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第 24 课 相似三角形的性质 利用相似三角形测高
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．如果两个相似三角形的对应高之比是 ，那么它们的周长比是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答．
【解析】解：∵对应高之比是1：2，
∴相似比=1：2，
∴对应周长之比是1：2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比．
2．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为 ，则另一个三角形的最小内角为
（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质、三角形的内角和定理可得出另一个三角形的三个内角度数，由此即可得．
【解析】由相似三角形的性质得：另一个三角形的两个内角分别为 ，
则另一个三角形的第三个内角为 ，
因此，另一个三角形的最小内角为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
3．已知 与 相似，且 ，那么下列结论中，一定成立的是（ ）
A． B． C．相似比为 D．相似比为
【答案】D【分析】根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论．
【解析】解：∵B可以与E对应，也可以与F对应，∴∠B=∠E或∠B=∠F，A不一定成立；
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴ 或 ，B不一定成立；
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴相似比可能是 ，也可能是 ，C不一定成立；
∵∠A=∠D ，即∠A与∠D是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC与EF是对应比，
∴相似比为 ，∴D一定成立，
故选D ．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的．
4．如图，身高为1．5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，
她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（ ）
A．4．5米 B．6米 C．3米 D．4米
【答案】B
【解析】如图：
∵CD∥BE，
∴△ACD∽△ABE，
∴AC：AB=CD：BE，∴1：4=1.5：BE，
∴BE=6m．
∴树的高度为6m．
故选B.
5．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S 与S，周长分别是C 与
1 2 1
C ，则下列说法正确的是（ ）
2
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
【解析】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴ ，A正确；
∴ ，B错误；
∴ ，C错误；
∴OA：OC＝3：2，D错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
6．如图，在 △ 中， ， 垂足为 ，那么下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质与相似三角形的判定可知△ADC∽△CDB∽△ACB，利用相似三角形的对应
线段成比例即可求解.
【解析】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴△ADC∽△CDB∽△ACB
∴AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，
故 ，A正确，B错误；
∵△ADC∽△CDB
∴
∴ ， ,C,D选项正确；
故选B.
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质及相似三角形的判
定.
7．如图，在 中， ，中线 ， 相交于点 ． ，交 于点 ． ，
则 的长为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．12
【答案】D
【分析】首先根据GE∥CD得到 AGF∽△ADC、 FEG∽ FBD，求出AD=6，然后利用直角三角形斜边的
中线性质得出结果． △ △ △
【解析】解：∵GE∥CD，
∴ AGE∽△ADC， FEG∽ FBD，
△ △ △∴ ，
∴ ,
又∵BD=CD，
∴ ，
∴DF=2GF=2，
∴DG=DF+GF=3
∴AD=2DG=6，
在直角 ABC中，∠BAC=90°，
∴BC=2△AD=12，
故选D．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定以及直角三角形的性质，根据平行得到相似三角形是解决问题
的关键．
8．如图在△ABC中，AD是BC边上的高线，BD＝1，DC＝3，过点A作AE∥BC，连接BE交AD，AC于点
F，点G，若BE平分AC，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两直线平行得内错角相等，由相似三角形判定可得 ，再由相似三角形的的性质
得 ，再根据全等三角形的判定得 ，即 ，设 ，即
，可得 ，根据线段边的关系得 ， ， ，即可得出最后
的结果．【解析】如图：
∵ ， 为 边上的高线，
∴ 且 ， ， ，
在 和 中，
， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形和全等三角形
的判定与性质是解题的关键．
二、填空题
9．如果 的三边长分别是3、4、5，与其相似的 的最长边为15，那么 的周长是______.
【答案】36
【分析】根据两三角形相似，对应线段成比例求的 另外两边长即可得出周长.
【解析】设 的另两边长为 ，
∵
∴
解得：
∴ 的周长
故填：36.
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握性质是关键.
