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专题突破卷 17 数列求和
1.分组求和法
1．已知正项数列 的前n项和 其中A，B，q为常数．
(1)若 ，求证：数列 是等比数列；
(2)在（1）的条件下，若 ，求数列 的前10项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)1078
【分析】（1）由 的关系及等比数列的定义进行证明即可；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1（2）先由 求得 ，又 ，即得 ，再由分组求和法求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
当 时， ，
则 ，
当 时， ，也符合上式，
所以 ，
由正项数列 ，可得 且 ， ,
又 ，则 ，
故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列；
（2）因为数列 为等比数列，由 可得 ，
又正项数列 可得 ，则 ，
又 ，则 ，
所以 .
2．已知等比数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用等比数列的通项公式求解即可；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2（2）分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求出结果即可．
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，
由已知，得 ，解得 ，
；
（2）由（1）得 ，
，
.
3．在数列 中， ， ．
(1)证明数列 是等比数列；
(2)求数列 的前n项和 ；
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意构造数列 ，再利用等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）求出 ，再由分组求和法求解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，所以数列 是以 为首项，
为公比的等比数列.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3（2）由（1）知， ，所以 .
.
4．已知数列 中， .
(1)证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）利用等比数列的定义证明，可得 的通项公式，进而得数列 的通项公式；
（2）利用分组求和可求解.
【详解】（1）由 可得 ,即 ，
所以 是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以 ，所以 .
（2）
.
5．已知数列 和 满足： ， ， ， ，其中 ．
(1)求证： ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知条件可推导出数列 为常数列，数列 为等比数列，求出这两个数列的
通项公式，可求得数列 的通项公式，即可证得 成立；
（2）由（1）可得出数列 的通项公式，利用分组求和法可求得 .
【详解】（1）证明：因为 ①， ②，
① ②可得 ，且 ，
所以，数列 为常数列，且 ③，
① ②可得 ，且 ，
所以，数列 为等比数列，且该数列的首项为 ，公比为 ，
所以， ④，
③ ④可得 ，则 ，
所以， .
（2）解：由（1）可知， ，
则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5.
6．已知 为等差数列 的前 项和， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前15项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的求和公式即可根据等差数列的性质求解，
（2）根据分组求和，结合等比数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ， ，
且 ， ， ， ， ．
（2）由（1）可知 其中 ．
故 的前15项和为
．
2.并项求和法
7．已知数列 的前 项和为 ，则 （ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数列的递推公式得到 ，然后求和即可求解.
【详解】因为数列 的前 项和为 ，且 ，
则 ， ，
， ，
所以 ， ，
依次类推， ， ， ，
所以
.
故选：D.
8．已知数列 满足 ，数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前20项和.
【答案】(1)
(2)110
【分析】（1）利用退一作差法求得 .
（2）利用分组求和法求得 的前20项和.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7【详解】（1）因为 ，
所以当 时， ，
两式相减得 ，
又 时， ，也符合.
所以 .
（2）由（1）知， ，因为对任意的正整数 ，
有 ，
故数列 的前20项和
.
9．已知数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A．1012 B． C．2023 D．
【答案】D
【分析】根据数列 的通项公式，可求得 ，依此类推，即可求解.
【详解】∵ ，
故
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8故
.
故选：D.
10．已知等比数列 的前 项和为 ，若 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比数列的求和公式进行基本量运算，可得数列 的通项公式；
（2）代入 可得 ，再分 的奇偶求和即可.
【详解】（1）设 的公比为 ，由题意可知 ， ， ，
解得 ，代入 可得 ，解得 .
所以数列 的通项公式为 .
（2） ，故 ，
11．记 为等差数列 的前 项和，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前30项的和 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列式求出 和 ，可得通项公式；
（2）先求出 ，再利用并项求和法与等差数列的求和公式可得结果.
【详解】（1）设公差为 ，则 ，解得 ， ，
所以 .
（2） ，
所以 ，
所以
.
12．在等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求满足 的k的值．
【答案】(1) ；
(2)40或37．
【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合等差中项的意义求出公比及首项作答.
