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第 22 课 相似多边形
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．下列说法正确的有（ ）．
①形状差不多的两个图形相似；②国旗上的大五角星与小五角星是相似的；③大小不等的两个六边形的形
状可能相似；④放大镜下看到的图形与原来的图形的相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据相似图形的定义，对各项进行分析即可得出答案.
【解析】①形状相同的两个图形是相似图形，形状差不多的两个图形，不是相似图形，故①说法错误；
②国旗上的大五角星与小五角星，形状相同，是相似图形，故②说法正确；
③当大小不等两个六边形的对应角相等，对应边成比例式时，这两个六边形相似，故③说法正确；
④放大镜下看到的图形与原来的图形形状相同，是相似图形，故④说法正确；
②③④说法正确，故选C.
【点睛】本题考查相似图形的定义，具有相同形状的图形是相似图形，熟记并理解定义是解决本题的关键.
2．下列多边形一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个矩形
C．两个菱形 D．两个正方形
【答案】D
【分析】利用相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，逐一分析各选项可得答
案．
【解析】解：两个平行四边形，既不满足对应边成比例，也不满足对应角相等，所以A错误，
两个矩形，满足对应角相等，但不满足对应边成比例，所以B错误，
两个菱形，满足对应边成比例，但不满足对应角相等，所以C错误，
两个正方形，既满足对应边成比例，也满足对应角相等，所以D正确，
故选D．
【点睛】本题考查的是相似多边形的定义与判定，掌握定义法判定多边形相似是解题的关键．
3．两个相似六边形，若对应边之比为3：2，则这两个六边形的周长比为（ ）A．9：4 B．9：2 C．3：1 D．3：2
【答案】D
【分析】根据相似图形的性质求解即可．
【解析】解：因为这两个六边形相似，
所以这两个六边形的周长比＝对应边之比＝3：2，
故选：D．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的周长比等于相似比，即相似多边形的周长比
等于对应边的比是解题的关键．
4．如图，正五边形 与正五边形 相似，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似多边形的定义：各边对应成比例,各角对应相等的多边形叫做相似多边形，逐一分析即可．
【解析】解：因为相似多边形的对应角相等，对应边成比例，
所以 ，故可排除C和D
所以 ．故排除A
故选B．
【点睛】此题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的定义是解决此题的关键．
5．将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那
么原来矩形长与宽的比为（ ）
A．2:1 B． :1 C．3:1 D． :1
【答案】B
【分析】先设出原矩形的长和宽，可根据对折表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比
例列出比例式，然后求解．
【解析】解：设原矩形长2a，宽b，则对折后的矩形的长为b，宽为a，
∵对折后的矩形与原矩形相似，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选B．
【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形对应边成比例．
6．下列各组图形中，不一定相似的是（ ）
A．各有一个角是100°的两个等腰三角形
B．各有一个角是90°的两个等腰三角形
C．各有一个角是60°的两个等腰三角形
D．各有一个角是50°的两个等腰三角形
【答案】D
【分析】根据相似图形的定义，以及等边三角形的性质对各选项分析判断求解．
【解析】A、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一
定相似；
B、两个等腰直角三角形，对应边的比相等，锐角都是45°，相等，所以一定相似；
C、各有一个角是60°的两个等腰三角形，是等边三角形，有两对对应角相等，所以一定相似；
D、各有一个角是50°的两个等腰三角形，可能是顶角为50°，也可能底角为50°，所以对应角不一定相等，
所以不一定不相似；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似图形的判断，严格按照判定定理即可，另外，熟悉等腰三角形，等边三角形的性
质对解题也很关键．
7．如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的
面积之比是（ ）
A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：4【答案】D
【分析】根据相似多边形的对应高之比等于相似比、面积比等于相似比的平方计算即可．
【解析】∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，
∴相似比为3：2，
∴五边形ABCDE和五边形FGHIJ的面积比是9：4，
故选D．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应高之比等于相似比、面积比等于相似比
的平方是解题的关键．
8．在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
【答案】A
【分析】先根据矩形的性质可得所有对应角相等，再根据对应边成比例，即可判定三个矩形中相似的是甲
和乙．
【解析】解：∵甲、乙、丙三个图形都是矩形，
∴所有对应角相等，均为 ，
∵甲与乙对应边的比例为 ，甲与丙对应边的比例为 ，
∴甲与乙相似，甲与丙不相似，
∴乙与丙也不相似，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似图形，熟练掌握相似图形的判定是解题关键．
9．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点F为边CD上一点，且FE⊥AB交AB于点E，若AD＝