10．已知 ∽ ，它们的面积比为 ，则对应角的角平分线的比等于______．
【答案】
【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可．
【解析】解：∵ ∽ ，它们的面积比为 ，
∴它们的对应角的角平分线的比为
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角平分线的比等于相似比的性质，熟
记性质是解题的关键．
11．如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影
子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为______米．
【答案】10【分析】由已知可得BC∥DE，因此△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质可求得水塔的高度．
【解析】解：∵BC⊥AD，ED⊥AD，
∴BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ，
即 ，
∴DE=10，即水塔的高度是10米．
故答案为10．
【点睛】本题考查了考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据相似三角形得出比例式．
12．如图，EF分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1，则AD＝
_____．
【答案】
【分析】根据相似多边形的性质，对应边成比例，列出比例式求出AD．
【解析】解：∵E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，
∴AE＝ AD，BF＝ BC，
∵矩形ABCD∽矩形EABF，
∴ ，
∴AE•AD＝AB2=1，即 AD2＝1，解得，AD＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例、对应角相等是解题的关键．
13．如图，点E是平行四边形 的边 延长线上一点， 与 相交于点F，若
，则 _______．
【答案】
【分析】根据四边形 是平行四边形可得 ， ，根据相似三角形的性质即可求出
的长度．
【解析】解：∵四边形 是平行四边形
∴
∴
即
∴
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考察了平行四边形的性质以及相似三角形的性质和判定，找出相似三角形是解题的关键．
14．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，已知 ，则 _________．【答案】
【分析】先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出 ，再根据△AOD∽△COB得出
，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可
【解析】解：作AE⊥BC，CF⊥BD
∵
∴△ABD和△BCD等高，高均为AE
∴
∵AD∥BC
∴△AOD∽△COB
∴
∵△BOC和△DOC等高，高均为CF∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角形的
面积的特点是解题的关键
三、解答题
15．如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC的边BC上的高为6，面积为
12 ，求△DEF的边EF上的高和面积．
【答案】 的边EF上的高为3，面积为
【分析】证明△ABC∽△DEF，借助相似三角形的性质即可解决问题．
【解析】解：在 和 中，
∵ ， ，
∴ ．
又 ，
∴ ， 与 的相似比为 ．
∵ 的边BC上的高为6，面积为 ，∴ 的边EF上的高为 ，面积为 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质定理的应用问题；解题的关键是准确判断、深刻分析、
灵活论证．
16．如图，在 和 中，G，H分别是边 和 的中点，已知
．
（1）中线 与 的比是多少？
（2） 与 的面积比是多少？
【答案】（1）中线 与 的比是2∶1；（2） 与 的面积比是4∶1．
【分析】（1）先证明△BAC∽△EDF，推出∠B=∠E， ，再证明△ABG∽△DEH，即可求出答
案；
（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出答案．
【解析】解：（1）∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴△BAC∽△EDF，
∴∠B=∠E， ，
∵G，H分别是边 和 的中点，
∴BC=2BG，EF=2EH，
∴ ，
∴△ABG∽△DEH，
∴ ，即中线 与 的比是2∶1；（2）∵△BAC∽△EDF，
∴ ，即 与 的面积比是4∶1．
【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，熟记相似三角形的判定定理并运用证明是解题的关键．
17．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S在一条
直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与直线PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS
垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，求PQ的长．
【答案】PQ的长为120m
【分析】证△PQR∽△PST，利用对应边成比例建立方程求解即可．
【解析】解：设PQ＝xm，
由题意可知QR∥ST，
∴△PQR∽△PST
∴ ．
∴ ，
解得：x＝120．
∴PQ的长为120m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用对应边成比例建立方程是解题的关键．
18．如图， 与 相似，AD，BE是 的高， ， 是 的高，求证 ．【答案】见解析
【分析】由△ABC与△A′B′C′相似可得∠ABD=∠A′B′D′，可证明△ABD∽△A′B′D，可得 ，同理可
证明 ，可得出结论．
【解析】证明：∵△ABC与∽A′B′C′，
∴∠ABD=∠A′B′D′，
∵AD和A′D′是高，
∴∠ADB=∠A′D′B′，
∴△ABD∽△A′B′D，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等、对应边成比例是解题
的关键．
19．如图，在 中，点D，E分别在边 和 上，且 ．
（1）若 ，则 等于多少？（2）若 ，则 ， 各等于多少？
【答案】（1） ；（2） ， ．
【分析】（1）根据平行线的性质，得出 ，可得 ，依据题意得出相似三角形的
相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出 ，由图形中的三角形、四边形的关
系即可得出面积比；
（ ）由（1）得： 且 ，可得： ，利用相似三角形的面积比等于相
2
似比的平方，得出三角形的相似比，即： ，然后再根据图形中AD、DB、AB之间的关系即
可得出答案．
【解析】解：（1） DE//BC，
， ∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
，
∴
，
∴
；
∴
（2） ，由（1）得： ，
∵
，
∴
，
∴，
∴
，
∴
， ．
∴
