文档内容
第 03 讲 期中复习专题：解答题之压轴提升题
目录
【考点一 一元一次不等式（组）的新定义型问题】............................................................................................1
【考点二 一元一次不等式（组）与一次函数的综合应用问题】.........................................................................6
【考点三 等腰（等边）三角形综合探究问题】..................................................................................................13
【考点四 等腰三角形与平面直角坐标系的综合问题】......................................................................................20
【考点五 等腰三角形的旋转综合问题】..............................................................................................................25
【考点六 等腰（等边）三角形中新定义型问题】..............................................................................................34
【考点一 一元一次不等式（组）的新定义型问题】
例题：（24-25八年级上·四川成都·期中）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该
一元一次方程为该不等式组的【相伴方程】．
(1)在下列方程中： ； ； ，与不等式组 是 【相伴
方程】的是 ；（填序号）
(2)若不等式组 的一个【相伴方程】的解是整数，则这个【相伴方程】可以是 ；（写出一
个即可）
(3)若方程 ， 都是关于 的不等式组 的【相伴方程】，求 的取值范
围．
【答案】(1) ；
(2) （答案不唯一，只要满足解为 即可）；
(3) ．
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集、解一元一次方程（二）
——去括号
【分析】（ ）分别求出三个一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集即可得到答案；
（ ）先求出不等式组的解集，然后确定出不等式组的整数解，然后写出一个满足这个整数解的一元一次
方程即可；
（ ）先求出两个相伴方程的解，然后求出不等式组的解，然后根据相伴方程的定义求解即可；
本题主要考查了新定义，解一元一次方程与解不等式组，掌握一元一次方程与不等式组解法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵
∴ ，∴方程 的解为 ；
∵ ，
∴ ，
∴方程 的解为 ；
∵ ，
∴
∴方程 的解为： ；
解不等式 得 ，
解不等式 得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∴方程 的解是不等式组的解，
∴不等式组 的【相伴方程】是 ；
故答案为： ；
（2）解：解不等式 得 ，
解不等式 得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∴不等式组的整数解为 ，
∴这个【相伴方程】可以是 ，
故答案为： （答案不唯一，只要满足解为 即可）；
（3）解：解方程 得 ，
解方程 得 ，
解不等式 得 ，
解不等式 得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∵方程 ， 都是关于 的不等式组 的【相伴方程】，∴ ，
解得： ，
∴ 的取值范围是 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·山西晋城·期中）阅读与思考
定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴
方程”．
例如：方程 的解为 ，
不等式组 的解集为 ．
，
方程 为不等式组 的“相伴方程”．
阅读上面的内容完成下列问题：
(1)填空：
下列方程是不等式组 的“相伴方程”的是 ；（填序号）
① ；② ；③ ．
(2)若关于 的方程 是不等式组 的“相伴方程”，求 的取值范围．
【答案】(1)②
(2)
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集、方程的解
【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能准确解不等
式组是解此题的关键．
（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可；
（2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出 ，求出结果即可．
【详解】（1）解不等式组 ，得： ，解方程①， ，得： ，
解方程②， ，得： ，
解方程③， ，得： ，
，
不等式组 的“相伴方程”的是②，
故答案为：②；
（2）解：解不等式组 ，得： ，
解方程 得： ，
关于 的方程 是不等式组 的“相伴方程”，
，
解得： ，
即 的取值范围是 ．
2．（23-24八年级下·广东深圳·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则
称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”例如： 的解为 ， 集为 ，
不难发现 在 的范围内，所以 是 的“子方程”．
问题解决：
(1)在方程① ，② ，③ 中，不等式组 的“子方程”
是______（填序号）；
(2)若方程 是关于x的不等式组 的“子方程”，试求m的取值范围；
(3)若关于x的方程 接不等式组 的“子方程”，求E的取值范围．
【答案】(1)①②
(2)(3)
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“子方程”是解
题的关键.
