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专题 14 随机事件、概率、频率
事件分类
1．（24-25九年级上·全国·期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．十拿九稳 B．守株待兔 C．水中捞月 D．瓮中捉鳖
2．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．打开电视，正在播放跳水比赛
B．抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为
C．一个多边形的内角和为
D．一个不透明的袋子中装有 个红球和 个白球，除颜色外，这些球无其他差别，随机摸出两个球，
至少有一个是红球
3．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）
A．手可摘星辰 B．黄河入海流 C．大漠孤烟直 D．鱼戏莲叶东
4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．竹篮打水 B．瓮中捉鳖 C．水滴石穿 D．守株待兔
5．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）下列成语描述的事件是随机事件的是（ ）
A．水中捞月 B．日出东方 C．守株待兔 D．画饼充饥
6．（23-24七年级下·广东佛山·期末）下列事件中，随机事件是（ ）A．水中捞月 B．明天太阳从西方升起
C．抛一枚硬币，落地后硬币的正面朝上 D．三角形的内角和是
根据概率公式计算概率
1．（23-24九年级上·云南昆明·期末）一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒
子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是 ．
2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）已知数据： ， ， ， ， ， ， ．从中随机抽取
一个数是无理数的概率为 ．
3．（23-24九年级上·四川达州·期末）经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转，
如果这三种可能性大小相同，那么某辆汽车经过这个十字路口，恰好向左转的概率是 ．
4．（23-24九年级上·吉林白山·期末）某校开展了主题为“我叫中国青年”的线上演讲活动．九年级（1）
班共有50人，其中男生有26人，现从中随机抽取1人参加该活动，恰好抽中男生的概率是
．
5．（23-24九年级上·山东济南·期末）某班有6名女生和4名男生报名参加学校组织的进博会志愿者活动，
现从中任选1人，则选中男生的可能性是 ．
几何概率
1．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转
盘停止转动时（指针指向两个扇形的交线时无效，需重新转动转盘），指针落在灰色区域的概率是
．
2．（23-24七年级下·全国·期末）如图，是一个正三角形的靶子，靶心为其三条对称轴的交点，则A部分
面积占靶子面积的 ，飞镖随机地掷在靶上，则投到区域A或区域B的概率是 ．3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将一个飞镖
随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
4．（23-24七年级下·山西运城·期末）小亮玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子， 是
的边 上的中线，点 是 的中点，连接 ，点 是 的中点，连接 ，则小亮随机投
掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是 ．
5．（23-24七年级下·广东河源·期末）小球在如图所示的地板上自由滚动最终停在黑色区域的可能性是
．
由频率估计概率
1．（23-24九年级上·广东佛山·期末）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数
成活的棵数
成活的频率
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为 （结果保留一位小数）．
成活的频率
2．（22-23九年级上·广东惠州·期末）扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行抽检的结果如下：
抽取的毛绒玩具数
优等品的频数
优等品的频率
从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 （精确到 ）
3．（22-23九年级上·湖南湘西·期末）某水果公司以2元/kg的成本价新进 柑橘．如果公司希望这
些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克定价大约 元（精确到
角）比较合适．为解决此问题，销售人员首先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，
结果如下：
柑橘总质量n/kg 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
损坏柑橘质量m/kg 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54
频率 （三位小数） 0.110 0.105
4．（23-24七年级下·河南周口·期末）在一个不透明的盒子里装有若干个大小、材质都相同的小球(黑白两
色)，把盒子里的小球搅匀，从中随机摸出一个小球并记下颜色，再放回盒子中，不断重复上述操作，整理
数据，制作出“摸出黑球的频率”与“摸球总次数”的关系图象如图所示，可以推断，这个盒子中黑球的
数量约占小球总数量的 ．5．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在学习“频率的稳定性”时，某班同学们共同完成了“抛图钉”的
试验，同学们记录了500次抛图钉的试验数据如下，根据表格中的数据可以估计图钉钉尖朝上的概率约为
．
试验总次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
钉尖朝上的频率 0.69
已知概率求数量
1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）有5张扑克牌，牌面朝下，随机抽出一张记下花色后放回，洗牌后再
这样抽，经历多次试验后，得到随机抽出一张牌是红桃的频率是0.2，则红桃大约有 张．
2．（23-24七年级下·山东济南·期末）在一个不透明的盒子里装有4个黑色棋子和若干白色棋子，每个棋子
除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是 ，则白色棋子的个数为 ．