2，BC＝8，四边形AEFD～四边形EBCF，则 的值是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似多边形的对应边成比例，可得出 ，先求出EF的长度，即可得出结论．
【解析】解：∵四边形AEFD～四边形EBCF，
∴ ，
即： ，
∴EF=4（舍去负值），
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，比例的性质等，掌握相似多边形的基本性质，准确计算比例式是解
题关键．
10．如图，点O是四边形ABCD内一点， 、 、 、 分别是OA、OB、OC、OD上的点，且
，若四边形 的面积为12cm2，则四边形ABCD的面
积为（ ）
A．18cm2 B．27cm2 C．36cm2 D．54cm2
【答案】B
【分析】利用位似图形的定义得出四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的位似比为：2：3，进而得出面积比，
即可得出四边形ABCD的面积．
【解析】解：∵OA′：A′A＝OB′：B′B＝OC′：C′C＝OD′：D′D＝2：1，∴OA′：OA＝OB′：OB＝OC′：COC＝OD′：DO＝2：3，
∴四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的位似比为：2：3，
∴四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的面积比为：4：9，
∵四边形A′B′C′D′的面积为12cm2，
∴四边形ABCD的面积为：27cm2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，得出两四边形的相似比是解题关键．
二、填空题
11．下列命题中，正确命题的个数为________．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
【答案】1
【分析】根据多边形的判定方法对①进行判断；利用菱形的定义对②进行判断；根据菱形的性质对③进行
判断；根据矩形的性质和相似的定义可对④进行判断．
【解析】解：所有的正方形都相似，所以①正确；
所有的菱形不一定相似，所以②错误；
边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误；
对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；
故答案是：1．
【点睛】本题考查了判断命题真假，熟练掌握图形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性质，是解题
的关键．
12．如图所示的两个五边形相似，则 _____， ______， _______， ______．【答案】 3 4.5 4 6
【分析】根据相似多边形的性质，得到比例式，计算即可．
【解析】解：∵两个五边形相似，
∴ ， ， ， ，
解得，a＝3，b＝4.5，c＝4，d＝6．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：对应角相等；对应边成比例是解题的
关键．
13．若两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是______，面积比是______．
【答案】 5:2 25:4
【分析】根据周长比、面积比与相似比的关系可以解得答案．
【解析】相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方．
两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是5：2，面积比是25：4．
故答案为5：2；25：4．
【点睛】本题考查相似比的性质，熟练掌握周长比、面积比与相似比的关系是解题关键．
14．若四边形 与四边形 相似， 与 ， 与 分别是对应边，
，则 ________ ．
【答案】
【分析】利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论．
【解析】∵四边形 与四边形 相似， 与 ， 与 分别是对应边，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键．
15．如图，四边形 四边形 ，若 ，则 ________ ．【答案】103
【分析】首先根据相似多边形的性质求出 的度数，然后利用四边形内角和求解即可．
【解析】∵四边形 四边形 ，
．
，
，
故答案为：103．
【点睛】本题主要考查相似多边形的性质及四边形内角和，掌握相似多边形的性质及四边形内角和是解题
的关键．
16．有一张矩形风景画，长为90cm，宽为60cm，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、
宽之比与原风景画的长、宽之比相同，且面积比原风景画的面积大44%．若装裱后的矩形的上、下边衬的
宽都为acm，左、右边衬的宽都为bcm，那么ab= ___cm2
【答案】54
【分析】根据新的矩形的长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同得到得 ， 根据新矩形的面
积比原风景画的面积大44%得到（60+2b）（90+2a）=60×90×（1+44%），然后解关于a、b的方程组求出
a和b，再计算ab即可．
【解析】解：根据题意得
解得2a=3b，
∴a= b，
∵（60+2b）（90+2a）=60×90×（1+44%），
整理得30a+45b+ab﹣594=0，
把a= b代入得30• b+45b+ b•b﹣594=0，整理得b2+60b﹣396=0，解得b=6，b=﹣66（舍去），
1 2
∴a= ×6=9，
∴ab=9×6=54（cm2）．
故答案为54．
【点睛】本题考查相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比；相似多边形的对应角相等，对
应边的比相等；相似多边形面积的比等于相似比的平方．
17．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上
的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝_____．
【答案】1+
【分析】根据相似图形的性质先设未知数再解方程即可得到结果.
