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第 2 章 有理数及其运算（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）
知识点1．有理数的分类
正整数 正整数
正有理数
整数零
正分数
按意义分：有理数
负整数；按符号分：有理数零 ．
正分数 负整数
分数
负有理数
负分数 负分数
注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；
（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．
（3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可
以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
要点归纳：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：
作用 举例
表示数的性质 0是自然数、是有理数
表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态 00C
表示冰点
1表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数
知识点2．数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线．
要点归纳：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如 ．
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
知识点3．相反数
只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．
要点归纳：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．
（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．
知识点4．绝对值
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作
a
．
（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．
知识点5.倒数
乘积是1的两个数互为倒数．
1 1
要点归纳：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是 2 ，-2和 2 是互相依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
知识点6.有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负
数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
知识点7.有理数运算法则
2（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值
较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
1
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·b(b≠0) ．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何
非零次幂都是0．
(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点归纳：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）
×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：
(3)2 9 (3)3 27
， ．
知识点8.有理数运算律
（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
知识点9.科学记数法
a10n a 10 n
把一个大于10的数表示成 的形式（其中1≤ ， 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：
2105
200 000= ．
知识点10.近似数
近似数是一个与准确数接近的数，其接近程度可以用精确度表示.四舍五入到某一位，就说这个数近似数精确到那
一位．
3考点1：一个概念——有理数的概念
【例题1】（23-24六年级下·上海黄浦·期中）下列说法正确的是（ ）
A．自然数就是非负整数 B．正数和负数统称为有理数
C．零是最小的有理数 D．有最小的正整数，没有最大的负整数
【答案】A
【分析】本题考查了有理数，根据有理数的相关知识逐一判断即可．
【详解】解：A．自然数就是非负整数，则A正确，故A选项符合题意；
B．正有理数和负有理数以及0统称为有理数，则B错误，故B选项不符合题意；
C．没有最小的有理数，则C错误，故C选项不符合题意；
D．1是最小的正整数， 是最大的负整数，则D错误，故D选项不符合题意，
故选A．
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）零是（ ）
A．最小的整数 B．最小的正数 C．最小的有理数 D．最小的非负整数
【答案】D
【分析】本题考查有理数，掌握最大的负整数是 ，最小的正整数是1．注意：有理数既没有最大也没有最小．熟练
掌握0的特殊性十分重要．
根据0的特殊性，利用排除法进行选择．
【详解】解：A、没有最小的整数，故此选项不符合题意；
B、没有最小的正数，故此选项不符合题意；
C、有理数没有最大最小，故此选项不符合题意；
D、非负整数就是正整数或0，所以0最小，故此选项符合题意．
4故选：D．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列数中： ，有理数有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了对有理数、无理数的定义的应用，能正确理解无理数的定义是解此题的关键，注意：无理数包括
三方面的数：①含π的，②一些开方开不尽的根式，③一些有规律的数．根据有理数以及无理数的定义（无理数是指
无限不循环小数）判断即可．
【详解】解： 中， 是有理数，
∴有理数有3个，
故答案为：3
【变式3】（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：
(1)正数集合：{ …}；
(2)整数集合：{ …}；
(3)负分数集合：{ …}．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查有理数分类，涉及正数定义、整数定义及负分数定义等知识，熟记相关有理数定义是解决问题的关
键．
（1）根据正数定义求解即可得到答案；
（2）根据整数定义求解即可得到答案；
（3）根据负分数定义求解即可得到答案．
5【详解】（1）解：正数集合： ，
故答案为： ；
（2）解：整数集合：
故答案为： ；
（3）解：负分数集合：
故答案为： ．
考点2：一种运算——有理数的运算
【例题2】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
首先运用乘法分配律计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
【变式1】（22-23七年级上·福建莆田·阶段练习）计算
(1) (2)
【答案】(1)
6(2)
【分析】本题考查有理数的运算：
（1）从左到右，依次计算即可；
（2）利用乘法分配律进行计算即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）原式
【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）运用简便方法计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)37
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据算式的特点选择合适的简便方法是解题的关键．
（1）运用乘法的交换律和结合律计算即可；
（2）将除法转化为乘法后，运用乘法的分配律计算可得．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
7【变式3】（23-24七年级上·广东·期末）计算
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算 、 ，再算乘除，最后计算出结果；
（2）先乘方，再算括号里面的，最后计算出结果．
本题考查了有理数的混合运算，运算过程中注意运算顺序和运算法则．特别注意： 与 的区别．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
8考点3：一个应用——有理数的实际应用
【例题3】（22-23七年级上·山西长治·阶段练习）一个长方体冷藏仓库，从里面量长8米，宽6米，高5米，如果往
仓库中放入棱长为2米的正方体储物箱，最多可放进（ ）个.
