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第 03 讲 认识有理数（11 个知识点+7 种题型+过关检测）
知识点1：具有相反意义的量
1.定义 在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把
这样的量叫做具有相反意义的量 .
特别提醒： 具有相反意义的量的“两要素”：
(1)具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能称为具有相反意义的量 .
(2)具有相反意义的量必须是同类量，只要求具有相反意义，不要求数量一定相等 .
2. 用正数、负数表示具有相反意义的量
为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用
负数表示 .
特别提醒：用正数、负数表示具有相反意义的量时，一般地，向指定趋势变化用正数表示，向指定趋
势的相反趋势变化用负数表示.
1 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司知识点2：正数、负数的定义
1.定义
正数：像 2%,4,3.5 这样大于 0 的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如
+2,+0.7。
负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数
注意： 0 既不是正数，也不是负数 .
2. 数的符号
一个数前面的“ +”“－”号叫做它的符号，其中“ +”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写
.
3. 符号“+”“－”的双重含义
(1) 作为运算符号是加减号；
(2) 作为性质符号是正负号 .
特别解读
1. 正数的实质是大于 0的数，它可以带着“+” (正)号，也可以省略 “+”号.
2. 负数就是在正数的前面加上“-”号的数.
3. 正数与负数的特征：
(1)不为0；
(2)含“+”“－”号.
知识点3：有理数
1. 整数
正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等
2.分数
正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限
循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数.
3.有理数
整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式，
4.几个常用数学名词的含义
(1)正整数:既是正数,又是整数的数
2 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司(2)负整数:既是负数,又是整数的数
(3)正分数:既是正数,又是分数的数
(4)负分数:既是负数,又是分数的数
(5)非负数:正数和 0.
(6)非正数:负数和 0.
(7)非负整数(也叫自然数):正整数和0.
(8)非正整数:负整数和0.
(9)正有理数:正整数和正分数
(10)负有理数:负整数和负分数
(11)非正有理数:0、负整数和负分数
(12)非负有理数:0、正整数和正分数
特别提醒
1. 非负整数是在整数范围内取非负数，包括正整数和 0.
2. 引入负数后，奇数和偶数的范围也相应地扩大了.奇数和偶数也可以是负数 .
3. 自然数包括 0 和正整数 .
知识点4：有理数的分类
1.有理数的分类：
正整数 正整数
正有理数
整数零
正分数
按意义分：有理数
负整数；按符号分：有理数零 ．
正分数 负整数
分数
负有理数
负分数 负分数
特别警示
1. 不管按什么标准分类，最终都将有理数分为五类：正整数、 0、负整数、正分数、负分数.
2. 正有理数都是正数，但正数不一定都是正有理数.
2. 有理数分类的三原则
3 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司(1) 分类不重复： 所分的各类应当互不包含 .
(2) 分类无遗漏： 所分各类之“和”必须是原来的全部 .
(3) 标准要统一： 必须按同一分类标准进行分类 .
知识点5：相反数
1.定义
只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.
要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.
2.相反数的性质
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.
（2）互为相反数的两数和为0.
知识点6：绝对值的意义
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点分析：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任
何有理数a都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离
原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
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学科网（北京）股份有限公司知识点7：绝对值的性质
1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
2.求法
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
知识点8：比较有理数的大小
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
同为正号：绝对值大的数大
两数同号
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号 正数大于负数
正数与0：正数大于0
－数为0
负数与0：负数小于0
要点分析：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的
大小．
知识点9：数轴（重点）
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
要点归纳：
（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度
而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．
知识点10：数轴上的点与有理数的关系（重点）
数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他
5 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司数，比如 .
要点归纳：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，
负数用原点左边的点表示，零用原点表示.
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
知识点11：数轴法比较有理数的大小
在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
一．正数和负数（共5小题）
1．（2023秋•大化县月考）商店卖出一瓶水收入2元，可表示为 元；则购水花费20元记为
A．20 B． C． D．
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：依题意得：购水花费20元记为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了相反意义的量，根据相反意义的量即可求解，熟练掌握相反意义的量是解题的关键．