【解析】解：∵矩形ABCD中，AF由AB折叠而得，∴ABEF是正方形．
又∵AB=2，∴AF= AB=EF=2．
设AD=x，则FD=x－2．
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴ ，即
解得 ， （负值舍去）．
经检验 是原方程的解．∴AD .
故答案为
【点睛】此题重点考察学生对相似图形性质的理解，掌握相似图形的性质是解题的关键.
18．小颖在一本书上看到一个风筝模型，形状如图所示，其中对角线 ，并且两条对角线长分别为
和 ．现在小颖照着模型按照1：3的比例放大制作一个大风筝，制作风筝需要彩色纸覆盖，而彩
色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废
弃不用的彩色纸的面积是_________ ．
【答案】540
【分析】先求出风筝模型ABCD的面积，假设大风筝的四个顶点为A'，B'，C'，D'，可得四边形ABCD∽四
边形A'B'C' D'，可得到它们的面积比为1：9，A'C'=36cm，B'D'=30cm，再由从四个角裁剪下来废弃不用的
彩色纸的面积=矩形的面积-大风筝的面积，即可求解．
【解析】解：∵ ，
∴风筝模型ABCD的面积为 ，
假设大风筝的四个顶点为A'，B'，C'，D'，且分别为点A、B、C、D的对应点，
∵按照1：3的比例放大制作一个大风筝，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C' D'，
∴它们的对应边之比为1：3，
∴它们的面积比为1：9，A'C'=36cm，B'D'=30cm，
∴大风筝的面积为60×9=540cm2，矩形彩色纸的面积为36×30=1080 cm2，
∴从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积=矩形的面积-大风筝的面积
=1080-540=540cm2．
故答案为：540
【点睛】本题主要考查了相似多边形的应用，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
三、解答题
19．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求角α、β的大小和EH的长度x．
【答案】 ， ，
【分析】利用相似多边形的性质：对应边的成相等，对应角相等，即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴α＝∠C＝83°，∠F＝∠B＝78°，EH：AD＝EF：AB，
∴x：21＝24：18，解得x＝28．
在四边形EFGH中，β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°．
∴∠G＝∠C＝67°．
故x＝28．
【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质是解题的关键．
20．网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，三角形和长方形的顶点都在格点上．
(1)在图1的网格中按2：1画出网格中三角形放大后的图形①；(2)在图2的网格中按1：2画出网格中长方形缩小后的图形②；
(3)请直接写出图形①的面积与图形②的面积的最简整数比为 ．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)9：4
【分析】（1）原三角形的底和高都是3和3，根据图形放大与缩小的方法，把三角形的底和高按2:1扩大
后，得到的是底为6，高为6的三角形，由此可画出这个三角形；
（2）原长方形的长和宽分别是8和4，根据图形变大与缩小的变化方法，把长方形的长和宽按1:2缩小后，
得到的是长为4宽为2的长方形，由此可画出这个长方形；
（3）根据三角形的面积= ×底×高和长方形面积=长×宽，分别计算出所画图形的面积，然后计算它们的比．
(1)
解：如图1，①即为所求．
(2)
解：如图2，②即为所求．(3)
解：①的面积：
②的面积：
面积比：18:8=9:4
∴图形①的面积与图形②的面积最简整数比为9:4．
故答案为：9:4．
【点睛】本题考查图形的放大与缩小（按一定比例把图形放大或缩小，形状不变，边和大小会发生变化，
各边的变化都符合指定的比，面积会扩大或者缩小比的平方倍），化简整数比（把比的前项和后项同时除
以他们的最大公因数），初步体会图形的相似．解题的关键是理解按2：1放大就是把原图的各边长放大2
倍，按1：2缩小就是把原图的各边长乘 以及化简比结果是一个比，有比号．
21．如图，一个矩形广场的长 米，宽 米，广场内两条纵向的小路宽为a米，横向的两条
小路宽为b米，矩形 矩形EFGH．
(1)求 的值；
(2)若 ，求矩形EFGH的面积．
【答案】(1)a：b＝2：1
(2)6272米2
【分析】（1）根据题意可得HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，根据矩形ABCD∽矩形EFGH．可
得 ，进而可以解决问题；
（2）由（1）得2b＝a，根据矩形EFGH的面积＝EF•HE，即可解决问题．
（1）
根据题意可知：HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，
∵矩形ABCD∽矩形EFGH．∴ ，
∴ ，
整理，得2b＝a，
∴a：b＝2：1；
（2）
∵a＝4，2b＝a，
∴b＝2，
∴矩形EFGH的面积
＝EF•HE
＝（120﹣2a）•（60﹣2b）
＝（120﹣8）（60﹣4）
＝112×56
＝6272（米2）．
答：矩形EFGH的面积为6272米2．