A．60 B．30 C．24 D．38
【答案】C
【分析】本题考查了有理数乘除法的应用，用除法分别求出车厢的长、宽、高各包含多少个2米，然后根据整数乘法
的意义，用乘法解答即可．
【详解】解： （个），
（个），
（个） （米），
（个），
最多可放24个，
故选：C
【变式1】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）下表列出了国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时
刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数）如果现在是北京时间9月11日15时，那么现
在的纽约时间是（ ）
巴
城市 纽约 东京 芝加哥
黎
时差/时
A．9月10日21时 B．9月12日4时
C．9月11日4时 D．9月11日2时
【答案】D
【分析】本题主要考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数的运算方法进行求解是解决本题的关键．根据题意列式计
算得出 ，即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，
9，
即纽约时间为9月11日2时．
故选：D．
【变式2】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（盈亏问题）买来一批苹果，分给幼儿园大班的小朋友．如果每人
分5个苹果，那么还剩余32个；如果每人分8个苹果，那么还有5个小朋友分不到苹果，这批苹果共有 个．
【答案】152
【分析】本题考查了盈亏问题，盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二
是每份的差额，将这两个差相除，就可求出总份数，然后再求物品数；基本关系式为：总差额÷每份的差额=总份数．
总差额是 个，每份的差额是 ，将这两个差相除，就可求出总人数，然后再求苹果的个数即可．
【详解】解： （人），
（个）．
故答案为：152．
【变式3】（23-24七年级上·广东深圳·期末）在疫情期间，某县城为了保障学校学生的正常学习，需每天抽取不低于
总学生人数的 进行核酸抽检．为了更好地统计每天抽测的学生人数，医务人员以每天抽测2000人为标准，超过
的人数记作正，不足的人数记作负．下表是该县城学校一周核酸抽检情况的记录（单位：人）：
星期 一 二 三 四 五
与标准的差/人
(1)该县城哪天抽检的学生人数最多？哪天抽检的最少？分别是多少人？
(2)聪明的你，帮医务人员计算下这周该县城总共核酸抽检了学生多少人？
【答案】(1)该县城星期一抽检的学生人数最多，最多为2021人；星期五抽检的学生人数最少，最少为1974人
(2)9990人
【分析】本题考查正负数的实际应用，涉及有理数混合运算等，看懂统计表格，由问题直接求解即可得到答案，熟记
正负数表示相反意义的量及有理数相关运算法则是解决问题的关键．
（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可．
10【详解】（1）解：由统计表可知，该县城星期一抽检的学生人数最多，人数为： （人）；
由统计表可知，该县城星期五抽检的学生人数最少，人数为： （人）；
（2）解：
（人），
答：这周该县城总共核酸抽检了学生9990人
考点4：科学记数法与近似数
【例题4】（22-23七年级上·吉林长春·期末）卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，是卡塔尔规模
最大的体育场．世界杯之后，将有约170000个座位将捐赠给需要体育基础设施的国家，其中大部分来自世界杯决赛
场地卢塞尔体育场，170000这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解： ，
故选：D．
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）求 个偶数的平均数，保留一位小数得数是 ，若保留两位小数得数
应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了近似数，根据 个偶数的平均数，保留一位小数得数是 ，可知这 个偶数的和在
和 之间，然后即可计算出这 个偶数的和，再除以 ，结果保留两位小数即可，正确理解概念及运算是解
题的关键．
【详解】解：∵ ， ， 个偶数的平均数，保留一位小数得数是 ，
∴这 个偶数的和为 ，
11∵ ，
故选： ．
【变式2】（22-23七年级上·福建莆田·阶段练习）据统计截止2021年12月31日，全国共有学生团员48310000名，
48310000用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，
