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第 01 课 菱形的性质与判定
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．已知四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA=OB=OC=OD，那么这个四边形是（ ）
A．是中心对称图形，但不是轴对称图形 B．是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据已知条件OA=OB=OC=OD，可知四边形ABCD的对角线相等且互相平分，得出四边形ABCD是矩
形，然后根据矩形的对称性，得出结果．
解：如图所示：
∵四边形ABCD的对角线相交于点O且OA=OB=OC=OD，
∴OA=OC，OB=OD；AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定及矩形的对称性．对角线相等且互相平分的四边形是矩形，矩形既是轴对称图
形，又是中心对称图形．
2．已知矩形的两邻边长分别为3和4，给出结论：①该矩形的面积是6，②该矩形的对角线长是5.则这两
个结论（ ）．
A．只有①是正确的 B．只有②是正确的 C．都是正确的 D．都是错误的
【答案】B【解析】
【分析】
根据矩形的面积公式可求出面积，根据勾股定理可求出对角线的长．
矩形的两邻边长分别为3和4，
该矩形的面积是 ，
该矩形的对角线长是 ，
只有②是正确的，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查矩形的面积以及对角线的长，属于基础题，涉及勾股定定理，熟练掌握矩形的面积公式和勾
股定理是解题关键．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形
D．有三个角是直角的四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】
利用矩形的判定定理及矩形的定义进行判断后即可确定本题的答案．
解：A、有一个直角的平行四边形是矩形，故错误；
B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
C、两条对角线互相垂直的四边形可能是梯形等，故错误；
D、四个角都是直角的四边形是矩形，正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的判定，牢记有关矩形的判定定理及定义是解答本题的关键，属于基础概念题，难度不大．
4．如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD
C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
【答案】C
【解析】
【分析】
矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此判断．
解；A、∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°根据有三个角是直角的四边形是矩形可判定为矩形，故此选项错误；
B、AB∥CD，AB＝CD，可以判定为平行四边形，又有AB⊥AD，可判定为矩形，故此选项错误；
C、AO＝BO，CO＝DO，不可以判定为平行四边形，所以不可判定为矩形，故此选项正确；
D、AO＝BO＝CO＝DO，可以得到对角线互相平分且相等，据此可以判定矩形，故此选项错误，
故选：C．
【点睛】
本题是对矩形判定的考查，熟练掌握矩形的判定定理是解决本题的关键.
5．如图，在矩形 中，点 的坐标是 ，则 的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求出OB，根据矩形的性质得出AC=OB，即可得出答案．
解：连接OB，过B作BM⊥x轴于M，
∵点B的坐标是（1，3），
∴OM=1，BM=3，由勾股定理得： ，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC=OB，
∴AC=
故选：C
【点睛】
本题考查了点的坐标、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出AC=OB是解此题的关键．
6．如图，在矩形 中， ， ，过对角线交点 作 交 于点 ，交 于点 ，
则 的长是( )
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接 ，由矩形的性质得出 ， ， ， ，由线段垂直平分线的性质得出 ，设 ，则 ，在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
如图：连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
即 ；
故选B．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程
是解题的关键．
7．如图，P是矩形 的边 上一个动点，矩形的两条边 的长分别为3和4，那么点P到矩
形的两条对角线 和 的距离之和是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A【解析】
【分析】
首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得AC=BD=5， AOD的面积，然后由
△
S AOD=S AOP+S DOP= OA•PE+ OD•PF求得答案．
△ △ △
解：如图所示，连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，
∴S ABCD=AB•BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD= =5，
矩形
∴OA=OD= ，
∴S ACD= S ABCD=6，
矩形
△
∴S AOD= S ACD=3，
△ △
∵S AOD=S AOP+S DOP= OA•PE+ OD•PF= × ×PE+ × ×PF= （PE+PF）=3，
△ △ △
解得：PE+PF= ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合
思想的应用．
8．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC于 F，M
为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）A．1 B．1.3 C．1.2 D．1.5
【答案】C
【解析】
【分析】
首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM= AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利用面积相等求出
AP的长，即可得AM.
在 ABC中，因为AB2+AC2=BC2，
所△以 ABC为直角三角形，∠A=90°，
又因△为PE⊥AB，PF⊥AC，
故四边形AEPF为矩形，
因为M 为 EF 中点，
所以M 也是 AP中点，即AM= AP，
故当AP⊥BC时，AP有最小值，此时AM最小，
由 ，可得AP= ，
AM= AP=
故本题正确答案为C.
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP⊥BC时AM最小是解题关键.