【点睛】本题考查了相似多边形的应用，列代数式，解决本题的关键是掌握相似多边形的性质．
22．如图，四边形 四边形 ，且 ， ， ， ，
， ．求 、 的大小和 的长．
【答案】 ， ，
【分析】根据题意由四边形ABCD∽四边形GFEH，根据相似四边形的对应角相等，即可求得
∠C=∠E=120°，∠F=∠B=60°，又由四边形的内角和等于360°，即可求得∠D的度数；根据相似四边形的
对应边成比例，即可求得AD的长．
【解析】解：∵四边形 四边形 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵四边形 四边形 ，∴ ，∵ ， ，
∴ ，解得 ．
∴ ．
【点睛】本题考查相似四边形的性质．题的关键是注意掌握相似四边形的对应角相等与相似四边形的对应
边成比例性质定理的应用．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩
形长与宽的比是（ ）
A．2：1 B．1：2
C．3：2 D． ：1
【答案】D
【分析】表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解即可．
【解析】解：设原来矩形的长为x，宽为y，如图，
则对折后的矩形的长为y，宽为 ，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y=y： ，解得x：y= ．
故选：D．
【点睛】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握．
2．如图，矩形 矩形 ，连结 ，延长 分别交 、 于点 、 ，延长 、 交
于点 ，一定能求出 面积的条件是（ ）
A．矩形 和矩形 的面积之差 B．矩形 和矩形 的面积之差
C．矩形 和矩形 的面积之差 D．矩形 和矩形 的面积之差
【答案】B
【分析】根据相似多边形的性质得到 ，即AF·BC=AB·AH①．然后根据IJ∥CD可得， ，
再结合 以及矩形中的边相等可以得出IJ=AF=DE．最后根据S = BJ·IJ= BJ·DE= (BC-
BIJ
△
DH)·DE= BC·AF- DH·DE②，结合①②可得出结论．
【解析】解：∵矩形ABCD∽矩形FAHG，
，∴AF·BC=AB·AH，
又IJ∥CD，∴ ，
又DC=AB，BJ=AH，∴ ，∴IJ=AF=DE．
S = BJ·IJ= BJ·DE= (BC-DH)·DE= BC·AF- DH·DE= AB·AH- DH·DE= (S -S )．
BIJ 矩形ABJH 矩形HDEG
△
∴能求出△BIJ面积的条件是知道矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质等知识，正确的识别图形及运用相关性质是解题的关
键．3．如图，一块矩形纸片，长为20cm，宽为15cm，现在把这个矩形纸片的左右同时剪去宽为 cm的纸条、
上下同时剪去宽为 cm的纸条（如图所示的阴影部分），要使剩下的矩形与原来的矩形相似，则 与 满
足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【解析】解：依题意，要使剩下的矩形与原来的矩形相似，
则
15（20-2y）=20(15-2x)
3（20-2y）=4(15-2x)
60-6y=60-8x
-6y=-8x
3y=4x
即 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
4．如图，矩形 的四个顶点分别在菱形 的四条边上， ．将 ， 分别沿边
， 折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形 面积的 时，则 为（ ）A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、
四边形BENF是菱形，得出EN=BE=y，EM=x+y，由相似的性质得出AB=4MN=4x，求出AE=AB-BE=4x-y，
得出方程4x-y=x+y，得出x= y，AE= y，即可得出结论．
【解析】解：设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，
由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，
∴AE=EM，EN=BE=y，EM=x+y，
∵当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 ，且两个菱形相似，
∴AB=4MN=4x，
∴AE=AB-BE=4x-y，
∴4x-y=x+y，
解得：x= y，
∴AE= y，
∴ ，
∴ ，
故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质、菱形的判定与性质、矩形的性质、相似多边形的性质等知识；熟练掌握
菱形的判定与性质是解决问题的关键，学会利用参数解决问题．
5．甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新
三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与
原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【答案】C
【分析】甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得
△ABC∽△A′B′C′；
乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得 ，即
新矩形与原矩形不相似．