2．（2023秋•科左中旗期末）一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片包装上注明净含量为 ，则下列
同类产品中净含量不符合标准的是
A． B． C． D．
【分析】根据净含量为 可得该包装薯片的净含量，再逐项判断即可．
【解答】解： 薯片包装上注明净含量为 ，
薯片的净含量范围为： 净含量 ，
6 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司故 不符合标准，
故选： ．
【点评】本题主要考查了正负数的定义，计算出净含量的范围是解答此题的关键．
3．（2023秋•兴隆县期末）某品牌酸奶外包装上标明“净含量： ”．随机抽取四种口味的这种酸奶分别称
重如下表．其中，净含量不合格的是
种类 原味 草莓味 香草味 巧克力味
净含量 295 300 310 305
A．原味 B．草莓味 C．香草味 D．巧克力味
【分析】根据正数和负数的实际意义求得净含量合格的范围，据此进行判断即可．
【解答】解：由题意可得净含量合格的范围为 ，
则295，300，305均在该范围内，310不在该范围内，
那么净含量不合格的是香草味，
故选： ．
【点评】本题考查正数和负数的实际意义，结合已知条件求得净含量合格的范围是解题的关键．
4．（2023秋•镇江期末）下表是小辰的妈妈元旦当天的微信零钱收支明细（单位：元）
微信转账
如意水果店
微信红包
便民菜场
观察表格信息，可知小辰的妈妈元旦当晚微信零钱余额和前一天相比
A．多了23元 B．少了23元 C．多了116元 D．少了93元
【分析】由表可知，收入为“ ”，支出为“ ”，再对表中数据进行加减运算，即可解题．
【解答】解：由表可知，收入为“ ”，支出为“ ”，
7 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司（元 ，
小辰的妈妈元旦当晚微信零钱余额和前一天相比多了23元，
故选： ．
【点评】本题考查有理数加减混合运算在实际问题中的运用，掌握其运算法则是解决此题的关键．
5．（2024•青秀区校级开学）如果向东走 ，记作 ，那么向西走 ，记作 ．
【分析】根据正负数的性质即可求解．
【解答】解：如果向东走 ，记作 ，那么向西走 ，记作 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查相反意义的量，解题的关键是熟知正负数的代表相反的含义．
二．有理数（共9小题）
6．（2024•广西模拟）下列四个数中，属于负整数的是
A． B． C．0 D．6
【分析】根据负整数的定义进行判断即可．
【解答】解： 是负分数， 是负整数，0既不是正数也不是负数，6是正整数，
故选： ．
【点评】本题考查有理数，熟练掌握相关定义是解题的关键．
7．（2023秋•凉山州期末）
A．是负数，不是分数 B．不是分数，是有理数
C．是负数，也是分数 D．是分数，不是有理数
【分析】根据负数、分数及有理数的定义进行判断即可．
【解答】解： 是小数，是有理数，是负数也是分数．
故选： ．
【点评】本题主要考查有理数和正数和负数的知识点，解答本题的关键是掌握正负数的概念，此题基础题，比较简单．
8 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司8．（2024•重庆模拟）在 ， ，0， 这四个数中，属于负整数的是
A． B． C．0 D．
【分析】根据实数分类的相关概念，可辨别此题结果．
【解答】解： ， 都是分数，
选项 ， 不符合题意；
既不是正数，也不是负数，
选项 不符合题意；
是负整数，
选项 符合题意，
故选： ．
【点评】此题考查了利用实数概念解决问题的能力，关键是能准确理解相关知识并进行正确辨别．
9．（2023秋•仓山区期末）定义：有序有理数 ， 满足 ，则称有序有理数 ， 为“共生有序有理数”．
若有序有理数 ， 是“共生有序有理数”，则下列各组有序有理数组合中一定属于“共生有序有理数”的是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】根据“共生有序有理数”的定义可得 ，然后将各项计算后进行判断即可．
【解答】解： 有序有理数 ， 是“共生有序有理数”，
，
，
不符合题意；
，
不符合题意；
，
9 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司不符合题意；
，
符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查有理数的运算，理解新定义是解题的关键．
10．（2023秋•广阳区期末）下列说法正确的是
A．所有的整数都是正数
B．整数和分数统称有理数
C．0是最小的有理数
D．零既可以是正整数，也可以是负整数
【分析】根据有理数的分类，绝对值的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解： 、所有的整数不都是正整数，还有负整数和0，故 不符合题意；
、整数和分数统称有理数，故 符合题意；
、0是绝对值最小的有理数，故 不符合题意；
、零既不是正整数，也不是负整数，故 不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了有理数，正数和负数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
11．（2023秋•梁山县期末）在3.14， ，0， ，0.1010010001中有理数的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据有理数的概念进行求解即可．
【解答】解：在3.14， ，0， ，0.1010010001中有理数的有3.14， ，0，0.1010010001，共4个；
故选： ．
【点评】本题主要考查有理数：有限小数与无限循环小数是有理数；掌握有理数的概念是解题的关键．
10 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司12．（2024春•绥棱县期末） 0 既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界线．
【分析】首先知道0这个数的相关知识：0是整数，是最小的自然数，是正数和负数分界；由此判断即可．
【解答】解：0既不是正数也不是负数，它是正数与负数的临界点．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查0这个数的知识点，①既不是正数，也还是负数；②是整数；③是最小的自然数；④是正数和
负数分界．
13．（2023秋•凉州区校级期末）把下列各数填到相应的集合中．
1， ，0.5， ，0， ， ， ， ，0.3， ， ， ．
正数集合： 1 ， ， 0. 5 ， ， ， 0. 3 ， ， ；
负数集合： ；
整数集合： ；
分数集合： ．
【分析】利用正数，负数，整数以及分数定义判断即可．
【解答】解：正数集合： ， ，0.5， ， ，0.3， ， ；
负数集合： ， ， ， ；
整数集合： ， ，0， ， ；
分数集合： ，0.5， ， ，0.3， ．
故答案为：1， ，0.5， ， ，0.3， ， ；
， ， ， ；
1， ，0， ， ；
11 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司，0.5， ， ，0.3， ．
【点评】此题考查了有理数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
14．（2023秋•平阴县期末）请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里．
1，0.0708， ， ，0，3.14， ， ．
正有理数集合： 1 ， 0.070 8 ， 3.1 4 ， ， ，
负整数集合： ，
正分数集合： ，
非负整数集合： ．
【分析】根据有理数的分类填写即可．
【解答】解：正有理数集合： ，0.0708，3.14， ， ，