二、填空题
9．四边形 中， 交于O，给出条件① ；② ；③
；④ ．其中能推得四边形 是矩形的是（填序号）
___________．
【答案】③【解析】
【分析】
由矩形的判定、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
①∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
② ，
不能判定四边形ABCD是矩形，不符合题意；
③∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，符合题意；
④ ，
不能推出四边形ABCD是矩形，不符合题意；
故答案为：③．
【点睛】
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定、平行四边形的判定与性
质是解题的关键．
10．如图，延长矩形 的边 至点 ，使 ，若 ，则 ____．
【答案】15°##15度
【解析】
【分析】
连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度数．
解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AD=AD,AB=CD，
∴△ABD≌△DCA，
∴∠ADB=∠CAD=30°，
∵AD∥BE，
∴∠E=∠DAE，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，
故答案为：15°．
【点睛】
本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．
11．如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果 ， ，则EC
的长 _________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先在Rt ABF中，求出BF，再在Rt EFC中，利用勾股定理构建方程求出EC即可．
解：∵四边△形ABCD是矩形， △
∴AB=CD=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠C=90°，
由折叠的性质可知：AF=AD=10cm，DE=EF，
在Rt ABF中，BF= ，
△
∴CF=BC-BF=4cm，
设EC=x，则DE=EF=8-x，
在Rt EFC中，∵EF2=EC2+CF2，
△∴（8-x）2=x2+42，
∴x=3cm，
故答案为：3cm．
【点睛】
本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
12．如图，在矩形 中， ， 交于点 ， 、 分别为 、 的中点．若 ，则
的长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据矩形的性质求出BO长度，然后根据中位线的性质即可得到答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=2BO=8，
∴BO=4，
∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质以及三角形的中位线，解题的关键是找到线段间的倍数关系．
13．如图，在矩形ABCD中，AB:AD=1：2，将点A沿折痕DE对折，使点A落在BC上的F点，则
∠ADE=_____度．
【答案】15【解析】
【分析】
在直角△CDF中利用三角函数求得∠DFC的度数，则∠ADF即可求得，进而求得∠ADE的度数．
∵折叠，∴DF=AD，
∴在RT△DCF中，DF=2DC，可知∠DFC=30°，
由平行线性质可知
∠ADF=30°,
由翻折可知∠ADE=∠FDE，∴∠ADE=15°．
故答案为15°．
【点睛】
此题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，以及直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题
的关键．
14．如图，在长方形 中，对角线 、 的交点为O，长方形的长、宽分别为 、 ， 过
点O分别交 、 于E、F，那么图中阴影部分面积为________ ．
【答案】7
【解析】
【分析】
先根据矩形的性质证得△AEO≌△CFO，则图中阴影部分面积=△DOC的面积；然后根据矩形的性质解答即
可．
解：∵长方形
∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠ACF=∠CAE，
在△AEO和△CFO中
∠COF=∠AOE,OA=OC,∠ACF=∠CAE
∴△AEO≌△CFO∴S AEO=S CFO
△ △
∴图中阴影部分面积=△DOC的面积
∴S DCO= S ACD= =7．
△ △
故填7．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，根据题意得到图中阴影部分面积
=△DOC的面积成为解答本题的关键．
三、解答题
15．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， ， ，且∠ABC 90°．
=
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ACB 30°，AB 1，求①∠AOB的度数；②四边形ABCD的面积．
= =
【答案】（1）见解析；（2）①60°，② .
【解析】
【分析】
（1）根据AO CO，BO DO可知四边形ABCD是平行四边形，又∠ABC 90°，可证四边形ABCD是矩
形 = = =
（2）利用直角△ABC中∠ABC=90°，∠ACB=300，可得∠BAC 60°，AC=2，BC= ，即可求得四边形
=
ABCD的面积，同时利用矩形的性质，对角线相等且互相平分，可得∠AOB=180°-2∠BAC
解：（1）证明：∵AO CO，BO DO
∴四边形ABCD是平行=四边形，=
∴∠ABC ADC，
∵∠ABC=9∠0°，
∴四边形=ABCD是矩形；
（2）∵∠ABC 90°，∠ACB 300，AB=1
= =
∴∠BAC 60°，AC=2，BC=
=又∵矩形ABCD中，OA=OB
∴∠AOB=180°-2∠BAC=60°
S =1× =
□ABCD
【点睛】
本题考查了矩形的判定及性质定理的应用，会灵活运用是解题的关键.
