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专题突破卷 17 立体几何中的折叠和探索性问题
题型一：两个平面折叠后有关二面角的考察
1．已知菱形 中， ，沿对角线AC折叠之后，使得平面 平面 ，
则二面角 的余弦值为（ ）
A．2 B． C． D．
2．如图，将正方形ABCD沿对角线AC折叠后，平面 平面DAC，则二面角
的余弦值为（ ）A． B． C． D．
3．已知矩形 中， ，折叠使点A，C重合，折痕为 ，打开平面
，使二面角 的大小为 ，则直线 与直线 的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
4．如图，已知梯形 ， ． ，沿着对角线 折叠使得点B，
点C的距离为 ，此时二面角 的平面角为（ ）
A． B． C． D．
5．在 中， 是斜边的高线，现将 沿 折起，使
平面 平面 ，则折叠后 的长度为（ ）
A．2 B． C． D．3
6． ， 是直线 上的两点，若沿 轴将坐标平面折成 的二面角，
则折叠后 、 两点间的距离是（ ）
A．6 B． C． D．
7．在矩形ABCD中， ，M是AD边上一点，将矩形ABCD沿BM折叠，使平
面 与平面 互相垂直，则折叠后A，C两点之间距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8．如图，在梯形 中， ，四边形 为矩形，点 为
的中点，沿 ， 折叠，使得点 与 重合于点 ，如图2，则异面直线 与
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，已知 ， ，现沿 轴将坐标平面折成120°的二面
角，则折叠后 ， 两点间的距离为（ ）
A． B． C．8 D．
10．如图，在矩形 中， ， ，沿 将矩形 折叠，连接 ，所
得三棱锥 正视图和俯视图如图，则三棱锥 中 长为（ ）A． B． C． D．2
题型二：两个平面折叠后有关外接球的考察
11．某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，
已知球的表面积为 ，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折
叠形成，即面 ，面 ，面 都与面 垂直，如图②，则经过三个顶点A，
B，C的球的截面圆的面积为（ ）
A．π B． C． D．
12．如图， 是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将 折叠，形成三
棱锥 ．当二面角 为直二面角时，三棱锥 外接球的体积为
（ ）
A． B． C． D．
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13．在边长为 的菱形 中， ，将 沿着 折叠，得到三棱锥
，若 ，则该三棱锥的外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
14．已知在 中， ， ， ，D是AB的中点，沿着CD将
折起，使得点A折叠到点 的位置，则当三棱锥 的体积最大时，其外接球
的表面积为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，一块边长为8的正方形铁片上有四块全等的阴影部分.将空白部分剪掉，对余下
阴影部分按下面工序加工成一个正四棱锥：将四块阴影部分分别沿虚线折叠，以其中等腰
直角三角形组成棱锥的底面，余下为棱锥的侧面.则所得正四棱锥的外接球表面积是（）
A． B． C． D．
16．如图， 是边长为4的正三角形， 是 的中点，沿 将 折叠，形成三
棱锥 ．当二面角 为直二面角时，三棱锥 外接球的表面积为
（ ）A． B． C． D．
17．如图，在 中， ， ， 是棱 的中点，以 为折痕把
折叠，使点 到达点 的位置，则当三棱锥 体积最大时，其外接球的表面
积为（ ）
A． B． C． D．
18．中国的折纸艺术历史悠久，一个同学在手工课时，取了一张长方形纸，长边为 ，
短边为2，如图 分别为各边的中点，现沿着虚线折叠得到一个几何体，则该几
何体的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
19．在菱形ABCD中， ， ，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段
AD，CD上，且 ， ，将 沿MN折叠到 ，使 ，
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型三：两个平面折叠后有关立体图的表面积与体积
20．如图甲，在等腰直角三角形 中， ， ， 分别为 两直角
边上的点，且 ， 沿直线 折叠，得到四棱锥 ，如图乙，则四
棱锥 体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
21．如图，等边三角形△ 的边长为4，D，E，F分别为 和 的中点，将△
、△ 、△ 分别沿 、 和 折起，使A、B、C三点重合，则折叠后的
四面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，在六边形 中，四边形 是边长为2的正方形， 和 都
是正三角形，以 和 为折痕，将六边形 折起并连接 得到如
图所示的多面体 ，其中平面 平面 ，二面角 的余弦值为，则折叠后得到的多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
23．如图所示，在边长为 的正方形纸片 中， 与 相交于 ，剪去 ，将
剩余部分沿 ， 折叠，使 ， 重合，则以 ， ， ， 为顶点的四面体的
体积为（ ）．
A． B． C． D．
24．将一张边长为 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余
下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图
是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． B． C． D．
25．如图，正方形 的边长为2，分别取边 ， 的中点 ， ，连接 ， ，
，以 ， ， ，为折痕，折叠这个正方形，使 ， ， 重合于一点 ，得到一
个三棱锥 ，则（ ）
A．平面 平面 B．二面角 的余弦值为
C．三棱锥 的体积为 D．三棱锥 内切球的表面积为
26．边长为4的正方形 沿对角线 折叠，使得平面 平面 ，则关于四面
体 ，下列结论正确的是（ ）
A． B． C．四面体 的体积为 D．四面体
的体积
27．如图，正方形 的边长为2，现将正方形沿其对角线 进行折叠，使其成为一个
空间四边形，在空间四边形中，下列结论中正确的是（ ）A．B，D两点间的距离d满足
B．异面直线 ， 所成的角为定值
C．对应三棱锥 的体积的最大值为
D．当且仅当 时，二面角 为60°
28．如图，在平面四边形ABCD中， 和 是全等三角形， ，
， ．下面有两种折叠方法将四边形ABCD折成三棱锥．折法①将
沿着AC折起，形成三棱锥 ，如图1；折法②：将 沿着BD折起，形成三
棱锥 ，如图2．下列说法正确的是（ ）
A．按照折法①，三棱锥 的外接球表面积值为
B．按照折法①，存在 ，满足
C．按照折法②，三棱锥 体积的最大值为
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！D．按照折法②，存在 满足 平面 ，且此时BC与平面 所成线面角的
正弦值为
1．已知菱形 中，对角线 ，将 沿着 折叠，使得二面角 为
， ，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
2．长方形 中， ，沿对角线 把平面 折起，使平面 平
面 ，则折叠后 的余弦值为 ．
3．如图，在 中， 是 的中点，以 为折痕把
折叠，使点 到达点 的位置，则当平面 平面 时，其外接球的体积为
.
4．已知边长为2的等边 中， 为 的中点，以 为折痕进行折叠，使折后的
，则过 四点的球的体积为 .
5．已知等边 的边长为2，AD为BC边上的高，以AD为折痕进行折叠，使得二面角
为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
6．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ．
7．将边长为 ，锐角为 的菱形沿较长的对角线折叠成大小为 的二面角，若该菱
形折叠后所得到的三棱锥内接于表面积为 的球，则 的值为 ．
8．已知菱形 中，对角线 交于点 ， ，将 沿着 折叠，使得
， ，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
9．在菱形ABCD中， ， ，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，
CD上，且 ， ，将 沿MN折叠到 ，使 ，则
三棱锥 的外接球的表面积为 ．
10．如图，等边 的边长为4，点D为边 的中点，以 为折痕把 折叠，在
折叠过程中当三棱锥 的体积最大时，该棱锥的外接球的表面积为 ．
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