（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于m的不等式组，进行计算即可；
（3）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可；
【详解】（1）① ，
解得： ，
② ，
解得： ，
，
解得： ，
，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集为： ，
∴不等式组 的“子方程”是：①②，
故答案为：①②：
（2） ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集为： ，
解方程 得， ，
方程 是关于x的不等式组 的“子方程”，∴ ，
∴ ；
（3）方程 ，
解得： ，
，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组 的解集为： ，
∵关于x的方程 关于x的不等式组 的“子方程”，
∴ ，
解得： .
【考点二 一元一次不等式（组）与一次函数的综合应用问题】
例题：（24-25八年级上·安徽六安·期中）太湖山景区有三处景点，三处景点门票价格如下：
类型
票种 类型一 类型三
二
动物
景点 月亮湖 真人CS游戏
园
单价（元） 20 30 60
某地方企业家支持地方经济和教育事业的发展，购买以上三处景点的门票90张用来奖励某校优秀学生，其
中购买类型一票数x张，类型二票数是类型一票数的3倍少20张票，类型三票数y张．
(1)求y与x之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围）
(2)设购买90张票总费用为w元，求w（元）与x（张）之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范
围）
(3)若计划每种票至少购买20张，请你列出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元．
【答案】(1) ；(2) ；
(3)方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张；方案二：购买类型一票
数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张；方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票
数46张，购买类型三票数22张；购买总费用最少是3140元．
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不
等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
（1）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数表达式；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以写出w（元）与x（张）之间的函数表达式；
（3）根据计划每种票至少购买20张，可以求得x的取值范围，然后即可写出所有购票方案，并求购买总
费用最少是多少元．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
即y与x之间的函数表达式为 ；
（2）解：由题意可得，
，
即w（元）与x（张）之间的函数表达式为 ；
（3）解：∵计划每种票至少购买20张，
∴ ，
解得 ，
∵x为整数，
∴ ，21，22，
∴共有三种购票方案，
方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张；
方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张；
方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张；
当 时，w取得最小值，此时 ，
答：方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张；方案二：购买类型一
票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张；方案三：购买类型一票数22张，购买类型二
票数46张，购买类型三票数22张；购买总费用最少是3140元．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·贵州毕节·期中）某种植基地要运送100吨大米和54吨蔬菜到市区，计划租用甲、乙
两种货车共8辆来运送，已知一辆甲种货车同时可装20吨大米和6吨蔬菜，一辆乙种货车同时可装8吨大米和8吨蔬菜．
(1)将这些货物一次性运到目的地，有几种租用货车的方案？
(2)若甲种货车每辆付运输费1500元，乙种货车每辆付运输费1300元，要使运输总费用最少，应选择哪种
方案？
【答案】(1)有三种租用货车的方案，即甲种货车分别租3，4，5辆，乙种货车分别租5，4，3辆
(2)应选择租用甲种货车3辆，乙种货车5辆的方案
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一次函数的应用——方案设计问题．熟练掌握运输总吨数与
每辆车运输吨数和车辆数的关系，列不等式组；运输总费用与每辆车运输费用的车辆数的关系列函数解析
式，是解决问题的关键．
（1）设租用甲种货车x辆，则租用乙种货车 辆．一辆甲种货车同时可装20吨大米和6吨蔬菜，一
辆乙种货车同时可装8吨大米和8吨蔬菜，要运送100吨大米和54吨蔬菜，列不等式组；
（2）设运输总费用为w元．根据甲种货车每辆付运输费1500元，乙种货车每辆付运输费1300元，得到
．得到当 ， 时，运输总费用最少．
【详解】（1）设租用甲种货车x辆，则租用乙种货车 辆．
依题意，得 ，
解得 ，
又x为正整数，
∴ ，
∴有三种租用货车的方案，即甲种货车分别租3，4，5辆，乙种货车分别租5，4，3辆．
（2）设运输总费用为w元．
根据题意，得 ．
∵ ，
∴w随着x的增大而增大，
∵ ，
∴当 时，运输总费用最少，此时 ．
答：应选择租用甲种货车3辆，乙种货车5辆的方案．
2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价 元，
售价 元；乙种服装每件进价 元，售价 元．现计划购进两种服装共 件，其中甲种服装不少于
件．设购进甲种服装 件，两种服装全部售完，商场获利 元．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)若购进 件服装的总费用不超过 元，求最大利润为多少元
(3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠 元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少 元，售价不变 ，且，若最大利润为 元，求 的值．
