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第 03 讲 期中复习专题：解答题之压轴提升题
目录
【考点一 一元一次不等式（组）的新定义型问题】............................................................................................1
【考点二 一元一次不等式（组）与一次函数的综合应用问题】.........................................................................6
【考点三 等腰（等边）三角形综合探究问题】..................................................................................................13
【考点四 等腰三角形与平面直角坐标系的综合问题】......................................................................................20
【考点五 等腰三角形的旋转综合问题】..............................................................................................................25
【考点六 等腰（等边）三角形中新定义型问题】..............................................................................................34
【考点一 一元一次不等式（组）的新定义型问题】
例题：（24-25八年级上·四川成都·期中）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该
一元一次方程为该不等式组的【相伴方程】．
(1)在下列方程中： ； ； ，与不等式组 是 【相伴
方程】的是 ；（填序号）
(2)若不等式组 的一个【相伴方程】的解是整数，则这个【相伴方程】可以是 ；（写出一
个即可）
(3)若方程 ， 都是关于 的不等式组 的【相伴方程】，求 的取值范
围．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·山西晋城·期中）阅读与思考
定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴
方程”．
例如：方程 的解为 ，
不等式组 的解集为 ．
，
方程 为不等式组 的“相伴方程”．
阅读上面的内容完成下列问题：
(1)填空：下列方程是不等式组 的“相伴方程”的是 ；（填序号）
① ；② ；③ ．
(2)若关于 的方程 是不等式组 的“相伴方程”，求 的取值范围．
2．（23-24八年级下·广东深圳·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则
称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”例如： 的解为 ， 集为 ，
不难发现 在 的范围内，所以 是 的“子方程”．
问题解决：
(1)在方程① ，② ，③ 中，不等式组 的“子方程”
是______（填序号）；
(2)若方程 是关于x的不等式组 的“子方程”，试求m的取值范围；
(3)若关于x的方程 接不等式组 的“子方程”，求E的取值范围．
【考点二 一元一次不等式（组）与一次函数的综合应用问题】
例题：（24-25八年级上·安徽六安·期中）太湖山景区有三处景点，三处景点门票价格如下：
类型
票种 类型一 类型三
二
动物
景点 月亮湖 真人CS游戏
园
单价（元） 20 30 60
某地方企业家支持地方经济和教育事业的发展，购买以上三处景点的门票90张用来奖励某校优秀学生，其
中购买类型一票数x张，类型二票数是类型一票数的3倍少20张票，类型三票数y张．
(1)求y与x之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围）
(2)设购买90张票总费用为w元，求w（元）与x（张）之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范
围）
(3)若计划每种票至少购买20张，请你列出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·贵州毕节·期中）某种植基地要运送100吨大米和54吨蔬菜到市区，计划租用甲、乙两种货车共8辆来运送，已知一辆甲种货车同时可装20吨大米和6吨蔬菜，一辆乙种货车同时可装8吨大
米和8吨蔬菜．
(1)将这些货物一次性运到目的地，有几种租用货车的方案？
(2)若甲种货车每辆付运输费1500元，乙种货车每辆付运输费1300元，要使运输总费用最少，应选择哪种
方案？
2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价 元，
售价 元；乙种服装每件进价 元，售价 元．现计划购进两种服装共 件，其中甲种服装不少于
件．设购进甲种服装 件，两种服装全部售完，商场获利 元．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)若购进 件服装的总费用不超过 元，求最大利润为多少元