【解析】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴ ，∴ ，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法不正确．
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6．如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形ABC D，然后顺次连接四边形
1 1 1 1
ABC D 四边的中点，得到四边形ABC D，再顺次连接四边形ABC D 四边的中点，得到四边形
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2
ABC D，…，按此方法得到的四边形ABC D 的周长为（ ）
3 3 3 3 8 8 8 8
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形 的面积为正
方形ABCD面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形 的周长．
【解析】解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形 ，则得正方形 的面积为正方形
ABCD面积的一半，即 ，则周长是正方形ABCD的 ；
顺次连接正方形 中点得正方形 ，则正方形 的面积为正方形ABC D 面积的一
1 1 1 1
半，即正方形ABCD的 ，则周长是正方形ABCD的 ；
顺次连接正方形 得正方形 ，则正方形 的面积为正方形 面积的一半，即正方形ABCD的 ，则周长是正方形ABCD的 ；
顺次连接正方形 中点得正方形 ，则正方形 的面积为正方形 面积的一半，
即正方形ABCD的 ，则周长是正方形ABCD的 ；
…
故第n个正方形周长是原来的 ，
以此类推：正方形 周长是原来的 ，
∵正方形ABCD的边长为1，周长为4，
∴按此方法得到的四边形 的周长为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方的性质．进而得
到周长关系．
7．如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取 ABC和
DEF各边中点，连接成正六角星形AFBDC E，如图（2）中阴影部分；取 ABC 和 D△EF 各边中
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
△点，连接成正六角星形AFBDC E，如图（3）中阴影部分；如此下去…，则△正六角星形△AFBDC E 的
2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4
面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先分别求出第一个正六角星形AFBDCE与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似
比的平方，找出规律即可解答．【解析】∵A、F、B 、D、C 、E 分别是△ABC和△DEF各边中点，
1 1 1 1 1 1
∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形AFB DC E 且相似比为2：1，
1 1 1 1 1 1
∵正六角星形AFBDCE的面积为1，
∴正六角星形AFB DC E 的面积为 ，
1 1 1 1 1 1
同理可得，第二个六角形的面积为： ，
第三个六角形的面积为： ，
第四个六角形的面积为： ，
故选D．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质及三角形中位线定理，解答此题的关键是熟知相似多边形面积的
比等于相似比的平方．
8．如图，在矩形ABCD中， ， ，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形 ，
使矩形 矩形ADCB；再连接 ，以对角线 为边，按逆时针方向作矩形 ，使矩形
矩形 ，…，按照此规律作下去，则边 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC， ， 的长，从而可发现规律，根据规律即可求得
．【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ， ，
∴ ，
∴ ．
∵按逆时针方向作矩形ADCB的相似矩形 ，
∴矩形 的边长和矩形ADCB的边长的比为 ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
依此类推， ．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出
规律．
二、填空题
9．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S，以PB为宽，以
1
AB为长的矩形面积为S，S______S（填“ ”或“ ”或“ ”）．
2 1 2
【答案】=
【分析】根据黄金分割的定义，即可得到答案．
【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：＝．
【点睛】本题主要考查黄金分割的定义，记住公式即可．
10．把正方形ABCD沿对角线AC的方向移动到ABC D 的位置，它们重叠部分的面积是正方形ABCD的
1 1 1 1
面积的一半，若AC= ，则平移的距离是________.
