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专题 14 随机事件、概率、频率
事件分类
1．（24-25九年级上·全国·期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．十拿九稳 B．守株待兔 C．水中捞月 D．瓮中捉鳖
【答案】D
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查了必然事件，一定会发生的事件是必然事件，据此判定即可求解，掌握必然事件的定义
是解题的关键．
【详解】解： 、十拿九稳是随机事件，不符合题意；
、守株待兔是随机事件，不符合题意；
、水中捞月是不可能事件，不符合题意；
、瓮中捉鳖是必然事件，符合题意；
故选： ．
2．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．打开电视，正在播放跳水比赛
B．抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为
C．一个多边形的内角和为D．一个不透明的袋子中装有 个红球和 个白球，除颜色外，这些球无其他差别，随机摸出两个球，
至少有一个是红球
【答案】D
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查事件的分类，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件
下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，由此
对每一项进行分析即可．
【详解】解：A选项：打开电视，正在播放跳水比赛，这是一个随机事件，故A选项不符合题意；
B选项：抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为 ，是一个随机事件，故B选项不符合题意；
C选项：因为多项形的内角和公式为 ，所以一个多边形的内角和是 是不可能事件，故C选
项不符合题意；
D选项：一个不透明的袋子中装有 个红球和 个白球，除颜色外，这些球无其他差别，随机摸出两个球，
至少有一个是红球，这是一个必然事件，故D选项符合题意；
故选：D．
3．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）
A．手可摘星辰 B．黄河入海流 C．大漠孤烟直 D．鱼戏莲叶东
【答案】A
【知识点】事件的分类
【分析】本题主要考查了事件发生的可能性大小．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、手可摘星辰是不可能事件，故本选项符合题意；
B、黄河入海流是必然事件，故本选项不符合题意；
C、大漠孤烟直是随机事件，故本选项符合题意；
D、鱼戏莲叶东是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：A
4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．竹篮打水 B．瓮中捉鳖 C．水滴石穿 D．守株待兔
【答案】A
【知识点】事件的分类
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然
事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：A、竹篮打水，是不可能事件，符合题意；
B、瓮中捉鳖，是必然事件，不符合题意；
C、水滴石穿，是必然事件，不符合题意；
D、守株待兔，是随机事件，不符合题意；
故选：A．
5．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）下列成语描述的事件是随机事件的是（ ）
A．水中捞月 B．日出东方 C．守株待兔 D．画饼充饥
【答案】C
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事
件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能
发生也可能不发生的事件．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【详解】解：A．水中捞月，是不可能事件，故该选项不符合题意；
B．日出东方，是必然事件，故该选项不符合题意；
C．守株待兔，是随机事件，故该选项符合题意；
D．画饼充饥，是不可能事件，故该选项不符合题意；
故选：C．
6．（23-24七年级下·广东佛山·期末）下列事件中，随机事件是（ ）
A．水中捞月 B．明天太阳从西方升起
C．抛一枚硬币，落地后硬币的正面朝上 D．三角形的内角和是
【答案】C
【知识点】事件的分类、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了必然事件、不可能事件和随机事件，解决本题的关键是弄清楚以上事件的定义；必然
事件：每次随机试验中一定会出现的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；随机事件：在
一定条件下可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：A、水中捞月，是不可能事件，故不符合题意；
B、明天太阳从西方升起，是不可能事件，故不符合题意；
C、抛一枚硬币，落地后硬币的正面朝上，是随机事件，故符合题意；
D、三角形的内角和是 ，是必然事件，故不符合题意；故选：C．
根据概率公式计算概率
1．（23-24九年级上·云南昆明·期末）一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒
子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是 ．
【答案】 /0.6
【知识点】根据概率公式计算概率
【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，盒子里面有黄球2个、红球3个，一共5个，从盒子里
任意摸到1个红球的概率即为红球的个数3除以总的个数5即可．
【详解】解：盒子里面有黄球2个、红球3个，一共5个，
从盒子里任意摸到1个红球的概率是 ．