【答案】(1) ；
(2)4500；
(3)10．
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系
式是求解本题的关键．
（1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式．
（2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值．
（3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于a，b的方程组求值即可．
【详解】（1）解：
其中： ；
（2）解：由题意得： ，
∴ ，
∵ 中， ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， (元)．
（3）解：∵ ，
∴ ，
由题意得：
．
∵ ，
∴当 时， ，
∴y随x的增大而增大，
∴当 时， ，
∴ ，符合题意．
当 时， ， 不合题意．
当 时， ， y随x的增大而减小．
∴当 时， ，
∴ ，不合题意，舍去．综上， ．
3．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）一个车间有30个工人．已知每个工人每天可以制造甲种零件8个或
乙种零件4个．车间以两种零件各自的出厂价对外进行订单式销售，每制造一个甲种零件可获利润150元，
每制造一个乙种零件可获利润350元．在这30人中，车间每天安排x人制造甲种零件，其余人去制造乙种
零件，其中制造甲种零件的的人数不少于制造乙种零件的人数，且车间每天所获利润不低于38000元．
(1)设车间每天所获利润为y元，试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)由于市场行情的变化，车间对两种零件的出厂价分别进行了调整：每个甲种零件出厂价上调m元（
），每个乙种零件出厂价下调20元．试说明m取何值时，车间每天获得的利润最低是40320元？
【答案】(1) ，
(2) 定为21元时，车间每天获得的利润最低是40320元
【知识点】求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、不等式组的应用等知识点，根据题意列出函数解析式是解题的
关键．
（1）根据每天所获利润为甲种与乙种零件所获利润之和列出函数关系式，再根据题意列不等式组确定x的
取值范围即可；
（2）先求出价格调整后，y与x的函数关系式，然后分 、 、 三种情况，结合
一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解： ，
∵制造甲种零件的的人数不少于制造乙种零件的人数，且车间每天所获利润不低于38000元，
∴ ，解得： ．
∴y与x的函数关系式 ，x的取值范围为 ．
（2）解： ；
①当 时， 随 的增大而减小，
，
时，利润最小，
，得 ，（不符合题意，舍去）．
②当 时，利润为39600元，不符合题意，
③当 时， 随 的增大而增大，
，
时，利润最小，
，得 ．
综上所述， 定为21元时，车间每天获得的利润最低是40320元．
4．（22-23八年级上·安徽安庆·期中）某超市需每天从外地调运鸡蛋 千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出 千克，乙养殖场每天最多可调出 千克，从甲、乙两
养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表：
到超市的路程（千米） 运费（元 千克 千米）
甲养殖场
乙养殖场
设从甲养殖场调运鸡蛋 千克，总运费为 元．
(1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式
表示为__________；
(2)求出 与 的函数关系式；
(3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？
【答案】(1) 元， 千克
(2)
(3)从甲养殖场调运 斤鸡蛋，从乙养殖场调运 斤鸡蛋
【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、其他问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其
他应用
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的
函数关系式和不等式组，利用一次函数的性质解答．
（1）根据题意直接得出结论；
（2）根据题意和表格中的数据，可以得到 与 的函数关系式；
（3）根据（2）中的函数关系式和 的取值范围，利用一次函数的性质，即可得到怎样安排调运方案才能
使每天的总运费最省．
【详解】（1）解：从甲养殖场调运鸡蛋 千克，则从乙养殖场调运鸡蛋 千克，
则从甲养殖场调运鸡蛋的运费为： ，
故答案为： 元， 千克；
（2）解：根据题意得： ，
与 的函数关系式为： ；
（3）解：由（2）知， ，
，
随 的增大而增大，
， ，
，
当 时， 取得最小值，
此时 ，答：当从甲养殖场调运 斤鸡蛋，从乙养殖场调运 斤鸡蛋时，每天的总运费最省．
5．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的
电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售数量
销售时
销售收入
段
A种型号 B种型号
第一周 3台 2台 900元
第二周 5台 3台 1450元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采
购多少台？
(3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采
购方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1) 、 两种型号的电风扇的销售单价分别为200元 台和150元 台
(2)37台
(3)能，有2种采购方案分别为 型36台、 型14台或 型37台、 型13台
【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、用一元一次不等式解
决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用．正确理解题意是
关键．
（1）设 、 两种型号的电风扇分别为 元和 元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设 型号电风扇有 台，则 型 台，根据总金额不多于7500元，列一元一次不等式，求解即
可；
（3）表示总利润 与 之间函数关系式，根据利润超过1850元和（2）的条件，利用不等式组解决问题．
【详解】（1）解：设 、 两种型号的电风扇分别为 元和 元，根据题意得：
，
解得： ，
答：求 、 两种型号的电风扇的销售单价分别为200元 台和150元 台.
