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第二章 实数
一、实数的概念和性质
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分： 按与0的大小关系分：有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
实数 实数
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数 的绝对值是非负数，即| | ≥ 0；
a2
（2）任何一个实数 的平方是非负数，即 ≥ 0；
a 0 a0
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ( ).
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
二、平方根与立方根
类型
平方根 立方根
项目
被开方数 非负数 任意实数
符号表示 a 3 a
一个正数有两个平方根，且互为相反 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一
性质 数；零的平方根为零；负数没有平方 个负的立方根；零的立方根是零；
根；
( a)2 a(a 0) (3 a)3 a
重要结论 a(a 0) 3 a3 a
a2 a
a(a 0)
3 a 3 a
三、二次根式
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为二次根号．如 都是二次根式.
2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号 ；（2）被开方数必须是非负数.
3.二次根式有无意义的条件
①二次根式有意义：被开方数为非负数，即
；
②二次根式无意义：被开方数为负数，即
；
4.二次根式的性质
①二次根式 （ ）的非负性
（ ）表示 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 （ ）．
②二次根式 的性质： （ ）
二次根式 的性质：
③
四、最简二次根式与同类二次根式
1.最简二次根式
（1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
2.同类二次根式
（1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘
（
法分配律，如
五、二次根式的运算
1.二次根式的乘法
（1）二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不
变）（2）二次根式的乘法法则的推广:
①
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进
②
行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
（3）二次根式的乘法法则的逆用： （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算
数平方根的性质）
（4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：
2.二次根式的除法
（1）二次根式的除法法则： （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
（2）二次根式的除法法则的推广： .
3.二次根式的加减法
（1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
（2）二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
4.二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括
号里面的（或先去掉括号）
易错点1 利用二次根式的性质化简
易错点总结
忽略二次根式中被开方数的非负性，比如在化简\sqrt{a^2}时，直接得出a，而未考虑a的正负；对二次根式性质的运用条件把握不准。
注意事项
化简前先明确被开方数的取值范围；运用性质时严格遵循条件。计算过程中仔细判断符号，多进行分类讨
论，做完后检查化简结果是否符合二次根式的定义和性质。
例1-1：已知 ，化简： ．
【答案】
【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值．根据二次根式的性质和绝对值的意义化简计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
例1-2：把 中根号外的a移入根号内，则 ．
【答案】
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质进行求
解即可．
【详解】解：∵二次根式 要有意义，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．易错点2 复合二次根式的化简
易错点总结
一是忽略对被开方数整体的分析，盲目拆分。二是没有考虑化简结果的形式，化简不彻底， 或者在开方
运算时，没有注意到算术平方根的非负性，出现符号错误。
注意事项
化简前仔细观察被开方数的特征，寻找合适的拆分组合；牢记算术平方根的非负性，在开方运算时，对结
果进行符号判断和验证，确保化简结果最简且符合数学规则。
例2：先阅读下列解答过程：
材料一：形如 的式子的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，
即 ， ，那么便有 ．
例如：化简 ．
解：首先把 化为 ，这里 ， ，
由于 ， ，即 ， ，
所以 ．
材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母
中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：
，
请根据材枓解答下列问题：
(1)填空：① ______； ② ______．
(2)化简： （诸写出计算过程）；
(3)化简： ．【答案】(1)① ；②
(2)
(3)1
【知识点】复合二次根式的化简、分母有理化
【分析】本题主要考查了化简二次根式，分母有理化：
（1）①仿照题意求解即可；②根据分母有理化的方法求解即可；
（2）根据例题把 ，变成 ，然后根据阅读材料进行化简；
（3）先根据阅读材料将分母进行化简，然后分母有理化，再合并同类二次根式化为最简形式．
【详解】（1）解：①∵ ， ，即 ， ，
∴ ；
② ；
（2）解：解：
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ；
（3）解：．
易错点3 与二次根式运算有关的新定义型题
易错点总结
一方面，对新定义理解不透彻，没准确把握运算规则就盲目套用。比如新定义中规定了特定的运算优先级，
却按常规四则运算顺序进行计算 。另一方面，忽略新定义的适用条件，在不符合条件的情况下使用新定
义运算，导致结果错误。
注意事项
拿到题目后，反复研读新定义，圈画关键信息，明确运算规则与适用范围。在解题过程中，每一步运算都
对照新定义检查，做完后再次核对是否符合新定义的要求，确保运算的准确性。
例3：定义：任意两个数 、 ，按规则 扩充得到一个新数 ，称所得的新数 为“如意数”．
(1)若 ， ，求出 、 的“如意数” ；
(2)已知 ，且 、 的“如意数” ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式，
（1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c；
（2）先有理化可得 ，根据题目中所给的运算规则可得
，问题即可得解．【详解】（1）
（2）∵ ， ， 的“如意数” ，
∴ ，
∴ ，
即： ．
易错点4 与二次根式运算有关的规律题
易错点总结
其一，归纳规律时样本数量不足，仅依据少数几个计算结果就匆忙得出结论，导致规律总结错误。例如，
只计算了前两三个二次根式的运算结果就总结通用规律。其二， 没有深入分析数字或式子结构的特征，
忽略了隐藏条件或变化趋势，像没发现根式中被开方数的底数或指数的变化规律。
注意事项