16．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，
BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．
【答案】（1）见详解；（2）5
【解析】
【分析】
（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出BC长，求出AD＝DF，即可得出答案．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∵DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4，
∴BC＝5，
∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，
∵AB∥DC，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF，
∵AD＝BC，
∴DF＝BC，
∴DF＝5．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，能综合运用定
理进行推理是解此题的关键．
17．如图，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且∠CBD＝∠EBD，P为对角线BD上一点，PN⊥BE于
点N，PM⊥AD于点M．
（1）求证：BE＝DE；
（2）试判断AB和PM，PN的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）PM+PN＝AB；理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由矩形的性质得出∠ADB＝∠CBD，由已知条件∠CBD＝∠EBD，证出∠ADB＝∠EBD，即可得出结
论；
（2）延长MP交BC于Q，先由角的平分线性质得出PQ＝PN，再由AB＝MQ，即可得出结论．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠CBD＝∠EBD，
∴∠ADB＝∠EBD，
∴BE＝DE；
（2）解：PM+PN＝AB；理由如下：延长MP交BC于Q，如图所示：
∵AD∥BC，PM⊥AD，
∴PQ⊥BC，
∵∠CBD＝∠EBD，PN⊥BE，
∴PQ＝PN，
∴AB＝MQ＝PM+PQ＝PM+PN．
故答案为（1）见解析；（2）PM+PN＝AB；理由见解析.
【点睛】
本题考查矩形的性质、平行线的性质以及角平分线的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解
决问题的关键．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为 ，∠CAO的
平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可知AD平分∠CAO，过D点作DE⊥AC于点E，利用角平分线的性质可知OD=OE，利用等面积法即可求出结果．
解：过D点作DE⊥AC于点E，如图所示，
∵AD平分∠CAO，
∴DO=DE，
∵点B的坐标为 ，
∴OA=4，OC=3，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴OD= ，
∴D点坐标为（0， ），
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，利用等面积法进行求值是解题的关键．
2．如图，在矩形ABCD中， ，点G、H分别在边AD、边BC上，连接BG、DH，且 ，
要使四边形BHDG为菱形，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可令AD=2，AB=1，然后设BG=DG=x，则AG=2-x，进而根据勾股定理可求出x的值，最后问题可
求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形BHDG为平行四边形，
由 可令AD=2，AB=1，
要使四边形BHDG为菱形，则有 ，
设BG=DG=x，则AG=2-x，
∴在Rt△ABG中，由勾股定理得： ，
解得： ，
∴ ，
∴ ；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质、菱形的判定及勾股定理，熟练掌握矩形的性质、菱形的判定及勾股定理是解题
的关键．
3．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O， ，过点O的直线与AD，BC分别交于点
E，F，若四边形BEDF是矩形，则∠DOE的度数是（ ）A．60° B．45° C．30° D．15°
【答案】A
【解析】
【分析】
菱形ABCD中， ，对角线AC，BD交于点O，则 ，同理
，故 ， 为等边三角形，因为四边形BEDF是矩形，则 ，利用
等边三角形三线合一可知E为AD的中点，又O为BD的中点，则OE为 的中位线，即可求得
∠DOE的度数．
解：在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O， ，
∴ ， ，
则 ， 为等边三角形，
又∵四边形BEDF是矩形，
则 ，即 ，
∴E为AD的中点，
又∵O为BD的中点，
∴OE为 的中位线，
∴OE∥AB,
则 ，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，中位线的判定与性质等，熟练掌握
以上性质定理是解题的关键．
4．如图，四边形 是矩形，点E在线段 的延长线上，连接 交 于点F， ，
G是 的中点，若 ，那么 的长为（ ）A． B． C．5 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质可得AG=FG=DG=4，从而得到∠AEG=∠AGE，进而得到AE=AG=4，再由勾股定理，
即可求解．
解：∵四边形 是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AD∥BC，
∴∠ADG=∠DEC，
∵G是 的中点，， DF=8，
∴AG=FG=DG=4，
∴∠GAD=∠GDA=∠DEC，
∵∠AGE=∠GAD+∠GDA=2∠DEC，∠AED=2∠DEC，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG=4，
在 中，
．
故选：B
【点睛】
本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识解题的关键是灵活应用这些知识解决
问题，属于中考常考题型．
5．如图，已知矩形 ，点E是 边的中点，F为 边上一点， ，若
，有如下结论：① ，② ，③ ，④ ，其中正
确的是（ ）A．②④ B．①②④ C．①③ D．①③④
【答案】B
【解析】
【分析】
过E作EH⊥CF于H，利用矩形的性质和全等三角形的判定和性质判断即可．
解：过E作EH⊥CF于H，如图，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故④正确；∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故②正确；
∴ ，
故③错误．
故选B．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