小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时， 是正整数；当原数的绝对值
时， 是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整
数，表示时关键要确定 的值以及 的值．
【详解】解：48310000用科学记数法表示为
故答案为：
【变式3】（23-24七年级上·全国·课后作业）下列各数精确到什么位？请分别指出来．
(1) ． (2) ． (3) ． (4) 万．
【答案】(1) 精确到千分位
(2) 精确到个位
(3) 精确到百分位
(4) 万精确到百位
【分析】（1）根据近似数的定义及求解方法即可求解；
（2）根据近似数的定义及求解方法即可求解；
（3）根据近似数的定义及求解方法即可求解；
（4）根据近似数的定义及求解方法即可求解．
【详解】（1）解： 精确到千分位．
（2）解： 精确到个位．
（3）解： 精确到百分位．
12（4）解： 万精确到百位．
【点睛】本题主要考查近似数的概念及计算方法，掌握以上知识是解题的关键．
考点5：三种思想
思想1：从特殊到一般思想
【例题5】（23-24七年级上·广东梅州·期中）按一定规律排列的数： ， ， ， ， ，则这列数的第 个数
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了数字的变化规律，根据规律分别找到分子、分母及符号的规律即可解答，分别找到分子、分母及
符号的规律是解题的关键．
【详解】解：分子 ， ， ， ， 的规律为 ，
分母 ， ， ， ， 的规律为 ，
符号的规律为 ，
故第 个数为 ，
故选： ．
【变式1】（20-21七年级上·四川达州·期中）已知一列数：1， ， ， ， ……，则第n个数是（ ）
A． ； B． ； C． ； D． 、
【答案】B
【分析】根据前几个数的变化规律发现，第n个数的分子为2n﹣1，分母为n2，进而可得第n个数．
【详解】解：通过观察发现：
131= ，
，
，
，
……
由此规律，第n个数是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了数字类规律探究，认真观察，找到变化规律是解答的关键
【变式2】（23-24七年级·全国·假期作业）观察下列等式： ， ， ，
……
（1）根据上面的规律，若 ，则 ， ；
（2）用含有自然数n的式子表示上述规律为 ．
【答案】 21 19
【分析】本题考查了数字类规律．
（1）观察题干可知，两个连续奇数的平方差等于8的倍数，进而分析出一般规律，即可得到答案；
（2）根据（1）所得规律，列式即可．
【详解】解：（1）∵ ；
；
；
14；
…
，所以 ， ，
所以
（2）第n个式子可表示为 ．
故答案为： 21， 19， ．
【变式3】（23-24七年级上·山西晋中·期中）观察下列等式：
，
，
，
……
回答下面的问题：
(1) ．
(2)猜想 ．
(3)计算： 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】( )利用所给的等式的规律进行求解即可；
( )利用所给的等式的规律进行求解即可；
( )利用所给的等式的规律进行求解即可；
15本题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．
【详解】（1）由题意得： ，
故答案为： ；
（2）由题意得： ，
故答案为： ；
（3）原式 ，
，
；
或原式
．
思想2：数形结合思想
【例题6】（23-24七年级上·四川达州·期末）如图，若A是有理数a在数轴上对应的点，则关于a， ，1的大小关
系表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，首先由数轴上点A的位置，可以确定a是负数，且a的绝对值
大于1，所以 是正数，且绝对值大于1；
【详解】解：由数轴可知∶ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
16【变式1】（23-24七年级上·四川达州·期末）数轴上点D、E、F和原点如图所示，已知有理数a、b、c分别与其中的
一个点对应(对应顺序暂不确定），若a、b、c满足 ， ， ，那么有理数b在数轴上对应的点是
，
【答案】E
【分析】本题考查数轴、有理数的乘法和加法，根据有理数的乘法和加法运算法则，结合数轴可得 ， ，
，进而可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴a、c异号，
∴由数轴得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点D对应的有理数为c，点E对应的有理数为b，点F对应的有理数为a，
即有理数b在数轴上对应的点是E，
故答案为：E．
