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第 29 课 相似三角形动点问题
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、解答题
1．如图①，在Rt△ABC中， ， ， ，点P由A点出发以1cm/s的速度向终点C
匀速移动，同时点Q由点C出发以2cm/s的速度向终点B匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之
停止移动．
(1)填空：在______秒时，△PCQ的面积为△ACB的面积的 ；
(2)经过几秒，以P，C，Q为顶点的三角形与△ACB相似？
(3)如图②，D为AB上一点，且 ，运动时间t为多少时， ？
2．如图，在菱形 中， ，点E从点B出发沿折线 向终点D运动．过点E
作点E所在的边（ 或 ）的垂线，交菱形其它的边于点F，在 的右侧作矩形 ．
(1)如图1，点G在 上．求证： ．
(2)若 ，当 过 中点时，求 的长．
(3)已知 ，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与 相似
（包括全等）？
3．如图，已知点 在 轴的负半轴上，点 在 轴的正半轴上， ， ，点 在线段 上，从
点 出发以每秒5个单位长度的速度向点 运动，设运动时间为 秒，过点 作 轴于点
．(1)当 时，线段 的长为________；
(2)当 时，求 的值；
(3)在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形，若存在，直接写出点 的坐标，若不存在，说明理
由．
4．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿
AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个
点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．
设运动时间为t(s)(0<t<6)，解答下列问题：
(1)当t为何值时，AP=PO；
(2)设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S OECQF：S ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存
五边形
在，请说明理由；
△
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理
由．
5．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8cm，DC＝6cm，AD＝11cm，点P以2cm/s的
速度沿DA边由点D向点A运动；同时点Q以1cm/s的速度沿CB边由点C向点B运动，而且当其中一点
停止运动时另一点也停止运动．设运动时间为t（s）．(1)用含t的代数式表示下面线段的长度．
①CQ＝ cm；②PD＝ cm；③BQ＝ cm；④AP＝ cm；
(2)如图1，当t为 s时，PQ∥AB．
(3)如图2，是否存在某一时刻t，使得PQ⊥BD．若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
6．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=3 cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀
速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为 cm/s；若设运动的时间为
t(s)(0＜t＜3)，解答下列问题
(1)如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；
(2)如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；
(3)如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出
BG长；若不存在请说明理由．
7．如图， 是等边三角形， ，点 从点 出发沿射线 以 的速度运动，过点 作
交射线 于点 ，同时点 从点 出发沿 的延长线以 的速度运动，连结 ．设
点 的运动时间为 ．(1)求证： 是等边三角形；
(2)直接写出 的长（用含 的代数式表示）；
(3)当点 在边 上运动，且不与点 重合．
①求证： ；
②当 为何值时， ？
8．如图1，在 ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，动点P在边AC上以5cm/s的速度从点A运动
到点C，过点P作PD⊥AB于点D，将 APD沿着PD所在的直线对折后得到 ，设点P的运动时间
△
为x（s）．
△
(1)当点 恰好与点B重合时，x＝______；
(2)在动点P从点A运动到点C的过程中，若 是等腰三角形，试求x的值；
(3)如图2，将 APD绕PD的中点旋转180°后得到 ，在动点P从点A运动到点C的过程中，若
是以 为腰的等腰三角形，试求x的值．
△
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为 ， ， ， ．
动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒
2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．作 于点G，则运动过程中，AG的最大值为（ ）A． B． C． D．8
2．如图，在菱形 中， ， ，动点Р从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点B
运动，直到点B时停止；动点Q同时从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向点D运动，当点Р停止运
动时，点Q随之停止运动，连接PQ交AC于点H．那么在点P的运动过程中，线段QH的最小值是（
）
A． B． C． D．
3．正方形 的边 上有一动点 ，以 为边作矩形 且边 过点 ．在点 从点 移动到点
的过程中，矩形 的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变小 D．保持不变
4．如图，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，点E以0.5cm/s的速度从点B到点C，同时点F以0.4cm/s
的速度从点D到点B，当一个点到达终点时，则运动停止，点P是边CD上一点，且CP=1，且Q是线段
EF的中点，则线段QD+QP的最小值为（ ）A． B．5 C． D．
5．如图，正方形 边长为8， 为 中点，线段 在边 上从左向右以1个单位/秒的速度运
动， ，从 点与 点重合时开始计时，到 点与 点重合时停止，设运动时间为 秒，连结
，在运动过程中，下列4个结论：①当 时， ；②只有当 时，以点
构成的三角形与 相似；③四边形 的周长最小等于 ；④四边形 的面积最大等于
38．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图所示，在 中， ， ， 于 ， 是线段 上一个动点，以
为直角顶点向下作等腰 ，连结 ， ，则 的最小值为( )
A． B． C． D．
7．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿
AB运动到点B停止，过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，联结PF，设M是线段PF的中点，则点P运动
的整个过程中，线段DM长的最小值为（ ）A． B． C．3 D．
8．如图所示，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，
PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P
在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AP＝EF；③AH⊥EF；④AP2＝
PM•PH；⑤EF的最小值是 ．其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、解答题
9．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AD=4cm，AB＝8cm，DE⊥AB于E．动点P从点A出发，以
