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第 02 课 矩形的性质与判定
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．已知四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA=OB=OC=OD，那么这个四边形是（ ）
A．是中心对称图形，但不是轴对称图形 B．是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形
2．已知矩形的两邻边长分别为3和4，给出结论：①该矩形的面积是6，②该矩形的对角线长是5.则这两
个结论（ ）．
A．只有①是正确的 B．只有②是正确的 C．都是正确的 D．都是错误的
3．下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形
4．如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD
C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
5．如图，在矩形 中，点 的坐标是 ，则 的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
6．如图，在矩形 中， ， ，过对角线交点 作 交 于点 ，交 于点 ，
则 的长是( )
A．1 B． C．2 D．7．如图，P是矩形 的边 上一个动点，矩形的两条边 的长分别为3和4，那么点P到矩
形的两条对角线 和 的距离之和是（ ）
A． B． C． D．无法确定
8．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC于 F，M
为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）
A．1 B．1.3 C．1.2 D．1.5
二、填空题
9．四边形 中， 交于O，给出条件① ；② ；③
；④ ．其中能推得四边形 是矩形的是（填序号）
___________．
10．如图，延长矩形 的边 至点 ，使 ，若 ，则 ____．
11．如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果 ， ，则EC
的长 _________．
12．如图，在矩形 中， ， 交于点 ， 、 分别为 、 的中点．若 ，则
的长为______．13．如图，在矩形ABCD中，AB:AD=1：2，将点A沿折痕DE对折，使点A落在BC上的F点，则
∠ADE=_____度．
14．如图，在长方形 中，对角线 、 的交点为O，长方形的长、宽分别为 、 ， 过
点O分别交 、 于E、F，那么图中阴影部分面积为________ ．
三、解答题
15．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， ， ，且∠ABC 90°．
=
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ACB 30°，AB 1，求①∠AOB的度数；②四边形ABCD的面积．
16．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，
= =
BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．
17．如图，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且∠CBD＝∠EBD，P为对角线BD上一点，PN⊥BE于
点N，PM⊥AD于点M．
（1）求证：BE＝DE；
（2）试判断AB和PM，PN的数量关系并说明理由．
培优第二阶——拓展培优练一、单选题
1．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为 ，∠CAO的
平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形ABCD中， ，点G、H分别在边AD、边BC上，连接BG、DH，且 ，
要使四边形BHDG为菱形，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O， ，过点O的直线与AD，BC分别交于点
E，F，若四边形BEDF是矩形，则∠DOE的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
4．如图，四边形 是矩形，点E在线段 的延长线上，连接 交 于点F， ，
G是 的中点，若 ，那么 的长为（ ）A． B． C．5 D．3
5．如图，已知矩形 ，点E是 边的中点，F为 边上一点， ，若
，有如下结论：① ，② ，③ ，④ ，其中正
确的是（ ）
A．②④ B．①②④ C．①③ D．①③④
6．如图所示，在矩形 中， ， ， 是 的中点， 为 上任意一点，连接 ，将
沿 翻折至 ， 的对应点为 ，连接 ，当 时，求 的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD
的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（ ）
A． B． C． D．2
8．如图，矩形ABCD中， ，点E是AD上的一点，且 ，CE的垂直平分线交CB的延长线于
点F，交CD于点H，连接EF交AB于点G．若G是AB的中点，则BC的长是（ ）A．6 B．7 C．8 D．10.5
二、填空题
9．如图，已知矩形ABCD中，点E为AD的中点，F为CD中点， ， ，点H为BC上一点且
EH为 ，则线段FH的长为____________．
10．如图，矩形 中， ， 是 的中点，线段 在边 上左右滑动；若 ，
则 的最小值为____________．
11．如图，在矩形ABCD中，AB=9，点E，F分别在BC，CD上，将 ABE沿AE折叠，使点B落在AC上
的点B′处，又将 CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB′与AD的交点C′处，则DF的值为______．
△
△
12．如图，在矩形ABCD中， ， ，E是AD上一点， ，P是BC上一动点，连接AP，
取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是______．13．如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD>AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在
一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE=EF，CE=1，则
AD=________．
14．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线
MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接 PC，交MN于点Q，连接CM．
下列结论：①四边形 CMPN是菱形；②点P与点A重合时， MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是
4≤S≤5，其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题
15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， 交DC的延长线于点E，BD＝
BE．
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若∠AOB＝60°，AB＝4，求矩形ABCD的面积．
16．如图，四边形ABCD是矩形，点G为对角线AC的中点，E为AD边上一点，过点A作 交CE
延长线于点F，连接BF、FG．(1)若 ，求证：AC垂直平分BF．
(2)若 ，求 的度数；
17．在平行四边形 中， ，将 沿 翻折至 ，连接 ．求证：
(1) ；
(2)求证： ；
(3)在平行四边形 中，已知： ，将 沿 翻折至 ，连接 ．若以
为顶点的四边形是矩形，求 的长．
18．已知矩形 的对角线 相交于点O，点E是边 上一点，连接 ，且 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，设 与 相交于点F， 与 相交于点H，过点D作 的平行线交 的延长线于点G，
在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（ 除外），使写出的每个三角形的
面积都与 的面积相等．
19．在矩形ABCD中，P是线段BC上的一个动点，将△ABP沿直线AP翻折，点B的对应点为E，直线PE
与直线AD交于点F．(1)如图①，当点F在AD的延长线上时，求证 ；
(2)若 ，BC足够长，当点E到直线AD的距离等于3时，求BP的长；
(3)若 ， ．当点P、E、D在同一直线上（如图②）时，点P开始向点C运动，到与C重合时
停止，则点F运动的路程是______．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·海南·中考真题）如图，菱形 中，点E是边 的中点， 垂直 交 的延长线于点
F，若 ，则菱形 的边长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
2．（2021·青海西宁·中考真题）如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C
的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C， 的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图
2所示，则AB的长是（ ）
A． B． C． D．3．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中， ， ，M是BC上的点，且
．将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点 处，折痕为
MN，则线段PA的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
4．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，将矩形纸片ABCD的两个直角进行折叠，使CB，AD恰好落在对角
线AC上，B′，D′分别是B，D的对应点，折痕分别为CF，AE．若AB＝4，BC＝3，则线段 的长是（
）
A． B．2 C． D．1
5．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次
连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形 ；第二次，顺次连接四边形 各边的中点，得到
四边形 ；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题6．（2022·四川内江·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动
点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 _____．
7．（2021·青海西宁·中考真题）如图，在矩形 中，E为 的中点，连接 ，过点E作 的垂线
交 于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知 ， ，则 _________．
三、解答题
8．（2022·湖北十堰·中考真题）如图， 中， ， 相交于点 ， ， 分别是 ， 的中
点．
(1)求证： ；
(2)设 ，当 为何值时，四边形 是矩形？请说明理由．
9．（2022·山东威海·中考真题）如图:(1)将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．
①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；
②求四边形AGCH的面积．
(2)如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2 ，BC＝7，CF＝ ，求四边形AGCH的面积．
10．（2017·山东德州·中考真题）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落
在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