故答案为： ．
2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）已知数据： ， ， ， ， ， ， ．从中随机抽取
一个数是无理数的概率为 ．
【答案】
【知识点】根据概率公式计算概率、无理数
【分析】本题考查了概率公式以及有理数和无理数，直接由概率公式求解即可．概率 所求情况数与总情
况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
【详解】解：7个数据： ， ， ， ， ， ， ，其中 ， ， ， ， 是无理数，
有5个，
从中随机抽取一个数是无理数的概率为 ，
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·四川达州·期末）经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转，
如果这三种可能性大小相同，那么某辆汽车经过这个十字路口，恰好向左转的概率是 ．【答案】
【知识点】根据概率公式计算概率
【分析】本题主要考查了概率的公式，熟练掌握概率的求法是解题的关键．
将左转的情况数除以可能的通行总情况数即为所求的概率．
【详解】解：经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转，共有三种大小相同的可
能性，所以恰好向左转的概率是 ，
故答案为： ．
4．（23-24九年级上·吉林白山·期末）某校开展了主题为“我叫中国青年”的线上演讲活动．九年级（1）
班共有50人，其中男生有26人，现从中随机抽取1人参加该活动，恰好抽中男生的概率是
．
【答案】
【知识点】根据概率公式计算概率
【分析】此题考查了概率的求法．通过所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件结果数目m，然后根
据概率公式 ，求出事件概率．
直接根据概率公式求解即可．
【详解】解：∵共有50人，男生有26人，
∴随机抽取1人，恰好抽中男生的概率是 ．
故答案为： ．
5．（23-24九年级上·山东济南·期末）某班有6名女生和4名男生报名参加学校组织的进博会志愿者活动，
现从中任选1人，则选中男生的可能性是 ．
【答案】
【知识点】根据概率公式计算概率
【分析】根据概率公式求解即可．本题考查可能性的大小，一般方法为：如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 出现 种可能，那么事件 的概率 ．
【详解】解：某班有6名女生和4名男生报名参加学校组织的进博会志愿者活动，现从中任选1人，共有
19种情况，其中男生被选中的有4种结果，
选中男生的可能性是 ，
故答案为： ．
几何概率
1．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转
盘停止转动时（指针指向两个扇形的交线时无效，需重新转动转盘），指针落在灰色区域的概率是
．
【答案】
【知识点】几何概率
【分析】本题主要考查了几何概率，根据题意可得灰色部分占整个转盘面积的一半，再根据指针落在灰色
区域的概率即为灰色部分的面积在整个转盘中的占比进行求解即可．
【详解】解：∵四个扇形的面积相同，
∴灰色部分占整个转盘面积的一半，
∴指针落在灰色区域的概率是 ，
故答案为： ．
2．（23-24七年级下·全国·期末）如图，是一个正三角形的靶子，靶心为其三条对称轴的交点，则A部分
面积占靶子面积的 ，飞镖随机地掷在靶上，则投到区域A或区域B的概率是 ．【答案】
【知识点】几何概率、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查正三角形的性质和几何概率，由于靶心为正三角形的三条对称轴的交点，则 ， ，
三个区域的面积相等，利用几何概率的计算方法求投到区域 或区域 的概率．
【详解】解：∵靶心为正三角形的三条对称轴的交点，
∴ ， ， 三个区域的面积相等，
∴A部分面积占靶子面积为 ，投到区域 或区域 的概率 ．
故答案为： ， ．
3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将一个飞镖
随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
【答案】 /
【知识点】几何概率、用七巧板拼图形
【分析】本题考查了七巧板，以及几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据图形和七巧板特点可
得到阴影部分面积占正方形面积的 ，进而根据概率公式，即可得到飞镖落在阴影部分的概率．
【详解】解：由七巧板特点可知，图②中阴影部分的面积，可转化为图①中阴影部分面积，如图所示：阴影部分面积占正方形面积的 ，
飞镖落在阴影部分的概率是 ，
故答案为： ．
4．（23-24七年级下·山西运城·期末）小亮玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子， 是
的边 上的中线，点 是 的中点，连接 ，点 是 的中点，连接 ，则小亮随机投
掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【知识点】根据三角形中线求面积、几何概率
【分析】本题主要考查了几何概率，本题中飞镖落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积占总面积的比例．
根据三角形中线的性质推出 ，再根据落在阴影部分的概率即为阴影部分和总面积之比即可求解；
【详解】解：∵ 是 的边 上的中线，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是 ，
故答案为： ．
5．（23-24七年级下·广东河源·期末）小球在如图所示的地板上自由滚动最终停在黑色区域的可能性是
．
【答案】
【知识点】几何概率
【分析】本题考查几何概率，解题的关键是熟练掌握几何概率的求法，先求出黑色方砖在整个地板中所占
的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】解：∵由图可知，黑色方砖3块，共有9块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值 ，
