第2章一元二次方程_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_03教案_全册教案（第2套）

新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北师） 第二章 一元二次方程 1.了解一元二次方程及有关概念. 2.会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程. 3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法. 4.提出问题、分析问题,建立一元二次方程的数学模型,并用该模型解决实际问题. 1.通过丰富的实例,让学生合作探讨,老师点评分析,建立数学模型,根据数学模型恰如其分地给出一元二 次方程的概念. 2.通过掌握形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程的解法——直接开平方法,导入用配方法解一元二次方 程,再通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程. 3.通过用已学的配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)推导出一元二次方程的求根公式,导入用公式法解一 元二次方程. 4.通过实例探索一元二次方程的根与系数的关系. 1.经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,使同学们体会到一元二次方程也是刻画现 实世界中的数量关系的一个有效数学模型. 2.经历用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想. 3.经历设置丰富的问题情境,使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程,从而更好地理解方程的 意义和作用,激发学生的学习兴趣. 本章的主要内容包括:一元二次方程及其有关概念,一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法), 运用一元二次方程分析和解决实际问题.其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容.方 程思想是科学研究中重要的数学思想,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续 和深化,同时为二次函数的学习做好准备.数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固. 在总体设计思路上,本章遵循了“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式,首先通过具 体的问题情境建立有关方程,并归纳出一元二次方程的有关概念,然后探索其各种解法,并在现实情境中加以 应用,切实提高学生的应用意识和能力. 具体来讲,第1节通过丰富的实例,如“地毯四周有多宽”“梯子的底滑动多少米”等问题,建立一元二 次方程,让学生通过观察归纳出一元二次方程的有关概念,并从中体会方程的模型思想;第2~4节通过具体方 程逐步探索解一元二次方程的配方法、公式法、因式分解法;第5节在求根公式的基础上,探索一元二次方 程的根与系数的关系;第6节再次通过几个问题情境加强一元二次方程的应用. 【重点】 1.一元二次方程及其他有关的概念. 2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程. 3.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题. 【难点】 1.用配方法解一元二次方程及实际问题. 2.用公式法解一元二次方程时的讨论.3.一元二次方程的根的判别式的相关知识. 4.一元二次方程的根与系数的关系. 5.建立一元二次方程实际问题的数学模型,理解方程的解与实际问题的解的区别. 1.联系已有的相关知识,如一次方程、方程组,以及函数知识,进一步提高学生整体应用数学建模思想的 意识和能力.一元二次方程的解法中,渗透“降次”的转化思想,体会不同解法的优缺点与相互的联系,培养学 生灵活解一元二次方程的能力与扎实的运算功底,对实际问题的探索不要以繁、难、偏、旧的问题作为学 生探究性学习的题材. 2.对于“一元二次方程的根的判别式”,为了教学,应适当添加习题,使学生理解一元二次方程的根的存 在情况与系数的关系. 3.