6．如图所示，在矩形 中， ， ， 是 的中点， 为 上任意一点，连接 ，将
沿 翻折至 ， 的对应点为 ，连接 ，当 时，求 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，过点 作 于 ，设 交 于 想办法求出 ， 利用勾股定理即可解决问题．
解：如图，过点 作 于 ，设 交 于 ．
四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形 是矩形，
，
，
；
故选：D．
【点睛】
本题考查矩形的性质，翻折变换．解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三
角形解决问题，属于中考常考题型．
7．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD
的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，根据全等三角形的性质得
到PD＝CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB＝6，BC＝10，
∴AE＝ AB＝ ×6＝3，CF＝ BC＝ 10＝5，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
在 PDH与 CFH中，
△ △
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝5，CH＝PH，
∴AP＝AD﹣PD＝5，
∴ ，
∵点G是EC的中点，
∴GH＝ EP＝
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线
构造全等三角形是解题的关键．
8．如图，矩形ABCD中， ，点E是AD上的一点，且 ，CE的垂直平分线交CB的延长线于
点F，交CD于点H，连接EF交AB于点G．若G是AB的中点，则BC的长是（ ）A．6 B．7 C．8 D．10.5
【答案】B
【解析】
【分析】
过点E作EP⊥BC于点P，易证四边形ABPE和四边形CDEP为矩形，得出CD=EP=8，DE=CP=4，根据
AAS易证△AEG≌△BFG，得出AE=BF，又FH垂直平分EC，得出FC=FE，令BC=x，则BP=AE=BF=x-4，
进而EF=FC=2x-4，FP=2x-8，在Rt△EFP中，EP2+FP2=EF2，进行求解即可．
解：过点E作EP⊥BC于点P，
在矩形ABCD中
∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AB=CD=8，
∴四边形ABPE和四边形CDEP为矩形，
又 ， ，
∴CD=EP=8，DE=CP=4，
∵G是AB的中点，
∴AG=GB=4，
又AD∥BC，
∴∠AEG=∠BFG，
又∠AGE=∠BGF，
∴△AEG≌△BFG（AAS），
∴AE=BF，
∵FH垂直平分EC，
∴FC=FE，
令BC=x，则BP=x-4，
又AE=BF=BP，
∴BP=AE=BF=x-4，
∴EF=FC=2x-4，FP=2x-8，在Rt△EFP中，EP2+FP2=EF2，
∴82+（2x-8）2=（2x-4）2
解得x=7．
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，利用勾股定理解直角三角形以及全等三角形的判定和性
质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形利用勾股定理求边长．
二、填空题
9．如图，已知矩形ABCD中，点E为AD的中点，F为CD中点， ， ，点H为BC上一点且
EH为 ，则线段FH的长为____________．
【答案】 或
【解析】
【分析】
分情况讨论，第一种情况，过点E作EM⊥BC于点M，当H点在M点左侧时，连接HF、HE，利用勾股定
理即可求解；第二种情况，过点E作EM⊥BC于点M，当H点在M点右侧时，连接HF、HE，同理可求出
HF，问题得解．
如图，第一种情况，过点E作EM⊥BC于点M，当H点在M点左侧时，连接HF、HE，在矩形ABCD中，AD=BC=6，AB=DC=4，
∵E点为AD中点，F点为DC中点，
∴AE=ED=3，DF=FC=2，
∵EM⊥BC，
∴可知四边形AEMB是矩形，∠EMB=90°，
∴BM=AE=3，ME=DC=4，即MC=BC-BM=6-3=3，
∴Rt△EMH中， ，
∴ ，
∴HC=MH+MC=2+3=5，
∴Rt△HFC中，
∴ ，
第二种情况，过点E作EM⊥BC于点M，当H点在M点右侧时，连接HF、HE，如图，
同理HM=2，
则有HC=MC-HM=3=2=1，
∴Rt△HFC中，
，故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理等知识，注重分类讨论的思想是解答本题的关键．
10．如图，矩形 中， ， 是 的中点，线段 在边 上左右滑动；若 ，
则 的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此
时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求
出HG'的长，即可求解．
解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取
EF=1，此时GE+CF的值最小，
∴G'E=GE，AG=AG'，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC=2
∴CH∥EF，
∵CH=EF=1，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH=CF，
∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，
∴AG=AG'=1
∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴ ，
即 的最小值为 ．
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位
置是解题关键．
11．如图，在矩形ABCD中，AB=9，点E，F分别在BC，CD上，将 ABE沿AE折叠，使点B落在AC上
的点B′处，又将 CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB′与AD的交点△C′处，则DF的值为______．
△
【答案】3
【解析】
【分析】
首先连接CC′，可以得到CC′是∠EC′D的平分线，所以CB′=CD，又AB′=AB，所以B′是对角线中点，
AC=2AB，所以∠ACB=30°，即可得出答案．
解：连接CC′，
∵将 ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，
又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．
∴EC=△EC′，∴∠1=∠2，
∵∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
在 CC′B′与 CC′D中，
△ △
，
∴△CC′B′≌△CC′D（AAS），
∴CB′=CD，
又∵AB′=AB，
∴AB′=CB′，
所以B′是对角线AC中点，
即AC=2AB=18，
所以∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，∠ACC′=∠DCC′=30°，