（2）由（1）的结论求出 ，再分奇偶求和作答.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10【详解】（1）设 的公比为q，由 ，得 ，解得 ，
由 ， ， 成等差数列，得 ，即 ，解得 ，
所以数列 的通项公式是 ．
（2）由（1）知， ， ，
当k为偶数时， ，令 ，得 ；
当k为奇数时， ，令 ，得 ，
所以 或37.
3.奇偶数列求和
13．若数列 满足 ，则称数列 为“平方递推数列".已知数列 中， ，点 在
函数 的图象上，其中n为正整数，
(1)证明:数列 是“平方递推数列”，且数列 为等比数列;
(2)设 ， ， 求数列 的前10项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)436
【分析】（1）根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明即可；
（2）求出 表达式，再分段求前10项和即可.
【详解】（1） 点 在函数 的图象上，
， ，
数列 是“平方递推数列”，
因为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11对 两边同时取对数得 ，
数列 是以1为首项、2为公比的等比数列；
（2）由（1）知 ，
所以
所以
.
14．设数列 的前 项和为 ，已知 .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)若数列 满足 求数列 的前20项的和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）直接利用递推关系和构造新数列的方法，求出数列 是等比数列；
（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．
【详解】（1）数列 的前 项和为 ，已知 ，①，
当 时， ，解得 ，
故 ，②，
②-①得： ，
即 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12故 ，
故数列 是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）得： ，
整理得 .
数列 满足
故 且 ，
当 为偶数时， ，
整理得 ，
故
15．校考阶段练习）已知数列 满足 ，数列 为等比数列且公比 ，满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 的前 项和为 ，若 ，记数列 满足 求数列 的前 项和 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列基本量的关系可得 公比，再进而可得 为等差数列即可；
（2）由 得， ，再根据分组求和方法求解即可.
【详解】（1）因为 ，
令 得 ，又数列 为等比数列，设公比为 有 ，而 ，解得 ，则 ，
因此 ，即数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以 .
（2）由①知数列 是公比为2的等比数列，
由 得， ，
解得 ，则 ，
因此 ，
即有数列 的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶
数项是以4为首项4为公比的等比数列，所以
16．已知数列 是等差数列， 是各项均为正数的等比数列，数列 的前n项和为 ，且 ，
， ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前12项和 ．
【答案】(1) ，
(2)2796
【分析】（1）由数列 是等差数列， 是各项均为正数的等比数列，设出公差和公比，根据题意列
出方程组求解即可；
（2）根据题意写出数列 通项公式，用分组求和法，结合等差等比求和公式求解即可.
【详解】（1）设数列 的公差为d，数列 的公比为 ，
由题意可得， ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ．
（2）由（1）可得 ，
所以 的所有奇数项组成以1为首项，4为公差的等差数列；
所有偶数项组成以2为首项，4为公比的等比数列．
所以，
．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1517．设数列{an}的首项 n=1，2，3，
⋯
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
(2)当a=1时，求数列{an}的前2n项和Sn.
2
【答案】(1)是，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题设条件，可得 ，由等比数列的定义可得结论；
（2）先求出 ，再求出 ，两式相加即可得解．
【详解】（1）数列{ }出是以a 为首项， 为公比的等比数列，证明如下：
∵
又
∴数列{ }是 为首项， 为公比的等比数列
（2）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1618．已知数列 满足， ， .
(1)若数列 为数列 的奇数项组成的数列，证明：数列 为等差数列；
(2)求数列 的前50项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题设递推式可得 ，据此可得答案；
（2）设 为数列 的偶数项组成的数列，由题可得数列 是首项为2，公差为 的等差数列，后由
分组求和法可得答案.
【详解】（1）由题， ，
且 ，所以数列 是首项为1，公差为 的等差数列；
（2）设 为数列 的偶数项组成的数列，注意到 ，
，
所以数列 是首项为2，公差为 的等差数列，
结合 可知， 的奇数项和偶数项都是以 为公差的等差数列，
所以
.
4.倒序相加法
19．已知正数数列 是公比不等于1的等比数列，且 ，试用推导等差数列前 项和的方法探求：
若 ，则 （ ）
A．2022 B．4044 C．2023 D．4046
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17【答案】D
【分析】先得到 ，再用倒序相加法即可求解.
【详解】因为正数数列 是公比不等于1的等比数列，且 ，
所以 ，
又∵函数 ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ .
故选：D.
20．已知函数 关于点 对称，其中 为实数.
(1)求实数 的值；
(2)若数列 的通项满足 ，其前 项和为 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数中心对称性，整理方程，解得答案；
（2）根据倒序相加法，可得答案.
【详解】（1）由题知 ，即 ，
整理得 ，解得 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18（2）由题知， ，且 ，
则 ，
又 ，
故 ，
即 .
21．记 为等差数列 的前 项和
(1)若 ，求数列 的通项公式.
(2)若 ，记 为数列 的前 项和，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 为等差数列结合已知可求得公差，即可求得答案；
（2）根据等差数列的性质推出 ，即得
，由此利用倒序相加法即可求得答案.
【详解】（1）由于数列 为等差数列，设公差为d，故 ，
从而可知 ，即 ，求得 ，
则数列 的通项公式为 ；
（2）由于 ,故数列 的前 项和为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19由于 为等差数列， ，所以 ，所以 ，
即 ，
同理 ，
得到 ，
则由倒序相加法可知
，
即 .
22．设 ，若 ，试求：
（1） ；
（2） ．
【答案】 1 500
【分析】（1）代入求和化简，即可得出答案；
（2）根据（1）的结论，可推得 ，
倒序相加，即可得出答案.
【详解】（1）因为 ， ，
所以， .
（2）由（1）可得， .
所以，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20，
所以 .
故答案为：1；500.
23．已知函数 ，则 ；设数列 满足 ，则此数
列的前2023项的和为 ．
【答案】
【分析】由题意可知 ，即可根据此关系求出 ，因为
，则 ，利用倒序相
加法求和即可，
【详解】解：已知 ，则：
，
，
所以 ，
则 ，
已知数列 ，
， ，
数列 的前2023项的和 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21且 ，
两式相加，得 ，
故答案为： ；
24．在数列 中， ，则 … 的值是 .
【答案】1005
【分析】根据 ，即可倒序相加求解.
【详解】由 得 ，
所以 ，
所以 , 相加可得 ,
故答案为：1005
5.错位相减法
25．设正项等比数列 的前n项和为 ，且 ，
(1)求数列 的公比；
(2)若 ，数列 满足 ，求 的前n项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由条件得到关于公比 的方程，求解即可得到结果；
（2）由（1）可得 ，结合错位相减法求和即可.
【详解】（1）设正项等比数列 的公比为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22由 ，得 ，
即 ，
化简得 ，又 ，
故 ，解得 或 （舍去），
所以 .
（2）由（1）可知 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，那么 .
所以 ，
则 ，
两式相减得 ，
即 .
26．已知数列 的首项为 ，且满足 ，数列 满足 ，且 ．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求 ．
【答案】(1) ，
(2)
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23【分析】（1）根据已知，利用累乘法、等差数列的通项公式进行计算求解.
（2）根据已知，利用错位相减法计算求解.
【详解】（1）∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
当 时， ，上式成立，∴
又因为 ，所以 ，又 ，
所以数列 是以2为首项，公差为3的等差数列，
所以 ，所以 ．
（2）由（1）， ，
所以 ，①
，②
所以①－②得，
所以
所以 .
27．已知正项数列 满足 ， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用对数运算、等比数列定义判断可得 为等比数列，求出公比可得答案；
（2）利用错位相减可得 .
【详解】（1）因为 ，所以 ，
可得 ，所以 为等比数列，设公比为 ，
因为 ， ，所以 ，解得 ，
所以 ；
（2） ，所以 ，
则 ，①
，②
① ②得
，
所以 .
28．已知数列 的前n项和为 且 ，则数列 的前 项和为 .
【答案】
【分析】利用 化简得到 ，再利用错位相减求和可得答案.
【详解】由 得 ，两式相减可得
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25，故 ，因为 ，解得： ，
所以 ，故 是以1为首项， 为公比的等比数列，
即 ，所以 ，
设数列 的前 项和为 ，
则 ，
，
两式相减得： ，
所以 .
故答案为： .
29．已知数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 即可求出通项公式；
（2）求出 ，利用错位相减法求和.
【详解】（1）当 时， ，
当 时，因为 ①，所以 ②，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26①－②得 ，即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以，当 时， 是以4为首项，2为公比的等比数列，所以 .