（2）解：设 型号电风扇有 台，则 型 台，
由题意得：
，
解得： ，答： 种型号的电风扇最多能采购37台．
（3）解：能．
设超市销售利润为 ，设 型号电风扇有 台，则 型 台，
则 ，
当超市销售完这50台电风扇能实现利润超过1850元时，
，
解得 ，
由（2） ，
为整数，
，37，
则有2种采购方案分别为 型36台、 型14台或 型37台、 型13台．
【考点三 等腰（等边）三角形综合探究问题】
例题：（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）如图， 与 都是等边三角形，连接 ， ，点
， 分别是 ， 的中点，连接 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)求证： 是等边三角形；
(3)如图 ， 与 都是等腰直角三角形，连接 ， ，点 ， 分别是 ， 的中点，连
接 ， ．若点 恰好也是 的中点，且 ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定、等边三角形的
判定和性质
【分析】（1）由等边三角形的性质得 ， ， ，可推导出
，进而证明 ，得 ；
（2）由 ， ，且 ，证明 ，而 ， ，可证明 ，得 ， ，可推导出 ，则 是等边
三角形；
（3）由等腰直角三角形的性质得 ， ， ，可推导出
，进而证明 ，得 ， ，而 ， ，
所以 ，可证明 ，得 ， ，推导出 ，
因为 ，点 是 的中点，所以 ，则 ，所以
， ．
【详解】（1）证明：∵ 与 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵点 ， 分别是 ， 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
（3）解：∵ 与 都是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵点 ， 分别是 ， 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，且点 也是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
【点睛】此题是三角形综合题，重点考查等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段
中点的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，证明
是解题的关键．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知 中， ， ，点 为直线
上的一动点（点 不与点 、 重合），以 为边作 ， ，连接 ．(1)发现问题：如图①，当点 在边 上时，
①请写出 和 之间的数量关系_____，位置关系_____；
②线段 、 、 之间的关系是_____；
(2)尝试探究：如图②，当点 在边 的延长线上且其他条件不变时，（1）中 、 、 之间存在的
数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展延伸：如图③，当点 在边 的延长线上且其他条件不变时，若 ， ，求线段 的
长．
【答案】(1)① ；②
(2)不成立，存在的数量关系为 ，理由见解析
(3)6
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角
【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性
质．解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的
对应边相等．
（1）①根据条件 ，判定 ，即可得出 和
之间的关系；
②由①得 ，根据全等三角形的性质，即可得到 ；
（2）根据已知条件，判定 ，得出 ，再根据 ，即可得到
；
（3）根据条件判定 ，得出 ，进而得到 ，最后根据
，即可求得线段 的长．
【详解】（1）解：①如图1，∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
在 和 中，，
，
，
，
即 ；
故答案为： ；
②由①可得， ，
，
，
故答案为： ；
（2）解：不成立，存在的数量关系为 ．
理由：如图2， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，当点 在边 的延长线上时，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
， ，
．2．（24-25八年级上·重庆·期中）（1）【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1， 平分 ．点A为 上一点，过点A作
，垂足为 ，延长 交 于点 ，求证： ；
（2）【问题探究】
如图2， 中， ， ， 平分 ， ，垂足 在 的延长线上，求
证： ；
（3）【拓展延伸】
如图3， 中， ， ，点 在线段 上，且 ， 于 ，
交 于 ，请直接写出 和 之间的数量关系为 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质；
（1）利用已知条件，证明 ，即可得出结论；
