，再由圆周角定理求解即
可得到答案；
（2）连接 ，如图所示，由点 在弧 的中点，则 ，由圆周角定理得到
，结合等腰直角三角形的判定与性质，得到
，即可由等腰三角形判定
与性质得证；
（3）①在 中，由勾股定理得到相关线段及角度，即可得到 ，再由含 直角
三角形性质、勾股定理求出 ，即可得到答案；②连接 ，连接 ，过点 作 ，
如图所示，由 ，判定 是等腰直角三角形，进而由等腰直角三角形性质得到
，再结合圆周角定理确定 ，从而由两个三角形全等的判
定与性质得到 ，数形结合代入 ，即可得证
．
本题考查圆综合，涉及直径所对的圆周角是直角、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、外角性质、
等腰三角形的判定与性质、勾股定理、含 直角三角形性质、三角形全等的判定与性质等知识．熟练掌
握圆的相关性质、掌握解题所需的几何性质与判定，并灵活运用是解决问题的关键．
【详解】（1）如图，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，连接 ，
∵点 在弧 的中点处，
∴ ，
∴ ，
由（1）可知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的一个外角，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）①∵ ，
∴ ，
∴ ，设 ，则 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
如图，过点 作 ，
∵ 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
则 ，
∴ ；
② ，理由如下：
如图，连接 ，连接 ，过点 作 交 于点 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