3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的小球，已知袋中
有6个红球，且摸出红球的概率为 ，则袋中小球的个数为 ．
4．（23-24八年级下·上海长宁·期末）一个不透明的袋子中装着除了颜色外均相同的若干红球和6个蓝球，
从中随机摸出一个球，如果摸到红球的概率是 ，那么袋子中共有 个球．
5．（23-24九年级上·福建泉州·期末）一只盒子中有红球10个，白球6个，黑球a个，每个球除颜色外都
相同，从中任取一个球，取得“红球”的概率与“不是红球”的概率相同，那么a的值是 ．列举法求概率
1．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的 的网格中有A，B两个格点，
在网格的格点上任取一点C（点A，B除外），恰能使 为等腰三角形的概率是 ．
2．（23-24九年级上·贵州遵义·期末）将三个小球分别标上 ， ， 三种化学元素符号（除标记符号外，
其余均相同），放入一个不透明的袋中，探匀后从中任意摸出 个小球，能够组成 （一氧化碳）的概
率是 ．
3．（23-24九年级上·河南南阳·期末）新高考“ ”选科模式是指除“语文、数学、外语”3门科目以
外，学生应在2门首选科目“历史和物理”中选择1科，然后在4门再选科目“思想政治、地理、化学、
生物”中选择2科．小刚同学从4门再选科目中随机选择2科，则恰好选中“思想政治和生物”的概率为
．
4．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）如图，电路图上有4个开关 和1个小灯泡，同时闭
合开关 或同时闭合开关 都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为
．列表法或树状图法求概率
1．（24-25九年级上·全国·期末）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有
数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字 ， ，0；现从甲袋中随机抽取一个小
球，记录标有的数字为 ，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为 ，确定点 的坐标为
．
(1)用树状图或列表法列举点 所有可能的坐标；
(2)求点M(x,y)在函数 的图象上的概率．
2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉
为“中国第五大发明“．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋
分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．
(1)小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是 ．
(2)小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树
状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率．
3．（23-24九年级上·江西·期末）为培养学生的阅读兴趣，某校开展读书月活动，学生们在读书月活动中
可以分享自己最喜欢读的书．晓涵平时最喜欢读的四本书为《西游记）》《繁星·春水》《水浒传》《钢铁
是怎样炼成的》，假设晓涵分享每本书的可能性相同．
(1)若选择其中一本书进行分享，则晓涵分享《水浒传》的概率为________．
(2)若选择其中两本书进行分享，求晓涵分享的两本书分别为《西游记》和《繁星·春水》的概率．
4．（23-24八年级下·山东济南·期末）化学实验课上，杨老师带来了 （镁）、 （铝）、 （锌）、
（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面
朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：
可以置换出氢气，而 不能置换出氢气）(1)小云随机从中抽取一张卡片，抽到“ ”的概率为 ；
(2)小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图
的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率．
5．（23-24九年级上·河南郑州·期末）巩义市教育局通过抽签确定，2024年中招体育考试必考项目为：长
跑和实心球；考生自选技能项目：篮球、足球二选一；考生自选素质项目：一分钟跳绳、50米跑、立定跳
远三选一．对于考生自选素质项目，甲、乙两名同学各自随机选择一分钟跳绳、50米跑、立定跳远三种中
的一种，记一分钟跳绳为A，50米跑为B，立定跳远为C．假设这两名同学选择考试哪种项目不受任何因
素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为 ，乙同学的选择为 ．
(1)请用列表法或画树状图法，求 所有可能出现的结果；
(2)求甲、乙两名同学在自选素质项目中，选择考试同一项目的概率 ．
通过概率判断游戏是否公平
1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客
进行抽奖返券活动．活动方案有二：
方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占 ，乙盘的白色区域占 ，其余均为黑
色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券．
两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白）
中奖券金额 0元 10元 20元 50元
方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券．
问题：
(1)方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？
(2)如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由．
2．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图是两个分布均匀且可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，甲、乙两人分别转动一个转盘，转盘停止后，指针分别指向一个数字(若指针指向等分线，
则重转一次)，用所指的两个数字相乘，如果积是奇数，则甲获胜；如果积是偶数，则乙获胜．请你解决下
列问题：
(1)乙转动转盘B一次，求指针指向偶数的概率；
(2)这个游戏公平吗？请说明理由．
3．（23-24九年级上·甘肃金昌·期末）如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转
盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个