【变式2】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）画出数轴，在数轴上标出表示下列各数的点，并用“>”号把这些数
连接起来．
，0， ， ，
【答案】见详解，
【分析】先在数轴上把各数表示出来，再根据数轴上表示的数右边的总比左边的大，用大于号依次将各数连接起来．
此题主要考查有理数大小的比较、有理数的绝对值、有理数的乘方、有理数的相反数等知识，属于易错题．
17【详解】解：依题意，
如图所示，
∴ ．
【变式3】（22-23七年级上·河南信阳·期末）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，它们对应的数分别是
a，b，c，其中 ， ，如图所示．
(1)若以B为原点，写出点A，B，C所对应的数： ， ， ；此时 中点所表示的数是 ；
(2)要使b的绝对值是1，则原点应该在什么位置？
(3)若原点O在图中数轴上点C的右边，且 ，求 ．
【答案】(1) ，0，1，
(2)原点在C点或 中点处
(3)
【分析】（1）根据数轴以及两点之间的距离可得出 ， ， ，在表示出 中点的数即可．
（2）由绝对值的意义可得出 或 ，分两种情况根据两点之间的距离可得出结论．
（3）根据题意画出数轴，结合两点之间的距离可得出a，b，c的值，然后在进行有理数的加法即可．
【详解】（1）解：∵点B为原点，点A在点B的左边，点C在点B的右边， ，
∴ ， ， ，
设此时 中点所表示的数是x， 中点到A点的距离与到C点的距离相等，且
∴
∴
∴此时 中点所表示的数是 ，
故答案为： ，0，1，
（2）∵
∴ 或
当 时，即点B表示的数为1，则原点O在点B左边且到点B的距离为1
∴
∵ ，
∴
18∴
∴此时原点是 的中点，
当 时，即点B表示的数为 ，则原点O在点B右边且到点B的距离为1
∴ ，
∵
∴此时原点是点C，
综上所述原点是 的中点或点C．
（3）如下图，
原点O在图中数轴上点C的右边
∴
∵
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，有理数加法，等知识，掌握实数与数
轴的相关知识是解题的关键．
思想3：分类讨论思想
【例题7】（23-24七年级上·四川达州·期末）数轴上表示整数的点叫作整点．某数轴的单位长度为 ，若在这条数
轴上任意画出一条长度为 的线段，则线段盖住的整点个数为（ ）
A．2025个 B．2024个 C．2025或2024个 D．2024或2023个
【答案】C
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，分当长度为 的线段的两个端点恰好都是整点时，当长度为
的线段的两个端点恰好都不是整点时，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：当长度为 的线段的两个端点恰好都是整点时，那么线段盖住的整点个数为 个，
当长度为 的线段的两个端点恰好都不是整点时，那么线段盖住的整点个数为 个，
故选：C．
【变式1】（22-23七年级上·福建莆田·阶段练习）点A、B在数轴上，若数轴上点A表示 ，且 ，则点B表示
19的数是 ．
【答案】 或3/3或
【分析】分两种情况，点 在点 的左侧，点 在点 的右侧．本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，
分两种情况讨论是解题的关键．
【详解】解：分两种情况：
当点 在点 的左侧，
，
，
点 表示的数是： ，
当点 在点 的右侧，
，
，
点 表示的数是：3，
综上所述：点 表示的数是： 或3．
故答案为： 或3
【变式2】（22-23七年级上·北京海淀·期中）数轴上表示数x的点与原点的距离，记作 ．
(1)数轴上表示数x的点与表示 的点的距离，可以记作___________；
(2)当 时， 的值为___________；当 时， 的值为___________；当 时，
的值为___________．
(3)当x分别取 ， ，……，请你计算 的值，然后观察，思考并得出结论：对于有理数a，当x取任意
一对相反数m与 的值时， 的两个值的关系是___________．
【答案】(1)
(2)0， ，2
20(3)互为相反数
【分析】（1）根据题意可得，两点间的距离表示为两数之差的绝对值，据此可解；
（2）将x的值代入计算即可；
（3）将x分别取 ， 代入计算，可得对于有理数a，当x取任意一对相反数m与 的值时， 的两个
值的关系是互为相反数．
【详解】（1）解：数轴上表示数x的点与表示 的点的距离，可以记作 ，即 ，
故答案为： ；
（2）解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
故答案为：0， ，2；
（3）解：当 时， ；
当 时， ，
当 时， ；
当 时， ，
由此可得：当x取任意一对相反数m与 的值时， 的两个值的关系是互为相反数．
故答案为：互为相反数.