(3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠 元的价格进行优惠促销活动，乙种服装
每件进价减少 元，售价不变 ，且，若最大利润为 元，求 的值．
3．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）一个车间有30个工人．已知每个工人每天可以制造甲种零件8个或
乙种零件4个．车间以两种零件各自的出厂价对外进行订单式销售，每制造一个甲种零件可获利润150元，
每制造一个乙种零件可获利润350元．在这30人中，车间每天安排x人制造甲种零件，其余人去制造乙种
零件，其中制造甲种零件的的人数不少于制造乙种零件的人数，且车间每天所获利润不低于38000元．
(1)设车间每天所获利润为y元，试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)由于市场行情的变化，车间对两种零件的出厂价分别进行了调整：每个甲种零件出厂价上调m元（
），每个乙种零件出厂价下调20元．试说明m取何值时，车间每天获得的利润最低是40320元？
4．（22-23八年级上·安徽安庆·期中）某超市需每天从外地调运鸡蛋 千克，超市决定从甲、乙两大型养
殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出 千克，乙养殖场每天最多可调出 千克，从甲、乙两
养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表：
到超市的路程（千米） 运费（元 千克 千米）
甲养殖场
乙养殖场
设从甲养殖场调运鸡蛋 千克，总运费为 元．
(1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式
表示为__________；
(2)求出 与 的函数关系式；
(3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？
5．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的
电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时 销售数量 销售收入段 A种型号 B种型号
第一周 3台 2台 900元
第二周 5台 3台 1450元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采
购多少台？
(3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采
购方案；若不能，请说明理由．
【考点三 等腰（等边）三角形综合探究问题】
例题：（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）如图， 与 都是等边三角形，连接 ， ，点
， 分别是 ， 的中点，连接 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)求证： 是等边三角形；
(3)如图 ， 与 都是等腰直角三角形，连接 ， ，点 ， 分别是 ， 的中点，连
接 ， ．若点 恰好也是 的中点，且 ，求 的面积．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知 中， ， ，点 为直线
上的一动点（点 不与点 、 重合），以 为边作 ， ，连接 ．
(1)发现问题：如图①，当点 在边 上时，
①请写出 和 之间的数量关系_____，位置关系_____；②线段 、 、 之间的关系是_____；
(2)尝试探究：如图②，当点 在边 的延长线上且其他条件不变时，（1）中 、 、 之间存在的
数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展延伸：如图③，当点 在边 的延长线上且其他条件不变时，若 ， ，求线段 的
长．
2．（24-25八年级上·重庆·期中）（1）【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1， 平分 ．点A为 上一点，过点A作
，垂足为 ，延长 交 于点 ，求证： ；
（2）【问题探究】
如图2， 中， ， ， 平分 ， ，垂足 在 的延长线上，求
证： ；
（3）【拓展延伸】
如图3， 中， ， ，点 在线段 上，且 ， 于 ，
交 于 ，请直接写出 和 之间的数量关系为 ．
【考点四 等腰三角形与平面直角坐标系的综合问题】
例题：（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）如图，平面直角坐标系 中，点 在第一象限，纵坐标是 ，
点 在 轴正半轴， 是等边三角形，点 是 轴上原点左侧一动点，连接 ，以 为边在
右侧作等边 ，连接 ．
(1)等边 的边长是______；
(2)在动点 运动的过程中， 的大小是否是定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由；
(3)连接 ，求 的最小值．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）等腰 中， ， ，点 、点 分别是 轴、轴上两个动点，直角边 交 轴于点 ，斜边 交 轴于点 ．
(1)如图（1），已知 点的横坐标为 ，直接写出点 的坐标；