【点睛】题目主要考查相似三角形的相似比及面积比之间的关系，熟练掌握相似三角形的基本性质是解题
关键．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，CE平分OB，且与AB交于点E．
若F为CE中点，则△BEF的周长是（ ）
A． ＋2 B．2 ＋2 C．2 ＋2 D．6
【答案】C
【分析】首先证明 得 ，代入数据求出 ，再由勾股定理求出 ，根据直角三角
形性质证明 ，进一步可得出结论．
【解析】解：∵四边形 是矩形，设 与 交于点 ，如图，
∴
∴又
∴
∴
在矩形 中，
∵CE平分OB，
∴
∴
∴
∵
∴
在 中，
∴
∵ 为CE中点，
∴
∴ 的周长等于
故选：C．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，运用相似三角形
的性质求出 是解答此题的关键．
2．如图，在 中，点 、 分别在 、 上， ，点 在 的延长线上， ，则下
列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】由 ， ，得到 ，根据平行线分线段成比例定理相似三角形性质即可得到结
论．
【解析】解 :∵
∴ ， 故A正确
∴ 故B正确
∵
∴
故C错误
∵ ，
∴
∴
∵
∴
故D正确
故选C．
【点睛】本题主要考察了平行线分线段成比例定理，相似三角形等知识点，准确记住它们是解题关键．
3．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE．过点D作DF⊥BC于点F，连结EF．
若△DEF的面积为1，则四边形DECB的面积为（ ）A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】作AM⊥BC于M，交DE于N，根据相似三角形的性质得到AN＝ AM，求出 ADE的面积＝
△
DEF的面积＝1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
△【解析】作AM⊥BC于M，交DE于N，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝ BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∴AN＝ AM，
∵DF⊥BC，
∴AM∥DF，
∴△BDF∽△BAM，
∴ ，
∴ ，
∴DF=AN，
∴△ADE的面积＝ DEF的面积＝1，
∵△ADE∽△ABC， △
∴ ，
∴△ABC的面积＝4，
∴四边形DECB的面积＝4﹣1＝3，故选：C．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，解题的关键是
作辅助线求得△ADE的面积．
4．如图所示， 、 分别是 的边 、 上的点，且 ， 、 相交于点 ．若
，则 与 的比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
【答案】C
【分析】利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解析】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ 与 的比 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关
键．
5．如图，已知在 中，点 是 边上一点，连接 ，将 沿 翻折，得到 ， 交
中点 .若 ，若 ，求点 到线段 的距离（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据 ， 求出 ，进而可得到 ， ，再根据点D为
BC中点，可得到 ，然后根据AC＝6求得DF＝ ，最后再利用相似三角形的判定及性质
即可求得 ．
【解析】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵翻折，
∴ ，
∴ ，又∵点D为BC中点，
∴ ，
如图，过点D作DF⊥AC，过点 作 ⊥AC，垂足分别为点F，G，
则 ，
∵AC＝6，
∴DF＝ ，
∵DF⊥AC， ⊥AC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的等积变换，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是
解决本题的关键．
6．如图，在正方形ABCD中， 是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结
AC、CP、AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（ ）A．AE=2DE B． C． D．
【答案】C
【分析】A.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
B.根据两角相等两个三角形相似即可判断．
C.通过计算证明∠DPB≠∠DPF，即可判断．
D.利用相似三角形的性质即可证明．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠DAB=90°，
∵△ABP是等边三角形，
∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°，
∴∠DAE=30°，
∴AE=2DE，故A正确;
∵AB∥CD，
∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，
∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°，
又∵BC=BP，∠PBC=30°，
∴∠BPC=∠BCP=75°，
∴∠CPF=105°，
∴∠PHA=∠CPF，又易得∠APB=∠CFP=60°，
∴△CFP∽△APH，故B正确;
∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF，
∴△PFC与△PCA不相似，故C错误;
∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°，
∴∠PCH=∠PBC，
∵∠CPH=∠BPC，
∴△PCH∽△PBC，∴ ,
∴PC2=PH•PB，故D正确，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性
质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是
证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形 中，以 为边做正方形 ，以 为斜边，
作 使得点在 的延长线上，过点 作 交 于 ，再过 点作 于 ，连结
交 于 ，记四边形 ，四边形 的面积分别为 ，若 ， ，则
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过说明△ADE≌△MDG，得出AE＝GM，DE＝DG．利用△DMG～△GMC得出比例式，求得
CM；利用S−S＝15，得到S EDC−S CMHB＝15，列出方程，解方程，结论可得．
1 2 矩形
△
【解析】解：∵四边形AHMD为正方形，
∴DM＝DA＝7，∠ADM＝90°．
∵DG⊥DE，
∴∠GDE＝90°．
∴∠ADE＋∠EDM＝90°，∠GDM＋∠CDM＝90°．
∴∠ADE＝∠GDM．
∵∠A＝90°，∠DMG＝90°，∴∠A＝∠DMG．
∴△ADE≌△MDG（ASA）．
∴DE＝DG，AE＝GM．