所以 .
（2）因为 ，所以，当 时， ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，
则数列 的前 项和为 ，
当 时，
当 时， ，
，
①－②得 ，
，
，
所以 .
当 时， 也满足.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27故数列 的前 项和 .
6.裂项相消法
30．已知等差数列 ，其前 项和 满足 为常数.
(1)求 及 的通项公式；
(2)记数列 ，求 前 项和的 .
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）计算出 的值，根据等差中项的性质可列方程解出 的值，再利用 与 的关系即
可求解；
（2）运用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由题意，当 时， ，
当 时， ，
则 ， ，
因为数列 是等差数列，所以 ，
即 ，解得 ，
则 ，满足 ，
所以 的通项公式为 ．
（2）由（1）可得， ，
则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28所以
．
31．已知等差数列 的前 项和为 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据已知条件可得出关于 、 的方程组，解出这两个未知数
的值，结合等差数列的通项公式可求得 的通项公式；
（2）求得 ，利用裂项相消法可求得 .
【详解】（1）解：设等差数列 的公差为 ，由已知得 ，解得 ，
故 .
（2）解： ，
所以 .
32．从① ；②前 项和 满足 ， ；③
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29中任选一个，并将序号填在下面的横线上，再解答已知数列 中， ，且_____.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和 ，证明： .
(注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）选①，利用等式变形得 ，可得 ；选②，利用 可得 ，可
得 ；选③先变形为 后用累加法可得 ；
（2） ，利用裂项相消法可得.
【详解】（1）若选①：当 时，由 得 ，
整理得 ，
因 ，故 ，
故 是以 为首项以 为公差的等差数列，
所以 ；
若选②：当 时，由 得 ，
两式相减得 ，
整理得 ，
因 ，故 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 30故 是以 为首项以 为公差的等差数列，
所以 ；
若选③：由 得 ，
得 ，
故当 时，
，
所以 ；
又 ，满足 ，
故 .
（2） ，
故
，
因 ，当 越大时， 越大，故 .
33．设 ， ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31(1)求数列 通项公式；
(2)若数列 ，求数列 的前n项和．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据题意，由递推关系可得 为首项为2，公比为2的等比数列，即可得到其通项公式；
（2）根据题意，由裂项相消法即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得，
，所以 为首项为2，公比为2的等比数列， ，
（2） 或
前n项和
34．在数列 中， ，且 ．
(1)证明： ， 都是等比数列．
(2)求 的通项公式．
(3)若 ，求数列 的前 项和 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 32【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据等比数列的定义即可求证，
（2）根据奇数项和偶数项为等比数列，求解其通项，即可求解.
（3）根据分组求和和裂项求和即可求解.
【详解】（1）证明：因为 ，且 ，所以 ， ．
因为 ，故 ，
所以 ， ，
则 ， 都是公比为16的等比数列．
（2）由（1）知 ， 都是公比为16的等比数列，所以 ，
，
故对任意的
（3）因为 ，
所以
．
35．已知等比数列 的各项均为正值， 是 、 的等差中项， .
(1)求数列 的通项公式；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 33(2)设数列 的前 项和为 ，并证明 .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得所求；
（2）求得 ，由数列的裂项相消求和与不等式的性质可得证明．
【详解】（1）由等比数列 的各项均为正值， 是 、 的等差中项，
可设公比为 ，则 ，即 ，解得 舍去）．
由 ，即 ，解得 ，
所以 ；
（2） ，
则
7.先放缩，再裂项
36．已知函数 的图象与x轴正半轴交于点A，函数 的图象在点A处的切线
为l，l在y轴上的截距记为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求证 （ 且 ）．
【答案】(1) ;
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件求出点A坐标.求出导函数，根据导数的几何意义，表示出切线l的方程，即可得到
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34；
（2）易求 .对该式放缩，可得 时， ，裂项可得 ，又 ，代入
式子加起来即可证明.