负整数集合： ， ，
正分数集合： ，3.14， ， ，
非负整数集合： ，0， ．
故答案为：1，0.0708，3.14， ； ；0.0708，3.14， ；1，0．
【点评】本题考查了有理数的知识，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，
注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
三．数轴（共12小题）
15．（2023秋•沈北新区期末）一名同学画了四条数轴，只有一个正确，你认为正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据数轴的概念进行逐一辨别即可．
12 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司【解答】解： 选项 该数轴没有单位长度，选项 中单位长度1，2，3顺序颠倒，选项 中1， 位置颠倒
选项 、 、 不符合题意，
故选： ．
【点评】此题考查了对数轴概念的考查能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
16．（2024•钦州二模）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是
A．0.5 B． C． D．
【分析】设小手盖住的点表示的数为 ，则 ，再根据每个选项中实数的范围进行判断即可．
【解答】解：设小手盖住的点表示的数为 ，则 ，
则表示的数可能是 ．
故选： ．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
17．（2023秋•新宾县期末）若数轴上的点 表示的数是 ，则与点 相距5个单位长度的点表示的数是
A． B． C．3或 D． 或7
【分析】根据数轴上到一点距离相等的点有两个，位于该点的左右，可得答案．
【解答】解：在数轴上与 的距离等于5的点表示的数是 或 ．
故选： ．
【点评】本题考查了数轴，利用了数轴上到一点距离相等的点有两个，位于该点的左右．
18．（2023秋•南明区期末）数轴上点 表示 ，点 表示3，则 、 两点间的距离是
A． B． C．7 D．1
【分析】数轴上两点之间的距离等于这两点的数的差的绝对值，即较大的数减去较小的数．
【解答】解： ．
13 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司距离是7．
故选： ．
【点评】考查了数轴上两点之间的距离的计算方法：右边的数减去左边的数．
19．（2024春•同安区期中）如图，半径为1个单位长度的圆从 点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点 ，则点
表示的数是
A． B． C． D．
【分析】根据是数的运算， 点表示的数加两个圆周，可得 点，根据数轴上的点与实数一一对应，可得 点表示的
数．
【解答】解： 点表示的数加两个圆周，可得 点，
，
故选： ．
【点评】本题考查了实数与数轴，直径为1个单位长度的圆从 点沿数轴向右滚动， 点表示的数加两个圆周．
20．（2024•海珠区校级二模）数轴上的点 距原点5个单位长度，将点 向右移动3个单位长度至点 ，则点
表示的数是
A．8 B．2 C． 或2 D．8或
【分析】根据数轴上的点表示的数解决此题．
【解答】解：由题意得， 表示的数可能为5或 ．
点 表示的数是 或 ．
点 表示的数是8或 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查数轴上的点表示的数，熟练掌握数轴上的点表示的数是解决本题的关键．
21．（2023秋•南平期末）数轴上的点 到原点的距离是4，则点 表示的数为 或 4 ．
14 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据数轴表示数的方法求解．
【解答】解： 数轴上的点 到原点的距离是4，
点 表示的数为 或4．
故答案为 或4．
【点评】本题考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向
为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数；一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
22．（2024•兴庆区校级一模）在一条可以折叠的数轴上， ， 表示的数分别是 ，4，如图，以点 为折点，将
此数轴向右对折，若点 在点 的右边，且 ，则 点表示的数是 ．
【分析】设点 表示的数是 ，利用 ，列出方程解答即可．
【解答】解：设点 表示的数是 ，
则 ， ，
，
即 ，
解得： ，
点 表示的数是 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查数轴，解决此题的关键是能利用数轴上两点间的距离公式用含 的式子表示出线段的长度．
23．（2023秋•西城区校级期末）对于数轴上的点 ，线段 ，给出如下定义： 为线段 上任意一点，如果 ，
两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点 ，线段 的“近距”，记作 （点 ，线段 ；如果 ，
两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点 ，线段 的“远距”，记作 （点 ，线段 ．特别的，
若点 与点 重合，则 ， 两点间距离为0．已知点 表示的数为 ，点 表示的数为3．例如，若点 表示的
数为5，则 （点 ，线段 ， （点 ，线段 ．
15 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司（1）若点 表示的数为 ，则 （点 ，线段 1 ， （点 ，线段 ；
（2）若点 表示数为 ，点 表示数为 ． （点 ，线段 是 （点 ，线段 的4倍，求 的值．
【分析】（1）根据已知给出的定义，进行计算即可解答；
（2）分两种情况，点 在点 的左侧，点 在点 的右侧．
【解答】解：（1） 点 表示的数为 ，
（点 ，线段 ，
（点 ，线段 ，
故答案为：1，6；
（2）分两种情况：
当点 在点 的左侧，
（点 ，线段 ，
（点 ，线段 ，
（点 ，线段 是 （点 ，线段 的4倍，
，
解得： ，
当点 在点 的右侧，
（点 ，线段 ，
（点 ，线段 ，
（点 ，线段 是 （点 ，线段 的4倍，
，
16 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司解得： ，
综上所述： 的值为： 或5．
【点评】本题考查了数轴，理解题目已知给出的定义是解题的关键．
24．（2023秋•蒲城县期末）已知数轴上表示 的点到原点的距离为6，表示 的点在原点的左侧，求 的值．
【分析】根据表示 的点到原点的距离为6，求出 的值，再由 的点在原点的左侧，确定 的值即可．
【解答】解： 表示 的点到原点的距离为6，
，
或 ，
当 时， ，
当 时， ，在原点左侧，
的值为2．
【点评】本题考查了数轴，绝对值的应用是解题关键．
25．（2024春•曲沃县期末）综合与探究
已知，数轴上三点 ， ， 对应的数分别为 ，0，1，点 为数轴上任意一点，其对应的数为 ．
（1） 的长为 4 ， 的长为 ；
（2）若 ，求 的值；
（3）数轴上，如果动点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动；同时动点 和 分别从点 和点
出发，分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度也沿数轴正方向运动．当点 到点 的距离等于点 到点 的
距离时，直接写出点 所表示的数．
【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式求解；
（2）用含 的式子表示出 ， ，列方程求解即可；