对于“一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)”,为了后续学习(包括初、高中函数的学习)的方 便,可根据学生情况,在教学中安排1-2课时,组织学生进行这方面的简单探究活动. 4.对于含字母系数的一元二次方程的解法,建议老师们应以至少一节课的内容加以补充,添加适当的习 题. 1 认识一元二次方程 2课时 2 用配方法求解一元二次方程 2课时 3 用公式法求解一元二次方程 2课时 4 用因式分解法求解一元二次方程 1课时 *5 一元二次方程的根与系数的关系 1课时 6 应用一元二次方程 2课时 1 认识一元二次方程 理解一元二次方程及其相关概念. 经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一 个有效数学模型. 经历估计一元二次方程的解的过程,增进对方程的解的认识,进一步培养估算意识和能力,发展数感. 【重点】 一元二次方程的概念及一般形式. 【难点】 1.由实际问题向数学问题转化的过程.2.正确识别一般形式中的“项”及“系数”. 第 课时 了解一元二次方程的概念和它的一般形式,会根据实际问题列一元二次方程. 经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效 数学模型. 在列方程的过程中体会一元二次方程是刻画现实世界的重要模型. 【重点】 一元二次方程的概念和一般形式. 【难点】 正确理解和掌握一般形式中的“a≠0”,“项”和“系数”. 【教师准备】 预设学生学习过程中存在的问题. 【学生准备】 复习有关方程的知识. 导入一: 幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯,四周 未铺地毯的条形区域的宽度都相同(如图所示),你能求出这个宽度吗? 如果设所求的宽度为x m,那么你能列出怎样的方程? 导入二: 观察下面等式: 102＋112＋122＝132＋142. 你还能找出五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?如果将这五个连续整数中的第一个数设为x,那么怎样用含x的代数式表示其余四个数?根据题意,你能 列出怎样的方程? 导入三: 如下图所示,一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m,如果梯子的顶端 下滑1 m,那么梯子的底端滑动多少米? 你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗?如果设梯子底端滑动x m,那么你能列出怎样的方程? 教师给出图片,学生观察、思考,然后教师提问,学生回答. [设计意图] 通过以上三个实例,在具体的情境中巩固列方程的一般思路,为概念的提出赋予实际的意义. 一、一元二次方程的概念 思路一 [过渡语] 什么样的方程是一元二次方程呢? 由上面的三个问题,我们可以得到三个方程: (8-2x)(5-2x)＝18; x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2; (x＋6)2＋72＝102. 这三个方程有什么共同特点? 归纳:上面的方程经过整理后都是只含有—个未知数x的整式方程,并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a,b,c 为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫作一元二次方程. [知识拓展] 符合一元二次方程即符合以下三个条件:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数为2;③ 是整式方程. 我们把ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2,bx,c分别称为二次项、 一次项和常数项,a,b分别为二次项系数和一次项系数. [设计意图] 在方程的比较中得到概念,能够体现出合作探究的意识,同时提高了学生的归纳能力. 思路二 下面给出的方程与我们学习过的方程存在哪些相同点和不同点? (x-4)2＋(x-2)2＝x2; (30-2x)(20-2x)＝200. 先让学生在小组内讨论交流,然后回答问题. 教师总结:①相同点:都是整式方程,都只含有一个未知数.②不同点:一元一次方程中未知数的最高次数 是1,而这些方程中未知数的最高次数是2. 问题:类比一元一次方程,你能给这样的方程起个名字吗?带着这个问题,请大家填写下面的空格: 像这样,等号两边都是 式,只含有 个未知数(一元),并且未知数的最高次数是 (二次)的方程叫做一元二次方程. 