∴小球停留在黑色区域的概率是 ．
故答案为： ．
由频率估计概率
1．（23-24九年级上·广东佛山·期末）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银
杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数成活的棵数
成活的频率
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为 （结果保留一位小数）．
【答案】
【知识点】由频率估计概率
【分析】先保留一位小数，后观察成活率的数值稳定在哪一个数值上，即可估算这种树苗移植成活率的概
率，可得出答案．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率．
【详解】解：根据题意，保留一位小数，表格数据可得，
成活的频率
随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在 ，
∴银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为 ，
故答案为： ．
2．（22-23九年级上·广东惠州·期末）扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行抽检的结果如下：
抽取的毛绒玩具数
优等品的频数
优等品的频率
从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 （精确到 ）
【答案】0.92
【知识点】由频率估计概率
【分析】本题考查了由频率估计概率，由表中数据可判断频率在0.92附近，利用频率估计概率即可求解．
【详解】解：从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92，
故答案为：0.92．
3．（22-23九年级上·湖南湘西·期末）某水果公司以2元/kg的成本价新进 柑橘．如果公司希望这
些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克定价大约 元（精确到
角）比较合适．为解决此问题，销售人员首先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，结果如下：
柑橘总质量n/kg 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
损坏柑橘质量m/kg 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54
频率 （三位小数） 0.110 0.105
【答案】2.8
【知识点】由频率估计概率、销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了利用频率估计概率及一元一次方程的应用，用到的知识点为：频率 所求情况数与总
情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键．根据概率计算出完好柑橘的质量为
千克，设每千克柑橘的销售价为 元，然后根据“售价 进价 利润”列方程解答．
【详解】根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为 千克．
设每千克柑橘的销售价为 元，则应有 ，
解得 ．
所以出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元．
故答案为：2.8
4．（23-24七年级下·河南周口·期末）在一个不透明的盒子里装有若干个大小、材质都相同的小球(黑白两
色)，把盒子里的小球搅匀，从中随机摸出一个小球并记下颜色，再放回盒子中，不断重复上述操作，整理
数据，制作出“摸出黑球的频率”与“摸球总次数”的关系图象如图所示，可以推断，这个盒子中黑球的
数量约占小球总数量的 ．
【答案】
【知识点】由频率估计概率
【分析】本题考查了利用频率估算概率．掌握概率是频率的稳定值是解题的关键．
利用频率估算概率即可．
【详解】解：由图可知，摸出黑球的概率约为 ，∴这个盒子中黑球的数量约占小球总数量的 ，
故答案为： ．
5．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在学习“频率的稳定性”时，某班同学们共同完成了“抛图钉”的
试验，同学们记录了500次抛图钉的试验数据如下，根据表格中的数据可以估计图钉钉尖朝上的概率约为
．
试验总次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
钉尖朝上的频率 0.69
【答案】
【知识点】由频率估计概率
【分析】本题考查了用频率估计概率．分析表格频率特点是关键．
根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频
率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，对表格进行
分析即可解答．
【详解】观察发现，随着试验次数的增多，钉尖朝上的频率逐渐稳定到常数 ，
抛一枚这样的图钉落地后钉尖朝上的概率约为 ．
故答案为： ．
已知概率求数量
1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）有5张扑克牌，牌面朝下，随机抽出一张记下花色后放回，洗牌后再
这样抽，经历多次试验后，得到随机抽出一张牌是红桃的频率是0.2，则红桃大约有 张．
【答案】1
【知识点】已知概率求数量
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，根据概率的频率定义可知，由于抽到红桃的概率为0.2，
根据概率公式即可求出红桃的张数．
【详解】解：设红桃大约有x张，
根据题意有： ，
解得： ，
故答案为：1．2．（23-24七年级下·山东济南·期末）在一个不透明的盒子里装有4个黑色棋子和若干白色棋子，每个棋子
除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是 ，则白色棋子的个数为 ．
【答案】2
【知识点】已知概率求数量
【分析】本题主要考查简单随机事件概率的相关计算，事件出现的概率 出现的情况数与总情况数之比．
