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第 04 讲 平面直角坐标轴上的规律题
1.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称⇔（
）
坐标相等，（ ）坐标互为相反数；
点P与点p’关于y轴对称⇔（
）
坐标相等，（ ）坐标互为相反数；
⇔横、纵坐标均互为相反数;
点P与点p’关于原点对称
2.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的（ ）坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的（ ）坐标相同。
3.当两个函数的k相等时，则两个函数图像互相平行。
例题1
如图所示，平面直角坐标系中， 轴负半轴上有一点 ．点 第一次向上平移1个单位
至点 ，接着又向右平移1个单位至点 ，然后再向上平移1个单位至点 ，
向右平移1个单位至点 ，…，照此规律平移下去，点 平移至点A 时，点的坐标是
2021
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意得出前若干个点的坐标，得到规律，利用规律解决问题即可．
【详解】
解：由题意，A （-1，1），A （0，2），A （1，3），A （2，4），...，A （-2+n，n），
1 3 5 7 2n-1
∴A （1009，1011），
2021
故选：C．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
例题2
如图,直线l: ,过点A(0,1)作y轴的垂线交直线l于点B,过点B作直线l的垂线交y轴
于点A ；过点A 作y轴的垂线交直线l于点B ,过点B 作直线l的垂线交y轴于点A ；…按此
1 1 1 1 2
作法继续下去,则点A 的坐标为( )
2015
A．(0， ) B．(0, ) C．(0, ) D．(0, )【答案】A
【分析】
根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A ，A 的坐标，通过相应规律得
1 2
到A 标即可．
2015
【详解】
解：∵直线l的解析式为： ，
∴直线l与x轴的夹角为30°，
∵AB∥x轴，
∴∠ABO=30°，
∵OA=1，
∴AB= ，
∵A B⊥l，
1
∴∠ABA =60°，
1
∴AA =3，
1
∴A （0，4），
1
同理可得A （0，16），
2
…，
∴A 纵坐标为：42015，
2015
∴A （0，42015）．
2015
故选：A．
【点睛】
本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根
据含30°的直角三角形的特点依次得到A、A 、A 、A …的点的坐标是解决本题的关键．
1 2 3
例题3
如图，放置的△OAB ,△ ,△ ,…都是边长为2的等边三角形，边AO在 轴上，点 、、 … 都在直线 上，则点 的坐标为_______
【答案】（ ，2021）
【分析】
延长A B 交x轴于C，可证A B ⊥x轴，由条件可求得∠B OC=30°，利用直角三角形的性质可求得B C=1，
1 1 1 1 1 1
OC= ，可求得B 的坐标，进而可求得A 的坐标，同理可求得A 、A 的坐标，则可得出规律，求得A
1 1 2 3 2019
的坐标．
【详解】
解：如图，延长A B 交x轴于C，
1 1
∵△OAB ,△ ,△ ,…是等边三角形，且边长为2，
∴∠AOB =60°，OB =2，
1 1
∴∠B OC=30°， =60°，
1
∴∠OB C=60°，
1
∴∠OCB =90°，
1
在Rt△B OC中，可得B C=1，OC= ，
1 1∴B 的坐标为（ ，1），
1
∴A 的坐标为（ ，3），
1
同理A （2 ，4）、A （3 ，5），
2 3
∴A 的坐标为（n ，n+2），
n
∴A 的坐标为（2019 ，2021），
2019
故答案为：（2019 ，2021）．
【点睛】
本题为规律型题目-点坐标规律探究，利用等边三角形和直角三角形的性质求得A 的坐标，从而总结出点
1
的坐标的规律是解题的关键．
如图，在平面直角坐标系中，△P OA ，△P A A ，△P A A ，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P (3，
1 1 2 1 2 3 2 3 1
3)，P ，P ，…均在直线y＝﹣ x+4上，设△P OA ，△P A A ，△P A A ，…的面积分别为S ，S ，S ，…
2 3 1 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3
依据图形所反映的规律，S ＝_____．
2019
【答案】 .