【答案】 ##
【分析】先根据大小正方形的面积关系求出大小正方形的相似比，再结合AC= 运用线段的和差求得
即可.
【解析】解：∵重叠部分的面积是正方形ABCD面积的一半，即重叠部分与正方形的面积的比是1：2．则
相似比是1： ，
∴ C：AC=1： ，
∴AC=1，
1
∵AC= ，
∴ =AC- = -1，
故答案为 -1.
【点睛】本题主要考查了相似图形的性质、正方形的性质等知识点，确定大小两正方形的相似比成为解答本题的关键.
11．将图1中的矩形和正方形纸片沿图2中的虚线剪成5块，再用这5块拼接成如图3所示矩形，其中阴
影部分为空余部分，若AB=2AD，则 的值为________.
【答案】
【分析】如图，设FH=EJ=AK=x，则PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，首先证明x=3b-2a，利用相似三角形的性质
构建关系式，即可解决问题．
【解析】解：如图，设FH=EJ=AK=x，则PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，
∵JR=DQ=5a-x，AB=2CD，
∴CD=2a-b，
∵KQ=PF，
∴x+2a-b+5a-x=5a+2b-x，
∴x=3b-2a，
∵∠EHF=∠P=∠EFT=90°，
∴∠HFE+∠PFT=90°，∠PFT+∠FTP=90°，
∴∠EFH=∠FTP，
∴△EHF∽△FPT，
∴ ，
∴ ，
整理得，3b2-15ab+14a2=0，∴b= a，
∵4a-2b＞0，
∴ ＜2，
∴ = ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查图形拼剪，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决
问题，属于中考常考题型．
12．我们通常用到的一种复印纸，整张称为 纸（如图 ），按下图方式对折一分为二裁开成为 纸
（如图 ），再一分为二成为 纸（如图 ）…它们都是相似的矩形，这些矩形的长与宽的比值都是一
定值，这个定值是________．
【答案】
【分析】分别设A 纸的长为a，宽为b，A 纸的长为b，宽为 再由相似多边形的对应边成比例列出比例
1 2
式，求出 的值即可．
【解析】解：设A 纸的长为a，宽为b，A 纸的长为b，宽为 ，由A、A 纸的长与宽对应比成比例得 =
1 2 1 2
，故 = = ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例．
13．如图，正六边形ABC DEF 的边长为1，它的6条对角线围成一个正六边形ABC DEF；正六边形
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
ABC DEF 的6条对角线又围成一个正六边形ABC DEF…；如此继续下去，则六边形ABC DEF 的
2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4
面积是_____．
【答案】
【分析】由正六边形的性质得：∠ABB＝90°，∠BAB＝30°，AA＝AB，进而得到正六边形
1 1 2 1 1 2 1 2 2 2
ABC DEF 的面积：正六边形ABC DEF 的面积＝（ ）2＝ ，结合正六边形ABC DEF 的面积＝
2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
6× ×1× ＝ ，即可得到正六边形ABC DEF 的面积，以此类推，即可得到答案.