（2）延长 交 延长线于F，求出 ，证明 ，推出 ，再证明
，进而可得结论；
（3）过点D作 ，交 的延长线于点G，与 交于H，证明 是等腰直角三角形，可得
，然后同（2）证明 ， ，即可得出答案．
【详解】解：（1）在 和 中， ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图：延长 交 延长线于F，∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3） ．
证明：如图，过点D作 ，交 的延长线于点G，与 交于H，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，即
∴ ，
故答案为： ．
【考点四 等腰三角形与平面直角坐标系的综合问题】
例题：（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）如图，平面直角坐标系 中，点 在第一象限，纵坐标是 ，
点 在 轴正半轴， 是等边三角形，点 是 轴上原点左侧一动点，连接 ，以 为边在
右侧作等边 ，连接 ．(1)等边 的边长是______；
(2)在动点 运动的过程中， 的大小是否是定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由；
(3)连接 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)是定值，
(3)
【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质
【分析】（ ）过点 作 轴于 ，由等边三角形的性质得 ，即得 ，再根据
直角三角形的性质即可求解；
（ ）由等边三角形的性质可证 ，得到 ，据此即可判断求解；
（ ）作 于点 ，可得 ，即得点 在射线 上运动，当点
重合时， 的值最小，利用直角三角形的性质求出 即可求解．
【详解】（1）解：（ ）如图，过点 作 轴于 ，则 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵点 的纵坐标是 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解： 的大小是定值，理由如下：
∵ 和 都是等边三角形∴ ， ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
即在动点 运动的过程中， 的大小是定值 ；
（3）解：作 于点 ，
由（ ）知 ，
∴ ，
即点 在射线 上运动，
在 中，
根据垂线段最短，当点 重合时， 的值最小，最小值为 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，正
确作出辅助线是解题的关键．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）等腰 中， ， ，点 、点 分别是 轴、
轴上两个动点，直角边 交 轴于点 ，斜边 交 轴于点 ．(1)如图（1），已知 点的横坐标为 ，直接写出点 的坐标；
(2)如图（2），当等腰 运动到使点 恰为 中点时，连接 ，求证： ；
(3)如图（3），若点 在 轴上，且 ，点 在 轴的正半轴上运动时，分别以 、 为直角边在
第一、二象限作等腰直角 和等腰直角 ，连接 交 轴于点 ，问当点 在 轴的正半轴上运
动时， 的长度是否变化?若变化请说明理由，若不变化，请求出 的长度．
【答案】(1)
(2)见详解
(3) 的长度不变，
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义、坐标与图形综合
【分析】本题考查了三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作
出辅助线，构建全等三角形．
（1）如图1，过点C作 轴于点F，构建全等三角形： ，结合该全等三角形的
对应边相等易得 的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标；
（2）过点C作 交y轴于点G，则 ，即得 ， ，由
，可证 得 ，从而得到结论；
（3）如图3，过点C作 轴于点E，构建全等三角形： ，结合全等三角形的对
应边相等推知： ， ．再结合已知条件和全等三角形的判定定理 得到：
，故 ．
【详解】（1）解：如图1，过点C作 轴于点F，∵ 轴于点F，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴
∵ 点的横坐标为 ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图2，过点C作 交y轴于点G，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： 的长度不变，理由如下：
如图3，过点C作 轴于点E，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，∴ ，
∴ ．
【考点五 等腰三角形的旋转综合问题】
例题：（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图1，在 中， 分别为
的中点．
(1)将 绕点 逆时针方向旋转得到 （如图2），使直线 恰好过点 ，连接 ．