【分析】
分别过点P 、P 、P 作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和
1 2 3底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案．
【详解】
解：如图，分别过点P 、P 、P 作x轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，
1 2 3
∵P （3，3），且△P OA 是等腰直角三角形，
1 1 1
∴OC＝CA ＝P C＝3，
1 1
设A D＝a，则P D＝a，
1 2
∴OD＝6+a，
∴点P 坐标为（6+a，a），
2
将点P 坐标代入y＝﹣ x+4，得：﹣ （6+a）+4＝a，
2
解得：a＝ ，
∴A A ＝2a＝3，P D＝ ，
1 2 2
同理求得P E＝ 、A A ＝ ，
3 2 3
∵S ＝ ×6×3＝9、S ＝ ×3× 、S ＝ 、……
1 2 3
∴S ＝ ．
2019
故答案为 ．
【点睛】
本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律
解决问题．
例题4
如图，已知点A 的坐标为（0，1），直线1为y=x．过点A 作A B ⊥y轴交直线1于点B ，过
1 1 1 1 1点B 作A B ⊥1交y轴于点A ；过点A 作A B ⊥y轴交直线1于点B ，过点B 作A B ⊥1交y轴
1 2 1 2 2 2 2 2 2 3 2
于点A ，……，则A B 的长是______．
3 n n
【答案】2n-1
【解析】
【分析】
由点A 的坐标可得出点B 的坐标，进而可得出A B 的长，由A B ⊥1交y轴于点A 结合直线1为y=x可得出
1 1 1 1 2 1 2
△A A B 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出点A 的坐标，利用一次函数图象上点的坐
1 2 1 2
标可得出点B 的坐标，进而可得出A B 的长，同理，可得出A B ，A B ，…的长，再根据各线段长度的变
2 2 2 3 3 4 4
化可找出变化规律“A B =2n-1”，此题得解．
n n
【详解】
解：∵点A 的坐标为（0，1），
1
∴点B 的坐标为（1，1），A B =1．
1 1 1
∵A B ⊥1交y轴于点A ，直线1为y=x，
2 1 2
∴△A A B 为等腰直角三角形，
1 2 1
∴点A 的坐标为（0，2），点B 的坐标为（2，2），
2 2
∴A B =2．
2 2
同理，可得：A B =4，A B =8，…，
3 3 4 4
∴A B =2n-1．
n n
故答案为2n-1．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，解题的关键是根据线段
长度的变化找出变化规律“A B =2n-1”．
n n
例题5
如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=-x的图象分别为直线l ，l ，过点（1，0）作x轴
1 2的垂线交l 于点A ，过A 点作y轴的垂线交l 于点A ，过点A 作x轴的垂线交l 于点A ，过
1 1 1 2 2 2 1 3
点A 作y轴的垂线交l 于点A ，…依次进行下去，则点A 的坐标为______．
3 2 4 2019
【答案】（-21009，-21010）
【解析】
【分析】
根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A 、A 、A 、A 、A 、A 、A 、A 等的坐标，根据坐标的变化找
1 2 3 4 5 6 7 8
出变化规律“A （22n，22n+1），A （-22n+1，22n+1），A （-22n+1，-22n+2），A （22n+2，-22n+2）（n为自
4n+1 4n+2 4n+3 4n+4
然数）”，依此规律结合2019=504×4+3即可找出点A 的坐标．
2019
【详解】
当x=1时，y=2，
∴点A 的坐标为（1，2）；
1
当y=-x=2时，x=-2，
∴点A 的坐标为（-2，2）；
2
同理可得：A （-2，-4），A （4，-4），A （4，8），A （-8，8），A （-8，-16），A （16，-16），A
3 4 5 6 7 8 9
（16，32），…，
∴A （22n，22n+1），A （-22n+1，22n+1），
4n+1 4n+2
A （-22n+1，-22n+2），A （22n+2，-22n+2）（n为自然数）．
4n+3 4n+4
∵2019=504×4+3，
∴点A 的坐标为（-2504×2+1，-2504×2+2），即（-21009，-21010）．
2019
故答案为（-21009，-21010）．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找
出变化规律“A （22n，22n+1），A （-22n+1，22n+1），A （-22n+1，-22n+2），A （22n+2，-22n+2）（n为自
4n+1 4n+2 4n+3 4n+4
然数）”是解题的关键．1.如图，在平面直角坐标系中，对 进行循环往复的轴对称变换，若原来点 坐标是 ，
则经过第 变换后所得的 点坐标是________．
【答案】
【分析】
观察不难发现，4次变换为一个循环组依次循环，用2016除以4，根据正好整除可知点A与原来的位置重
合，从而得解．
【详解】
解：由图知， 次变换为一个循环组依次循环，
∵ ＝ ，
∴第 变换后为第 循环组的第四次变换，
变换后点 与原来的点 重合，
∵原来点 坐标是 ，
∴经过第 变换后所得的 点坐标是 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-对称，准确识图，观察出4次变换为一个循环组依次循环是解题的关键．
2. 如图，正方形 ABCD的顶点分别为 A(1,1) B(1，-1) C(-1，-1) D(-1，1)，y轴上有一点
P(0，2)。作点P关于点A的对称点p ，作p 关于点B的对称点p ，作点p 关于点C的对称点
1 1 2 2
p ，作p 关于点D的对称点p ，作点p 关于点A的对称点p ，作p 关于点B的对称点p ┅，
3 3 4 4 5 5 6
按如此操作下去，则点p 的坐标是_______．
2011【答案】（-2,0）
解法：根据题意，P （2，0） P （0，－2） P （－2，0） P （0，2）。
1 2 3 4
根据p 每四个一循环的规律，可以得出：
1-pn
P （0，2），P （2，0），P （0，－2），P 3（－2，0）。
4n 4n+1 4n+2 4n+
2011÷4=502…3，所以点P 的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）
2011
总结：此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。此题是每四个点一循
环，起始点是p点。
3．正方形 ，正方形 ，正方形 ，…按如图所示放置，点 ， ， ，…
在直线 上， ， ， ，…在 轴上，已知 ， ，则 的坐标为______．
【答案】
【分析】
首先利用待定系数法求得直线A A 的解析式，然后分别求得B ，B ，B ...的坐标，可以得到规律：B (2n-1，
1 2 1 2 3 n
2n-1)，据此即可求解.