17 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司（3）用含 的式子表示出 秒时点 ， ， 所表示的数，进而用含 的式子表示出 ， ，列方程求解即可．
【解答】解 （1） ， ， 对应的数分别为 ，0，1，
， ，
故答案为：4； ；
（2） ， ，
，
或 ，解得 或 ，
故答案为：5或 ；
（3）由题意知， 秒时，点 所表示的数为 ，点 所表示的数为 ，点 所表示的数为 ，
， ，当点 到点 的距离等于点 到点 的距离时，
，
，
或 ，解得： 或 ，
点 所表示的数为4或 ，
故答案为：4或 ．
【点评】本题考查数轴上的动点问题，数轴上两点间距离，解一元一次方程等，题目难度不大，掌握基础知识即可解
答．
26．（2023秋•钢城区期末）邮递员从邮局出发，先向西骑行 到达 村，继续骑行 到达 村，然后向东行骑
行 到达 村，最后回到邮局．
（1）如图，请在以邮局为原点，向东为正方向， 为1个单位长度的数轴上表示出 、 、 三个村庄的位置；
（2） 村离 村有多远？
18 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司（3）邮递员一共行驶了多少千米？
【分析】（1）根据已知条件在数轴上表示出来即可；
（2）根据题意列出算式，即可得出答案；
（3）根据题意列出算式，即可得出答案．
【解答】解：（1） ；
（2） 村离 村的距离为 ；
（3）邮递员一共行驶了 （千米）．
【点评】本题考查了数轴，有理数的加减的应用，能读懂题意是解此题的关键．
四．相反数（共12小题）
27．（2024春•萨尔图区校级期末）若 与2互为相反数，则 ．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数．根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，2的相反
数为 ，代入 计算即可．
【解答】解：由题意可得 ，
，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查相反数的概念及性质．代数式求值，熟练掌握相关定义是解题的关键．
28．（2024春•固始县期末） 的相反数是 ．
【分析】根据相反数的定义进行解答，即只有符号不同的两个数交互为相反数．
【解答】解：由相反数的定义可知， 的相反数是 ．
故答案为：
19 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查的是相反数的定义，比较简单．
29．（2023秋•椒江区校级期末）若 与 互为相反数，那么 6 或 4 ．
【分析】根据相反数的定义可得 ，解得 的值即可．
【解答】解： 与 互为相反数，
，
或 ，
解得： 或4，
故答案为：6或4．
【点评】本题考查相反数，结合已知条件得到 是解题的关键．
30．（2023秋•德化县校级月考）化简下列各数：
① 8 ；
② ；
③ ；
④ ．
【分析】利用化简多重符号的方法即可求解．
【解答】解：① ；
② ；
③ ；
④ ．
故答案为：①8；② ；③ ；④3.8．
【点评】本题考查了相反数的意义，熟练掌握化简多重符号的方法是解题的关键．
20 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司31．（2024•思明区校级二模） 的相反数是
A．2 B． C． D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解： ， 的相反数是2．
故选： ．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
32．（2024•九台区三模）下列各对数中，互为相反数的是
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【分析】先化简各数，然后根据相反数的定义判断即可．
【解答】解： 、 ， ，不是相反数，故此选项不符合题意；
、 ， ，是相反数，故此选项符合题意；
、 ，不是相反数，故此选项不符合题意；
、 ，不是相反数，故此选项不符合题意；
故选： ．
【点评】本题主要考查了相反数．先化简再求值是解题的关键．
33．（2024•盐城二模）如果 与1互为相反数，那么
A．2 B． C．1 D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：因为 与1互为相反数， 与1互为相反数，
所以 ，
故选： ．
【点评】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的定义，明确在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
21 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司34．（2024•惠州模拟）2024年央视春晚主题、主标识近日正式发布，本次龙年春晚主题为“龙行龖龖 dá ，欣欣家
国”，请问2024的相反数是
A． B． C．2024 D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【解答】解：2024的相反数是 ，
故选： ．
【点评】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
35．（2024•旬阳市开学）如果一个数的相反数等于它本身，那么这个数是 0 ．
【分析】根据相反数的定义解答．
【解答】解：一个数的相反数等于它本身，那么这个数是0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
36．（2023秋•铜川期末）如图，数轴上 ， 两点表示的数是互为相反数，且点 与点 之间的距离为4个单位长
度，则点 表示的数是 ．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解： ，
则这两个数是 和 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了相反数的定义，数轴的知识，熟记互为相反数的两个数的绝对值相等是解题的关键．
37．（2023秋•珠海校级月考）已知 与 互为相反数，求 的值．
【分析】由相反数的定义得到关于 的方程 ，通过解方程可以求得 的值．
【解答】解： 与 互为相反数，
22 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司，
解得， ．即 的值是3．
【点评】本题考查了相反数．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
38．（2023秋•疏勒县期中）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
（1）如果点 、 表示的数是互为相反数，那么点 表示的数是多少？
（2）如果点 、 表示的数是互为相反数，那么点 、 表示的数是多少？
【分析】（1）根据互为相反数的定义确定出点 的位置，再根据数轴写出点 表示的数即可；
（2）根据互为相反数的定义确定出点 的位置，再根据数轴写出点 、 表示的数即可．
【解答】解：（1）点 表示的数是 ；
（2）点 表示的数是0.5， 表示的数是 ．
【点评】本题考查了相反数，数轴，熟练掌握相反数的定义并确定出原点的位置是解题的关键．
五．绝对值（共13小题）
39．（2024•邗江区一模）绝对值等于2的数是
A． B． C．2 D．
【分析】根据绝对值的意义求解．
【解答】解： ， ，
绝对值等于2的数为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了绝对值：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ．
23 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司40．（2023秋•抚州期末）适合 的整数 的值有
