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专题 15 圆周角定理的五类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用圆周角定理求角
类型二、利用圆周角定理证明
类型三、半圆（直径）所对的圆周角是直角
类型四、90°的圆周角所对的弦是直径
类型五、已知圆内接四边形求角度
压轴专练
类型一、利用圆周角定理求角
知识点总结
1.核心定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，且等于它所对圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径。
2.关联性质：圆周角的度数由所对弧的度数决定，若两圆周角对同弧（或等弧），则角相等，可实现角
的转化与等量代换。
解题技巧
1.定位弧与角：先找到待求圆周角所对的弧，再找该弧所对的其他圆周角或圆心角，利用“同弧对等
角”“圆周角是圆心角一半”转化角。
2.善用直径特性：遇直径时，优先连接直径端点与圆上点，构造 90°圆周角，结合直角三角形性质（如
两锐角互余）求解，避免忽略直径的特殊作用。
例1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与
量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，点B，D对应的读数分别为 ， ，连接AB，则 的度
数为 ．
【变式1-1】（2024·湖南·模拟预测）如图，直线 ， 为 的两条直径，点E 在 上，连接 ，
点 C 为 的中点，若 ，则 °．【变式1-2】（24-25九年级下·广东中山·期中）如图，在 中，直径 与弦 相交于点 ，连接 ，
， ，若 ， ，则 ．
【变式1-3】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）筒车（图1）是我国古代一种水利灌溉工具，利用水
流的动力进行灌溉，工作原理基于圆周运动和重力作用．如图2，筒车 与水面分别交于点A、B，筒车
上均匀分布着若干个盛水筒，D是其中之一， 是 的直径，连接 ，点M在 的延长线上，
若 ，则 的度数为 ．
类型二、利用圆周角定理证明
知识点总结
1.核心依据：同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为 90°；圆周角的度数等于它所对圆心
角度数的一半，这些是证明角相等、线段垂直或三角形特殊性质的关键。
2.关联结论：可结合等腰三角形性质（等角对等边）、全等/相似三角形判定，通过圆周角相等推导线
段关系或图形全等/相似。
解题技巧
1.找“同弧”纽带：证明角相等时，先确定两角是否对着同一段弧，若能找到公共弧或等弧，直接用圆
周角定理证角等。
2.造“直径直角”：需证垂直时，若图形中有圆，可尝试构造直径，利用直径所对圆周角为 90°，将垂直关系转化为圆周角问题，简化证明步骤。
例2．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，A，B，C，D是 上的四点，且 ．
(1)求证： ；
(2)设 与 交于点E．求证： ．
【变式2-1】（25-26九年级上·全国·阶段练习）如图，A是 上一点， 是直径，点D在 上且平分
．
(1)连接 ，求证： 平分 ；
(2)若 ， ，求 的长．
【变式2-2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图， 是 的直径， 是弦，
于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【变式2-3】（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形 中， ，垂足为E．(1)如图1，若 ，求证： 平分 ；
(2)如图2，若 ， ， 是圆的直径，连接 ，求 的半径．
类型三、半圆（直径）所对的圆周角是直角
知识点总结
1.核心定理：半圆或直径所对的圆周角为90°，反之，90°的圆周角所对的弦是直径、所对的弧是半
圆。该定理建立了直径与直角的直接关联，是圆与直角三角形结合的关键纽带。
2.关联性质：可结合直角三角形性质（如勾股定理、斜边上中线等于斜边一半），通过直径构造直角三
角形，或由直角圆周角确定直径，实现边角关系转化。
解题技巧
1.遇直径构直角：若题干中有直径，连接直径两端点与圆上任意一点，直接构造直角三角形，利用直角
条件推导边或角的关系。
2.遇直角定直径：若图形中有90°圆周角，先确定其对边，根据定理判定该边为直径，进而利用直径特
性（如半径与直径关系）求解未知量，避免遗漏定理逆用。
例3．（2025·江苏常州·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦．若 ， ，
则 ．
【变式3-1】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 的弦， ，
．在图中作弦 ，使 ，则 的度数为 ．【变式3-2】（2025·四川南充·二模）如图， 是 的直径，点 ， 是 上位于直径 两侧的点，
连接 ， ，且 ，则 度．
【变式3-3】（2025·山西吕梁·二模）如图，在 中，以 为直径的 交边 于点 ，交边 于
点 ，连接 ．若 为 的中点， ，则 的度数为 ．
类型四、90°的圆周角所对的弦是直径
知识点总结
1.核心定理：90°的圆周角所对的弦是直径（圆周角定理逆用），其依据是圆周角等于所对圆心角的一
半——90°圆周角对应180°圆心角，即圆心角为平角，所对弦为直径。
2.关联应用：可结合直角三角形性质（如斜边中线等于斜边一半），通过 90°圆周角确定直径（即直角