【详解】
B 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(3，2)，..正方形 边长为1，正方形 边长为2，
1 2
A 的坐标是(0，1)，A 的坐标是 (1，2)，代入 得： ，
1 2
解得： ，
则直线A A 的解析式是： ，
1 2A B = 1，点B 的坐标为(3，2)，
1 1 2
点A 的坐标为(3，4)，
3
A C = A B = B C = 4，
3 2 3 3 3 3
点B 的坐标为(7，4)，
3
B 的纵坐标是：1=20，B 的横坐标是：1 =21 -1，
1 1
B 的纵坐标是：2=21，B 的横坐标是：3 =22-1，
2 2
B 的纵坐标是：4=22，B 的横坐标是7 =23-1，
3 3
B 的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n -1，
n
则B ：( 2n -1 ，2n-1)，
n
故答案为：( 2n -1 ，2n-1)
【点睛】
此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律． 此题难度较大，注意正确得到点的坐标的
规律是解题的关键.
4．如图，在直角坐标系中，长方形OABC的长为2，宽为1，将长方形OABC沿x轴翻转1次，
点A落在A 处，翻转2次，点A落在A 处，翻转3次，点A落在A 处（点A 与点A 重合），
1 2 3 3 2
翻转4次，点A落在A 处，以此类推…，若翻转2021次，点A落在A 处，则A 的坐标
4 2021 2021
为_______．
【答案】（3033，2）
【分析】
探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】
解：由题意A （3，2），A （A ）（5，0），A （6，1），•••，
1 2 3 4
观察纵坐标的变化，发现4次一个循环，纵坐标相同，横坐标每个循环增加6个单位长度；
∵2021÷4=505.....1，
∴A 的纵坐标与A 相同，
2021 1
横坐标=505×6+3=3033，∴A （3033，2），
2021
5.如图， ，过点 作 且 ，得 ；再过点 ，作 ，且 ，
得 ；又过点 作 且 ，得 依此法继续作下去，得 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案．
【详解】
解：由勾股定理得：
，
，
，
，
依此类推可得：
，
∴ ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，解此题的关键是能根
据求出的结果得出规律．
6．在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A(1，0)处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A ；第二次，它从点A 先向左跳跃2个单位，再向
1 1
下跳跃2个单位到达点A ；第三次，它从点A 先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到
2 2
达点A ；第四次，它从点A 先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A ；…依此规
3 3 4
律进行，若点A 的坐标为(2021，2020)，则n＝________．
n
【答案】4039
【分析】
第一次跳跃后 的坐标为（2，1）；第二次跳跃后 的坐标为（0，-1）；第三次跳跃后 的坐标为（3，
2）；第四次跳跃后 的坐标为（-1，-2），第五次跳跃后 的坐标为（4，3），第六次跳跃后 的坐标
为（-2，-3），由此可以得到，奇数次坐标每次横纵坐标加1，偶数次坐标每次横纵坐标减1，据此求解即
可．
【详解】
解：由题意得：第一次跳跃后 的坐标为（2，1）；
第二次跳跃后 的坐标为（0，-1）；
第三次跳跃后 的坐标为（3，2）；
第四次跳跃后 的坐标为（-1，-2），
第五次跳跃后 的坐标为（4，3），
第六次跳跃后 的坐标为（-2，-3），
∴可以得到，奇数次坐标每次横纵坐标加1，偶数次坐标每次横纵坐标减1，
∵点 （2021，2020）在第一象限，
∴点 是奇数次，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4039．【点睛】
本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键在于能够根据题意找到点的坐标变化规律．
7．在直角坐标系中，等腰直角三角形A B O、A B B 、A B B 、…、A B B 按如 图所示放
1 1 2 2 1 3 3 2 n n n﹣1
置，其中点A 、A 、A 、…、A 均在一次函数y=kx+b的图象上，点B 、B 、B 、…、B 均在
1 2 3 n 1 2 3 n
x轴上．若点B 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(3，0)，则点A 的坐标为_____．
1 2 2019
【答案】(22018﹣1，22018)
【分析】
由点B 、B 的坐标可得OB =1，OB =3，则B B =2，由等腰直角三角形的性质可得OA =OB =1，故可得点A
1 2 1 2 1 2 1 1 1