强调:一元二次方程必须是整式方程,且一元二次方程和一元一次方程都属于一元方程. 【师生活动】 现在请同学们观察下列方程,然后判断哪些是一元二次方程.3 a2 (1)x2＋2x-4＝0;(2)3x3＋4x＝9;(3)3y2-5x＝7;(4) ＝1;(5)y2-3y＝0;(6) ＝1. x ＋x 5 2 【师】 大家先观察这六个方程,它们都是整式方程吗?如果不都是,请告诉老师,哪个方程不是整式方程? 【生】 (4)不是整式方程. 【师】 哦,你真棒!方程(4)不是整式方程,那它肯定就不是一元二次方程了,好,我们把它排除.接下来,大 家继续观察,告诉老师,哪些方程不是一元的? 【生】 (3)不是一元的. 【师】 嗯,很好!方程(3)含有x和y两个未知数,所以它不是一元的,那它也就不是一元二次方程了,好,排 除它.我们继续观察,谁能告诉老师,哪些方程不是二次方程? 【生】 (2)不是二次方程. 【师】 很好!方程(2)中未知数的最高次数是3,所以它不是一元二次方程,说的很棒!将它排除.现在剩下 了方程(1),(5),(6),观察一下它们都具备一元二次方程定义里面的三要素吗? 【生】 具备. 【师】 嗯,最终我们可以确定方程(1),(5),(6)是一元二次方程. 教师让学生再举出一些不是一元二次方程的方程,以加深学生对一元二次方程概念的理解掌握. [设计意图] 通过问题的设计与讲解,类比一元一次方程和分式方程的定义学习一元二次方程,可使学生 深刻理解一元二次方程的定义,掌握定义中的三要素,实现对定义由认识、记忆到理解、掌握的过渡,以达到 质的飞跃. 二、例题讲解 [过渡语] 刚刚我们学习了什么是一元二次方程,现在我们通过下面的几个例题来看看同学们理解的怎么 样. 判断下列方程是否是一元二次方程. 1 ❑√3 (1)2x- x2- ＝0; 3 2 (2)2x2-x＋5＝0; (3)ax2＋bx＋c＝0; 1 (4)4x2- ＋7＝0. x 解:(1)(2)符合一元二次方程的概念,方程(3)中的a等于0时,方程不是一元二次方程,(4)不是整式方程,所 以(3)和(4)都不是一元二次方程. [过渡语] 下面我们再通过一个例题来理解一下一元二次方程的一般形式及二次项系数、一次项系数和 常数项. 把方程3x(x-1)＝2(x＋2)＋8化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项. 解:去括号,得3x2-3x＝2x＋4＋8, 移项,合并同类项,得3x2-5x-12＝0, 二次项系数是3,一次项系数是-5,常数项是-12. [设计意图] 通过例题的讲评,进一步加强学生对一元二次方程相关概念的理解,从而突破本节课的重点 和难点. [知识拓展] 对于一元二次方程的一般形式的理解应注意以下四点:(1)“a≠0”是一元二次方程的一般 形式的一个重要组成部分,因为方程ax2＋bx＋c＝0只有当a≠0时,才叫做一元二次方程,当a＝0,b≠0时,它是 一元一次方程.(2)任何一个一元二次方程,经过整理都可以变为一般形式.(3)二次项系数、一次项系数和常数 项都是在一般形式下定义的,所以求一元二次方程的各项系数时,必须先将方程化为一般形式.(4)要分清二次 项与二次项系数、一次项与一次项系数. 1.只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的方程 叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式:ax2＋bx＋c＝0(a≠0).ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别称 为二次项系数和一次项系数.1 1.下列6个方程:(1)3x＋2＝ x2;(2)❑√y＋y＝5;(3)y2＋2x-3＝0;(4)mnx2＋(m＋n)x＋1＝0;(5)x2-2❑√3x＋4＝ 3 1 0;(6) ＋y＋3＝0. y2 其中是一元二次方程的是 .(填序号) 解析:一元二次方程要符合以下三个条件:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数为2;③是整式方程. 故只有(1)(5)是一元二次方程.故填(1)(5). 2.将方程3x2＝5x＋2化为一元二次方程的一般形式为 . 解析:一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0),注意移项时要注意变号,答案为3x2-5x-2＝0.故填 3x2-5x-2＝0. 3.