文档内容
成都七中 2025~2026 学年度（上）半期考试
高一数学参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．D 2．A 3．C 4．A 5．B 6．D 7．B 8．C
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．AD 10．ABD 11．BCD．
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．3 13．10 14．(-∞，-1] 【写成“a≤-1”，不扣分】
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）当 m=1 时，A={x|-1y>0，m>0）；（2分）【未写范围可不扣分】
x xm
y ym y(xm)x(ym) m(yx)
下面给予证明： - = = ．（5分）
x xm x(xm) x(xm)
y ym y ym
因为m>0，y-x<0，x>0，x+m>0，所以 - <0，故 < ．（7分）
x xm x xm
a 2a b 2b c 2c
（2）由（1）得： < ， < ， < ．（10分）
bc abc ca abc ab abc
a b c 2(abc)
三个不等式相加，得 + + < =2，故k≥2．（12分）
bc ca ab abc
第 1 页 共 4 页1 1
故f(2-x)- =-[f(2+x)- ]．（9分）
2 2
1
所以y=f(2+x)- 是奇函数．（10分）
2
1
由已知，得函数y=f(x)的图象关于点（2， ）成中心对称．（11分）
2
【运用二级结论f(2+x)+f(2-x)=1或f(4-x)+f(x)=1等直接得出结论，扣2分】
（3）由（2）知，f(2+x)+f(2-x)=1．以 a-1-x（或1+x- a）代x，得
f(1+ a-x)+f(3- a+x)=1，即f(1+ a-x)=1-f(3- a+x)．（12分）
所以原不等式等价于f(3+ xa )≥f(3- a+x)．（13分）
由（1）的结论，得3+ xa ≥3- a+x，即 xa + a≥x．（14分）
由已知，该不等式成立当且仅当a≤x≤m，所以 ma+ a=m．（15分）
因为 ma+ a≤ 2[(ma)a]，所以m≤ 2m，解得m≤2．（16分）
当且仅当m=2，a=1时取等号．此时 x1≥x-1当且仅当1≤x≤2，满足题意．
所以m的最大值为2．（17分）
19．解：由题意，A={x|f(x)=x}，B={x|f(f(x))=x}．
（1）由f(x)=x，得|x|-2=x．（1分）
故x-2=x（当x≥0时），或-x-2=x（当x<0时）．
解得x=-1，所以A={-1}．（2分）
又f(f(x))=|f(x)|-2=||x|-2|-2．（3分）
由f(f(x))=x，得||x|-2|=x+2．显然x≥-2．
故2-|x|=x+2（当|x|≤2时），或x-2=x+2（当x>2时）．
解得-2≤x≤0．故B={x|-2≤x≤0}．（5分）
（2）①由题意，A={x|x2+(b-1)x+c=0}={-1，3}．
由根与系数的关系，得1-b=-1+3，且c=-1×3．（6分）
解得b=-1，c=-3，故f(x)=x2-x-3．（7分）
由f(f(x))=x，得(f(x))2-f(x)-3=x，故(f(x))2-x2=0．（8分）
所以(f(x)+x)(f(x)-x)=0，即(x2-3)(x2-2x-3)=0．（9分）
故(x+ 3)(x- 3)(x+1)(x-3)=0，所以B={- 3，-1， 3，3}．（10分）
②设函数g(x)=f(x)-x=x2+(b-1)x+c，则A={x|g(x)=0}．
故f(f(x))-x=(f(x))2+bf(x)+c-x=(g(x)+x)2+b(g(x)+x)+c-x
=(g(x))2+(2x+b)g(x)+x2+(b-1)x+c=g(x)·(g(x)+2x+b+1)．（12分）
设集合C={x|g(x)+2x+b+1=0}={x|x2+(b+1)x+b+c+1=0}，则B=A∪C．
第 3 页 共 4 页由A=B，得A=A∪C，故C⊆A．（13分）
（ⅰ）若C=Ø，则Δ=(b+1)2-4(b+c+1)<0，即(b-1)2<4(c+1)．（14分）
（ⅱ）若C≠Ø，因为x2+(b-1)x+c=0与x2+(b+1)x+b+c+1=0不同解（即A≠C），
b1 b1
所以C A，故C={- }．所以g(- )=0，故(b-1)2=4(c+1)．（15分）
2 2
⫋
1 1 3
综上可知，A=B当且仅当(b-1)2≤4(c+1)，即c≥ b2- b- ．故f(2)=4+2b+c
4 2 4
1 3 13 1
≥ b2+ b+ = (b+3)2+1≥1．（16分）
4 2 4 4
所以f(2)的最小值为1（当且仅当b=-3，c=3时取得）．（17分）
【未讨论C=Ø，结论正确，扣2分；未注明取等条件，扣1分】
各题对于不同解法，参照评分意见的同等步骤，酌情给分．
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