(2)如图（2），当等腰 运动到使点 恰为 中点时，连接 ，求证： ；
(3)如图（3），若点 在 轴上，且 ，点 在 轴的正半轴上运动时，分别以 、 为直角边在
第一、二象限作等腰直角 和等腰直角 ，连接 交 轴于点 ，问当点 在 轴的正半轴上运
动时， 的长度是否变化?若变化请说明理由，若不变化，请求出 的长度．
【考点五 等腰三角形的旋转综合问题】
例题：（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图1，在 中， 分别为
的中点．
(1)将 绕点 逆时针方向旋转得到 （如图2），使直线 恰好过点 ，连接 ．
①判断 与 的数量关系和位置关系，并说明理由；
②求 的长；
(2)如图3，若将 绕点 逆时针方向旋转一周，分别取 的中点 的中点 ，连接 ，则
长度的最大值为____________，最小值为____________．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）操作，画 ，并画 的平分线 ，把三角尺的直角顶
点落在 的任意一点 上，使三角尺的两条直角边分别与 、 相交于点 、 ．(1)若 ， （如图① ， 与 的数量关系是______；
(2)把三角尺绕点 旋转（如图② ， 与 相等吗？请说明理由；
(3)探究：画 ，并画 的平分线 ，在 上任取一点 ，作 ． 的
两边分别与 、 相交于 、 两点（如图③ ， 与 相等吗？请说明理由．
2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）【问题引入】
（1）如图1，将 绕点 按逆时针方向旋转 得到 （点 的对应点分别为点 、 ），
连接 ，若 ，求 的长；
【衍生拓展】
（2）如图2，在 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转 得到 （点 的
对应点分别为点 ），连接 ，当 时，求 的长；
【深入探究】
（3）如图3，在边长为8的等边 中， 是 的中点， 是 所在直线上一动点，连接 ，将线
段 绕点 按逆时针方向旋转 ，得到线段 ，连接 ．在 点运动过程中，求线段 的最
小值．
3．（23-24八年级下·河北保定·期中）综合与实践：
【问题情景】
综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动．
【实践操作】
王老师让同学们先画出两个等边 和 ，将 绕点A旋转到某一位置，要求同学们观察图形，
提出问题并加以解决．（1）如图①，“慎思组”的同学们连接 、 ， 与 的数量关系是 ； 与 的数量关
系是 ； 的度数是 度．
（2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接 ，他们认为，如果 ，且
，就可以求出 的长，请写出求解过程．
【类比探究】
（3）如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角 和 ，其中 ，
， ；且点 恰好落在 上，那么 、 和 之间一定存在某种数量关系，请你探
究后直接写出它们之间的数量关系．
【考点六 等腰（等边）三角形中新定义型问题】
例题：（24-25九年级上·江苏淮安·期中）定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成
两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“完美分割线”．
(1)下列三角形中，不存在“完美分割线”的是 （只填写序号）．
①等边三角形；②顶角为 的等腰三角形；③等腰直角三角形．
(2)在 中， ， ， ．如图1，已知 的一条完美分割线 交 边于点
，且 ，请求出 的长度；
(3)如图2，在 中， ， ，直接写出 被“完美分割线”分得到的等腰三角形顶
角的度数；
(4)如图3， 中， ， 为 边上的高， ， 为 的中点，过点 作直线 交
于点 ，作 于 ， 于 ．若射线 为 的“完美分割线”．求 的最大值．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）定义：若两个等腰三角形的顶角之和等于 ，则称这两个等腰三
角形互为“友好三角形“，这两个顶角的顶点互为”友好点“．(1)已知 与 互为“友好三角形”，点B和点E互为“友好点”．
① 若 一个内角为 ，则 °
② 若 一个内角为 ，则 _____
(2)如图1，直线 ．直线 与 之间的距离为2，直线 与 的距离4．A，B为直线 上两点，O为
直线 上一点，C，D为直线 上两点， 与 互为“友好三角形”， 0为 与 的友
好点． ， ，求 的值．
(3)在（2）的条件下， 与 大小保持不变，将 绕着点O顺时针旋转一定角度到如图
（2）位置，则旋转过程中，判断 的值是否变化？并说明理由．
2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“华益三角
形”．
(1)下列三角形一定是“华益三角形”的有________．
①顶角是 的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一个角是 的直角三角形．
(2)如图1，在 中， ，以边 所在的直线为对称轴作 的对称图形
，延长 到点E，使 ，求证： 是“华益三角形”；
(3)如图2， 平分 的内角 ，交 于点E， 平分 的外角 ，延长 和
交于点P，已知 ，若 是“华益三角形”，且 ，设 ，求出 的度
数．