黑色棋子除以对应概率算出棋子的总数，再减去黑色棋子的个数即为白色棋子的个数．
【详解】解：∵盒子里装有4个黑色棋子，摸到黑色棋子的概率是 ，
∴白色棋子的个数为：
（个）．
故答案为：2．
3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的小球，已知袋中
有6个红球，且摸出红球的概率为 ，则袋中小球的个数为 ．
【答案】15个
【知识点】已知概率求数量
【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率的定义是解决本题的关键．
设袋中球的总数量为 个，利用概率公式列式求解即可．
【详解】解：设袋中球的总数量为 个．
由题意得，摸出红球的概率为 ．
．
袋中的球共有15个．
故答案为：15．
4．（23-24八年级下·上海长宁·期末）一个不透明的袋子中装着除了颜色外均相同的若干红球和6个蓝球，
从中随机摸出一个球，如果摸到红球的概率是 ，那么袋子中共有 个球．
【答案】8
【知识点】解分式方程、已知概率求数量【分析】本题考查了概率公式：随机事件A的概率 事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结
果数．根据概率公式列方程计算．
【详解】解：设袋子中共有x个球，根据题意得：
，
解得，
经检验： 是分式方程的解，
故答案为：8．
5．（23-24九年级上·福建泉州·期末）一只盒子中有红球10个，白球6个，黑球a个，每个球除颜色外都
相同，从中任取一个球，取得“红球”的概率与“不是红球”的概率相同，那么a的值是 ．
【答案】4
【知识点】已知概率求数量
【分析】此题考查了概率的应用，根据题意得到红球的数量等于白球加黑球的数量，然后列方程求解即可．
【详解】解：∵从中任取一个球，取得是红球的概率与不是红球的概率相同，
∴ ，
解得 ．
故答案为：4．
列举法求概率
1．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的 的网格中有A，B两个格点，
在网格的格点上任取一点C（点A，B除外），恰能使 为等腰三角形的概率是 ．【答案】
【知识点】等腰三角形的定义、列举法求概率
【分析】此题主要考查了几何图形中的概率计算，解决此题的关键是：正确找出恰好能使 为等腰三
角形的点．
按照题意分别找出点C所在的位置：当 时，符合条件的点C有3个；当 时，符合条件的
点C有1个；当 时，符合条件的点C有1个；当根据概率公式求出概率．
【详解】解：如图，
可以找到5个恰能使 为等腰三角形的点，
概率为： ，
故答案为： ．
2．（23-24九年级上·贵州遵义·期末）将三个小球分别标上 ， ， 三种化学元素符号（除标记符号外，
其余均相同），放入一个不透明的袋中，探匀后从中任意摸出 个小球，能够组成 （一氧化碳）的概
率是 ．
【答案】
【知识点】列举法求概率
【分析】本题主要考查了列举法求概率，熟练掌握相关方法是解题的关键．列举出所有可能出现的情况，求出相应的概率即可．
【详解】解：可能出现的情况： ， ， ， ， ， ，共有 种可能出现
的结果，其中能够组成 （一氧化碳）的有 种，
即能够组成 （一氧化碳）的概率是 ，
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·河南南阳·期末）新高考“ ”选科模式是指除“语文、数学、外语”3门科目以
外，学生应在2门首选科目“历史和物理”中选择1科，然后在4门再选科目“思想政治、地理、化学、
生物”中选择2科．小刚同学从4门再选科目中随机选择2科，则恰好选中“思想政治和生物”的概率为
．
【答案】
【知识点】列举法求概率
【分析】本题考查了用列举法求概率，先列出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后
利用概率公式求解即可．
【详解】解：在4门科目“思想政治、地理、化学、生物”中选择2科的所有等可能结果有：
“思想政治和地理、思想政治和化学、思想政治和生物、地理和化学、地理和生物、化学和生物”共6种
结果，
其中选中思想政治和生物的结果数为1，
∴则恰好选中“思想政治和生物”的概率为 ，
故答案为： ．
4．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）如图，电路图上有4个开关 和1个小灯泡，同时闭
合开关 或同时闭合开关 都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为
．【答案】
【知识点】列举法求概率
【分析】根据题意可得随机闭合两个开关有 六种情况，其中能使小灯泡发光的有2
种，由此问题可求解．
【详解】解：由题意得：随机闭合两个开关有 六种情况，其中能使小灯泡发光的
有2种，
∴小灯泡发光的概率为 ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键．
列表法或树状图法求概率
1．（24-25九年级上·全国·期末）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有
数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字 ， ，0；现从甲袋中随机抽取一个小
球，记录标有的数字为 ，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为 ，确定点 的坐标为
．
(1)用树状图或列表法列举点 所有可能的坐标；
(2)求点M(x,y)在函数 的图象上的概率．
【答案】(1)见解析
(2)【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了用列表法或画树状图的方法求随机事件的概率，掌握列表法和画树状图是解答关键．
（1）利用列表法列举点 所有可能的坐标来求解；
（2）根据（1）的统计情况，利用概率公式求解．
【详解】（1）解：列表如下：
−2
共有9种等可能出现的结果： 、 、 、 、 、 、 、 、 ．
（2）解：由（1）可知，满足点M(x,y)在函数的 图象上的结果有 和 共2种，
∴点M(x,y)在函数 的图象上的概率为 ．
2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉
为“中国第五大发明“．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋
分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．
(1)小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是 ．
(2)小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树
状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率【分析】本题主要考查了概率公式，画树状图求概率，
（1）根据概率公式计算；
（2）画出树状图，确定所有可能出现的结果，符合题意的结果，再根据概率公式得出答案．
【详解】（1）解：一共有4张邮票，符合题意的有1张，
所以，抽中B的概率是 ．
故答案为： ；
（2）画树状图如下：
一共有16种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有7种，所以两次抽取邮票中至少
有一张是D的概率是 ．
3．（23-24九年级上·江西·期末）为培养学生的阅读兴趣，某校开展读书月活动，学生们在读书月活动中
可以分享自己最喜欢读的书．晓涵平时最喜欢读的四本书为《西游记）》《繁星·春水》《水浒传》《钢铁
是怎样炼成的》，假设晓涵分享每本书的可能性相同．
(1)若选择其中一本书进行分享，则晓涵分享《水浒传》的概率为________．
(2)若选择其中两本书进行分享，求晓涵分享的两本书分别为《西游记》和《繁星·春水》的概率．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了求简单事件的概率、利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．
（1）根据简单事件的概率计算方法求解即可得；
（2）先画出树状图，从而可得选择其中两本书进行分享的所有等可能的结果，再找出晓涵分享的两本书
分别为《西游记》和《繁星·春水》的结果，然后利用概率公式计算即可得．
【详解】（1）解：由题意可知，选择其中一本书进行分享共有4种等可能的结果，所以晓涵分享《水浒传》的概率为 ，
故答案为： ．
（2）解：将四本书为《西游记）》《繁星·春水》《水浒传》《钢铁是怎样炼成的》分别记为 ，
由题意，画出树状图如下：
由图可知，选择其中两本书进行分享的所有等可能的结果共有12种，其中，晓涵分享的两本书分别为《西
游记》和《繁星·春水》的结果有2种，
所以晓涵分享的两本书分别为《西游记》和《繁星·春水》的概率为 ，
答：晓涵分享的两本书分别为《西游记》和《繁星·春水》的概率为 ．
4．（23-24八年级下·山东济南·期末）化学实验课上，杨老师带来了 （镁）、 （铝）、 （锌）、
（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面
朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：
可以置换出氢气，而 不能置换出氢气）
(1)小云随机从中抽取一张卡片，抽到“ ”的概率为 ；
(2)小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图
的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率．【答案】(1)
(2)
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】（ ）根据概率公式计算即可求解；
（ ）画出树状图，根据树状图即可求解；
本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【详解】（1）解：小云随机从中抽取一张卡片，抽到“ ”的概率为 ，
故答案为： ；
（2）解：用 分别表示 、 、 、 ，画树状图如下：
由树状图可知，共有 中等结果，其中小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果有 种，
∴小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率为 ．
5．（23-24九年级上·河南郑州·期末）巩义市教育局通过抽签确定，2024年中招体育考试必考项目为：长
跑和实心球；考生自选技能项目：篮球、足球二选一；考生自选素质项目：一分钟跳绳、50米跑、立定跳
远三选一．对于考生自选素质项目，甲、乙两名同学各自随机选择一分钟跳绳、50米跑、立定跳远三种中
的一种，记一分钟跳绳为A，50米跑为B，立定跳远为C．假设这两名同学选择考试哪种项目不受任何因
素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为 ，乙同学的选择为 ．
(1)请用列表法或画树状图法，求 所有可能出现的结果；
(2)求甲、乙两名同学在自选素质项目中，选择考试同一项目的概率 ．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率【分析】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或
两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果即可；
（2）由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选择参加自选素质的结果有3种，再由
概率公式求解即可．
【详解】（1）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，分别为 ；
（2）解：由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选择考试同一项目的结果有3种，
甲、乙两名同学选择考试同一项目的概率 ．
通过概率判断游戏是否公平
1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客
进行抽奖返券活动．活动方案有二：
方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占 ，乙盘的白色区域占 ，其余均为黑