①判断 与 的数量关系和位置关系，并说明理由；
②求 的长；
(2)如图3，若将 绕点 逆时针方向旋转一周，分别取 的中点 的中点 ，连接 ，则
长度的最大值为____________，最小值为____________．
【答案】(1)① 与 的数量关系为 ，位置关系为 ．理由见解析；②
(2) ，
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形
【分析】（1）①根据 证明 解题即可；
②设 在 中，由勾股定理得 解方程即可；
（2）连接 ， ，根据三角形的三边关系解题即可．
【详解】（1）解：① ， ，理由为：
∵ ， ， 分别为 的中点，
∴ ， 即
∵ ， 即 ，
∴ ，
∴ ，
， ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴
∴ ，
即： ；
② 中， ，
，
同理可求
∵ ，
，
设
在 中，由勾股定理得：
解得： (舍负) ，
；
（2）连接 ， ，
∵点M，N是 和 的中点，
∴ ， ，
根据三角形的三边关系的应用可得： ，
即 ，
即最大值为 ，最小值为 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的应用，三角形三边关系的应用，
正确熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）操作，画 ，并画 的平分线 ，把三角尺的直角顶
点落在 的任意一点 上，使三角尺的两条直角边分别与 、 相交于点 、 ．(1)若 ， （如图① ， 与 的数量关系是______；
(2)把三角尺绕点 旋转（如图② ， 与 相等吗？请说明理由；
(3)探究：画 ，并画 的平分线 ，在 上任取一点 ，作 ． 的
两边分别与 、 相交于 、 两点（如图③ ， 与 相等吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析；
(3) ，理由见解析．
【知识点】角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）
【分析】（1）由角平分线的性质可证明 ；
（2） ，分两种情况，当 时，证明 ，可得 ；当 与 不垂直时，
作 于点 ， 于点 ，先证明 得 ，再证明 ，可得
；
（3）在 上取一点 ，使 ，连接 ，先证明 ，可得 ，
再由同角的补角相等证明 ，则 ，得 ．
【详解】（1）解： 平分 ， ， ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
当 时，如图①，
， 平分 ，
，，且 ，
，
，
，
∴ ，
；
当 与 不垂直时，如图②，作 于点 ， 于点 ，
， ， ，
，
，
，且 ，
，
，
，
，
∴ ，
，
综上所述， ．
（3）解： ，理由如下：
如图③，在 上取一点 ，使 ，连接 ，
平分 ，
，
，∴ ，
， ，
，
， ，且 ，
，
，
，
．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与
性质、多边形的内角和定理等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形．
2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）【问题引入】
（1）如图1，将 绕点 按逆时针方向旋转 得到 （点 的对应点分别为点 、 ），
连接 ，若 ，求 的长；
【衍生拓展】
（2）如图2，在 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转 得到 （点 的
对应点分别为点 ），连接 ，当 时，求 的长；
【深入探究】
（3）如图3，在边长为8的等边 中， 是 的中点， 是 所在直线上一动点，连接 ，将线
段 绕点 按逆时针方向旋转 ，得到线段 ，连接 ．在 点运动过程中，求线段 的最
小值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【知识点】用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS
综合（SAS）
【分析】（1）根据旋转的性质证明 是等边三角形即可求解；
（2）连接 ，延长 交 于F，证明 垂直平分 得 ，然后利用勾股定
理依次求出 ， 即可；
（3）连接 并延长，在 的延长线上取点M，使得 ，连接 ，由旋转的性质可知，
，证明 得 ，点F在与 夹角为 的直线上运动．过点A作 的垂线，垂足为 ，当点F在点 时， 取得最小值．延长 与 的延长线
交于点N，可求 ，在 中求出 ， ，在 中求出
，即 的最小值为 ．
【详解】解：（1）∵将 绕点 按逆时针方向旋转 得到
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
（2）连接 ，延长 交 于F，
由（1）知， 是等边三角形，
∴ ，
∴点D在 的垂直平分线上，
∵ ，
∴点C在 的垂直平分线上，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）连接 并延长，在 的延长线上取点M，使得 ，连接 ，
由旋转的性质可知， ，
∴∴ ．
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