一元二次方程2x2＋4x-1＝0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 . 解析:二次项系数为2,一次项系数为4,常数项为-1,所以它们的和为2＋4＋(-1)＝5.故填5. 4.下列方程中,是一元二次方程的是 ( ) 1 A. x2＋5x＝2 B.❑√2x3＋7x-2＝0 3 1 1 C.x2＋ ＝3 D.7x- ＝2 x2 5 解析:本题主要考查一元二次方程的概念.观察选项,只有A中的方程是一元二次方程.故选A. 第1课时 1.一元二次方程的概念 2.例题讲解 例1 例2 一、教材作业 【必做题】 教材第32页随堂练习. 【选做题】 教材第32页习题2.1的3题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.一元二次方程的一般形式是 . 2.将方程-5x2＋1＝6x化成一般形式为 . 3.将方程(x＋1)2＝2x化成一般形式为 . 4.方程2x2＝-8化成一般形式后,一次项系数为 ,常数项为 . 5.方程5(x2-❑√2x＋1)＝-3❑√2x＋2的一般形式是 ,其二次项是 ,一次项是 , 常数项是 . 【能力提升】 1 1 6.若ab≠0,则 x2＋ x＝0的常数项是 . a b 7.若方程ax2＋5＝(x＋2)(x-1)是关于x的一元二次方程,则a . 8.关于x的方程(m-4)x2＋(m＋4)x＋2m＋3＝0,当 时,是一元二次方程,当 时,是一元一次方程. 【拓展探究】 9.已知关于x的方程(k-2)x2-kx＝x2-1.(1)当k为何值时,方程为一元二次方程? (2)当k为何值时,方程为一元一次方程? 【答案与解析】 1.ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,a≠0)(解析:要注意不能漏掉括号内的条件.) 2.-5x2-6x＋1＝0(解析:要注意答案不唯一,如可以是5x2＋6x-1＝0.) 3.x2＋1＝0(解析:也可以是-x2-1＝0.) 4.0 8(解析:整理成一般形式为2x2＋8＝0,没有一次项,故一次项系数为0,常数项为8.) 5.5x2-2❑√2x＋3＝0 5x2 -2❑√2x 3 6.0 7.≠1(解析:先整理成一般形式,即(a-1)x2-x＋7＝0,再使二次项系数不为0,则a≠1.) 8.m≠4 m＝4 9.解:方程可化为(k-3)x2-kx＋1＝0.(1)若方程为一元二次方程,则k-3≠0,即k≠3. (2)若方程为一元一次方程,则 {k-3＝0, 解得k＝3. k≠0, 在实际教学中,有的学生对概念背得很熟,但在准确和熟练应用方面较差,缺乏应变能力.针对学生存在的 这些问题,本节课突出对概念形成过程的教学,采用探索发现的方法研究概念,并引导学生进行创造性学习.教 学中,运用启发引导的方法让学生从实际的问题出发,观察发现并归纳出一元二次方程的概念,启发学生发现 规律,并总结规律,最后达到解决问题的目的. 学生对于将一元二次方程化为一般形式感觉困难不大,但写出它的二次项系数、一次项系数和常数项 时,部分学生容易忽略符号,作为第一次学习,这是难免的. 本课时设计的教学内容主要是一元二次方程的概念的推导和应用.在课堂教学中,可先从具体的背景出 发,激发学生的学习兴趣,体会一元二次方程的使用价值,然后通过例题和练习进一步巩固对概念的理解. 随堂练习(教材第32页) 1.解:(答案不唯一)设直角三角形的三边长分别为x-1,x,x＋1(x>1),根据题意,得(x-1)2＋x2＝(x＋1)2,化成一般形 式为x2-4x＝0.鼓励学生选定不同的量设为未知数,列出不同的方程. 2.解:(答案不唯一)原方程可以化为5x2＋36x-32＝0,二次项系数是5,一次项系数是36,常数项是-32. 习题2.1(教材第32页) 1.解:(1)设这个正方形的边长是x m(x>0),根据题意,得(x＋5)(x＋2)＝54,即x2＋7x-44＝0. (2)设三个连续整数 依次为x,x＋1,x＋2,根据题意,得x(x＋1)＋x(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)＝242,即x2＋2x-80＝0.允许学生选择不同量 作为未知数,但要求列出一元二次方程. 2.解:(答案不唯一)如下表所示: 二次项 一次项 常数 方 程 一般形式 系数 系数 项 3x2＝5x-1 3x2-5x＋1＝0 3 -5 1 (x＋2)(x-1)＝6 x2＋x-8＝0 1 1 -8 4-7x2＝0 7x2-4＝0 7 0 -4 3.解:设竹竿长为x尺,则门框宽为(x-4)尺,门框高为(x-2)尺,根据题意,得x2＝(x-4)2＋(x-2)2,即x2-12x＋20＝0.