A．4个 B．5个 C．7个 D．9个
【分析】此方程可理解为 到 和3的距离的和，由此可得出 的值，继而可得出答案．
【解答】解： 表示 到 点的距离，
表示 到3点的距离，
因为 到3点的距离为8，
故 到3之间的所有点均满足条件，
又由 为整数，
故满足条件的 有： ， ， ， ， ，0，1，2，3共9个，
故选： ．
【点评】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，关键是利用数轴进行解答．
41．（2023秋•德化县期末）下列说法正确的是
A．有理数的绝对值一定是正数
B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
C．如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身
D．如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数
【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【解答】解：根据绝对值性质可知：
中，当该有理数是0时，错误；
中，互为相反数的两个数的绝对值总是相等的，错误；
中，根据正数的绝对值是它本身，正确；
中，0的绝对值也是它本身，错误．
故选： ．
24 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司【点评】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中．
42．（2023秋•平泉市期末）若 ，则 ．
【分析】根据绝对值的性质解答即可．
【解答】解： ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是
0．
43．（2023 秋•青羊区校级期末）已知数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，且 ，化简
．
【分析】由数轴得 ， ， ，进一步判断出 ， ， ，再根据绝对值的意义化
简即可．
【解答】解：由数轴得 ， ， ，
， ， ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了数轴，绝对值，有理数的加减法，得出 ， ， 是解题的关键．
44．（2023秋•长寿区期末）数 ， 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ．
【分析】由图先判断 ， 的正负值和大小关系，再去绝对值求解．
25 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司【解答】解：由图可得， ， ，且 ，
则 ，
．
故本题的答案是 ．
【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，对绝对值的代数定义应熟记：①正数的绝对值是它本身；②负数
的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零．
45．（2024春•杨浦区校级期末） 的最小值 6 ．
【分析】对 整理变形可得， ，其几
何意义为 表示的点到1与5，2与4，3三部分距离之和最小，借助数轴分析可得答案．
【解答】解： ，
其几何意义为 表示的点到1与5、2与4、3三部分距离之和最小，
借助数轴分析可得，当 时，这三部分和最小，
则其最小值为6，
故答案为6．
【点评】本题考查绝对值的几何意义，即这个数表示的点到原点的距离．
46．（2023秋•和平区校级期末）有理数 ， ， 在数轴上表示的点如图所示，化简
．
【分析】根据图形判断 、 、 的符号，以及绝对值中三个式子的符号，再去绝对值化简．
【解答】解：根据数轴可知， ，且 ，
故 ， ， ，
， ， ，
原式
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学科网（北京）股份有限公司．
故答案为： ．
【点评】本题考查了绝对值和数轴．注意数轴上 、 、 的位置，以及他们与原点的距离远近，关键在于判断题干
绝对值符号里面各个式子的符号，进而化简得出结果．
47．（2024•芝罘区一模）已知 ，则 1 或 ．
【分析】分两种情况讨论① ， ② ， 即可求出答案．
【解答】解：① ， 时，
；
② ， 时，
．
故答案为：1或 ．
【点评】本题考查绝对值的性质，熟记绝对值的性质，然后分类讨论是解决本题的关键．
48．（2023秋•郓城县校级月考）探索规律题
试用“ ”、“ ”或“ ”填空：
；
；
；
；
．
【分析】根据绝对值的性质分别计算两边式子的值，从而得出答案．
【解答】解： ， ，
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学科网（北京）股份有限公司；
， ，
；
， ，
；
， ，
；
， ，
；
故答案为： ， ， ， ， ．
总结规律：当 ， 同号时， ；当 ， 异号时， ；当 ， 中至少有一个为0时，
．
【点评】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握绝对值的性质，并将以上式子的规律分类讨论，用代数式表示出
来．
49．（2023秋•余干县期末）有理数 、 、 在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“ ”或“ ”填空： 0， 0， 0．
（2）化简： ．
【分析】（1）根据数轴判断出 、 、 的正负情况，然后分别判断即可；
（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）由图可知， ， ， 且 ，
所以， ， ， ；
故答案为： ， ， ；
28 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司（2）
．
【点评】本题考查了绝对值的性质，数轴，熟记性质并准确识图观察出 、 、 的正负情况是解题的关键．
50．（2023秋•天河区期末）我们记一对有理数 ， 为数对 ．如果数对 使等式 成立，则称之
为“有趣数对”．
（1）如果数对 是“有趣数对”，那么 是“有趣数对”吗？请说明理由；
（2）如果数对 是“有趣数对”，求 的值；
（3）如果 和 互为相反数，那么 是“有趣数对”吗？请说明理由．
【分析】（1）先根据数对 是“有趣数对”得 ，由此可判定 是“有趣数对”；
（2）先根据数对 是“有趣数对”，得 ，进而得 ，由此可得 ， ，据此可得
的值；
（3）根据 ， 互为相反数， ，再根据“有趣数对”的定义得 ， ，然后根据 可得出
答案．
【解答】解：（1）数对 是“有趣数对”，理由如下：
数对 是“有趣数对”，
，
即 ，
29 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司是“有趣数对”，
（2） 数对 是“有趣数对”，
，
整理得： ，
， ，
；
（3）如果 和 互为相反数，那么 不是“有趣数对”，理由如下：
， 互为相反数，
，
， ，
由 ，得： ，
不存在 的值使 ，
，
和 互为相反数时， 不是“有趣数对”．
【点评】此题主要考查了整式的运算，求代数式的值，相反数的概念等，熟练掌握整式的运算，求代数式值的方法，
理解相反数的概念是解决问题的关键．
51．（2023秋•闽侯县期末）阅读下列材料： ，即当 时， ，当 时， ，
运用以上结论解决下面问题：
（1）已知 ， 是有理数，当 时，则 0 ；
（2）已知 ， ， 是有理数，当 时，求 的值；
30 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司（3）已知 ， ， 是有理数， ，且 ，求 的值．
【分析】（1）由 ，可得 ，即可得到答案；
（2）先判断 、 、 全负或者两正一负，再分情况化简绝对值，最后计算即可；