∴四边形DEFG为正方形．
设AE＝x，则GM＝x．
在Rt△ADE中，DE＝ ＝ =
∵∠DGC＝90°，
∴∠DGM＋∠CGM＝90°．
∵GM⊥CD，
∴∠DMG＝∠GMC＝90°．
∴∠CGM＋∠GCM＝90°．
∴∠DGM＝∠GCM．
∴△DMG～△GMC．
∴ ，
∴CM＝ ．
∵S−S＝15，
1 2
∴（S＋S CMN）−（S＋S CMN）＝15．
1 2
△ △
即S EDC−S CMHB＝15．
矩形
△
∴ ×CD×AD−CM×MH＝15．
∴ ×AD×（CM＋DM）−CM×AD＝15．
∴ ×7×（7＋ ）−7× ＝15．
解得：x＝± （负数不合题意，舍去）．
∴x＝ ．
∴DG＝AE＝ = =2故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，相似三角形
的判定和性质．利用相似三角形的性质得出比例式是表示线段长度的重要方法．
8．如图，正方形 和正方形 的顶点 在同一条直线上，顶点 在同一条直线上．O
是 的中点， 的平分线 过点D，交 于点H，连接 交 于点M，连接 交 于点
N．则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵四边形 和四边形 是正方形， ．在 和
中， ． ，
． ． 平分 ．
． ．又 是 的中点， ． ．
．设 ，正方形 的边长是 ，则 ， ，即
，解得 或 （舍去），则 ．二、填空题
9．如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果
他跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是6米（即OD＝6米），假设排
球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是_____米．
【答案】5.4
【分析】依据题意可得∠AOC＝∠BOD，通过说明△ACO～△BDO，得出比例式可求得结论．
【解析】解：由题意得：∠AOC＝∠BOD．
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°．
∴△ACO～△BDO．
∴ ．
即 ．
∴BD＝5.4（米）．
故答案为：5.4．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，根据已知得出三角形相似是解题关键．
10．如图，平行四边形 中，对角线 、 交于点 ，且 ， ， 、 分别为 、
上两点，且 ，连接 、 ，则 与 的面积比为_______．
【答案】
【分析】过点B作BM⊥AC，CN⊥BD于点M，N，证明△MOB∽△NOC，可得BM：CN=OB：OC=4：3，根据三角形的面积即可得△ABE与△DCF的面积比为 ．
【解析】解：如图，过点B作BM⊥AC，CN⊥BD于点M，N，
∵∠MOB=∠NOC，∠BMO=∠CNO=90°，
∴△MOB∽△NOC，
∴BM：CN=OB：OC=4：3，
∴BM= CN，
∵S ABE= ×AE×BM= AE× CN= AE×CN，
△
S DCF= ×DF×CN= ×2AE×CN=AE×CN，
△
∴ ，
则△ABE与△DCF的面积比为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
11．如图，菱形 中， ，点 为边 上一点，连接 ， ， 交对角线 于点 ．若
， ，则 ______．【答案】
【分析】通过证明△DEF∽△BCF，可得 ，即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°
∴AB＝AD＝CD＝BC，∠A＝∠BCD＝60°，AD∥BC，
∴△ABD和△CBD是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB＝2，
∵AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴ ，即： ，
∴AE= ，
∵2−AE＞0，
∴AE＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，证明
△DEF∽△BCF是本题的关键．
12．如图，正方形 中， ，点 在边 上，点 在边 上， ， 的延长线与
射线 相交于点 ，设 ，则 的长为__________．
【答案】
【分析】设BF=x，则CF=4-x，先在三个直角三角形中，由勾股定理求出DE2、EF2、DF2，再在Rt△DEF
中，由勾股定理得出DF2=CD2+EF2，求出BF、CF，然后由三角形相似求出BG即可．
【解析】解：设BF=x，则CF=4-x，∵ABCD为正方形，
∴DA=AB=4，
在Rt△ADE中，DE2=DA2+AE2=42+12=17，
在Rt△EFB中，EF2=EB2+BF2=（4-1）2+x2=9+x2，
在Rt△CDF中，DF2=CD2+CF2=42+（4-x）2=x2-8x+32，
在Rt△DEF中，DF2=DE2+EF2，
即x2-8x+32=17+9+x2，
∴ ，
，
∵∠BFG=∠CFD，∠DCF=∠GBF=90°，
∴△FBG∽△FCD，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质，正方形的判定和性质，以及勾股定理的应用，关键是找
到相似三角形求出对应边的比．
13．如图，已知在 中， ， ， ，正方形 的顶点G、F分别在边 、
上，点D、E在斜边 上，那么正方形 的边长为_____．
【答案】
【分析】作CM⊥AB于M，交GF于N，由勾股定理可得出AB，由面积法求出CM，证明△CGF∽△CAB，
再根据对应边成比例，即可得出答案．
【解析】作CM⊥AB于M，交GF于N，如图所示：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10， ，
∴设BC＝k，则AC＝2k，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k）2＋k2，解得：k＝2 ，
∴BC＝2 ，AC＝4 ，
∴CM＝ ＝ ＝4，
∵正方形DEFG内接于△ABC，
∴GF＝EF＝MN，GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴ ，即 ，
解得：EF＝ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵
活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
14．如图，在 中， ， ，点E是边 上一点，以 为斜边往 侧作等腰
，连接 ，若 ，四边形 的面积为12，则 _________， _________．
【答案】【分析】如图，过点 作 于 ，过点 作 ，交 的延长线于 ，由面积和差关系可
求 ，通过证明 ，可得 ，可求 ，由勾股定理可求 ， ， 的
长，通过证明 ，可得 ，可求 ， ，由勾股定理可求解．
【解析】解：如图，过点 作 于 ，过点 作 ，交 的延长线于 ，
， ，
，
，
，
四边形 的面积为12，
，
，
等腰 ，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
， ，， ，
，
，
，
，且
，且 ，
，
，
， ，
，
，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角
形的性质求出EH的长是本题的关键．
三、解答题
15．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等腰三角形，PC＝PD，∠CPD＝70°，且△ACP∽△APB．