则点F在与 夹角为 的直线上运动．过点A作 的垂线，垂足为 ，当点F在点 时， 取得
最小值．延长 与 的延长线交于点N，
∵
∴ ．
在 中，
， ，
∴ ．
在 中，
∴ ，
即 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，线段垂直平分线的判定，勾股
定理，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
3．（23-24八年级下·河北保定·期中）综合与实践：
【问题情景】
综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动．
【实践操作】
王老师让同学们先画出两个等边 和 ，将 绕点A旋转到某一位置，要求同学们观察图形，
提出问题并加以解决．
（1）如图①，“慎思组”的同学们连接 、 ， 与 的数量关系是 ； 与 的数量关
系是 ； 的度数是 度．
（2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接 ，他们认为，如果 ，且
，就可以求出 的长，请写出求解过程．【类比探究】
（3）如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角 和 ，其中 ，
， ；且点 恰好落在 上，那么 、 和 之间一定存在某种数量关系，请你探
究后直接写出它们之间的数量关系．
【答案】（1） ， ， ；（2） ；（3）
【知识点】等边三角形的性质、根据等边对等角证明、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．
（1）证明 ，可以得到 ， ，根据 ，即可得到
；
（2）由（1） ， ，根据等边三角形性质求出 ， ，进而
求出 ，根据勾股定理即可求出 ；
（3））连接 ， 证明 得到 ， ，进而得到 ，根据勾
股定理得到 ，即可得到 ．
【详解】解：（1）如图1，
与 均为等边三角形
， ，
又 ，
，
在 与 中，
，
，
， ，
又∵ ，
∴ ．
故答案为： ， ， ；
（2）由（1）可知 ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，在 中，由勾股定理可得 ；
（3） ．理由如下：
如图③，连接 ，
， ， ；
， ，
在 与 中，
，
，
， ，
，
，
．
【考点六 等腰（等边）三角形中新定义型问题】
例题：（24-25九年级上·江苏淮安·期中）定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成
两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“完美分割线”．
(1)下列三角形中，不存在“完美分割线”的是 （只填写序号）．
①等边三角形；②顶角为 的等腰三角形；③等腰直角三角形．
(2)在 中， ， ， ．如图1，已知 的一条完美分割线 交 边于点
，且 ，请求出 的长度；
(3)如图2，在 中， ， ，直接写出 被“完美分割线”分得到的等腰三角形顶
角的度数；(4)如图3， 中， ， 为 边上的高， ， 为 的中点，过点 作直线 交
于点 ，作 于 ， 于 ．若射线 为 的“完美分割线”．求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3) ， ， ， 或
(4)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直
角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据“完美分割线”的定义以及等腰直角三角形、顶角为 的等腰三角形、等边三角形
各自的特点即可直接得出答案；
（2）设 ，则 ，在 中，根据勾股定理可得 ，即
，解方程即可求出 的长度；
（3）分三种情况讨论：①当“完美分割线”经过点 时；②当“完美分割线”经过点 时；③当“完美
分割线”经过点 时；分别画出图形求解即可；
（4）先证明 ，推出 ，在 和 中，由
推出 ， ，进而推出 ，即 ，由此可得结论．
【详解】（1）解：根据“完美分割线”的定义可知，等腰直角三角形、顶角为 的等腰三角形存在
“完美分割线”，等边三角形不存在“完美分割线”，
故答案为： ；
（2）解：设 ，则 ，
，
在 中，根据勾股定理可得：
，
即： ，
解得： ，
的长度为 ；
（3）解：分三种情况讨论：
①当“完美分割线”经过点 时，
如图 ，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ；
②当“完美分割线”经过点 时，
如图 ，
当 时， ，
当 时， ；
③当“完美分割线”经过点 时，
如图 ，
当 时， ；
综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为： ， ， ， 或 ；
（4）解：如图 ，过点 作 于点 ，，
为 边上的高，
，
，
不是等腰三角形，
为 的“完美分割线”，
和 中至少有一个是等腰三角形，
是等腰三角形，且 ，
，
，
于 ，
，
为 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
， ，
，
即： ，
，