色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券．
两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白）
中奖券金额 0元 10元 20元 50元
方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券．
问题：
(1)方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？
(2)如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由．
【答案】(1)顾客获得10元和50元赠券的概率分别是 ， ；(2)方案一，见解析
【知识点】游戏的公平性
【分析】本题考查游戏的公平性；根据乘法法则得到相应的概率是解决本题的关键．
（1）第一次转得是黑色的概率为 ，第二次转得是白色的概率为 ，相乘即为获得10元的概率，同法可
得获得50元的概率；
（2）算出方案一中可能的概率，可获得资金为相应的钱数与概率的积的和，和10比较即可．
【详解】（1）解：设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为 ， ， ， ，
出现（黑，白）的概率 ，
获得10元奖券的概率为 ，
出现（白，白）的概率为 ，
获得50元奖券的概率为 ；
（2）解：应选方案一
设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为 ， ， ， ，
中奖券金额与其概率的对应关系为：
中奖券金
0元 10元 20元 50元
额
概率
中奖额的预期为
元，
．
应该选择方案一．
2．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图是两个分布均匀且可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积
相等的几个扇形，甲、乙两人分别转动一个转盘，转盘停止后，指针分别指向一个数字(若指针指向等分线，
则重转一次)，用所指的两个数字相乘，如果积是奇数，则甲获胜；如果积是偶数，则乙获胜．请你解决下
列问题：(1)乙转动转盘B一次，求指针指向偶数的概率；
(2)这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不公平；理由见解析
【知识点】根据概率公式计算概率、游戏的公平性、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了列表法与树状图法以及游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，
然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再计算出甲获胜的概率和乙获胜的概率，然后通过比较两概
率的大小判断游戏是否公平．
【详解】（1）解：指针指向偶数的概率 ．
（2）解：这个游戏不公平．
理由：画树状图如图所示．
∴共有12种等可能的结果，其中积是奇数的结果数为4，积是偶数的结果数为8，
∴甲获胜的概率= = ，乙获胜的概率 ．
∵ ，
∴这个游戏不公平．
3．（23-24九年级上·甘肃金昌·期末）如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转
盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个
转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为0时，甲获胜；数字之和为1时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止．
(1)用画树状图或列表法求乙获胜的概率；
(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由．
【答案】(1)
(2)公平，理由见解析
【知识点】游戏的公平性、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的
知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）依据题意先用画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出乙获胜的概率，比较
即可．
（2）根据概率公式求出甲乙获胜的概率，比较即可．
【详解】（1）解：（1）列表：
A盘
1 2 3 4
B盘
0 1 2 3
0 1 2
0 1
由列表法可知：会产生12种结果，它们出现的机会相等，其中和为1的有3种结果．
；
（2）解：公平．
，．
，
游戏公平．
4．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）2024贵阳马拉松比赛于6月16日上午7点30分在贵阳国际会展中心
北广场正式鸣枪起跑，本届马拉松赛共设置四个项目，分别是马拉松、半程马拉松、迷你马拉松以及线上
马拉松．经过大家积极的参与，报名人数共计93902人，由于场地人数限制，需要抽签决定是否能够参与
比赛．小红和小星类比该方式进行抽签决定是否参加某场活动，在一个不透明的袋子中放入4个完全一样
的小球，分别标有1、2、3、4四个数字，小红和小星轮流从袋中摸出一球，记下号码，然后放回．
(1)计算摸到小球数字为2的概率；
(2)如果摸到的球号码大于2，则小红参加活动，否则小星参加活动，你认为这个抽签方式公平吗？请说明
理由．
【答案】(1)
(2)公平，理由见解析
【知识点】游戏的公平性、根据概率公式计算概率
【分析】本题考查求简单事件的概率、判断游戏的公平性，理解题意，正确求得概率是解答的关键．
（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）先分别求得小红参加活动和小星参加活动的概率，若概率相等，该抽签方式公平，若概率不相等，
该抽签方式不公平．
【详解】（1）解：所有等可能的结果有4种，其中摸到2的结果有1种，
∴P（摸到小球数字为2） ；
（2）解：公平；