【点睛】本题考查了绝对值的定义和计算，以及有理数的加减计算，熟练掌握绝对值的定义以及有理数的加减计算是
解题的关键．
【变式3】（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 与 ， 与 ．并回答下
列各题：
21(1)你能发现： 与 在数轴上的对应点间的距离可以表示为： ； 与 在数轴上的对应点间的距离可以表示
为： ；根据以上规律，则 与 在数轴上的对应点的距离是 ．
(2)若数轴上的点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，则 与 两点间的距离可以表示为 ．
(3)结合数轴思考， 的最小值为多少？
(4)满足 ，求 的值为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) 或
【分析】（1）根据题意，计算 即可；
（2）根据题意， 与 两点间的距离表示为 ，整理式子即可；
（3）根据题意， 可表示“数轴上表示 与 两点之间的距离，与数轴上表示 与 两点之间的距离的
和”，故当 时， 的值最小，计算 即可；
（4）由（3）知， 的最小值5；可知分“当 时”和“当 时”两种情况求解即可．
【详解】（1）解：根据题意， ，
故答案为： ；
（2）解：根据题意， 与 两点间的距离表示为 ，
故答案为： ；
（3）解：根据题意， 可表示“数轴上表示 与 两点之间的距离，与数轴上表示 与 两点之间的距离
的和”，
∴当 时， 的值最小，
22∴ 的最小值为 ；
（4）解：∵由（3）知， 的最小值5，
∴ ；
∴当 时， ，
∴ ；
当 时， ，
∴ ．
综上所述， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义的应用，熟练掌握数轴上两点之间的距离、分类讨论是解
题的关键
一、单选题
1．（2023·江苏盐城·中考真题）下列数中，属于负数的是（ ）
A．2023 B． C． D．0
【答案】B
【分析】根据小于0的数即为负数解答可得．
【详解】 是负数， 和 是正数，0既不是正数也不是负数
故选：B．
【点睛】本题主要考查正数和负数，熟练掌握负数的概念是解题的关键．
2．（2024·青海·中考真题） 的相反数是（ ）
23A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相反数，根据“只有符号相反的两个数互为相反数”进行求解即可．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：A．
3．（2024·江苏南通·中考真题）如果零上 记作 ，那么零下 记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的
量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”
所表示的意义；再根据题意作答．
【详解】解∶∵零上 记作 ，
∴零下 记作 ，
故选∶ A．
4．（2023·海南·中考真题）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】根据数轴可知点A表示的数是 ，再根据相反数的定义，即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是 ，
的相反数是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，相反数，掌握相反数的定义是解题关键．
245．（2023·山东潍坊·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴的性质可得 ， ，据此逐项判断即可得．
【详解】解：由数轴可知， ， ．
A、 ，则此项错误，不符合题意；
B、 ，则此项错误，不符合题意；
C、 ，
，则此项正确，符合题意；
D、 ，
，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
6．（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负
以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“ ”，则“ ”表示（ ）
A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食
【答案】A
【分析】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解．
【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为“ ”，则“ ”表示运出30吨粮食．
故选：A
【点睛】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键．
25二、填空题
7．（2024·江苏镇江·中考真题） 的绝对值等于 ．
【答案】100
【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
负数的绝对值等于它的相反数，由此计算即可．
【详解】解： ，即 的绝对值等于100，
故答案为：100．
8．（2021·江苏南京·中考真题） ； ．
【答案】 2 -2
【分析】根据相反数的意义和绝对值的意义即可得解．
【详解】解： 2；
-2．
故答案为2，-2．
【点睛】本题考查了相反数和绝对值．掌握相反数的意义和绝对值的意义是解题的关键．
9．（2021·江苏常州·中考真题）数轴上的点A、B分别表示 、2，则点 离原点的距离较近（填“A”或
“B”）．
【答案】B
【分析】先求出A、B点所对应数的绝对值，进而即可得到答案．
【详解】解：∵数轴上的点A、B分别表示 、2，
∴ ，且3＞2，
∴点B离原点的距离较近，
故答案是：B．
【点睛】本题主要考查数轴上点与原点之间的距离，掌握绝对值的意义，是解题的关键．
2610．（2024·四川资阳·中考真题）若 ，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0．根据
绝对值和平方的非负性，得出 ，求出a和b的值，即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为：2．
三、解答题
11．（2023·广西·中考真题）计算： ．
【答案】6