学生的知识技能基础:学生在七年级已学过一元一次方程的概念,经历过由具体问题抽象出一元一次方 程的过程,在八年级已学过二元一次方程组的概念,经历过由具体问题抽象出二元一次方程组的过程,已理解 了“元”和“次”的含义,具备了学习一元二次方程的基本技能. 学生的活动经验基础:在相关知识的学习过程中,学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合 作学习的经验和数学思考的能力,具备了一定的合作与交流的能力. 已知关于x的方程(2a-4)x2-2bx＋a ＝0.求满足下列条件时a,b的取值范围. (1)方程为一元二次方程; (2)方程为一元一次方程. 〔解析〕 观察所给方程,根据一元二次方程和一元一次方程的定义确定a,b的取值范围. 解:(1)由题意,得2a-4≠0,即a≠2. 所以当a≠2时,方程是一元二次方程. {2a-4＝0, (2)由题意,得 -2b≠0, 解得a＝2,b≠0. 所以当a＝2且b≠0时,方程是一元一次方程. [解题策略] 只含有一个未知数x,并且可以化为ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,a≠0)的形式的整式方程是 一元二次方程.利用概念解决问题时,应抓住其中本质的东西,一元二次方程与一元一次方程的区别是未知数 的最高次数分别是2和1. 第 课时 探索一元二次方程的解或近似解. 通过具体实例探究一元二次方程的解. 经历方程的解的探索过程,增进对方程的解的认识,培养估算意识和能力. 【重点】 探索一元二次方程的解或近似解. 【难点】 培养学生的估算意识和能力. 【教师准备】 预设课堂活动中学生可能提出的问题. 【学生准备】 复习有关方程的知识.导入一: 在小学的时候,我们经常用估算的方法计算一些问题.那么,你能估算方程2x2-13x＋11＝0中x的取值范 围吗? 导入二: [过渡语] 我们来看看上节课的第一个问题. 幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯,四周 未铺地毯的条形区域的宽度都相同(如右图所示),你能求出这个宽度吗? 如果设所求的宽度为x m,那么列出的方程为(8-2x)(5-2x)＝18,你能估算出x大约是多少吗? 估算一元二次方程的解 1.引例 [过渡语] (针对导入二)你能设法估计四周未铺地毯部分的宽度x(m)吗? 我们知道,x满足方程(8-2x)(5-2x)＝18. 思路一 (1)x可能小于0吗?可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由. 分析:因为40 m2>18 m2,所以x不可能小于0,因为8-2x,5-2x都是大于0的,所以x不可能大于4,也不可能 大于2.5. (2)你能确定x的大致范围吗? 分析:x的大致范围是0到2.5之间.但这只是一个大致的估计,精确度还有待于我们进一步去探讨. (3)计算,填写下表: x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 (8-2x)(5-2x) 40 28 18 10 4 0 分析:由上表可以看出,如果宽度大于1,那么地毯的面积会小于18,不符合要求.如果宽度小于1,那么地毯 的面积会大于18,也不符合要求. (4)你知道所求宽度x(m)是多少吗?你还有其他求解方法吗?与同伴交流. 提示:通过表格的计算可以知道所求的宽度的大致范围,通过解一元一次方程等方法可以求出具体的宽 度. 思路二 (1)确定大致范围. 因为40 m2>18 m2,所以x不可能小于( ),因为8-2x,5-2x都是大于0的,所以x不可能大于( ),综合 以上,分析x的大致范围是( )到( )之间. (2)比较精确地估算. 填写下表后思考: x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 (8-2x)(5-2x)当x取0.5的时候,你发现了什么问题?当x取1.5的时候,你发现了什么?通过前面的发现,你怎样更精确 地确定宽度的范围? 2.做一做 [过渡语] 刚刚我们解决了上一节课的第一个问题,我们再来看看上一节课的第三个问题能不能解决.(附 图) 在前一节课的问题中,梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x＋6)2＋72＝102,即x2＋12x-15＝0. (1)小明认为底端也滑动了1 m,他的说法正确吗?为什么? 分析:若底端也滑动了1 m,此时(1＋6)2＋72<102,因此滑动的距离是大于1 m的. (2)底端滑动的距离可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么? 