理由如下：所有等可能的结果有4种，其中摸到的球号码大于2的结果有2种，不大于2的结果有2种
∴P（小红参加活动） ，P（小星参加活动） ，
，
∴这个抽签方式公平．
5．（23-24九年级上·河南南阳·期末）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，学校组织该主题漫画比赛．现在小雪和小英想通过设计一个游戏来决定谁去参赛．游戏规则如下：
有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，3，4；另有一个不透明的瓶
子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字
（若指针指在分界线上则重转），再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．若得到的两数字之
和大于6，则小雪参赛；若得到的两数字之和小于6，则小英参赛．
(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
(2)此游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)此游戏公平，理由见解析
【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性
【分析】本题考查了游戏公平性、树状图法以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概
率相等就公平，否则就不公平．
（1）根据题意画树状图即可；
（2）共有9种等可能的结果，两数字之和大于6的结果有4种，两数字之和小于6的结果有4种，求出小
雪参赛和小英参赛的概率，即可得出结论．
【详解】（1）画树状图如下：
共有9种等可能的结果；
（2）此游戏公平，理由如下：
共有9种等可能的结果，两数字之和大于6的结果有4种，两数字之和小于6的结果有4种，
小雪参赛的概率为 ，小英参赛的概率为 ，
此游戏公平．频率和概率的综合问题
1．（23-24七年级下·山东济南·期末）在一个不透明的盒子里装有只有色不同的黑、白两种球共20个，小
颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下色，再把它放回盒子中，不断重复上述
过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图．
(1)请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近______；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
(3)在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为 ，需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】(1)
(2)白球有 个，黑球有 个
(3) 个
【知识点】折线统计图、由频率估计概率、分式方程的实际应用、已知概率求数量
【分析】本题主要考查的是频率折线统计图，频率与总体的关系及分式方程的实际应用，解题的关键是看
懂频率折线统计图，再根据频率与总体的关系作答．
（1）看折线图最后趋于直线，即可写出摸到白球的频率；
（2）根据第一小题算出的白球的概率，再利用频率与总体的关系即可求出白球、黑球的个数；
（3）设加进去的白球个数为 ，再利用频率与总体的关系列分式方程作答即可．
【详解】（1）解：由折线统计图可知：当摸球次数很大时，摸到白球的频率稳定在 左右，
故答案为： ；
（2） （个），
（个），
答：白球有10个，黑球有10个；
（3）解：设再放x个白球，，
，
，
，
，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
答：再放入5个白球．
2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物 元以
上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动
进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数
68 111 136 345 564 701
落在“铅笔”的频率
0.68 0.74 0.68 0.69 0.705
(1)计算并完成表格：
(2)请估计，当 很大时，频率将会接近多少？（精确到 ）
(3)转动转盘一次，估计指针落在“铅笔”的概率．（精确到 ）
【答案】(1)计算及完成后的表格见解析
(2)
(3)
【知识点】由频率估计概率、有理数的除法运算
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，有理数的除法运算等知识点，读懂表格，从表格中得到必要
的信息是解题的关键．注意，频率 所求情况数与总情况数之比．（1）根据频率的算法“频率 频数 总数”，可得各个频率；填空即可；
（2）根据频率的定义，可知当 很大时，频率将会接近其概率；
（3）根据概率的求法计算即可．
【详解】（1）解：落在“铅笔”的频率 ，
故答案为： ，
完成后的表格如下：
转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数
68 111 136 345 564 701
落在“铅笔”的频率
0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701
（2）解：根据频率的定义，可知当 很大时，频率将会接近其概率，
当 很大时，频率将会接近 ；
（3）解：由上可知，获得铅笔的概率约是 ，
转动转盘一次，指针落在“铅笔”的概率约是 ．
3．（23-24七年级下·山东青岛·期末）某商场进行开业有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．
商场规定：顾客购物200元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以
获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
40
转动转盘的次数 50 100 200 800 1000