∴∠DC′C=∠1=60°，
∴∠DC′F=∠FC′C=30°，
∴C′F=CF=2DF，
∵DF+CF=CD=AB=9，
∴DF=3．
故答案为：3．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换的性质和角平分线的判定与性质，解答此题要抓住折叠前后的图形全等的性质，
得出CC′是∠EC′D的平分线是解题关键．
12．如图，在矩形ABCD中， ， ，E是AD上一点， ，P是BC上一动点，连接AP，
取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是______．
【答案】10【解析】
【分析】
过点P作PM∥FE交AD于M，则FE为 APM的中位线，PM =2EF，当PM⊥AD时，PM最短，EF最短，
在Rt PMD中可求得PD的长度． △
△
过点 P 作 PM∥FE交AD于M ，
如图， F为AP的中点， PM∥FE ，FE为 APM的中位线，
∴AM =2AE=4 ，PM =2EF ， △
当EF取最小值时，即PM最短，
当PM⊥AD时，PM最短，
此时PM = AB =6 ， DM=8 ，
在Rt PMD中，PD = 10 ，
△
当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是10．
故答案为：10·
【点睛】
本题考查了矩形的性质，垂线段的性质和三角形中位线定理，构造三角形中位线，利用垂线段最短是解决
本题的关键．
13．如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD>AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在
一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE=EF，CE=1，则
AD=________．【答案】 ##
【解析】
【分析】
证明Rt EBF≌Rt EB′D（HL），推出BF=DB′，再证明DB′=EC=BF=1，想办法求出AB′，可得结论．
解：由翻△折的性质△可知，EB=EB′，∠B=∠AB′E=∠EB′D=90°，
在Rt EBF和Rt EB′D中， ，
△ △
∴Rt EBF≌Rt EB′D（HL），
∴BF△=DB′， △
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠CDB′=∠EB′D=90°，
∴四边形ECDB′是矩形，
∴DB′=EC=1，
∴BF=EC=1，
由翻折的性质可知，BF=FG=1，∠FAG=45°，∠EGF=∠B=∠AGF=90°，
∴AG=FG=1，
∴AF= ．
∴AB=AB′=1+ ，
∴AD=AB′+DB′=2+ ，
故答案为：2+ ．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题
的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
14．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线
MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接 PC，交MN于点Q，连接CM．
下列结论：①四边形 CMPN是菱形；②点P与点A重合时， MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是
4≤S≤5，其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】
先判断四边形CMPN是平行四边形，再根据PN= CN判断四边形CMPN是菱形，点P与点A重台时设
BN=x，表示出AN=NC=8-x，利用勾股定理解出x，进而求出MN即可判断②，当MN过D点时，求出四边
形CMPN面积的最小值，当P与A重台时，求出四边形面积的最大值，即可判断③．
解：①如下图，
∵ ，
∴ ，
∵折叠，∴ ，NC=NP
∴ ，
∴ ，∴PM=CN，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 为菱形，
故①正确，符合题意；
②当点P与A重合时，如图2所示
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵四边形 为菱形，
∴ ，且 ，
∴
∴ ，
故②错误，不符合题意；
③当 过点D时，如图3所示：此时， 最短，四边形 的面积最小，则S最小为 ，
当P点与A点重合时， 最长，四边形 的面积最大，则S最大为 ，
∴ ，故③正确，符合题意.
故答案为：①③.
【点睛】
本题主要考查翻折问题，三角形的面积，矩形、菱形及平行四边形的性质等知识点，熟练应用矩形、菱形、
平行四边形的性质及翻折的性质是解题的关键．
三、解答题
15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， 交DC的延长线于点E，BD＝
BE．
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若∠AOB＝60°，AB＝4，求矩形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】（1）根据已知条件证明四边形ABEC是平行四边形，然后证明AC＝BD，即可得证；
（2）根据已知条件可得△AOB是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理可得
， ，进而求得矩形的面积．
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ．
又∵点E在DC的延长线上，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形ABEC是平行四边形，∴ ，
又∵BD＝BE，
∴AC＝BD
∴平行四边形ABCD是矩形；
(2)
∵在矩形ABCD中，∠AOB＝60°，OA＝OB．
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAC＝60°
∴ ，
∴ ，
∴矩形ABCD的面积＝ ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌
握矩形的性质与判定是解题的关键．
16．如图，四边形ABCD是矩形，点G为对角线AC的中点，E为AD边上一点，过点A作 交CE
延长线于点F，连接BF、FG．(1)若 ，求证：AC垂直平分BF．
(2)若 ，求 的度数；
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：如图，连接BG，
∵AF⊥CE，
∴∠AFC=∠ABC=∠D=90°，
∵点G是AC的中点，
∴FG=BG=AG=GC= AC，
∴点G在BF的垂直平分线上，
在△AFE和△CDE中，
，
∴△AFE≌△CDE（ASA），
∴AF=DC=AB，
∴点A在BF的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BF；(2)
∵AC垂直平分BF；点G为对角线AC的中点，
∴FG=BG=AG=GC，
∴∠GCF=∠GFC，∠GBC=∠GCB，
∴∠FGB=∠AGF+∠AGB=2∠FCG+2∠BCG=2∠FCB=80°，
∵BG=FG，
∴ .