转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为0时，甲获胜；数字之和为1时，乙获胜．如果指针恰
好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止．
(1)用画树状图或列表法求乙获胜的概率；
(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由．
4．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）2024贵阳马拉松比赛于6月16日上午7点30分在贵阳国际会展中心
北广场正式鸣枪起跑，本届马拉松赛共设置四个项目，分别是马拉松、半程马拉松、迷你马拉松以及线上
马拉松．经过大家积极的参与，报名人数共计93902人，由于场地人数限制，需要抽签决定是否能够参与
比赛．小红和小星类比该方式进行抽签决定是否参加某场活动，在一个不透明的袋子中放入4个完全一样
的小球，分别标有1、2、3、4四个数字，小红和小星轮流从袋中摸出一球，记下号码，然后放回．
(1)计算摸到小球数字为2的概率；
(2)如果摸到的球号码大于2，则小红参加活动，否则小星参加活动，你认为这个抽签方式公平吗？请说明
理由．
5．（23-24九年级上·河南南阳·期末）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康
发展，学校组织该主题漫画比赛．现在小雪和小英想通过设计一个游戏来决定谁去参赛．游戏规则如下：有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，3，4；另有一个不透明的瓶
子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字
（若指针指在分界线上则重转），再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．若得到的两数字之
和大于6，则小雪参赛；若得到的两数字之和小于6，则小英参赛．
(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
(2)此游戏公平吗？请说明理由．
频率和概率的综合问题
1．（23-24七年级下·山东济南·期末）在一个不透明的盒子里装有只有色不同的黑、白两种球共20个，小
颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下色，再把它放回盒子中，不断重复上述
过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图．
(1)请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近______；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
(3)在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为 ，需要往盒子里再放入多少个白球？
2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物 元以
上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动
进行中的一组统计数据：转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数
68 111 136 345 564 701
落在“铅笔”的频率
0.68 0.74 0.68 0.69 0.705
(1)计算并完成表格：
(2)请估计，当 很大时，频率将会接近多少？（精确到 ）
(3)转动转盘一次，估计指针落在“铅笔”的概率．（精确到 ）
3．（23-24七年级下·山东青岛·期末）某商场进行开业有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．
商场规定：顾客购物200元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以
获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
40
转动转盘的次数 50 100 200 800 1000
0
落在“牛奶”区域的次数 24
30 61 119 603
2
落在“牛奶”区域的频率
0.6 0.61 0.59 0.59 0.603
(1)完成上述表格，其中 ______， ______；
(2)请估计当 很大时，频率将会在一个常数______附近摆动，假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”的概率约是______；
(3)转盘中，表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？
4．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共
40个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，
下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 1000 2000 3000 5000 8000 10000
摸到黑球的次数 650 1180 1890 3100 4820 6013
摸到黑球的频率
(1)请估计：当 很大时，摸到黑球的频率将会接近_______（精确到 ）；
(2)试估计袋子中有黑球_______个；
(3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为 ，则可以在袋
子中增加相同的白球_______个．
5．（23-24七年级下·广东深圳·期末）某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购
物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行
中的一组统计数据（结果精确到0.001）：
转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000
落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800
落在“减免20元券”区域的频率为
a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400
请根据表格完成以下问题：
(1) ______；
(2)上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计b的值是______（填写一个值）；
(3)落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？
(4)请估计落在“减免20元券”区域的概率是______．