三角形斜边），或用直径反证圆周角为90°，建立圆与直角三角形的联系。
解题技巧
1.定弦判直径：若已知圆周角为90°，先找出该角的对边，直接依据定理判定此对边为圆的直径，进而
确定圆心（直径中点）和半径。
2.构直角证直径：需证明某弦为直径时，可在弦的两端点外找圆上一点，连接形成圆周角，若能证明该
角为90°，即可通过定理证弦为直径，避免忽略角与弦的“对边”关系。
例4．（24-25九年级上·全国·期末）如图，圆A与坐标系交于 ， ，且经过原点，则圆A的半径等于 ．
【变式4-1】（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在等腰直角三角形 中， ，E为 的中
点， 上有一点F，若 ，则 的面积等于 ．
【变式4-2】（24-25九年级下·重庆长寿·期中）如图，在四边形 中， ， 的平分线
交 于点 ，连接 和 ， ， ，若 ， ，则 ．
【变式4-3】（2025·山东潍坊·三模）如图，点E在边长为2的正方形 内，且 ，点F是边
的中点，点G是边 上的一动点，连接 ， ，则 的最小值为 ．类型五、已知圆内接四边形求角度
知识点总结
1.核心性质：圆内接四边形的对角互补（即对角和为180°），且任一外角等于它的内对角（外角与相
邻内角的对角相等），这是求角度的关键依据。
2.关联知识：常结合圆周角定理（同弧所对圆周角相等），通过圆内接四边形的角关系，转化或关联其
他圆周角，实现角度计算。
解题技巧
1.标角定关系：先在图形中标出已知角，明确四边形的对角与邻角，优先利用“对角互补”计算未知对
角，若遇外角则用“外角等于内对角”转化。
2.结合圆周角：若已知角或未知角涉及同弧，可借助圆周角定理找到相等角，再代入圆内接四边形的角
关系中，避免孤立计算单个角。
例5．（2025·江苏宿迁·三模）如图，四边形 内接于 ， 为直径， ，连接 ．若
，则 的度数为 ．
【变式5-1】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数
为 ．
【变式5-2】（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图， 是四边形 的外接圆，过点B作
，交 于点E．若 ，则 的度数为 ．
【变式5-3】（2025·宁夏·模拟预测）如图，四边形 内接于 ，过点 作 ，交 于点 ．
若 ，则 ．一、单选题
1．（24-25九年级上·全国·期末）如图， 是 的直径，点A，B在 上．若 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2025·云南昆明·三模）如图， 是 的直径， ， 若 ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在 的内接四边形 中， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是 上的点， 是圆的直径，在 延长线上取一点
D，使 ，连接 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，点A在x轴负半轴上，点B
在y轴正半轴上， 经过 四点， ， ，则圆心点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图， 为 的弦，点 在弧 上，若 ，则
的度数为 ．7．（2025·广东广州·二模）如图， 的直径 平分弦 ，若 ，则 ．
8．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，连接 ．
若 ，则 的度数是 ．
9．（2024·湖北·模拟预测）如图， 内接于 ，且 ，直径 交 于点 ， 是 的中
点，如果 ， ，则线段 的长为 ．∵ 是 的直径，
∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， 是 的中点，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故答案为： ．
10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形 内接于 ， 交 的延长线于点
E，若 平分 ， ， ，则 ．
三、解答题
11．（24-25九年级上·贵州·期末）如图， 是 的直径，点 是 上一点，连接 ， ，
于 ，交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
12．（2025·安徽·模拟预测）如图， 是三角形 的外接圆， 是 的直径， 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 长为8， ，求 的半径长．
13．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在 中，弦 ，点 在 上．(1)如图①，若 是 的直径，求 的度数；
(2)如图②，在弧 上取一点 ，若 ，请用含 的式子表示 的度数．
14．（2025·青海玉树·模拟预测）如图，已知 的半径为 ，四边形 内接于 ，连接 、 ，
， ．
(1)求 的长；
(2)若 经过圆心 ，延长 交 延长线于点 ，求 的长．
15．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习） 是 的直径， ，垂足为 ，点 是
弧 上一动点（不与 重合）， 与 交于点 ．
(1)求 的度数；(2)若点 在弧 的中点处，求证： ；
(3)设 ．
①若 ，分别计算 与 的值，并判断它们的大小关系；
②若 的值发生变化，请判断 与 的大小关系，并说明理由．