的最大值为 ．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了新定义的“完美分割线”的理解和运用，等腰三角形的判定
与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，含 度角的直角三角形，直角三角形的两个
锐角互余，三角形的内角和定理，解一元一次方程，线段中点的有关计算，不等式的性质，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形并运用分类讨论思想是解题的关键．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）定义：若两个等腰三角形的顶角之和等于 ，则称这两个等腰三
角形互为“友好三角形“，这两个顶角的顶点互为”友好点“．
(1)已知 与 互为“友好三角形”，点B和点E互为“友好点”．
① 若 一个内角为 ，则 °
② 若 一个内角为 ，则 _____
(2)如图1，直线 ．直线 与 之间的距离为2，直线 与 的距离4．A，B为直线 上两点，O为
直线 上一点，C，D为直线 上两点， 与 互为“友好三角形”， 0为 与 的友
好点． ， ，求 的值．
(3)在（2）的条件下， 与 大小保持不变，将 绕着点O顺时针旋转一定角度到如图
（2）位置，则旋转过程中，判断 的值是否变化？并说明理由．
【答案】(1)① 80 ② 或
(2)80
(3)不变，见解析
【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和
判定
【分析】（1）① 根据 是等腰三角形，且一个内角为 ，得到顶角为 ，根据定义，
得 ．
② 根据题意，得 是等腰三角形，且一个内角为 ，当 得 ；
当 时， ，此时 ．
（2）过点O作 于点E， 于点F，确定 ， ， ， ， 重
合为一条直线，证明 ， ，结合
，计算即可 ．
（3）延长 到点N，使得 ，连接 ，证明 ， 即可．
【详解】（1）① 解：∵ 是等腰三角形，且一个内角为 ，∴顶角为 ，
根据定义，得 ．
故答案为：80．
② 解：根据题意，得 是等腰三角形，且一个内角为 ，
当 ，根据定义，得 ；
当 时， ，此时 ．
故答案为： 或 ．
（2）解：过点O作 于点E， 于点F，
∵直线 ．直线 与 之间的距离为2，直线 与 的距离4，
∴ ， ， ，
∵经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
∴ ， 重合为一条直线，
∵ 与 互为“友好三角形”， 为 与 的友好点．
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．（3）解： 不变，理由如下：
延长 到点N，使得 ，连接 ，
∵ 与 互为“友好三角形”， 为 与 的友好点．
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故 ，
∴ ，
∴ ．
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握
全等和勾股定理是解题的关键．
2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“华益三角
形”．(1)下列三角形一定是“华益三角形”的有________．
①顶角是 的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一个角是 的直角三角形．
(2)如图1，在 中， ，以边 所在的直线为对称轴作 的对称图形
，延长 到点E，使 ，求证： 是“华益三角形”；
(3)如图2， 平分 的内角 ，交 于点E， 平分 的外角 ，延长 和
交于点P，已知 ，若 是“华益三角形”，且 ，设 ，求出 的度
数．
【答案】(1)②③；
(2)见解析；
(3) ．
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）利用“华益三角形”的定义依次判断可求解；
（2）由折叠的性质和等腰三角形的性质可求 ，由等腰三角形的性质可得 ，可得
结论；
（3）由角平分线的定义，得 ， ，利用三角形外角定理，得
， ，进而得到 ，根据 列方程即可得到结
论．
【详解】（1）解：若顶角是 的等腰三角形，
两个底角分别为 ， ，
顶角是 的等腰三角形不是“华益三角形”，
若等腰直角三角形，
三个角分别为 ， ， ，
，
等腰直角三角形是“华益三角形”，
若有一个是 的直角三角形，
另两个角分别为 ， ，
，有一个 的直角三角形是“华益三角形”，
故答案为：②③；
（2）证明： ，
，
作 关于边 所在的直线对称图形 ，
， ， ，
，
，
，
，
，
是“华益三角形”；
（3）解： 平分 的内角 ， 平分 的外角 ，
， ，
，
，
即 ，
又 ，则 ，
， ，
，即 ，
，
，
，
解得 ．
【点睛】本题为几何变换综合题，新定义题型，主要考查了角平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和
定理，三角形外角的性质等知识，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，涉及到了分类讨论的思
想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键．