∠BFG=50°
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质与判定，三角
形的外角的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
17．在平行四边形 中， ，将 沿 翻折至 ，连接 ．求证：
(1) ；
(2)求证： ；
(3)在平行四边形 中，已知： ，将 沿 翻折至 ，连接 ．若以
为顶点的四边形是矩形，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)AC的长为2 或4 ．
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出∠EAC=∠ACB，由翻折的性质得出∠ACB=∠ACB′，证出∠EAC=∠ACB′，得
出AE=CE；（2）根据等腰三角形的性质得出DE=B′E，证出∠CB′D=∠B′DA= （180°-∠B′ED），由∠AEC=∠B′ED，
得出∠ACB′=∠CB′D，即可得出B′D∥AC；
（3）分两种情况：①由矩形的性质得出∠CAB′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函数即可求出AC；②由
矩形的性质和已知条件得出AC=4 ．
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵△ABC≌△AB′C，
∴∠ACB=∠ACB′，BC=B′C，
∴∠EAC=∠ACB′，
∴AE=CE，
∴DE=B′E；
(2)
∵DE=B′E，
∴∠CB′D=∠B′DA= （180°-∠B′ED），
∵∠AEC=∠B′ED，
∴∠ACB′=∠CB′D，
∴B′D∥AC；
(3)
分两种情况：①如图1所示：∵四边形ACDB′是矩形，
∴∠CAB′=90°，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=60°，
∴AC= BC=2 ；
②如图2所示：
∵四边形ACB′D是矩形，
∴∠ACB′=90°，
∴∠ACB=90°，
∵BC=4，∠B=60°，
∴AC=4 ，
综上所述：AC的长为2 或4 ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、翻折变换、等腰三角形的判定以及平行线的判定；熟练掌握
平行四边形的性质、翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．18．已知矩形 的对角线 相交于点O，点E是边 上一点，连接 ，且 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，设 与 相交于点F， 与 相交于点H，过点D作 的平行线交 的延长线于点G，
在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（ 除外），使写出的每个三角形的
面积都与 的面积相等．
【答案】(1)见解析
(2) 、 、 、
【解析】
【分析】
（1）利用SSS证明两个三角形全等即可;
（2）先证明Rt△ABE≌Rt△DCE得到AE=DE，则 ，根据三线合一定理证明∴OE⊥AD， 推出
，得到 ，即可证明 由 ，得到∠OBF=∠OCH，
，证明△BOF≌△COH，即可证明 ，则 ，即可推出
，最后证明 ，即可得到 ；
(1)
证明：∵四边形 是矩形，
∴ 与 相等且互相平分，
∴ ，
∵ ， ，
∴ （SSS）；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠BAE=∠CDE=90°，OA=OD=OB=OC，
又∵BE=CE，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）
∴AE=DE，
∴ ，
∵OA=OD，AE=DE，
∴OE⊥AD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴∠OBF=∠OCH， ，
又∵∠BOF=∠COH，OB=OC，
∴△BOF≌△COH（ASA），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴∠AFE=∠DGE，∠EAF=∠EDG，
又∵AE=DE，∴ ，
∴ ；
综上所述， 、 、 、 这4个三角形的面积与△AEF的面积相等．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，矩形的性质，平行线的性质与判定等等，熟知
全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
19．在矩形ABCD中，P是线段BC上的一个动点，将△ABP沿直线AP翻折，点B的对应点为E，直线PE
与直线AD交于点F．
(1)如图①，当点F在AD的延长线上时，求证 ；
(2)若 ，BC足够长，当点E到直线AD的距离等于3时，求BP的长；
(3)若 ， ．当点P、E、D在同一直线上（如图②）时，点P开始向点C运动，到与C重合时
停止，则点F运动的路程是______．
【答案】(1)见解析
(2) 或
(3)4.8
【解析】
【分析】
（1）由矩形对边平行可得 ，再由翻折性质可得 ，则由等量代换及等腰三角
形的判定即可得结论；
（2）过点E作 于F点，易证 ，分点矩形内部与外部两种情况即可求解；