2 2 2 2 2 2
【解析】由正六边形的性质得：∠ABB＝90°，∠BAB＝30°，AA＝AB，
1 1 2 1 1 2 1 2 2 2
∴BB＝ AB＝ ，
1 2 1 1
∴AB＝ AB＝BB＝ ，
2 2 1 2 1 2
∵正六边形ABC DEF∽正六边形ABC DEF，
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2∴正六边形ABC DEF 的面积：正六边形ABC DEF 的面积＝（ ）2＝ ，
2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
∵正六边形ABC DEF 的面积＝6× ×1× ＝ ，
1 1 1 1 1 1
∴正六边形ABC DEF 的面积＝ × ＝ ，
2 2 2 2 2 2
同理：正六边形ABC DEF 的面积＝（ ）3× ＝ ；
4 4 4 4 4 4
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
14．已知菱形 的边长为2， =60°，对角线 ， 相交于点O．以点O为坐标原点，分
别以 ， 所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以 为对角线作菱形 ∽菱
形 ，再以 为对角线作菱形 ∽菱形 ，再以 为对角线作菱形 ∽菱
形 ，„，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点 ， ， ，．．．．．．， ，则点
的坐标为________．
【答案】（3n－1，0）．【解析】试题分析：∵菱形 的边长为2， =60°，∴ =2，∴ =1，∴点A 的坐标为
1
（1，0），∵ =1，∴ = ，∴ =3，点A 的坐标为（3，0），即（32－1，0），
2
同理可得：
点A 的坐标为（9，0），即（33－1，0），
3
点A 的坐标为（27，0），即（34－1，0），
4
………
∴点A 的坐标为（3n－1，0）．故答案为（3n－1，0）．
n
考点：1．相似多边形；2．菱形的性质；3．规律型．
三、解答题
15．如图，如图用一根铁丝分成两段可以分别围成两个相似的五边形，已知它们的面积比是1：4，其中小
五边形的边长为（x2﹣4）cm，大五边形的边长为（x2+2x）cm（其中x＞0）．求这这根铁丝的总长．
【答案】这根铁丝的总长180（cm）．
【分析】根据相似多边形的面积比是相似比的平方求出相似比，得到关于x的方程，解方程得到答案．
【解析】∵相似五边形的面积比是1：4，
∴它们的相似比为1：2，
即（x2﹣4）：（x2+2x）=1：2，
整理得x2﹣2x﹣8=0，解得x=4，x=﹣2（舍去），
1 2
当x=4时，x2﹣4=12，x2+2x=24，
∴这根铁丝的总长=5×12+5×24=180（cm）．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比是相似比的平方是解题的关键，注意
一元二次方程的解法．
16．（1）定义1：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的2倍，则称这个矩形是原矩形的“加倍矩形”
问题1：一个正方形是否存在一个“加倍正方形”？答______（填“是”或“否”）；
问题2：长为3，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______，宽为______；
（2）定义2：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的 ，则称这个矩形是原矩形的“减
半矩形”．
问题3：长为4，宽为1的矩形的“减半矩形”是否存在？答______（填“是”或“否”）；
问题4：长为6，宽为1的矩形的“减半矩形”的长为______；
问题5：长为n，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______；（用n的代数式表示）
问题6：长为n，宽为1的矩形的“减半矩形”的存在条件是______；（用含n的关系式表示）
（3）定义3：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的k倍，则称这个矩形是原矩形的
“k倍矩形”（注意 ，且k可以取小于1的数）
问题7：长为n，宽为1的矩形的“k倍矩形”的存在条件是______；（ 、 ，用含n、k的关系式
表示）
【答案】（1）否， ， ；（2）否；2； ； 或 ；（3）
【分析】（1）根据题意：若两个正方形是相似图形，根据相似图形的性质，面积比是相似比即周长比的
平方；故不存在“加倍”正方形；设“加倍矩形”的长和宽分别为x，y，列出方程组求解即可；
（2）根据“减半矩形”和“加倍矩形”的定义，类似（1）的方法求解即可；
（3）根据“k倍矩形”的定义，类似（1）的方法求解即可．
【解析】解：（1）问题1：不存在．
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在．
问题2：设“加倍矩形”的长和宽分别为x，y．则： ，解得
（舍去）．
故答案为： ， ；
（2）问题3：设“减半矩形”的长和宽分别为m，c．则： ，消元并化简得，；
∵ ，
∴方程没有实数根，故不存在；
故答案为：否；
问题4：设“减半矩形”的长和宽分别为a，b．则： ，
解得， 或 （舍去）；
故答案为：2；
问题5：设“加倍矩形”的长和宽分别为d，e．则： ，解得 或
（舍去）；
故答案为： ；
问题6：设“减半矩形”的长和宽分别为f，g．则： ，消元并化简得，
；
∵ ，
解得， 或
故答案为： 或 ；
（3）问题7：设“k倍矩形”的长和宽分别为t，s．则： ，消元并化简得，；
∵ ，
解得，
故答案为： ；
【点睛】本题考查了新定义和一元二次方程的解法和根的判别式，相似图形的性质，解题关键是准确理解
题意，熟练解一元二次方程和运用一元二次方程的根的判别式进行求解．
17．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．
题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m的
空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2?
解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2xm，
根据题意，得x·2x＝288.
解这个方程，得x＝－12(不合题意，舍去)，x＝12，
1 2
所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m)
答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.
我的结果也正确！
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？.