分析:通过计算,可以得出下表,根据表格可知, x 0 0.5 1 1.5 2 3 x2＋12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 30 如果底端滑动的距离是2 m或者3 m,那么x2＋12x-15的值都大于0,即(x＋6)2＋72>102,所以底端滑动的距离 小于2 m. (3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗? 分析:根据前面的分析,得出x的取值范围大致是10)而ax2 ＋bx2 ＋c>0(或<0)时,在x 到x 之间由小变大时,ax2＋bx＋c的值也将由小于0(或 1 1 2 2 1 2 大于0),逐步变成大于0(或小于0),其间ax2＋bx＋c的值必有等于0的时候,此时的x的值就是原方程的根x. 0 1.在解决某些实际问题的时候,可以根据实际情况确定出方程解的大致范围.一般采用“夹逼法”,选取 的未知数数值计算的结果的绝对值越接近0,这个数值就越接近未知数的真实值.2.采用“夹逼法”求一元二次方程近似解的一般步骤: (1)将方程变为一元二次方程的一般形式; (2)根据实际情况确定方程的解的大致范围; (3)根据方程的解的大致范围,在这个范围内取一个整数值,然后把这个值代入方程左边的代数式进行验 证,看是否能使方程左边代数式的值为0,如果为0,那么这个数就是方程的解;如果不为0,那么根据这个整数 再找出一个使方程左边的值最接近于0但小于0的整数,这个数就是方程的解的整数部分; (4)保留整数部分不变,小数部分可参照求整数部分的方法进行,以此类推可得出该方程更准确的近似解. 1.根据下表,判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是 ( ) x 3 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c -0.07 -0.06 -0.02 0.03 0.09 A.30B.030时,网球场的宽60-2x<0,这不符合实际,当然x更不 可能大于40. (4)由上面分析可知,x的大致范围应为00,(-0.2)2-4×(-0.2)-1＝-0.16<0.于是,方程x2- 4x-1＝0必有一根在-0.3和-0.2之间. 当分别取x＝4.2与x＝4.3时,有4.22-4×4.2-1＝-0.16<0,4.32-4×4.3-1＝0.29>0.于是,方程x2-4x-1＝0必有一 根在4.2和4.3之间. [解题策略] 如若不能准确选取x的值,也就无法进行估算,本例中x的取值-0.3,-0.2以及4.2,4.3是在进 行多次试验的基础上获得的,当然在估计之初是不可能得到这么好的数据的,一般可以随便估计一个数,计算 出等式左边的值,看它与等式右边的关系,据此再估计x可能的取值,这样可以估计出两个根的范围,再逐步逼 近. 2 用配方法求解一元二次方程 1.会用配方法解一元二次方程. 2.了解用配方法解一元二次方程的步骤. 1.理解并掌握配方法. 2.通过探索配方法解一元二次方程的过程,体会转化等数学思想. 能利用一元二次方程解决实际问题,并增强学生的数学应用意识和能力. 【重点】 利用配方法解一元二次方程. 【难点】 理解配方法的过程.第 课时 1.会用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程. 2.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. 经历探索利用配方法解一元二次方程的过程,体会转化的数学思想. 在独立思考和合作探究的过程中,体会数学的价值,增强数学应用意识和能力. 【重点】 利用配方法解一元二次方程. 【难点】 把一元二次方程通过配方转化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式. 【教师准备】 预设教学过程中学生可能出现的问题. 【学生准备】 复习有关完全平方式的知识. 导入一: 1.在上一节的问题中,梯子底端滑动的距离x(m)满足方程x2＋12x-15＝0,我们已经求出了x的近似值,你 能设法求出它的精确值吗? 2.你会解下列一元二次方程吗?你是怎么做的? (1)x2＝5; (2)2x2＋3＝5; (3)x2＋2x＋1＝5; (4)(x＋6)2＋72＝102. 解:(1)x2＝5⇒x＝±❑√5. (2)2x2＋3＝5⇒2x2＝2⇒2x2＝1⇒x＝±1. (3)x2＋2x＋1＝5⇒(x＋1)2＝5⇒x＝-1±❑√5. (4)(x＋6)2＋72＝102⇒(x＋6)2＝51⇒x＝-6±❑√51. 