【详解】（1）由题意，令 ，解得 ，
又A在x轴正半轴，故 ，
，故切线斜率 ，
l： ，
令 ， ，所以l在y轴上的截距 ．
（2）证明：由题意 ．
故 ，
又对 且 时， ，
所以
，
得证．
37．已知 ，抛物线 与 轴正半轴相交于点 ．设 为该拋物线在点 处的切线在 轴上
的截距．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， 求证： （ 且 ）．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 35【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先求解 坐标，求导，可得切线斜率，利用直线方程的点斜式，即得解；
（2）代入 ，可得 ，由 ，裂项相消，即可证明
【详解】（1）由题意，令 ，解得
又 在 轴正半轴，故
，故切线斜率
抛物线在点 处的切线方程为
令
所以它在 轴上的截距 ．
（2）由题意，
故
又对 且 时
得证
38．设正项数列 满足 ，且 .
(1)证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求证：数列 的前 项和 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【分析】（1）将题设条件变形得到 ，从而证得 是等差数列，进而求得 ；
（2）由（1）得 ，分类讨论 与 两种情况，利用放缩法与裂项法即可证得 .
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
又 ，故 ，
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，
故 ，则 ，
因为数列 是正项数列，所以 .
（2）由（1）得 ，
当 时， ；
当 时， ，
所以 ；
综上： .
8.数列求和结合不等式
39．已知数列 满足： ， ，数列 的前 项和为 ，则满足 的
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 37的最小取值为 .
【答案】
【分析】利用累加法可取得数列 的通项公式，利用裂项相消法求出 ，然后解不等式 ，即可得
解.
【详解】因为数列 满足： ， ，
当 时， ，
也满足 ，则 ，
所以， ，
由 可得 ，故满足条件的 的最小值为 .
故答案为： .
40．在数列 中， ， ，且 .设 为满足 的 的个数.
(1)求 ， 的值；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，对任意的 ，不等式 恒成立，求m的
取值范围.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）由递推式判断 是等差数列，利用等差通项公式求基本量，进而得到 ，结合已知可
得 ，即可写出对应项；
（2）应用裂项相加求和得 ，研究数列单调性求 最值，结合恒成立求参数范围即可.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 38【详解】（1）因为 ，所以 ，则 是等差数列，
设数列 的公差为 ，由 ，则 ，解得 ，则 ，
因为 是满足 的 的个数，所以 ，则 ， .
（2）由（1）得 ，
则 ，
设 ，则 ，即 递增，故 ，
因为对任意 ， 恒成立，即 恒成立，
整理得 恒成立，即 恒成立，解得 ，
所以 的取值范围是 .
41．在数列 中， ，其中 ．
(1)证明数列 是等差数列，并写出证明过程；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求 ；
(3)对 ，使得 恒成立，求实数 的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 39【分析】（1）根据等差数列的定义进行证明；
（2）由（1）可求出 ，从而可求得 ，然后利用错位相减法求和即可；
（3）转化条件为 ，再求出 的最大值可得解；
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
，
所以数列 是以1为公差，1为首项的等差数列；
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
所以 ①，
②，
所以①-②得
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 40所以
（3） ，因为对 ，使得 恒成立，
则对 ，使得 恒成立，
则 对 恒成立，
即 对 恒成立，
根据对勾函数单调性结合 可知当 时， 有最大值 ，
故 ，则 .
42．已知数列 ， 满足
(1)证明： 为等差数列，并求 通项公式；
(2)若 ，记 前n项和为 ，对任意的正自然数n，不等式 恒成立，求实数 的范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）证明 为常数即可证明 为等差数列，根据等差数列通项公式即可求 通项公
式，于是可求 通项公式；
（2）根据 通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和 ，求 单调性并求其范围即可求 的范围.
【详解】（1）因为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 41所以两边同除以 得： ，即 ，
又因为 ，所以 的首项 ，
所以 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 ，所以
（2）由题意知， ，
所以 ，
，
两式相减得， ，
所以
＝ ，
因为数列 中每一项均有 ，所以 为递增数列，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以
43．记首项为 的数列 的前 项和为 ，且当 时，
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 42(2)
【分析】（1）根据 与 之间的关系，结合等差数列定义分析证明；
（2）由（1）结合等差数列通项公式 ，利用裂项相消法结合恒成立问题运算求解.
【详解】（1）当 时， ，即 ，
则 ，可得 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列．
（2）由（1）可知 ，可得 ．
则 ，
所以 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
44．数列 满足 ， ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， .证明：当 时， .