结果为何正确呢？
(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？
(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′、BC与
B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d
应满足什么条件？请说明理由．【答案】（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由；（2） ＝2.
【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以由已知条
件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可;
（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得 ＝ ，然后利用比例的性质.
【解析】解 (1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由．
在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：
设温室的宽为xm，则长为2xm.
则矩形蔬菜种植区域的宽为(x－1－1)m，长为(2x－3－1)m.
∵ ＝ ＝2，
∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1；
(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，
就要 ＝ ，即 ＝ ，
即 ＝ ，
即2AB－2(b＋d)＝2AB－(a＋c)，
∴a＋c＝2(b＋d)，
＝2.
【点睛】本题考查了相似多边形的性质及比例的性质，如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，
对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题1．（2019·甘肃甘肃·中考真题）如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
【答案】B
【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属
于相似变换．
故选B．
【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
2．（2018·重庆·中考真题）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的
情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
【答案】C
【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的
面积，计算即可．
【解析】3m×2m=6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，
故选C．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3．（2011·海南·中考真题）如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），
如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
【答案】B
【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【解析】
解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，
则矩形ABDC∽矩形FDCE，
则
设DF=xcm，得到：
解得：x=4.5，
则剩下的矩形面积是：4.5×6=27cm2．
【点睛】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
4．（2012·贵州·中考真题）如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的
是（ ）
A．∠E=2∠K B．BC=2HI C．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 D．S
=2S
六边形ABCDEF 六边形GHIJKL
【答案】B
【分析】根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解析】解：A、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，∴∠E=∠K，故本选项错误；B、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴BC=2HI，故本选项正确；
C、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周
长×2，故本选项错误；
D、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴S =4S ，故本选项错误．
六边形ABCDEF 六边形GHIJKL
故选B．
【点睛】本题考查相似多边形的性质．
5．（2010·山东潍坊·中考真题）如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的.矩形 沿
对开后，再把矩形 沿 对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么 等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据矩形ABCD与矩形ABFE相似，且矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，根据相似图
形面积比是相似比的平方，即可得
【解析】∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，
∵各种开本的矩形都相似，
∴ ，
∴ ．
故选B
6．（2016·山西·中考真题）宽与长的比是 （约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富
的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作
GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
【答案】D
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG
与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
【解析】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF中，
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是
的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．
二、填空题
7．（2019·四川内江·中考真题）如图，点 在同一直线上，且 ，点 分别是 的
中点，分别以 为边，在 同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作 ，若 ，则 _____．
【答案】 ．
【分析】根据题意利用正方形的性质求出 是等腰直角三角形，设 ，则 ，
，根据题意列出方程即可解答
【解析】设 ，则 ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
，
∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】此题考查正方形的性质，相似多边形的性质，解题关键在于求出 是等腰直角三角形
8．（2014·浙江绍兴·中考真题）把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形
的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周
长之和的最大值是_______．
【答案】 .
【解析】试题分析：根据相似多边形对应边的比相等的性质分别求出所剪得的两个小矩形纸片的长与宽，
进而求解即可：
∵在长为 、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，
或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，
∴要使所剪得的两个小矩形纸片周长之和最大，则这两个小矩形纸片长与宽的和最大．
∵矩形的长与宽之比为 ：1，
∴剪得的两个小矩形中，一个矩形的长为1，宽为 .
∴另外一个矩形的长为 ，宽为 .
∴所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是 ．
考点：1.实践操作和阅读理解型问题；2.相似多边形的性质．
三、解答题
9．（2012·江苏南京·中考真题）“？”的思考
下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅．小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？”
结果为何正确呢？
(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：
(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB A′B′，AD A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC
与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、
c、d应满足什么条件？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析．
【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以由已知条
件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可．
（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得 ，然后利用比例的性质．
(1)
小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由．
在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：
设温室的宽为ym，则长为2ym．
则矩形蔬菜种植区域的宽为（y－1－1）m，长为（2y－3－1）m．∵ ，
∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1．
(2)
．理由如下：
要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要 ，即 ，
即 ，
解得： ．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用（几何问题），相似多边形的性质，比例的性质，解题的关键是
熟练掌握一元二次方程的应用（几何问题），相似多边形的性质，比例的性质．