（3）取BM=AB=6，AN=AB=6，连接MN，则四边形ABMN是正方形，当点P由P、E、D重合时的状态运动到与M重合时，则F点的路程为线段DN长；当点P继续向点C运动直到与点C重合时，点F的路程为
NF的长，为此求出DF的长即可求得点F的路程．
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ．
∴ ．
由翻折得： ．
∴ ．
∴ ．
(2)
过点E作 于F点， 则
∴ ．
当点E在矩形内部时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，
∴∠BAE=90°−∠EAF=60°．
由翻折得， ，
∴ ，
∴由勾股定理得： ，
解得 ．
当点E在矩形外部时，如图，
则∠BAE=∠BAD+∠EAF=120°．
由翻折得： ，∴∠APB=90°−∠BAP=30°，
∴ ，
则由勾股定理得
综上，线段BP的长为 或 ．
(3)
如图，取BM=AB=6，AN=AB=6，连接MN，则四边形ABMN是正方形，
当点P由P、E、D重合时的状态运动到与M重合时，则F点的路程为线段DN=AD-AN=10-6=4，
当点P继续向点C运动直到与点C重合时，点F的路程为NF的长，即点F的路程为DN+NF，
由矩形性质得：AB=CD=6，∠D=90°，
由翻折的性质得：AB=AE=6，
当点P与点C重合时，由（1）知AF=CF．
则CF=AF=AD−DF=10−DF，
在Rt△CDF中，由勾股定理得： ，
解得： ，
∴ ，
∴点F的运动路程为：DN+NF=4+0.8=4.8．故答案为：4.8．
【点睛】
本题是矩形折叠的综合问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，注意
（2）有两种情况，难点是（3）中确定点F的运动路径是由D到N再到F．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·海南·中考真题）如图，菱形 中，点E是边 的中点， 垂直 交 的延长线于点
F，若 ，则菱形 的边长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
过C作CM⊥AB延长线于M，根据 设 ，由菱形的性质表示出BC=4x，
BM=3x，根据勾股定理列方程计算即可．
过C作CM⊥AB延长线于M，
∵
∴设
∵点E是边 的中点
∴
∵菱形∴ ，CE∥AB
∵ ⊥ ，CM⊥AB
∴四边形EFMC是矩形
∴ ，
∴BM=3x
在Rt△BCM中，
∴ ，解得 或 （舍去）
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．属
于拔高题．
2．（2021·青海西宁·中考真题）如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C
的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C， 的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图
2所示，则AB的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由图象2可知，点P从B到C的运动时间为4s，则由动点P的运动速度可求出BC的长，再根据图象可知
的面积为6cm2，即可利用面积公式求解此题．
解：∵动点P从A点出发到B的过程中，S随t的增大而增大，动点P从B点出发到C的过程中，S随t的增大而减小．
∴观察图象2可知，点P从B到C的运动时间为4s，
∵点P的运动速度为1cm/s，
∴BC=1×4=4（cm），
∵当点P在直线AB上运动至点B时， 的面积最大，
∴由图象2得： 的面积6cm2，
∴ ，
∴ cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量．要求能根据函数图象的性质
和图象上的数据分析得出所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
3．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中， ， ，M是BC上的点，且
．将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点 处，折痕为
MN，则线段PA的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接PM，证明 即可得到 ，PA=5．
连接PM∵矩形纸片ABCD中， ， ，
∴
∵
∴
∵折叠
∴ ,
∴
∵PM=PM
∴
∴
∴
故选B．
【点睛】
本题考查矩形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件 ，学会利用翻折不变性解决问题．
4．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，将矩形纸片ABCD的两个直角进行折叠，使CB，AD恰好落在对角
线AC上，B′，D′分别是B，D的对应点，折痕分别为CF，AE．若AB＝4，BC＝3，则线段 的长是（
）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用矩形的性质与勾股定理求解 再利用轴对称的性质求解 ，从而可得答案.
解： 矩形纸片ABCD，由折叠可得：
同理：
故选：
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键.