【分析】根据有理数的混合运算法则求解即可．
【详解】
．
【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
12．（2024·广西·中考真题）计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先算乘法和乘方，再算加法即可．
【详解】解：原式
．
2713．（2022·浙江杭州·中考真题）计算： ．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是 ，请计算 ．
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【答案】(1)-9
(2)3
【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；
（2）设被污染的数字为x，由题意，得 ，解方程即可；
【详解】（1）解： ；
（2）设被污染的数字为x，
由题意，得 ，解得 ，
所以被污染的数字是3．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键．
一、单选题
1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）在11，0， ， ， 中，整数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了整数的概念，整数分为0和正整数、负整数，据此即可作答．
【详解】解：整数有：11，0，
28∴整数的个数是3
故选：B．
2．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数．不足标准质量的克
数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键 ．
求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．
【详解】解： ， ， ， ，
而 ，
最接近标准的是选项D．
故选：D．
3．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】C
【分析】本题主要考查的是相反数的概念及多重符号的化简，解题的关键是能正确对多重符号进行化简 ．
根据负负得正，正负为负的原则先将每个选项的式子化简，再根据相反数的定义判断即可得出答案．
【详解】解：A． ， ，故选项不符合题意；
B． ， ，故选项不符合题意；
C． ， ，故选项符合题意；
29D． ， ，故选项不符合题意．
故选：C．
4．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，则m为（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】D
【分析】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出m和1互为相反数是解决问题的关键．
由数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，可得m和1互为相反数，由此即可求得 的值．
【详解】解：∵数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，
∴m和1互为相反数，
∴ ．
故选：D．
5．（2024七年级上·全国·专题练习）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查根据数轴上点的位置判断式子，正确理解题意是解题的关键．由有理数a，b在数轴上的对应
点的位置，即可判断．
【详解】解：根据数轴可得： ，
A、 ，故A不符合题意；
B、 ，正确，故B符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 ，故D不符合题意，
30故选：B．
6．（2024七年级上·江苏·专题练习）以下数轴画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查数轴，了解数轴三要素是关键．根据数轴三要素：原点，正方向，单位长度，逐一排除即可．
【详解】解：A．没有正方向，错误，不符合题意；
B．单位长度不相等，错误，不符合题意；
C．有正方向，原点，单位长度相等，正确，符合题意；
D．选项没有原点，错误，不符合题意．
故选：C．
7．（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．正分数和负分数统称为分数 B．0既是正整数也是负整数
C．正整数、负整数统称为整数 D．正有理数和负有理数统称为有理数
【答案】A
【分析】此题考查了有理数，利用分数，整数，以及有理数定义判断即可．
【详解】解：A、正分数和负分数统称为分数，选项说法正确；
B、0是整数，选项说法错误；
C、正整数、负整数和0统称为整数，选项说法错误；
D、正数、负数和0统称为有理数，选项说法错误，
故选：A．
8．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）若气温为零上 记作 ，则 表示气温为（ ）
A．零上 B．零下 C．零上 D．零下
31【答案】B
【分析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的
就为负．此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可．
【详解】解：若气温为零上 记作 ，则 表示气温为零下 ，
故选：B．
9．（23-24七年级上·河南商丘·期中）若A，B是数轴上两点，则点A，B表示的数互为相反数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了数轴、相反数等知识点，熟练掌握相反数的性质是解本题的关键．
利用相反数的定义并结合数轴表示即可解答．
【详解】解：由点A，B表示的数互为相反数，得到两点离原点的距离相等，且符合相反，
画图为：
故选：C．
10．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为 ，3，点P为数轴上一动点，其对应的
数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（ ）
