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专题 14 相似三角形十种模型
题型1 A字型
题型2 A字型
题型3 射影定理
题型4 一线三等角
题型5 线束模型
题型6 三角形内接矩形
题型7 三平行模型
题型8 手拉手模型
题型9 特殊平行四边形与相似三角形综合
题型10 作平行线构造模型
题型 1 A 字型
1．如图，P为▱ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB
的面积分别为S，S，S．若S=3，则S +S 的值是（ ）
1 2 1 2
A．24 B．12 C．6 D．10
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一点，点E在BC上，连接CD，
AE交于点F，若∠CFE=45°，BD=2AD，则CE= ．
3．如图①，一张正三角形纸片ABC，AB=32cm，点D在边AB上，AD=10cm，点E是边BC上的一
点．如图②，将△BDE沿DE翻折得△△B'DE，△B'DE与△ABC的边AC相交于点M和点N．
若AM=16cm，B'M=8cm，则CN的长度为 cm．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，四边形CDEF是正方形，AC=15，BC=10，AF交DE于点
G．
(1)求正方形CDEF的边长；
(2)求EG的长．
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C
方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速
度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似?题型 2 8 字型
1．如图，直线l ∥l ，直线l ，l 分别交直线m，n于点A，C，B，D，直线m，n交于点E．若AE=3，
1 2 1 2
CE=2，BE=4，则ED的长为（ ）
8 20 3 35
A． B． C． D．
3 3 8 8
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点
BE
G，若AF＝2FD，则 的值为（ ）
EG
1 1 2 3
A． B． C． D．
2 3 3 4
3．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE=8，则¿=
．
4．菱形ABCD中，点E为CD边上一动点，射线AE与BC的延长线交于点F，连接DF，射线BE与DF
交于点G．(1)如图1，E为CD中点，∠AEB=∠BCD．
①求证：BE2=CE⋅BC；
②若AB=6，求线段EG的长；
(2)如图2，点H在边AD上，若∠EBH=∠BCD=60°，BE=4EG=2，求线段AH的长．
题型 3 射影定理
1．如图，在Rt ABC中，∠ACB = 90º，AC = BC = 4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD
交于点F，△则DF的长为（ ）
❑√2 3❑√2 2❑√2 7❑√2
A． B． C． D．
2 4 3 10
2．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D为AB上一点．
（1）如图1，若CD⊥AB，求证：CD2＝AD•DB；
FH 4 AD
（2）如图2，若AC＝BC，EF⊥CD于H，EF与BC交于E，与AC交于F，且 ＝ ，求 的值；
HE 9 BD（3）如图3，若AC＝BC，点H在CD上，且∠AHD＝45°，CH＝3DH，直接写出tan∠ACH的值为
．
3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高．
(1)求证：AC2=AD⋅AB；
(2)求证：AC2 AD．
=
BC2 DB
题型 4 一线三等角
1．（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=90°时，求证：
AD⋅BC=AP⋅BP．
（2）探究
若将90°角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在△ABC中，AB=2❑√2，∠B=45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC
上，点E在AC上，点F在BC上，且∠EFD=45°，若CE=❑√5，求CD的长．2．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），
∠A=∠B=∠DPC=90°．易证△DAP∽△PBC．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），
∠A=∠B=∠DPC．若PD=4，PC=8，BC=6，求AP的长．
【拓展】如图③，在△ABC中，AC=BC=8，AB=12，点P在边AB上（点P不与点A、B重
合），连结CP，作∠CPE=∠A，PE与边BC交于点E，当△CPE是等腰三角形时，直接写出
AP的长．
3．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；(1)求证：△ABE∽△ECD；
(2)若AB=4，AE=BC=5，求CD的长；
(3)当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．
题型 5 线束模型
1．[基础巩固]
（1） 如图1， 在△ABC中， D、E、F分别为AB，AC，BC上的点，
∠ADE=∠B，BF=CF，AF交DE于点G， 求证：DG=EG；
[尝试应用]
DE
（2）如图2， 在（1）的条件下， 连接CD，CG．若CG⊥DE，CD=6，AE=3， 求 的
BC
值：
[拓展提高]