5．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次
连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形 ；第二次，顺次连接四边形 各边的中点，得到
四边形 ；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用中位线、菱形、矩形的性质可知，每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，由此可解．
解：如图，连接AC，BD， ， ．∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ， ， ．
∵ ， ， ， 分别是矩形四个边的中点，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∵ ， ，
∴四边形 的面积为： ．
同理，由中位线的性质可知，
， ，
， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴四边形 的面积为： ．
∴每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，∴四边形 的面积是 ．
故选:A．
【点睛】
本题考查矩形的性质，菱形的性质以及中位线的性质，证明四边形 是菱形，四边形 是矩
形是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·四川内江·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，
EF∥BC，则AF+CE的最小值是 _____．
【答案】10
【解析】
【分析】
延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE＝FG，得出当点A、F、
G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可．
解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，
∵ ，EF＝CG，
∴四边形EFGC是平行四边形，
∴CE＝FG，
∴AF+CE＝AF+FG，∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，
由勾股定理得，AG＝ ＝ ＝10，
∴AF+CE的最小值为10，
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出当A、F、G三点共线时，
AF+CE的值最小，是解题的关键．
7．（2021·青海西宁·中考真题）如图，在矩形 中，E为 的中点，连接 ，过点E作 的垂线
交 于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知 ， ，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，先证明△AEF≌△DEG，则EF=EG， ，利用等腰三角形的性质，求出 ，
然后得到AB=CD= ，则 ，利用勾股定理求出BC，然后得到AE的长度，即可求出FE的长度．
解：根据题意，在矩形 中，则
AB=CD，BC=AD，∠A=∠EDG=90°，
∵E为 的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG，∴EF=EG， ；
∵CE⊥FG，
∴ ，
∴AB=CD= ，
∴ ，
在直角△BCF中，由勾股定理则
，
∴AD=3，
∴ ，
在直角△AEF中，由勾股定理则
；
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是
熟练掌握所学的知识，正确得到 ．
三、解答题
8．（2022·湖北十堰·中考真题）如图， 中， ， 相交于点 ， ， 分别是 ， 的中
点．
(1)求证： ；(2)设 ，当 为何值时，四边形 是矩形？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)当 时，四边形 是矩形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）连接 ，先根据平行四边形的性质可得 ，再根据线段中点的定义可得
，然后根据平行四边形的判定可得四边形 是平行四边形，最后根据平行四边
形的性质即可得证；
（2）先根据矩形的判定可得当 时，四边形 是矩形，再根据线段中点的定义、平行四边形
的性质可得 ，由此即可得出 的值．
(1)
证明：如图，连接 ，
四边形 是平行四边形，
，
分别是 ， 的中点，
，
四边形 是平行四边形，
．
(2)
解：由（1）已证：四边形 是平行四边形，
要使平行四边形 是矩形，则 ，
，，即 ，
，
故当 时，四边形 是矩形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关
键．
9．（2022·山东威海·中考真题）如图:
(1)将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．
①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；
②求四边形AGCH的面积．
(2)如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2 ，BC＝7，CF＝ ，求四边形AGCH的面积．
【答案】(1)①菱形，理由见解析；②20
(2)
【解析】
【分析】
（1）①根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；②设AH=CG=x，利用勾股定理构建方程即可解决问
题；
（2）两个矩形的对角线相等，可得出EC的长，设AH=CG=x，利用勾股定理以及边长之间的关系可得出x
的值，进而可求出面积．
(1)
①∵四边形ABCD，四边形AECF都是矩形∴
∴四边形AHCG为平行四边形
∵
∴
∴
∴四边形AHCG为菱形；
②设AH=CG=x，则DH=AD-AH=8-x
在 中
即
解得
∴四边形AHCG的面积为 ；
(2)
由图可得矩形ABCD和矩形AFCE对角线相等
∴
∴
设AH=CG=x则HD=7-x
在 中，
在 中，
∵EC=EH+CH=8
∴x=3
∴四边形AGCH的面积为 ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程
解决问题．
10．（2017·山东德州·中考真题）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落
在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
【答案】（1）见解析；（2）① ；②
【解析】
【分析】
（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出
∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论；
（2）①由矩形的性质得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由对称的性质得出CE＝BC
＝5cm，在Rt CDE中，由勾股定理求出DE＝4cm，得出AE＝AD﹣DE＝1cm；在Rt APE中，由勾股定
理得出方程，解方程得出EP＝ cm即可；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；当点P与点A重合时，点E离点A最
远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，即可得出答案．
（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，
又∵EF AB，
∴∠BPF＝∠EFP，
∴∠EPF＝∠EFP，
∴EP＝EF，
∴BP＝BF＝EF＝EP，
∴四边形BFEP为菱形；
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE＝BC＝5cm，
在Rt CDE中，DE＝ ＝4cm，
∴AE＝AD﹣DE＝5cm﹣4cm＝1cm；
在Rt APE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE，
∴EP2＝12+（3﹣EP）2，
解得：EP＝ cm，
∴菱形BFEP的边长为 cm；
②当点Q与点C重合时，如图2：
点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；
当点P与点A重合时，如图3所示：
点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，
∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判
定、勾股定理、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