【答案】(1)
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 43(2)证明过程见解析
【分析】（1）分类讨论得出数列 的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，从而可求得通项公式；
（2）由（1）求出 ，用错位相减法求得和 后，然后根据设新数列 ，结
合数列单调性进而证明结论.
【详解】（1）因为 ，
所以当 时， ，即 ，
所以数列 是首项为1、公差为1的等差数列，因此 ；
当 时， ，
因为 ，所以 ，所以 为常数，
所以数列 是首项为2、公比为2的等比数列，因此 .
故数列 的通项公式为
（2）由（1）知，
①
②
① ②得，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 44所以
令 ，
则 对 恒成立，
所以 时， ，
所以当 时， ，
即当 时，
1．（多选）已知数列 满足 ， ，则（ ）
A． B． 为等比数列
C． D．数列 的前 项和为
【答案】ACD
【分析】对于A，由递推式直接求解 ，对于B，对递推式变形进行判断，对于C，由等差数列的通项公
式求解，对于D，利用裂项相消法求解.
【详解】对于A，因为 ， ，所以 ， ，所以A正确；
对于B，因为 ，所以 ，即 ，
所以 为等差数列且非常数列，所以 B不正确；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 45对于C，由选项B可知 ，所以 ，所以 ，所以 C正确；
对于D， ，所以 ，所以D正确，
故选：ACD.
2．已知数列 满足 ，且 ，则 ；记数列
的前 和为 ，若 ，则 的最小取值为 .
【答案】
【分析】首先求 ，当 时 ，即可得到 ，再整理得到
，则 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，即可求出 的
通项公式，再利用分组求和法求出 ，利用作差法判断 的单调性，即可确定 的最小值.
【详解】因为 ，且 ，
当 时 ，解得 ，
当 时 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 46即 ，
即 ，
所以 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
因为 ，所以 ，即 ，即 单调递增，
又 ， ，
故 的最小值为 .
故答案为： ；
3．在数列 中，已知 ， ．
(1)求 ；
(2)若 ， 为 的前n项和，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）构造新数列，构造等比数列可得 计算可得 .
（2）先根据（1）得出 ，再根据 得出一侧边界，最后放缩后应用裂项相消计算证明即得
【详解】（1）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 47而 ， 是公比为 首项为 的等比数列，
,
.
（2） , , ,
，
，
.
4．已知数列 中， ，前n项和为 ，若对任意的 ，均有 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 （ ），求 （ 且 ）的
值（结果用m表示）．
【答案】(1)
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 48(2)
【分析】（1）根据 的关系即可求证 为等比数列，即可求解，
（2）根据对数的运算性质可得 ，进而由分组求和，结合等差数列求和公式即可求解.
【详解】（1）因为 ，故 ，两式相减得 ， ，
在 中令 ，则可得 ，故 ，
故 ，则数列 为等比数列，且公比为3，所以 ．
（2） ．
令 ，解得 ，
可得当 ，2，3时， ，当 且 时， ．
5．数列 的各项均为正数，前 项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式．
(2)设数列 满足条件① ；② ，请从条件①②中选一个，求出数列 的前
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 49项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先求出 的值，将 换成 ，结合条件可得出 ，从而得出答案；
（2）若选①，可得 ，利用裂项相消法可求解；若选②，利用错位相减法可求解.
【详解】（1）∵ ，
所以 或 ，∵ ，∴ ，
……①． ……②．
① - ②得 是首项为3，公差为2得等差数列， ；
（2）若选①， ，
；
若选②，
，
，
，
.
6．已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 50(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 结合等差数列的中项定义可知数列 为等差数列，进而通过等差数
列的通项公式即可求得通项公式.
（2）由 的通项公式代入可得 ，通过前后项相并构造平方差的并项
求和法可求得 .
【详解】（1）由 ，可得 ，
数列 为等差数列.
设公差为 ，则 .
又 .
从而 .
（2）由（1）可知 ，
，
当 为偶数时， .
当 为奇数时，
.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 51数列 的前 项和 .
7．已知数列 中， ， .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明 为定值即可；
（2）先根据（1）求出数列 的通项，从而可得数列 的通项，再利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列；
（2）由（1）得 ，
则 ，
①，
②，
由① ②得
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 52，
所以 .