0
落在“牛奶”区域的次数 24
30 61 119 603
2
落在“牛奶”区域的频率
0.6 0.61 0.59 0.59 0.603(1)完成上述表格，其中 ______， ______；
(2)请估计当 很大时，频率将会在一个常数______附近摆动，假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”
的概率约是______；
(3)转盘中，表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？
【答案】(1)0.605；472
(2)0.6；0.6
(3)
【知识点】几何概率、由频率估计概率、求扇形统计图的圆心角
【分析】本题考查了利用频率估计概率，扇形统计图，解答本题的关键要明确：大量重复实验时，事件发
生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的
集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（1）根据频率的定义计算 时的频率和频率为0.59时的频数；
（2）从表中频率的变化，可得到估计当 很大时，频率将会接近0.6，然后根据利用频率估计概率得“牛
奶”的概率约是0.6；
（3）可根据获得“面粉”的概率为 ，然后根据扇形统计图的意义，用 乘以0.4即可得到表
示“面粉”区域的扇形的圆心角．
【详解】（1） ； ，
故答案为：0.605；472；
（2）估计当 很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”的概率约是0.6，
故答案为：0.6；0.6；
（3） ，
所以表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是 ．
4．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共
40个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，
下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 1000 2000 3000 5000 8000 10000
摸到黑球的次数 650 1180 1890 3100 4820 6013
摸到黑球的频率
(1)请估计：当 很大时，摸到黑球的频率将会接近_______（精确到 ）；(2)试估计袋子中有黑球_______个；
(3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为 ，则可以在袋
子中增加相同的白球_______个．
【答案】(1)
(2)24
(3)8
【知识点】根据概率公式计算概率、由频率估计概率
【分析】本题考查了利用频率估计概率以及概率公式，熟练掌握利用频率估计概率以及概率公式是解题的
关键．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个
频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（1）根据表格的统计数据可得到，当 很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6；
（2）根据大量重复实验中事件的频率可以估计摸到黑球概率为0.6，设估计袋子中有黑球 个，利用概率
公式列式求解即可；
（3）要在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为 ，使得黑球和白球的数量相等即可．
【详解】（1）解：观察表格得：
当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 ．
（2）解：设估计袋子中有黑球 个，
由于当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 ，且这个不透明袋子中每次摸到黑球白球都是等可能性的，
摸到黑球的概率 ，
解得 ，
估计袋子中有黑球24个．
（3）解： 袋子中有黑球24个，白球有 个，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可
能性大小为 ，即白球和黑球数量相等，
增加白球 个．
故可以在袋子中增加相同的白球8个．
5．（23-24七年级下·广东深圳·期末）某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购
物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行
中的一组统计数据（结果精确到0.001）：
转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800
落在“减免20元券”区域的频率为
a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400
请根据表格完成以下问题：
(1) ______；
(2)上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计
b的值是______（填写一个值）；
(3)落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？
(4)请估计落在“减免20元券”区域的概率是______．
【答案】(1)
(2)
(3)频率的变化稳定在 附近
(4)
【知识点】由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用、根据数据描述求频率
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近
似值就是这个事件的概率．
（1）根据频率 频数 总数，计算即可得出答案；
（2）由频数乘以频率即可得到答案；
（3）利用频率估计概率求解即可．
（4）由稳定的频率可得概率
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；（3）解：落在“减免20元券”区域的频率的变化稳定在 附近；
（4）解：估计落在“减免20元券”区域的概率是