（3）先判断 、 、 两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案．
【解答】解：（1）当 时， 与 同时为1或同时为 ，
则 ；
故答案为：0．
（2） ，
， ， 全负或 ， ， 两正一负，
①当 ， ， 全负时，
；
②当 ， ， 两正一负时，
当 ， ， 时，
；
Ⅱ 当 ， ， 时，
；
Ⅲ 当 ， ， 时，
；
31 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司综上所述，求 的值为1或 ；
（3） ，
， ， ，
，
又 ，
， ， 两正一负，
由（2）可知 的值的值为 或3．
【点评】本题主要考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键．
六．非负数的性质：绝对值（共3小题）
52．（2023秋•颍泉区校级月考）若 ，求 的值．
【分析】根据非负数的性质，可得 ， ，求出 、 的值，据此即可求解．
【解答】解： ，
， ，
， ，
．
【点评】本题考查绝对值的非负数的性质，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
53．（2023秋•凉州区期末）若 与 互为相反数，求 的值．
【分析】根据非负数互为相反数，可得 ， ，可得 、 的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：由 与 互为相反数，得 ， ，解得 ， ， ．
【点评】本题考查了非负数的性质，利用非负数互为相反数得出 ， 是解题的关键．
54．（2023秋•确山县期末）请根据图示的对话解答下列问题．
32 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司（1） ， ．
（2）已知 ，求 的值．
【分析】（1）根据相反数、倒数的定义进行计算即可；
（2）根据绝对值的非负性以及 、 的值进行计算即可．
【解答】解：（1） 与2互为相反数，而2的相反数是 ，
，
，
的倒数是 ，
即 ，
故答案为： ， ；
（2） ，而 ， ，
， ，
， ，
又 ， ，
， ，
，
答： 的值为 ．
【点评】本题考查绝对值的非负性，相反数以及互为倒数，掌握相反数、倒数的定义，以及绝对值的非负性是正确解
33 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司答的前提．
七．有理数大小比较（共6小题）
55．（2023秋•射阳县期末）在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小．3， ， ，0，2.5， ．
【分析】在数轴上把数表示出来，根据数轴上右边的数总比左边的数大比较即可．
【解答】解：在数轴上表示为：
，
根据数轴上右边的数总比左边的数大，得出
．
【点评】本题考查了数轴和有理数的大小比较，注意：在数轴上的数，右边的数总比左边的数大．
56．（2023秋•东莞市校级期末）有理数 、 、 在数轴上的位置如图．
（1）用“ ”或“ ”填空： 0， 0， 0．
（2）化简： ．
【分析】观察数轴可知： ．
（1）由 ，可得出 、 、 ，此题得解；
（2）由 、 、 ，可得出 ，去掉括号合并同类
项即可得出结论．
【解答】解：观察数轴可知： ．
（1） ，
， ， ．
故答案为： ； ； ．
（2） ， ， ，
．
34 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查了有理数的大小比较、数轴以及绝对值，观察数轴找出 是解题的关键．
57．（2023秋•南关区校级月考）已知有理数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，
（1）分别判断以下式子的符号（填“ ”或“ ”或“ ”
0； 0；
（2）化简： ．
【分析】（1）根据图示，可得： ，据此逐个判断即可；
（2）根据（1）的结论，先去绝对值，再利用整式的加减计算法则求解即可．
【解答】解：（1）根据图示，可得： ，
， ．
（2） ， ， ，
．
故答案为： ； ．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，绝对值的含义和求法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向
朝右时，右边的数总比左边的数大．
58．（2023秋•仙居县期末）如图的数轴上，每小格的宽度相等．
（1）填空：数轴上点 表示的数是 ，点 表示的数是 ．
（2）点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，请在数轴上分别画出点 和点 的位置．
35 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司（3）将 ， ， ， 四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“ ”连接．
【分析】（1）观察数轴可得答案；
（2）根据单位长度，在数轴上表示两个数即可；
（3）根据数轴上的位置得出答案．
【解答】解：（1）点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，
故答案为： ， ；
（2）如图，
；
（3）由数轴知： ．
【点评】本题主要考查了数轴上的数，比较有理数的大小，理解两个整数之间的单位长度是解题的关键．
59．（2023秋•遂川县期末）有理数 ， ， 在数轴上的位置如图所示．
（1）填空： ； 0； 0；（填“ ”，“ ”或“ ”
（2）化简： ．
【分析】（1）从图中可以看出 ，得出 ， ；
（2）利用（1）的结论化简绝对值，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）由题意得， ，
， ， ；
故答案为： ， ， ．
（2）原式
36 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司．
【点评】本题主要考查数轴表示的数和化解绝对值，根据数轴上右边表示的数总大于左边表示的数．零左边的数为负
数，零右边的数为正数．
60．（2024春•东坡区期末）有理数 、 、 在数轴上的位置如图：
（1）请用“ ”比较 、 、 、 四个数的大小为 ．
（2）化简： ．
【分析】（1）根据 、 、 在数轴上的位置，可得 ， ，据此判断出 ， ， ， ，的大小
关系即可；
（2）首先判断出 、 、 的正负，然后求出 的值是多少即可．
【解答】解：（1）由数轴可知： ， ， ，
；
故答案为： ；
（2）由数轴知： ， ， ，
原式 ．
【点评】本题主要考查了数轴、绝对值的应用的知识点，注意：一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等
于它的相反数，0的绝对值等于0．
一．选择题（共6小题）
1．（2023秋•湖北期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把气温为零上
记作 ，则 表示气温为
A．零上 B．零下 C．零上 D．零下
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可．
37 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司【解答】解：若气温为零上 记作 ，则 表示气温为零下 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的
就为负．
2．（2023秋•荔湾区期末）有 四个数，其中最小的是
A．4 B． C． D．0
【分析】根据有理数比较大小的方法求解即可．
【解答】解： ，
故最小的数为 ，
故选： ．
【点评】此题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握比较方法是解题关键．
