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第 03 课 正方形的性质与判定
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角都相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
2．如图，已知正方形ABCD的边长为5 ，E为BC边上的一点，∠EBC=30°，则BE的长为 ( )
A． cm B．2 cm C．5 cm D．10 cm
3．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个
条件可以是（ ）
A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC
4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边
作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，菱形ABCD中， ，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．176．如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点
E，则DE的长是 ( )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
7．如图，边长分别为 和 的两个正方形 和 并排放在一起，连接 并延长交 于点 ，交
于点 ，则
A． B． C．2 D．1
8．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABEF、
ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S、S、S、S．则S-S +S +S 等于（ ）
1 2 3 4 1 2 3 4
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题
9．若正方形的边长为a，则它的对角线长为__________．
10．如图所示，已知四边形ABCD是菱形，则只需补充条件：________(用字母表示)就可以判定四边形
ABCD是正方形．(填一个即可)
11．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________．12．在 中，已知 、 为对角线，现有以下四个条件：① ；② ；③
；④ ．从中选取两个条件，可以判定 为正方形的是_________．（写出一组即
可）
13．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作 ，垂足为点F．若
， ，则正方形ABCD的面积为___．
14．作正方形 中对角线 的平行线 ，点E在直线 上，且四边形 是菱形，贴
_______．
三、解答题
15．如图，若四边形 的对角线 与 相交于点O，且 ，则四边形
是正方形吗？
16．如图，在正方形ABCD中， ， ， ，图中有几个直角三角形？你是如何判断的？与
同伴进行交流．
17．如图，M、N分别是正方形 的边 的中点， 与 交于点P，连结 ，求证：
．18．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．下列命题中正确的是( )
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
B．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
C．一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；
D．对角线相等的四边形是矩形
2．如图，在正方形 中，点 、 分别在 ， 上，且 ，连接 ， ，则下列结论中
不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，
DC于点M，N．若正方形ABCD边长为6，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）A．18 B．12 C．9 D．8
4．如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，AC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形
ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
5．如图，四边形 是边长为6的正方形，D点坐标为（4，－1）， ，直线 过A、C两点，
P是 上一动点，当 的值最大时，P点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将 DCE沿DE对折至 DFE，延长EF
交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③S DGF＝48；
△ △
④S BEF＝ ．其中所有正确结论的个数是（ ） △
△A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，正方形ABCD，CEGF，且B．C．E三点共线，M为AG的中点．若AB＝3，CE＝1，则CM的
长为（ ）
A．2.5 B． C． D．2
8．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点P是对角线BD上一点，连接AP并延长交CD于点F，过点P
作PE⊥AF交BC于点E，连接AE；若 ，则AE的长为（ ）
A．10 B． C． D．
二、填空题
9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，以AB为一条边向三角形外部作正方形ABDE，P为DE
上一点，则四边形ACBP的面积为_____．
10．如图，正方形 的边长为 ，点 是 中点，将 沿 翻折至 ，延长 交边 于点 ，则 的长为______．
11．如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠CEB和∠CFD都是直角且点C，E，F三点共线，BE＝
2，则阴影部分的面积是 _____．
12．如图，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，E 为 AC 上一点，连接 EB、ED，延长 BE交 AD 于
F．当∠BED＝120°时，则∠ABF 的度数为__________°．
13．如图，C为AB上任意一点，分别以AC、BC为边在AB同侧作正方形ACDE、正方形BCFG，设
∠AFC=α，则∠BDC为_________（用含α的代数式表示）．
14．如图，正方形ABCD的边长为15，P为BC边上一点，PB＝2PC，把△PAB沿PA边翻折，点B落在B
1
处，设PB 的延长线交CD于Q，则PQ＝_______．
1
15．如图，已知正方形 的边长为1，点 是边 的中点，将 沿直线 翻折，使得点 落在同一平面内的点 处，联结 并延长交射线 于点 ，那么 的长为______．
三、解答题
16．如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AB＝3 ，BE＝2，求四边形AECF的面积．
17．如图，正方形ABCD中， ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)若 ，且 ，则 _______．
18．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说
明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·湖南衡阳·中考真题）下列命题为假命题的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形D．有一组邻边相等的矩形是正方形
2．（2022·重庆·中考真题）如图，在正方形 中， 平分 交 于点 ，点 是边 上一
点，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）在平面直角坐标系中，点 ， ．以 为一边在第一象
限作正方形 ，则对角线 所在直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏泰州·中考真题）如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设 ,则 为（ ）
A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣ α
5．（2022·重庆·中考真题）如图，在正方形 中，对角线 、 相交于点O． E、F分别为 、
上一点，且 ，连接 ， ， ．若 ，则 的度数为（ ）
A．50° B．55° C．65° D．70°
二、填空题
6．（2020·江苏镇江·中考真题）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则
∠BPC的度数为_____°．
7．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且
分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．
8．（2022·山西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线
上，且 ，连接EF交边AD于点G．过点A作 ，垂足为点M，交边CD于点N．若
， ，则线段AN的长为_________三、解答题
9．（2021·山东·冠县育才双语学校八年级阶段练习）如图，在正方形 的外侧，作等边角形 ，
连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
10．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探
究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
(1)【问题一】如图①，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点， 交
于点 ， 交 于点 ，则 与 的数量关系为_________；
(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线 、 经过正方形 的对称中心 ，直线 分
别与 、 交于点 、 ，直线 分别与 、 交于点 、 ，且 ，若正方形 边长为
8，求四边形 的面积；(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形 的顶点 在正方形 的边 上，顶
点 在 的延长线上，且 ， ．在直线 上是否存在点 ，使 为直角三角形？若存
在，求出 的长度；若不存在，说明理由．