（3）如图3， 在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O， E为AO上一点，EG∥BD
交AD于点G， EF⊥EG交BC于点 F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=8，求 BF的
长．2．[基础学习]
（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，AF交DE于点G，
DG BF
求证： = ．
EG CF
[尝试应用]
（2）如图2，已知D、E为△ABC的边BC上的两点，且满足3BD=3DE=CE，一条平行于AC的
PQ
直线分别交AB、AD和AE于点P、Q和M，求 的值．
QM
[拓展提高]
（3）如图3，矩形ABCD中AB=3a,AD=2a（a为常数），点E是矩形AB边上的一个动点，延长
BA至点F，使AF=2AE，连接DE，CF，DE与CF相交于点G，连接BG，求BG的最小值（用a的
代数式表示）．题型 6 三角形内接矩形
1．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成
正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的
边长是多少mm？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：如果原题中所要加工的零件只
是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到
这个最大值时矩形零件的两条边长．
2．课本中有一道作业题，有一块三角形余料△ABC，它的边BC=12m，高AD=8m．要把它加工成正
方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，AD交PN于点E，(1)加工成的正方形零件的边长为多少？
(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，
但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值；
(3)如图3，小颖想如果这块余料形状改为Rt△ABC的斜板，已知∠A=90°，AB=8m，AC=6m，
要把它加工成一个形状为平行四边形PQMN的工件，使MQ在BC上，P、N两点分别在AB,AC上，
且PN=8m，则平行四边形PQMN的面积为多少？
3．如图，一块三角形的铁皮ABC，BC边为200mm，BC边上的高AD为120mm，要将它加工成矩形铁
皮EFGH，使它的一边FG在BC上，其余两个顶点E，H分别在AB，AC上．
(1)若四边形EFGH是正方形，那么正方形边长是多少？
(2)在矩形EFGH中，设EF=xmm，FG= ymm．
①求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；②设矩形EFGH的面积为S，当x取何值时，S取最大值，最大值是多少？
4．在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5,AC=3．矩形DEFG的顶点D，G分别在边AC，BC上，EF在
边AB上．
(1)点C到AB的距离为_______．
(2)如图①，若DE=DG，求矩形DEFG的周长．
(3)如图②，若矩形DEFG的周长是DE长的8倍，则矩形DEFG的周长为_______．
5．如图三角形ABC，BC=12，AD是BC边上的高AD=8．P，N分别是AB，AC边上的点，Q，M是
BC上的点，连接PQMN，PN交AD于E．求：
(1)若四边形PQMN是正方形，求PQ的长（图一）；
(2)若四边形PQMN是矩形，且PQ:PN=1:2．求PQ、PN的长（图二）；
(3)若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时，求最大面积和PQ、PN的长．题型 7 三平行模型
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD=4，连接CD，与
AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC=3，则MN的长为 ．
2．如图，在相对的两栋楼CD、EF中间有一堵院墙AB，甲、乙两个人分别在这两栋楼内观察这堵墙，
根据实际情况画出平面图形(CD⊥DF．AB⊥DF．EF⊥DF)．甲从点C可以看到点G处，乙从
点E可以看到点D处．点B是DF的中点．墙AB高5.5米，DF=120米，BG=10.5米，求甲、乙两人
的观察点到地面的距离的差．（结果精确到0.1米）．
4．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，求GH的长．
题型 8 手拉手模型
1．综合与实践
如图1，在正方形ABCD中，AB=4，在BC上取一点G，使得CG=❑√3，以CG为边作正方形
CEFG，连接AF，DG．
【问题发现】DG
（1） 的值是_______，直线DG，AF所夹锐角的度数是________．
AF
【拓展探究】
（2）如图2，正方形CEFG绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请结合图2证明；若
不成立，请说明理由．
【解决问题】
（3）如图3，在旋转过程中，当点G到直线DC的距离为❑√2时，请直接写出AF的长．
2．【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较
小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形．
【初步感受】
（1）①展示1：如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∠BAC=∠DAE=90°,AD