3．（2024•江海区一模） 、 是数轴上两点，在线段 上的点表示的数中，有互为相反数的是
A． B．
C． D．
【分析】数轴上互为相反数在原点两侧，并且到原点的距离相等，通过观察线段 上的点与原点的距离就可以做出
判断．
【解答】解：表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点的左右两侧，
从四个答案观察发现，只有 选项的线段 符合，其余答案的线段都在原点的同一侧，
所以可以得出答案为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了互为相反数的概念，解题关键是要熟悉互为相反数概念，数形结合观察线段 上的点与原点的
38 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司距离．
4．（2023秋•康县期末）下列说法：①符号相反的数互为相反数；② 一定是一个负数；③正整数、负整数统称为
整数；④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；⑤当 时， 总是大于0，正确的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据整数、相反数、绝对值的定义，也可通过举反例逐个判断得结论
【解答】解： 与 的符号相反，但它们不是相反数，故①的说法不正确；
当 是正数时 是负数，当 是0或负数时， 是0或正数，故②说法不正确；
正整数、0、负整数统称整数，故③说法不正确；
一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，故④说法正确；
当 时， 总是大于0，故⑤说法正确．
综上，④⑤正确
故选： ．
【点评】本题考查了绝对值的几何意义、整数、相反数的定义．掌握相反数、绝对值、整数、数轴的意义是解决本题
的关键．
5．（2023秋•抚顺县期末）排球的国际标准指标中有一项是排球的质量，规定排球的标准质量为 ，现随机
选取8个排球进行质量检测，结果如表所示：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8
275 263 278 270 261 277 282 269
质量
则仅从质量的角度考虑，不符合要求的排球有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据规定排球的标准质量为 ，求出合格排球的质量的取值范围，再从表格中逐个验证得出答案．
【解答】解：根据规定排球的标准质量为 ，
因此排球质量在 ，即： ，
表格中注意7号球的质量不在这个范围，
39 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司故选： ．
【点评】考查正数、负数的意义，具有相反意义的量可以用正数或负数表示．
6．（2023秋•德化县期末）下列说法正确的是
A．有理数的绝对值一定是正数
B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
C．如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身
D．如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数
【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【解答】解：根据绝对值性质可知：
中，当该有理数是0时，错误；
中，互为相反数的两个数的绝对值总是相等的，错误；
中，根据正数的绝对值是它本身，正确；
中，0的绝对值也是它本身，错误．
故选： ．
【点评】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中．
二．填空题（共8小题）
7．（2023秋•蜀山区期末）比较大小： （填“ ”“ ”“ ” ．
【分析】按照两个负数比较大小的法则进行比较即可．
【解答】解： ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了实数的大小比较法则，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．
40 学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司8．（2023秋•郑州期末）月球表面的白天平均温度为零上 ，记作 ；夜间平均温度为零下 ，记作
．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对．零上 ，记作 ；夜间平均温度为零下 ，记作 ．
故夜间平均温度为零下 ，记作 ．
【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
9．（2024•太原开学）一瓶饮料，饮料瓶瓶身标注的净含量是 ，测得实际净含量为 ，记作“ ”，
那么“ ”表示 实际净含量为 ．
【分析】理解正负数表示的意义，然后根据含义解答即可．
【解答】解：实际净含量为 ，记作“ ”，表示比标注净含量多 ，
所以“ ”表示比标注净含量少 ，即实际净含量为 ，
故答案为：实际净含量为 ．
【点评】本题考查了正负数，理解正负数表示的意义是解题的关键．
10．（2023秋•辽中区期末）在有理数 、 、0、1 中，最小的数是 ．
【分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可．
【解答】解： ，
最小的是 ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了有理数大小比较，要熟练掌握有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正
数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
11．（2023秋•射阳县期末）数轴上，若 ， 表示互为相反数的两个数且 在 的右侧，并且这两点的距离为9，
则点 表示的数是 ．
【分析】数轴上互为相反数的两点在原点的两侧，并且到原点的距离相等求出即可．
【解答】解： 点 ， 表示互为相反数的两个数， 在 的右侧，并且这两点的距离为9，
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学科网（北京）股份有限公司点 表示的数为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了数轴和相反数，能熟记知识点（数轴上互为相反数的两点在原点的两侧，并且到原点的距离相
等）是解此题的关键．
12．（2023秋•淮安区校级月考）在数轴上，将表示 的点向左移动4个单位后，对应点表示的数是 ．
【分析】根据数轴上点的移动规律“左减右加”即可作答．
【解答】解：将表示 的点向左移动4个单位后，对应点表示的数是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了数轴上两点距离，有理数的减法，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
13．（2023秋•无为市期末）如图1，点 ， ， 是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为 ， ，4，
某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点 ，发现点 对应刻度 ，点 对齐刻度 ．
则数轴上点 所对应的数 为 ．
【分析】数轴上 、 两点间的单位长度是9，刻度尺对应的是5.4，所以数轴的单位长度是 ， 的长度是
，除以0.6得 在数轴上的单位长度．
【解答】解： ，
数轴的单位长度是0.6厘米，
，
在数轴上 ， 的距离是3个单位长度，
点 所对应的数 为 ．
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查的是数轴的概念和单位长度的换算，解题的关键是数轴上的单位长度等于多少 ．