A． B． 和 C． 和 D． 和
【答案】C
【分析】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及数轴的应用，明确如何借助用数轴上的点表示距离，是解题的关键．
当P在点A、B之间时的距离、当点P到点A和点B的距离之和为7的点P的位置，借助含绝对值的式子分析求解即
可．
【详解】解：由题意得：当P到点A、B的距离之和为7时，有
32∵当点P位于点A、B之间时， ，
∴将x从 向左移动1.5个单位或从3向右移动1.5个单位，则有
此时 ，或
\故选：C．
二、填空题
11．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）某市地铁去年年底12月的客运量是 人次，用科学记数法表示这个数
．
【答案】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 ，其中 ，确定 与 的值是解题的
关键．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数，据此求解即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
12．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京
早的点时数）：
纽
城市 伦敦 东京 巴黎
约
时差/时
如果北京时间是9月13日17时，那么伦敦的当地时间是9月 日 时．
【答案】 13 9
【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用．这是一个典型的正数与负数的实际运用问题，我们应联系现实生活
认清正数与负数所代表的实际意义．
此题中正数表示在北京时间向后推几个小时，即加上这个正数；负数表示向前推几个小时，即加上这个负数，据此解
33答即可．
【详解】解： ，
表示向前推8个小时，
北京时间是9月13日17时，那么伦敦的当地时间是9月13日9时，
故答案为：13，9．
13．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）若 ，且 ，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了有理数的乘法，绝对值的性质，求得b的值是解题的关键．
由绝对值的性质先求得b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1．
14．（22-23七年级上·内蒙古包头·期末）已知 则 ．
【答案】7
【分析】本题考查非负性，代数式求值，根据非负性，求出 的值，进而求出代数式的值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：7．
15．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）比较大小： （填“ ”或“ ”或“ ”）．
34【答案】
【分析】此题考查了有理数大小的比较．根据有理数大小比较规则，求解即可，两个负数比较大小，绝对值大的反而
小．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．（2024七年级上·全国·专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为 、4，点P为数轴上一动点，若P到
A、B的距离的比为 时，则点P表示的数是 ．
【答案】 或0
【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，解绝对值方程，设点P表示的数是x，根据题意列绝对值方程
求解即可．
【详解】解：设点P表示的数是x，
则 ， ，
∵P到A、B的距离的比为 ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： 或0，
∴点P表示的数是 或0，
故答案为： 或0．
17．（22-23七年级上·四川成都·阶段练习）已知 ， ，且 ，则 的值为 ．
【答案】 或
35【分析】本题主要考查了绝对值的意义和求代数式的值，首先依据绝对值的定义求得 、 ，然后结合条件 ，
进行分类计算即可，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算及分类讨论思想．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，则 ；
， ，则 ；
故答案为： 或 ．
18．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知 ，则 的
最大值是 ，最小值是 ．
【答案】 15
【分析】 表示数轴上表示x的点到表示 和2的两个点的距离之和，得 ．同理，
， ，可得 ， ， ．于是
．
【详解】解： 表示数轴上表示x的点到表示 和2的两个点的距离之和，
∴ ．
同理， ， ，
而 ，
∴ ， ， ．
∴ ．
∴ ．
故答案为：15，
【点睛】本题考虑数轴上两点间距离计算，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键．
36三、解答题
19．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：
(1) ；
(2)
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）运用有理数的加法的交换律和结合律进行计算即可；
（2）运用有理数的加法的交换律和结合律进行计算即可．
本题考查有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减运算法则是解题的关键．注意运用加法运算律简便运算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)21
(2)
37【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
（1）先计算乘除，然后计算加减；
（2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
21．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