这些方程的共同点是什么呢? 归纳:这些方程都可以写成(x＋m)2＝n的形式,它的一边是一个完全平方式,另一边是一个常数,当n≥0时, 两边同时开平方,转化为一元一次方程,便可求出它的根.这种求根的方法叫直接开平方法. [设计意图] 通过介绍直接开平方法,让学生了解配方法解一元二次方程的理论基础,配方的基本知识和 方法,为熟练掌握配方法解一元二次方程打下基础. 导入二: 1.你会解下列方程吗?试一下. (1)x2＝9; (2)4x2＝7; (3)(x-2)2-9＝0. 2.解上面几个方程的时候用到了什么知识?你会解方程x2＋6x＋9＝25吗? 学生小组讨论,集体交流.通过以上几个题,我们发现方程的一边可以整理成完全平方式,另一边是非负数的形式,然后利用开平方 来解. 一、配方法 [过渡语] 如果我们要解的方程是x2＋12x-15＝0,该怎么办呢? 思路:把方程化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式,两边开平方,便可求出方程的解. 填上适当的数,使下列等式成立. (1)x2＋12x＋ ＝(x＋6)2; (2)x2-4x＋ ＝(x- )2; (3)x2＋8x＋ ＝(x＋ )2. 在上面等式的左边,常数项和一次项系数有什么关系?(常数项等于一次项系数的一半的平方) 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法. 二、配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤 [过渡语] 前面我们研究配方法解一元二次方程的基本方法,下面我们通过例题来总结一下用配方法解一 元二次方程的基本步骤. (教材例1)解方程:x2＋8x-9＝0. 解:移项,得:x2＋8x＝9, 配方,得:x2＋8x＋42＝9＋42(两边同时加上一次项系数一半的平方), 即(x＋4)2＝25, 开平方,得x＋4＝±5, 即x＋4＝5或x＋4＝-5, 所以x＝1,x＝-9. 1 2 [知识拓展] 利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤:(1)移项:把常数项移到方程的右 边;(2)配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,使左边化成一个含有未知数的完全平方式的形式,右边为 一常数;(3)开方:根据平方根的意义,方程两边开平方,使其化为一元一次方程;(4)求解:解一元一次方程;(5)定解: 写出原方程的解. [设计意图] 抓住主要问题精讲,并总结规律,让学生根据规律去学习配方法解一元二次方程的过程,体 会解方程的步骤. [过渡语] 刚刚我们学习了用配方法解一元二次方程的一般步骤,下面我们用刚学的方法来解决一个实际 问题. 已知一面积为120 m2的矩形苗圃的长比宽多2 m,则苗圃的长和宽各是多少? 解:设矩形的宽为x m,则长为(x＋2)m, 依题意,得x(x＋2)＝120, 即x2＋2x＝120, 方程可化为(x＋1)2＝121, 解得x＝10,x＝-12(不合题意,舍去). 1 2 则x＋2＝10＋2＝12(m). 答:苗圃的长为12 m,宽为10 m. [设计意图] 通过配方法的应用,让学生理解并掌握配方法,知道配方法是一种重要的解题方法,理解方 程的解在实际问题中的意义. [知识拓展] 课本中,我们利用了配方法解一元二次方程.实际上,配方法不仅可以用来解一元二次方程, 在其他方面还有很多应用.配方法,顾名思义,就是利用添项或拆项的方法,结合已有项,构造完全平方式.回顾 以往知识,我们曾经利用图形面积验证完全平方公式,下面我们用图形面积解释配方法解方程的过程,如求方 程x2＋10x＝39的解,把x2＋10x解释为右图中多边形ABCDEF的面积,为了求出x,我们考虑把这块图形补成 一个正方形,为此必须补上正方形DCGE.从图中可以看出,正方形DCGE的面积为52(它恰好等于原方程中一 次项系数一半的平方),由于大正方形的面积为39＋25＝64,可知这个大正方形的边长为8,又由图形可知边长 为x＋5,故x＝3.这里,我们直观地看到了配方的几何意义.有时受几何图形的限制,我们只能求出方程的正数 解.1.通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法. 2.