14．（2023秋•长垣市期末）有理数 、 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
【分析】由有理数 与 在数轴上的位置可得， ， ，进而得到 ， ， ，然后根据绝
对值的代数意义：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数进行化简，去括号合并同类项后，即可得
到所求式子的结果．
【解答】解：由数轴知， ， ，
， ， ，
原式 ，
故答案为： ．
【点评】此题考查了整式的加减运算，绝对值的代数意义，以及数轴上点的大小比较，其中由 与 数轴上的位置，
根据数轴上右边的数总比左边的数大，原点左边的数小于0，右边的数大于0，理解绝对值的意义是解答此题的关键．
三．解答题（共5小题）
15．（2023秋•泉港区期末）某市为培育青少年科技的创新能力，举办了 设计比赛．小明设计了 移动视频巡检
车在直线轨道上做运动的一个雏形．规定：巡检车运动前的位置为原点，向前运动为正方向．巡检车从开始运动至停
止的记录为： ， ， ， ， ．问：当巡检车运动停止时，停在哪个数的位置上？
【分析】直接把各数相加即可．
【解答】解： ，
当巡检车运动停止时，停在 的位置上．
【点评】本题考查了正数和负数以及数轴，熟知数轴上各点的特点是解答此题的关键．
16．（2024•旬阳市开学）有6筐苹果，每筐质量分别为（单位：千克）
48，52，47，49，53，54
（1）如果以50千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则用正、负数表示这6筐苹果的质量
分别为（单位：千克）
， ， ， ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（2）求出这6筐苹果的总质量．
【分析】（1）用每筐质量减去基准质量即可；
（2）先把超出或不足标准的5个数相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，然后再加上标准质量即可．
【解答】解：（1） ，
，
，
，
，
，
用正、负数表示这6筐苹果的质量分别为 ， ， ， ， ， ；
（2） （千克），
答：这6筐苹果的总质量是303千克．
故答案为： ， ， ， ， ， ．
【点评】本题考查正负数的定义，有理数的加法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（2023秋•樊城区期末）如图1，将一根木棒放在数轴（单位长度为 上，木棒左端与数轴上的点 重合，右端
与数轴上的点 重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点 时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿
数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点 时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为 9
；图中点 所表示的数是 ；点 所表示的数是 ；
（2）受（1）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
①一天，爸爸对小明说：“我若是你现在这么大，你才刚出生；你若是我现在这么大，我就 84岁啦！”则爸爸的年
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学科网（北京）股份有限公司龄是 岁．（在图2中标出分析过程）
②爷爷对小明说：“我若是你现在这么大，你还要14年才出生；你若是我现在这么大．我就118岁啦！”则爷爷的年
龄是 岁．（画出示意图展示分析过程）
【分析】（1）由图象可知3倍的 长为 ，即可求 得长度． 点在3的右侧，距离3有9个单位长度，
故 点为12； 点在 的左侧，距离 有9个单位长度，故 点为21．
（2）根据题意，设数轴上小木棒的 端表示小明的年龄， 端表示爸爸（爷爷）的年龄，则木棒的长度表示二人的
年龄差，参照（1）中的方法结合已知条件即可得出．
【解答】解：（1）观察数轴可知三根这样长的木棒长为 ，则这根木棒的长为 ，
点表示为 ， 点表示的数是 ，
故答案为：9，12，21；
（2）①借助数轴，把小明和爸爸的年龄差看作木棒 ，
同理可得爸爸比小明大 ，
爸爸的年龄是 （岁 ，
故答案为：56．
②借助数轴，把小明和爷爷的年龄差看作木棒 ，
同理可得爷爷比小明大 ，
爷爷的年龄是 （岁 ，
故答案为：74．
【点评】本题考查了数轴的认识、用数轴表示数及有理数的加减法，读懂题干及正确理解题意是解决本题的关键．
18．（2023秋•湛江期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点 ， ， ，其中 ，设点 ， ，
所对应数的和是 ．
（1）若点 为原点， ，则点 ， 所对应的数分别为 ， ， 的值为 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若点 为原点， ，求 的值．
（3）若原点 到点 的距离为8，且 ，求 的值．
【分析】（1）根据数轴上的点对应的数即可求解；
（2）根据数轴上原点的位置确定其它点对应的数即可求解；
（3）根据原点在点 的右边先确定点 对应的数，进而确定点 、点 所表示的数即可求解．
【解答】解：（1） 点 为原点， ，
所对应的数为 ，
，
，
点 所对应的数为 ，
；
故答案为： ， ， ；
（2） 点 为原点， ， ，
点 所对应的数为 ，点 所对应的数为2，
；
（3） 原点 到点 的距离为8，
点 所对应的数为 ，
，
，
当点 对应的数为8，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
点 所对应的数为4，点 所对应的数为 ，
；
当点 所对应的数为 ，
， ，
，
点 所对应的数为 ，点 所对应的数为 ，
综上所述 或 ．
【点评】本题考查了数轴，解决本题的关键是数形结合思想的灵活运用．
19．（2023秋•东港区期末）对于数轴上的 ， ， 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好
满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点 ， ， 所表示的数分别为1，3，
4，此时点 是点 ， 的“联盟点”．
（1）若点 表示数 ，点 表示的数是4，下列各数3，2，0所对应的点分别为 ， ， ，其中是点 ， 的
“联盟点”的是 或 ；
（2）点 表示数 ，点 表示的数是30，点 为数轴上一个动点：若点 在线段 上，且点 是点 ， 的
“联盟点”，求此时点 表示的数．
【分析】（1）分别求得 ， ， 到点 ， 的距离，根据“联盟点”的定义即可得到答案；
（2）根据“联盟点”的定义，分类讨论点 的位置，设点 对应的数为 ，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1） 点 表示数 ，点 表示的数是4，下列各数3，2，0所对应的点分别为 ， ， ，
， ，
不是 ， 的“联盟点”；
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学科网（北京）股份有限公司， ，
是 ， 的“联盟点”；
， ，
是 ， 的“联盟点”；
故答案为： 或 ．
（2）设点 在数轴上所表示的数为 ，
当点 在线段 上，且 时，
根据题意得 ，
解得 ；
当点 在线段 上，且 时，
根据题意得 ，
解得 ；
综上所述，点 表示的数为 或 ．
【点评】本题考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，根据题意分类讨论是解题的关键．
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