尽可能多地列举运算结果，扩大观察样本，提高规律准确性。同时，仔细剖析二次根式的结构，包括被开
方数、系数等部分的变化，从多角度思考，确保准确归纳出规律。
例4：特例感知
化简： ；
解： ；
(1)请在横线上直接写出化简的结果：
① ______；② ______．
观察发现(2)第 个式子是 （ 为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）．
拓展应用
(3)从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算：
① ；
② ．
【答案】(1)① ；②
(2)
(3)① ；②
【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、分母有理化
【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，
二次根式的混合运算是解题的关键．
（1）利用分母有理化求解作答即可；
（2）根据 ，求解作答即可；
（3）①利用（2）的结论，结合平方差公式计算即可；②先分母有理化，再逆用同分母的加减法则变形后，
结合互为相反数的和为零，计算即可．
【详解】（1）①解： ，
故答案为： ；
②解： ，故答案为： ；
（2）解： ，
∴ 的化简结果为 ；
（3）解：
；
②解：
．
一、单选题
1．若 ，则 可化简为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式有意
义判断出 ，根据 进一步确定出 ， ，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解： ， ，
，
，
， ，
，
故选：D．
2．现对实数 ， 定义一种运算： ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了实数的混合运算，先化简算术平方根和立方根，再依据新定义规定的运算计算可得．
【详解】解： ，
，
故选：A．
3．一组数据按一定规律排列： ，2， ， ， ， ， ，…这组数据的第n项是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数字的变化规律及二次根式的化简，解题的关键是从符号变化和根号内数字的规律两
方面分析数据的排列特征．
观察数据的符号，奇数项为负、偶数项为正，可确定符号规律；将各项化为统一的二次根式形式，分析根
号内数字与项数的关系，进而得出第n项的表达式．
【详解】将数据统一化为二次根式形式：第1项： ；
第2项： ；
第3项： ；
第4项： ；
由此可见，符号规律为 ，根号内的数字为2n，
∴这组数据的第n项是 ．
故选：C．
二、填空题
4．按规律排列的一组数：3， ， ，12， ，则这组数的第9个数是 ．
【答案】33
【分析】本题主要考查数式规律问题、算术平方根等知识点，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
根据已知数总结规律，然后利用规律即可解答．
【详解】解：第1个数： ；
第2个数： ；
第3个数： ；
第4个数： ；
……
第9个数是 ．
故答案为：33．
5．现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数 ，都有 ，则 的值为 ．
【答案】 /【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，掌握相关运算法则是解题关键．根据新定义
运算计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
6．已知实数a的取值范围是 ，化简代数式． 的值为
【答案】6
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．根据二次根式的性
质，结合 ，进行化简即可．
【详解】解：∵ ，
∴
．
故答案为：6．
三、解答题
7．观察下列各式：
；
；
．
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： ________；(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用m（m为正整数， ）表示的等式：__________；
(3)利用上述规律计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关
键．
（1）（2）根据已知等式的规律可得结论；
（3） ，在根据已知等式的规律可得答案．
【详解】（1） ，
故答案为： ；
（2） ；
故答案为： ；
（3） ．
8．定义：若二次根式 可以表式成 的形式（其中 ， ， ， 都是整数），则称
为完整根式， 是 的完整平方根．例如：因为 ，所以 是
一个完整根式， 是 的完整平方根．(1)判断： 是否是完整根式 的完整平方根，并说明理由；
(2)若完整根式 的完整平方根是 ，请用含 ， 的代数式分别表示 ， ；
(3)若 是完整根式，证明： 一定是完全平方数．
【答案】(1) 是 的完整平方根，奸恶计息
(2) ，
(3)见解析
【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解；
（1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；
（2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；
（3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；
【详解】（1）解：（1） 是 的完整平方根，
理由如下：
即 ．
∴ 是 的完整平方根．
（2）∵ 的完整平方根是 ，
∴ ．
∴ ．
∵ ， ， ， 都是整数，
∴ ， ．
（3）∵ 是完整根式，
∴不妨设 ，其中 ， 都是整数．
由（2）得， ， ．∴ ．
∵ ， 都是整数，
∴ 为完全平方数．
∴ 一定是完全平方数．
9．阅读下列解题过程，解答问题．
；
；
；
…
(1) ， ；
(2)观察上面的解题过程，求 （ 为自然数）；
(3)计算： ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字的规律探索，算术平方根，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键．
（1）根据题意结合算术平方根的运算法则计算即可得解；
（2）根据题干所给例子得出结论即可；
（3）根据（2）中得出的规律计算即可得解．【详解】（1）解：由题意可得： ， ；
（2）解：由题意可得： （ 为自然数）；
（3）解： ．
10．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
．善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a，b，m，n均为正整数），则有 ，
， ．这样小明就找到了一种把 化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索
并解决下列问题．
【实践探究】
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，则
________， ________；
（2）若 ，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简 ________．
【答案】（1） ； ；（2） 或 ；（3）
【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关
运算法则是解题的关键．
（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）根据题意，展开得到 ，然后根据 ，m，n为正整数进行求解；（3）先设 ，m，n为正整数，再由例题的方法求解即可．
【详解】解：（1） ，
，
，
故答案为： ； ．
（2）
由
得 ，
又 ，m，n为正整数
或
（3）设 ，m，n为正整数
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