的坐标，同理可求A 的坐标，进而可求A A 的解析式，结合图形可求B 、B 、B 、B …观察规律进而可得
2 1 2 1 2 3 4
B （2n-1，0），而 的横坐标与 横坐标相同，故当n=2018时，可求 的横坐标，即 的横坐
n
标，再代入直线解析式即可求 的纵坐标，即可写出 的坐标．
【详解】
∵点B 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（3，0），
1 2
∴OB =1，OB =3，则B B =2．
1 2 1 2
∵△A B O是等腰直角三角形，∠A OB =90°，
1 1 1 1
∴OA =OB =1．
1 1
∴点A 的坐标是（0，1）．
1
同理，在等腰直角△A B B 中，∠A B B =90°，A B =B B =2，则A （1，2）．
2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2
∵点A 、A 均在一次函数y=kx+b的图象上，
1 2
∴ ，
解得， ，
∴该直线方程是y=x+1，∵点A ，B 的横坐标相同，都是3，
3 2
∴当x=3时，y=4，即A （3，4），则A B =4，
3 3 2
∴B （7，0）．
3
同理，B （15，0），
4
…
B （2n-1，0），
n
∴当n=2018时， ，
当 时，y= = ，
即 的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了点的坐标规律问题，同时结合等腰直角三角形，一次函数解析式等知识，较为综合，根据坐标
特点观察规律是解题的关键．
8．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边
长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A ，A ，A ，A ，…表示，则顶点A 的坐标是_____．
1 2 3 4 55
【答案】（14，14）
【分析】
根据每一个正方形有4个顶点可知每4个点为一个循环组依次循环，用55除以4，根据商和余数判断出点
A 所在的正方形以及所在的象限，再根据正方形的性质写出即可．
55
【详解】
解：∵每个正方形都有4个顶点，
∴每4个点为一个循环组依次循环，∵55÷4=13余3，
∴点A 是第14个正方形的第3个顶点，在第一象限，
55
∵从内到外正方形的边长依次为2，4，6，8，…，
∴A （1，1），1= ；
3
A （2，2），1= ；
7
A （3，3），1= ；
11
…，
∴ ，
∴A （14，14）．
55
故答案为：（14，14）．
【点睛】
本题是对点的坐标变化规律的考查，根据四个点为一个循环组求出点A 所在的正方形和所在的象限是解
55
题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系 中，点 分别在 轴上，点 分别在直线
上， 都是等腰直角三角形，如果 ，则
的坐标为___________．
【答案】
【分析】根据图形的规律求得 ，再将 代入求解即可．
【详解】
由题意得
， ， ，
∴ ， ， ，
∴
将 代入 中
可得
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了图形的规律题，找出图形的规律 是解题的关键．
10．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点 出发，按“向上 向右
向下 向右 向下 向右 向上 向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，
其移动路线如图所示，第一次移动到点 ，第二次移动到点 ，……，第 次移动到点 ，
则点 的坐标是__________．
【答案】【分析】
根据图象可得移动8次图象完成一个循环，从而可得出点 的坐标．
【详解】
解：A （0，1），A （1，1），A （1，0），A （2，0），A （2，-1），A （3，-1），A （3，0），A
1 2 3 4 5 6 7 8
（4，0），A （4，1），…，
9
2022÷8＝252…6，
所以 的坐标为（252×4＋3，-1），
∴点 的坐标是是 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．
11．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个
单位，依次得到点P （0，1）；P （1，1）；P （1，0）；P （1，﹣1）；P （2，﹣1）；P
1 2 3 4 5 6
（2，0）……，则点P 的坐标是_____．
2019
【答案】（673，0）
【分析】
由P 、P 、P 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为 ，纵坐标为0，据此可解．
3 6 9
【详解】
解：由P 、P 、P 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为 ，纵坐标为0，
3 6 9
∵2019÷3＝673，
∴P （673，0）
2019则点P 的坐标是（673，0）．
2019
故答案为（673，0）．
【点睛】
本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，找到某种循环规律之后，可以得解．本题难度中等偏上.