(1)求证：△ACP∽△PDB
(2)求∠APB的度数；
(3)若AC＝4，CD＝5，BD＝9，求△PCD的周长．
【答案】(1)见解析(2)125°
(3)17
【分析】（1）根据相似三角形的性质可得∠APC＝∠B，再由PC＝PD，可得∠PCD＝∠PDC，从而得到
∠ACP＝∠PDB，即可求证；
（2）根据等腰三角形的性质，可得∠PCD＝∠PDC＝55°，从而得到∠A＋∠APC＝55°再由∠APC＝∠B，
可得∠A＋∠B＝55°，即可求解；
（3）根据相似三角形的性质可得PC2＝AC×BD，从而得到PC＝PD＝6，即可求解．
（1）
解：∵△ACP∽△APB
∴∠APC＝∠B
∵PC＝PD
∴∠PCD＝∠PDC
∵∠PCD＋∠ACP＝180°，∠PDC＋∠PDB＝180°
∴∠ACP＝∠PDB
∴△ACP∽△PDB
（2）
解：∵∠CPD＝70°
∴∠PCD＝∠PDC＝55°
∴∠A＋∠APC＝55°
∵∠APC＝∠B
∴∠A＋∠B＝55°
∴∠APB＝180°－(∠A＋∠B)=125°
（3）
解：∵△ACP∽△PDB
∴
∵PC＝PD
∴PC2＝AC×BD
∵AC＝4，BD＝9，
∴PC＝PD＝6
∴PC＋PD ＋CD＝17∴△PCD的周长为17
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性
质，等腰三角形的性质是解题的关键．
16．如图，在平行四边形 中，E为 边的中点，连接 ，若 的延长线和 的延长线相交于
点F．
（1）求证： ；
（2）连接 和 相交于点为G，若 的面积为2，求平行四边形 的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）24．
【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到 ，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到
，再根据 ，即可得到 ，则答案可证；
（2）先证明 ，根据相似三角形的性质得出 ， ，进而得出 ，
由 得 ，则答案可解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵点E为DC的中点，
∴ ，
在 和 中
∴ ，∴ ，
∴ ；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 的面积为2，
∴ ，即 ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的
关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．已知：如图，在四边形 中， ， 、 相交于点 ，
（1）求证： ；
（2）如果 ，求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）找到两对相同角即可证明相似
（2）证明出 后可推出．
【解析】证明：（1）∵两个三角形有一公共角∠BAC
∴ ．
（2）
为等腰三角形 为等腰三角形
．
【点睛】本题考查四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，
18．如图，在 中，点 、 分别在边 、 上， ， ， 与 交于点 ，且
．
求证：（1） ；
（2） ．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【分析】（1）根据题意证明△AFE∽△BFD，即可得到∠FDB=∠AEF，故可求解；
（2）根据题意证明△AEF∽△CBA，得到 ,再得到AB=CD，故可求解．
【解析】证明：（1）∵
∴
∵∠BFD=∠AFE
∴△AFE∽△BFD
∴∠FDB=∠AEF，
∴180°-∠FDB=180°-∠AEF，
即
（2）∵
∴180°-∠ADC-∠C=180°-∠BED-∠C即∠DAC=∠EBC
∵BE=CE,
∴∠C=∠DAC=∠EBC
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD
∵∠ADB=∠C+∠DAC，∠ABD=∠ABE+∠EBC，
∴∠ABE=∠DAC=∠C=∠EBC
∵∠AEB=∠C+∠EBC
∴∠BEA=∠ABE+∠EBC=∠ABC
∴△AEF∽△CBA，
∴
∴
∵∠C=∠DAC
∴CD=AD
∵AB=AD
∴AB=CD
∴ ．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及相似三角形的判
定定理．
19．如图，在矩形 中， ， ，直角三角板的直角顶点 在 上滑动， 点 与 ，
不重合 ，一直角边经过点 ，另一直角边与射线 交于点 ．
(1)求证： ∽ ；
(2)当 时，求 的长；
(3)是否存在这样的点 ，使 的周长等于 周长的 倍？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)8
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质，推出 ，再由直角三角形的性质，得出 ，
又因 ，推出 ， ，从而证明 ∽ ；
（2）根据含 角的直角三角形的性质和勾股定理可得结论；
（3）假设存在满足条件的点 ，设 ，则 ，由 ∽ 知 ，解得 的值，从
而得结论．
（1）
证明： 四边形 是矩形，
，
，
又 ，
，
，
∽ ；
（2）
解：在 中， ， ，
，
，
，
，
，
，
中， ，
；（3）
解：假设存在满足条件的点 ，
设 ，则 ，
∽ ，
根据 的周长等于 周长的 倍，得到两三角形的相似比为 ，
，即 ，
解得 ，
，
．
【点睛】此题是相似三角形的综合题，考查了矩形的性质，含 角的直角三角形的性质，相似三角形的
性质和判定等知识，根据 的周长等于 周长的 倍，得到两三角形的相似比为 是解题的关键．
20．如图①，在四边形 中， ， ， 于点 ，作 于点 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，交 于点 （如图②），
①若 ，求 的值；
②求证： ．
【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②证明见解析．
【解析】（1）证明：∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ．
又∵ ，∴ ；
（2）①解：如解图①，过点 作 交 的延长线于点 ．
∵ ， ，
∴ 是等边三角形， ．
∵ ，
∴ ， ．
∴ ， ．
设 的边长为 ，∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ．
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
图①
②证明：如解图②，过点 作 交 于点 ，则 ．
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ．
又∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ．
图②
21．如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转
60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)① ；② ，理由见解析
【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到 ，再由全等三角形的性
质求解；