38【分析】（1）根据有理数的减法法则计算即可；
（2）根据有理数的减法法则计算即可；
（3）先算括号里面的，再根据有理数的减法法则计算即可；
（4）根据有理数的加减法法则计算即可．
此题考查了有理数的加减法，熟练掌握有理数加减法法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
22．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ；
39(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，在解答时要注意运算顺序以及确定结果的符号：
（1）原式根据有理数加减法法则进行计算即可；
（2）原式根据乘法分配律将括号展开后再计算乘法，最后进行加减运算即可得到结果；
（3）原式先将除法转换为乘法后再根据乘法分配律将括号展开后再计算乘法，最后进行加减运算即可得到结果；
（4）原式将除法转换为乘法后进行约分计算即可
【详解】（1）解：
；
（2）解：
40；
（3）解：
；
（4）解：
23．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（发车间隔问题）从电车总站每隔一定时间开出一辆电车，甲和乙两人在
一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔
10分15秒遇上迎面开来的一辆电车，则电车总站每隔几分钟开出一辆电车？
【答案】11分钟
【分析】此题考查了有理数混合运算的应用，解决追及问题、相遇问题的能力，解答时读懂题意，理解各数量之间的
关系是解题的关键．假设甲、乙在同一起点遇到一辆电车时开始步行，10分钟后甲、乙之间的距离为他们的速度差乘
步行的时间，此时甲遇到迎面开来的电车，这辆电车还要经过15秒再与乙相遇，据此用路程除以相遇时间可以求出
乙与电车的速度和，进而求出电车的速度；甲在遇到第一辆电车后，经过10分钟遇到第二辆电车，由此可知，两辆
电车相距甲、电车共行10分钟的路程，用这个路程除以电车的速度，即是两辆电车发车相隔的时间．
【详解】解：10分15秒 分
（米）
41（分）
答：电车总站每隔11分钟开出一辆电车．
24．（2022七年级·全国·专题练习）世界上最大的沙漠──非洲的撒哈拉沙漠可以粗略地看成是一个长方形，撒哈拉
沙漠的长度大约是5 149 900m，沙层的深度大约是366cm．已知撒哈拉沙漠中沙的体积约为33 345km3．请分别按下
列要求取近似数．
(1)将撒哈拉沙漠的长度用科学记数法表示；
(2)将撒哈拉沙漠中沙层的深度四舍五入到10cm；
(3)将撒哈拉沙漠中沙的体积保留2个有效数字．
【答案】(1)5.1499×106m
(2)3.7×102cm
(3)3.3×104km3
【分析】(1)根据较大数的科学记数法的表示方法求解即可；
(2) 利用近似数精确度的确定方法求解即可；
(3) )利用近似数精确度的确定方法求解即可．
【详解】（1）解：撒哈拉沙漠的长度大约是5 149 900m＝5.1499×106m；
（2）沙层的深度大约是366cm≈3.7×102cm；
（3）撒哈拉沙漠中沙的体积约为33 345km3≈3.3×104km3．
【点睛】本题考查了科学记数法和近似数的知识，熟知较大数的科学记数法的表示方法及近似数精确度的确定方法是
解决问题的关键．
25．（22-23七年级上·江苏·周测）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，
超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表：
做乒乓球的同
李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟
学
检测结果
(1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？
42(2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？
【答案】(1)张兵和蔡伟做的合乎要求
(2)蔡伟做的质量最好；李明做的较差
【分析】（1）绝对值大于0.02的就都是不合格的，所以张兵、蔡伟合格；
（2）绝对值越小质量越好，越大质量越差，所以蔡伟最好、李明最差．
【详解】（1）解： ， ， ， ， ，
，
， ， ， ， ， ，
∵直径与规定直径不超过0.02毫米的误差视为符合要求，张兵的是−0.017，蔡伟的是−0.011不超过0.02毫米的误差，
∴张兵和蔡伟做的乒乓球是符合要求的；
（2）解： ，
∴6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名为：蔡伟、张兵、余佳、赵平、王芳、李明，
∴蔡伟做的质量最好，李明同学做的质量最差，
答：蔡伟做的质量最好；李明做的较差．
【点睛】本题考查正数与负数的实际运用，涉及绝对值运算，弄清题意是解本题的关键．
26．（22-23七年级上·云南红河·期末）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原
因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：
星
一 二 三 四 五 六 日
期
增
减
(1)根据记录可知前三天共生产________辆；
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产________辆；
(3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣
15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
43【答案】(1)599
(2)26
(3)84675
【分析】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算的应用，熟练掌握运算法则，正确列式计算是解此题的关键．
（1）根据表格列式计算即可得出答案；
（2）根据最大数减去最小数即可得出答案；
（3）根据工资的计算方法列式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：根据记录可知前三天共生产 （辆）；
（2）解：产量最多的一天比产量最少的一天多生产 （辆）；
（3）解： ，
（元），
该厂工人这一周的工资总额是 元．
4445