8．设数列 的前 项和为 ， ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 与 的关系可将题设的递推关系转化为关于 的递推关系，从而可求其通项.
（2）利用错位相减法可求 .
【详解】（1）因为 ，
故 时， ，
两式相减得 ，
又 ， ，所以 ，故 ，满足上式，
故 ，且 ，
所以 为等比数列，且首项为2，公比为3，从而 .
（2） ，
故 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 53故 ，
所以
，
所以 .
9．已知等差数列 前n项和为 ，数列 是等比数列， ， ， ，
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前2n项和 ．
【答案】(1) ， ；
(2) ．
【分析】（1）设 的公差为 ， 的公比为 ，由已知列出方程组求得 后可得通项公式；
（2）求出 ，然后按奇偶项分组求和．
【详解】（1）设 的公差为 ， 的公比为 ，
由题意 ，解得 ，
∴ ， ；
（2）由（1）得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 54为奇数时， ， 为偶数时， ，
．
10．已知数列 满足 ， ， ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)记数列 的前 项和为 ，求最小的正整数 ，使得 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)7
【分析】（1）由题意得 ，利用等差数列的定义，即可证明结论；
（2）由（1）得 ，利用累加法可得 ，利用裂项相消法求和可得
，求解 ，即可得出答案．
【详解】（1）证明： ， ，
又 ， ，则 ，
数列 是首项为5，公差为2的等差数列；
（2）由（1）得数列 是首项为5，公差为2的等差数列，则 ，
当 时， ， ， ， ， ，
由累加法得 ，则 ，
又当 时， 符合题意，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 55，则 ，
数列 的前 项和为 ，
，即 ，即 ，解得 （不合题意，舍去）或
，
最小的正整数 为7．
11．已知数列 满足 ，
(1)记 ，求证： 为等比数列；
(2)若 ，求 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由 可知 结合 可得
进而可证 为等比数列；
（2）由（1）结论可先求出 的通项公式，进而求出 的通项公式，再根据 求
出 的通项公式，则 可求.
【详解】（1）证明： 且
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 56又
，
为以4为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）知： ，
，
又 ，
，
所以
.
12．已知数列 是首项为2的等差数列，数列 是公比为2的等比数列，且数列 的前 项和为
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设__________，求数列 的前 项和为 ．
① ，② ，③ ．从这三个条件中任选一个填入上面横线中，并回答问题．
【答案】(1) ，
(2)选择见解析，答案见解析
【分析】（1）根据条件求出 ， ，再根据数列 为等差数列，数列 为等比数列，即可求出
结果；
（2）选择条件①，利用错位相减法即可求出结果，选择条件②，利用裂项相消法即可求出结果，选择条
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 57件③，利用分组求和法即可求出结果.
【详解】（1）设数列 的公差为 ，数列 的首项为 ，
由题知， ，
因为 ，解得 ，
所以 ，
又 ，即 ，解得 ，
所以 ．
所以数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 ．
（2）选条件①： ，则 ，
故 ，两式相减得
，
．
选条件②： ，
，
．
选条件③： ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 58，
．
13．已知等差数列 的公差不为0，且 ， ， ， ，成等比数列，
(1)求数列 的通项公式：
(2)若数列 满足 ，记 为数列 的前n项和，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比中项的性质以及等差数列的通项公式，建立方程，求得公差，可得答案；
（2）根据（1）所得到的通项，整理数列 的通项公式，利用裂项相消，可得答案.
【详解】（1）由 为等差数列，则 ，由等差数列 ，可设其公差为 ，
则 ，即 ，又因为 ，且 ，所以 ；
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，可得 .
（2）由（1）可知 ，又 ，可得 ；
所以 ，再通过裂项相消得到：
，所以
14．已知数列 的前 项的积记为 ，且满足
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 59(1)证明：数列 为等差数列;
(2)若 求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将 代入到 中，得 ，结合等差数列的定义可证结论正确；
（2）由（1）求出 ，再求出 ，然后分组，利用等差数列求和公式和裂项求和方法可求出结果.
【详解】（1）当 时， ，得 ，
当 时， ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列.
（2）由（1）知， ，
当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
所以
.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 60