（2）①根据线段 绕点A按逆时针方向旋转 得到 得到 是等边三角形，
由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作 于点G，连接AF，根据等边三角形的性
质和锐角三角函数求值得到 ， ，进而得到 ，进而求出
，结合 ，ED＝EC得到 ，再用等腰直角三角形的性质求解．
（1）
解： ．
证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ．∵线段 绕点A按逆时针方向旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
在 和 中
，
∴ ，
∴ ；
（2）
解：①
理由：∵线段 绕点A按逆时针方向旋转 得到 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ；
②过点A作 于点G，连接AF，如下图．
∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是等边三角形，点F为线段BC中点，∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
即 是等腰直角三角形，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相
似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·四川雅安·中考真题）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若 ＝ ，
那么 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求解 再证明 可得【解析】解： ＝ ，
DE∥BC，
故选D
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明 是解本题的关键．
2．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相
等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出 AOB和 COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再根据外径的长度
解答． △ △
【解析】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴AB：CD=3，
∴AB：3=3，
∴AB=9（cm），
∵外径为10cm，
∴19+2x=10，
∴x=0.5（cm）．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB的长．3．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在 中， 是 边上的点， ， ，
则 与 的周长比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先证明△ACD∽△ABC，即有 ，则可得 ，问题得解．
【解析】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴△ADC与△ACB的周长比1:2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解答本题的关键．
4．（2022·浙江金华·中考真题）如图是一张矩形纸片 ，点E为 中点，点F在 上，把该纸片
沿 折叠，点A，B的对应点分别为 与 相交于点G， 的延长线过点C．若 ，
则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令BF=2x，CG=3x，FG=y，易证 ，得出 ，进而得出y=3x，则
AE=4x，AD=8x，过点E作EH⊥BC于点H，根据勾股定理得出EH= x，最后求出 的值．
【解析】解：过点E作EH⊥BC于点H，
又四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC，
∴四边形ABHE和四边形CDEH为矩形，
∴AB=EH，ED=CH，
∵ ，
∴令BF=2x，CG=3x，FG=y，则CF=3x+y， ， ，
由题意，得 ，
又 为公共角，
∴ ，
∴ ，
则 ，
整理，得 ，
解得x=-y（舍去），y=3x，
∴AD=BC=5x+y=8x，EG=3x，HG=x，在Rt EGH中EH2+HG2=EG2，
则EH△2+x2=(3x)2，
解得EH= x， EH=- x(舍)，
∴AB= x，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求边长等知识，借助于相似
三角形找到y=3x的关系式是解决问题的关键．
5．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在 中， ，将 以点 为中心逆时针旋转得到
，点 在 边上， 交 于点 ．下列结论：① ；② 平分 ；③
，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．
【解析】解：∵将 以点 为中心逆时针旋转得到 ，
∴ ，
，，
，故①正确；
，
，
，
，
，
平分 ，故②正确；
，
，
，
，
，
，
故③正确
故选D
【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握
以上知识是解题的关键．
6．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，
，将四边形 向左平移 个单位后，点 恰好和原点 重合，则 的值是（ ）
A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
【答案】A
【分析】由题意可得， 的值就是线段 的长度，过点 作 ，过点 作 ，根据勾股定
理求得 的长度，再根据三角形相似求得 ，矩形的性质得到 ，即可求解．
【解析】解：由题意可得， 的值就是线段 的长度，
过点 作 ，过点 作 ，如下图：∵ ，
∴ ，
由勾股定理得
∵
∴ ，
又∵
∴
∴
∴ ，即
解得 ，
∵
∴
∴
∴ ，即
解得
由题意可知四边形 为矩形，∴
故选A
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握
相关基本性质是解题的关键．
7．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，在 和 中， ，点A在边 的
中点上，若 ， ，连结 ，则 的长为（ ）A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】过点E作EF⊥BC，交CB延长线于点F，过点A作AG⊥BE于点G，根据等腰直角三角形的性质
可得 ，∠BED=45°，进而得到 ， ， ，再证得
△BEF∽△ABG，可得 ，然后根据勾股定理，即可求解．
【解析】解：如图，过点E作EF⊥BC，交CB延长线于点F，过点A作AG⊥BE于点G，
在 中，∠BDE=90°， ，
∴ ，∠BED=45°，
∵点A在边 的中点上，
∴AD=AE=1，∴ ，
∴ ，
∵∠BED=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵∠ABC=∠F=90°，
∴EF∥AB，
∴∠BEF=∠ABG，
∴△BEF∽△ABG，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