1cm/s的速度沿边按A﹣B运动；同时动点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿边按A﹣D﹣C运动，其中一个
点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t（s），平行四边形ABCD位于直线PQ左侧的图形的
面积为S（cm2）．
(1)DE＝_____cm，平行四边形ABCD的面积是_____cm2．
(2)①当t＝2时，S＝_____；
②当t＝6时，S＝_____．
(3)求S关于t的函数关系式．
10．如图1，在平面直角坐标系中，已知A(8，0)，B(0，4)，点P从点A出发，沿AO方向以2个单位长度/秒的速度运动，点Q从点O出发，沿OB方向以1个单位长度/秒的速度运动，当点P到点O的位置
时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，△POQ的面积为3；
(2)当t为何值时，△POQ与△AOB相似；
(3)如图2，将线段BA绕点B逆时针旋转45°至BD，请直接写出点D的坐标．
11．如图（1）， 中， ， ， ， 的平分线OC交AB于C，过O
点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线 以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，
运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线 以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同
时停止运动．
(1)求OC、BC的长；
(2)当PQ所在的直线垂直于ON时，求出t的值
(3)当P在OC上、Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时， 为等腰
三角形？求出所有满足条件的t值；
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝9cm，对角线AC、BD相交于点O，点M从点D出发沿DA
方向向点A匀速运动，速度为4cm/s，点P同时从D出发，沿DC方向向点C匀速运动，速度为3cm/s．过
点M作MN∥BD交AC边于点E，交AB边于点N，连接PO并延长，交AB于Q，连接PM、MQ．设运动
时间为t（s）（0＜t＜ ）．(1)当t＝ 时，求MN的长；
(2)设四边形MNQP的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，将△MQP沿MQ折叠时，使得点P落在直线AD上？若存在，求出此时t的值，若
不存在，说明理由．
13．如图，在直角坐标系中， 的直角顶点 在 轴上， ， ．动点 从点 出发，以
每秒 个单位长度的速度，沿 向终点 移动 同时点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度，沿
向终点 移动，当两个动点运动了 秒 时，解答下列问题：
（1）求点 的坐标 用含 的代数式表示
（2）设 的面积为 ，求 与 之间的函数表达式；
（3）在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使 是直角三角形？若存在，求出 的值；若
不存在，请说明理由．
14．如图，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度
为2cm/s；与点P同时，点Q从D点出发，沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s；过点Q作QE∥AC，交DC
于点E．设运动时间为t（s），（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t＝ 时，BP长为 cm，AQ长为 cm；
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ平分∠APC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理
由；
（3）当0＜t＜ 时，是否存在某一时刻t，使△PQE是直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存
在，请说明理由．15．已知：线段 和矩形 如图①摆放（点 与点 重合），点 在边 上，
．如图②， 从图①的位置出发，沿 方向运动，速度为 ；动点
同时从点 出发，沿 方向运动，速度为 ．点 为 的中点，连接 与 相交
于点 ，设运动时间为 ．解答下列问题：
(1)当 时，求 的值；
(2)设五边形 的面积为 ，求 与 的关系式；
(3)当 时，求线段 的长；
(4)当 为何值时，五边形 的周长最小，最小是多少？（直接写出答案即可）
16．如图，在等腰 中， ， ，点D是边BC上的动点，连接AD，将 绕点A
顺时针旋转 得到 ，连FD交AB于点E．
(1)问题探究：
①先将问题特殊化，如图1，当 ，点D是BC的中点时，则 ______ ______．
②再将问题一般化，如图2，当 ，D是BC边上任一点，求证： ．
(2)问题拓展：如图3，若 ， ，点M为AB的中点，连接MF，在D点的运动过程中，直
接写出MF的最小值．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、解答题1．（2019·宁夏·中考真题）如图，在 中， ， ， ，点 分别是边 上
的动点（点 不与 重合），且 ，过点 作 的平行线 ，交 于点 ，连接 ，设
为 ．
（1）试说明不论 为何值时，总有 ∽ ；
（2）是否存在一点 ，使得四边形 为平行四边形，试说明理由；
（3）当 为何值时，四边形 的面积最大，并求出最大值．
2．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在 中， ， ， ，点D为边AC的中点．
动点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合
时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点 ，连结 、 ．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AD的长为 ．
（2）用含t的代数式表示线段BP的长．
（3）当点 在 内部时，求 的取值范围．
（4）当 与 相等时，直接写出 的值．
3．（2022·浙江金华·中考真题）如图，在菱形 中， ，点E从点B出发沿折线
向终点D运动．过点E作点E所在的边（ 或 ）的垂线，交菱形其它的边于点F，在 的
右侧作矩形 ．(1)如图1，点G在 上．求证： ．
(2)若 ，当 过 中点时，求 的长．
(3)已知 ，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与 相似
（包括全等）？
4．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，在菱形 中， 是锐角，E是 边上的动点，将射线
绕点A按逆时针方向旋转，交直线 于点F．
（1）当 时，
①求证： ；
②连结 ，若 ，求 的值；
（2）当 时，延长 交射线 于点M，延长 交射线 于点N，连结 ，若
，则当 为何值时， 是等腰三角形．
5．（2012·福建莆田·中考真题）(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．
求证：AB2＝AD·AC；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC
于点F． ，求 的值；
(3) 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点(点D不与B、C重合)，直线BE⊥ＡD
于点E，交直线AC于点F．若 ，请探究并直接写出 的所有可能的值(用含n的式子表示)，不必证明．
6．（2020·浙江金华·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正
半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F， 已知OB=8．
（1）求证：四边形AEFD为菱形．
（2）求四边形AEFD的面积．
（3）若点P在x轴正半轴上(异于点D)，点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P， Q，G为
顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．