故选：D
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握
相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
8．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都
落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：
①GF∥EC；②AB= AD；③GE= DF；④OC=2 OF；⑤ COF∽ CEG．其中正确的是（ ）
△ △A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
【答案】B
【分析】由折叠的性质知∠FGE=90°，∠GEC=90°，点G为AD的中点，点E为AB的中点，设
AD=BC=2a，AB=CD=2b，在Rt CDG中，由勾股定理求得b= ，然后利用勾股定理再求得DF=FO=
△
，据此求解即可．
【解析】解：根据折叠的性质知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，
∴∠FGE=∠OGF+∠OGE= (∠DGO+∠AGO) =90°，
同理∠GEC=90°，
∴∠FGE+∠GEC=180°
∴GF∥EC；故①正确；
根据折叠的性质知DG=GO，GA=GO，
∴DG=GO=GA，即点G为AD的中点，
同理可得点E为AB的中点，
设AD=BC=2a，AB=CD=2b，则DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，
∴GC=3a，
在Rt CDG中，CG2=DG2+CD2，
即(3a△)2=a2+(2b)2，
∴b= ，
∴AB=2 = AD，故②不正确；
设DF=FO=x，则FC=2b-x，
在Rt COF中，CF2=OF2+OC2，
即(2b△-x)2=x2+(2a)2，∴x= = ，即DF=FO= ，
GE= a，
∴ ，
∴GE= DF；故③正确；
∴ ，
∴OC=2 OF；故④正确；
∵∠FCO与∠GCE不一定相等，
∴ COF∽ CEG不成立，故⑤不正确；
综△上，正确△的有①③④，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性
质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
二、填空题
9．（2022·黑龙江·中考真题）在矩形ABCD中， ， ，点E在边CD上，且 ，点P是
直线BC上的一个动点．若 是直角三角形，则BP的长为________．
【答案】 或 或6
【分析】分三种情况讨论：当∠APE=90°时，当∠AEP=90°时，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA
延长线于点F，即可求解．
【解析】解：在矩形ABCD中， ， ，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，
如图，当∠APE=90°时，∴∠APB+∠CPE=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴ ，即 ，
解得：BP=6；
如图，当∠AEP=90°时，
∴∠AED+∠PEC=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠PEC，
∵∠C=∠D=90°，
∴△ADE∽△ECP，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ；
如图，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，根据题意得∠BAF=∠ABP=∠F=90°，
∴四边形ABPF为矩形，
∴PF=AB=9，AF=PB，
∵∠PAF+∠DAE=90°，∠PAF+∠APF=90°，
∴∠DAE=∠APF，
∵∠F=∠D=90°，
∴△APF∽△EAD，
∴ ，即 ，
解得： ，即 ；
综上所述，BP的长为 或 或6．
故答案为： 或 或6
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩
形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
10．（2021·吉林·中考真题）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为 的竹竿 斜靠在石坝
旁，量出竿上 长为 时，它离地面的高度 为 ，则坝高 为__________ ．
【答案】2.7
【分析】根据 ，可得 ，进而得出 即可．【解析】解：如图，过 作 于 ，则 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
故答案为：2.7
【点睛】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．
11．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，已知每个小方格的边长均为1，则 与 的周长比为
_________．
【答案】
【分析】设 、 分别与 交于点 、 ，则 ，可得到 ，在网格图中，利
用锐角三角函数值得到 ，继而 ，可得到 ，证得 ，
然后分别求出 、 ，即可解答．
【解析】如图，设 、 分别与 交于点 、 ，则 ，
∴ ,
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
由图可知： ，
∴ ，
即 与 的相似比为 ，
∴ 与 的周长比为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了网格图中的两个相似三角形周长之比，解题的关键是找到相似三角形的相似比．
12．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在 中， ，过点B作 ，垂足为B，且
，连接CD，与AB相交于点M，过点M作 ，垂足为N．若 ，则MN的长为
__________．【答案】
【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得 ,可得 ,因
为 ,列出关于MN的方程，即可求出MN的长．
【解析】∵MN⊥BC，DB⊥BC,
∴AC∥MN∥DB，
∴ ，
∴
即 ,
又∵ ，
∴ ，
解得 ,
故填： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之
比的等量关系．
13．（2021·辽宁营口·中考真题）如图， 是 的中位线，F为 中点，连接 并延长交 于点
G，若 ，则 ________．
【答案】24
【分析】连接AE、BF，根据中位线的性质推理得到 ，设 ，则 ，根据等底同高的三角形面积相等得到 ，即可求解．
【解析】解：连接AE、BF，
∵ 是 的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵F为 中点，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵D、F分别是AB、DE的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：24．
【点睛】本题考查三角形的综合，利用中点的提示做出合适的辅助线，并掌握等底同高的三角形面积相等
是解题的关键．
14．（2022·安徽·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上， BEF是以E为直角顶点的
△等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，
请完成下列问题：
（1） ________°；
（2）若 ， ，则 ________．
【答案】 45
【分析】（1）先证△ABE≌△GEF，得FG=AE=DG，可知△DFG是等腰直角三角形即可知 度数．
（2）先作FH⊥CD于H，利用平行线分线段成比例求得MH；再作MP⊥DF于P，证△MPF∽△NHF,即可求
得NH的长度，MN=MH+NH即可得解．
【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵FG⊥AG，
∴∠G=∠A=90°，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=FE，∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠FEG=90°，
∴∠FEG=∠EBA，
在△ABE和△GEF中，
，
∴△ABE≌△GEF（AAS），
∴AE=FG，AB=GE，
在正方形ABCD中，AB=AD∵AD=AE+DE，EG=DE+DG，
∴AE=DG=FG，
∴∠FDG=∠DFG=45°．
故填：45°．
（2）如图，作FH⊥CD于H，
∴∠FHD=90°
又∵∠G=∠GDH=90°，
∴四边形DGFH是矩形，
又∵DG=FG，
∴四边形DGFH是正方形，
∴DH=FH=DG=2，
∴AG FH,
∴ ，
∴DM= ，MH= ，
作MP⊥DF于P，
∵∠MDP=∠DMP=45°，
∴DP=MP，
∵DP2+MP2=DM2，
∴DP=MP= ，
∴PF=
∵∠MFP+∠MFH=∠MFH+∠NFH=45°，∴∠MFP=∠NFH，
∵∠MPF=∠NHF=90°，
∴△MPF∽△NHF,
∴ ，即 ，
∴NH= ，
∴MN=MH+NH= + = ．
故填： ．
【点睛】本题主要考查正方形的性质及判定以及相似三角形的性质和判定，熟知相关知识点并能熟练运用，
正确添加辅助线是解题的关键．
三、解答题
15．（2021·广西玉林·中考真题）如图，在 中， 在 上， ， ．
（1）求证： ∽ ；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）由题意易得 ，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得 ，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可得，然后问题可求解．
【解析】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
16．（2021·广西贵港·中考真题）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法），如图，已知 ABC，且
AB＞AC．
（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；
（2）在AC边上求作点E，使 ADE∽ ACB．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作线段 的垂直平分线交 于点 ，连接 即可．
（2）作 ，射线 交 于点 ，点 即为所求．
【解析】解：（1）如图，点 即为所求．（2）如图，点 即为所求．
【点睛】本题考查作图 相似变换，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用
所学知识解决问题．
17．（2022·广西玉林·中考真题）如图，在矩形 中， ，点E是 边上的任一点（不
包括端点D，C），过点A作 交 的延长线于点F，设 ．
(1)求 的长（用含a的代数式表示）；
(2)连接 交 于点G，连接 ，当 时，求证：四边形 是菱形．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】（1）根据矩形的性质可得 ，然后可证 ，进而根据相似
三角形的性质可求解；
（2）如图，连接AC，由题意易证四边形 是平行四边形，然后可得 ，进而可证
，则可证 ，最后问题可求证．
(1)
解：∵四边形 是矩形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
(2)
证明：由题意可得如图所示：
连接AC，
在矩形 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质及菱形的判定，熟练掌握相似三角形的性质
与判定、矩形的性质及菱形的判定是解题的关键．
18．（2022·湖南常德·中考真题）在四边形 中， 的平分线 交 于 ，延长 到 使
， 是 的中点， 交 于 ，连接 ．
(1)当四边形 是矩形时，如图，求证：① ；② ．
(2)当四边形 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）①证明 即可；②连接BG，CG，证明 ， 即
可证明；
（2）①的结论和（1）中证明一样，证明 即可；②的结论，作 ，证明
即可．
(1)
证明：①证明过程：四边形ABCD为矩形，
平分
为等腰直角三角形
②证明：连接BG，CG，
G为AF的中点，四边形ABCD为矩形，
平分 ，(2)
作 ，如图所示
由（1）同理可证：
四边形ABCD为平行四边形
G为AF的中点，由平行线分线段成比例可得
，
【点睛】本题考查了以矩形与平行四边形为桥梁，涉及全等三角形的证明，相似三角形的证明，正确作出
辅助线并由此得到相应的全等三角形和相似三角形是解题的关键．
19．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1）， 中， ， 是 的中点，延长
至点 ，使 ，延长 交 于点 ，探究 的值．(1)先将问题特殊化．如图（2），当 时，直接写出 的值；
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展：如图（3），在 中， ， 是 的中点， 是边 上一点， ，
延长 至点 ，使 ，延长 交 于点 ．直接写出 的值（用含 的式子表示）．
【答案】(1)[问题提出]（1） ；（2）见解析
(2)[问题拓展]
【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得 ， ，
根据含30度角的直角三角形的性质，可得 ，即可求解；
（2）取 的中点 ，连接 ．证明 ，可得 ，根据 ，证明
，根据相似三角形的性质可得 ，进而可得 ；
[问题拓展]方法同（2）证明 ，得出， ，证明 ，得到
，进而可得 ．
(1)
[问题探究]：（1）如图，中， ， 是 的中点， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：取 的中点 ，连接 ．
∵ 是 的中点，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
(2)
[问题拓展]如图，取 的中点 ，连接 ．
∵ 是 的中点，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．∴ ．
∴ ．
，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等
角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