配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤: (1)移项:把常数项移到方程的右边; (2)配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,使左边化成含有未知数的完全平方式的形式,右边为一 常数; (3)开方:根据平方根的意义,方程两边开平方,使其化为一元一次方程; (4)求解:解一元一次方程; (5)定解:写出原方程的解. 1.将方程x2-10x-11＝0化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式是 . 解析:移项得x2-10x＝11,配方得x2-10x＋25＝11＋25,即(x-5)2＝36.故填(x-5)2＝36. 2.用配方法解下列方程. (1)x2＋8x＝9; (2)x2＋2x-15＝0; (3)x2-6x＝2; (4)x2-x-1＝0. 解:(1)配方,得x2＋8x＋42＝9＋42(两边同时加上一次项系数一半的平方), 即(x＋4)2＝25,开平方,得x＋4＝±5, 即x＋4＝5或x＋4＝-5, 所以x＝1,x＝-9. 1 2 (2)移项,得x2＋2x＝15, 配方,得x2＋2x＋12＝15＋12, 即(x＋1)2＝16,开平方,得x＋1＝±4, 即x＋1＝4或x＋1＝-4, 所以x＝3,x＝-5. 1 2 (3)配方,得x2-6x＋32＝2＋32, 即(x-3)2＝11,开平方,得x-3＝±❑√11, 即x-3＝❑√11或x-3＝-❑√11, 所以x＝3＋❑√11,x＝3-❑√11. 1 2 (4)移项,得x2-x＝1, (1) 2 (1) 2 配方,得x2-x＋ ＝1＋ , 2 2 ( 1) 2 5 1 ❑√5 即 x- ＝ ,开平方,得x- ＝± , 2 4 2 2 1 ❑√5 1 ❑√5 即x- ＝ 或x- ＝- , 2 2 2 21 ❑√5 1 ❑√5 所以x＝ ＋ ,x＝ - . 1 2 2 2 2 2 第1课时 1.配方法 2.配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤 例1 例2 一、教材作业 【必做题】 教材第37页随堂练习. 【选做题】 教材第37页习题2.3的1题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.用适当的数填空. (1)x2＋6x＋ ＝(x＋ )2; (2)x2-5x＋ ＝(x- )2; (3)x2＋x＋ ＝(x＋ )2; (4)x2-9x＋ ＝(x- )2. 2.将二次三项式x2-4x-5进行配方,其结果为 . 3.若x2＋6x＋m2是一个完全平方式,则m的值是 . 【能力提升】 4.用配方法将二次三项式a2-4a＋5变形,结果是 ( ) A.(a-2)2＋1 B.(a＋2)2-1 C.(a＋2)2＋1 D.(a-2)2-1 5.把方程x2＋3＝4x配方,得( ) A.(x-2)2＝7B.(x＋2)2＝21 C.(x-2)2＝1D.(x＋2)2＝2 6.不论x,y为何值,代数式x2＋y2＋2x-4y＋7的值 ( ) A.总不小于2 B.总不小于7 C.可为任何实数D.可能为负数 【拓展探究】 7.用配方法求解下列问题. (1)求x2-2x＋2的最小值; (2)求x2＋4x＋5的最小值. 8.用配方法解下列方程. (1)x2-4x＝5; (2)x2-100x-101＝0; (3)x2＋8x＋9＝0; (4)y2＋2❑√2y-4＝0. 【答案与解析】 1.(1)9 3 (2)2.52 2.5 (3)0.52 0.5 (4)4.52 4.5(解析:配方时注意是加上一次项系数一半的平方.) 2.(x-2)2-9(解析:x2-4x-5＝x2-4x＋22-22-5＝(x-2)2-9.) 3.±3(解析:由完全平方式的特点可知,第三项为一次项系数一半的平方,所以m2＝32＝9,所以m＝±3.) 4.A(解析:a2-4a＋5＝a2-4a＋22-22＋5＝(a-2)2＋1.故选A.) 5.C(解析:x2＋3＝4x⇒x2-4x＝-3⇒x2-4x＋22＝-3＋22⇒(x-2)2＝1.故选C.) 6.A(解析:x2＋y2＋2x-4y＋7＝x2＋2x＋y2-4y＋7＝x2＋2x＋1＋y2-4y＋4-1-4＋7＝(x＋1)2＋(y-2)2＋2≥2.故选A.) 7.解:(1)x2-2x＋2＝x2-2x＋1＋1＝(x-1)2＋1≥1,故最小值为1. (2)x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4-4＋5＝(x＋2)2＋1≥1, 故最小值为1. 8.解:(1)配方得x2-4x＋4＝5＋4,即(x-2)2＝9,∴x-2＝±3,∴x＝5,x＝-1. (2)移项得x2-100x＝101,配方得x2-100x＋2500＝2500＋101,即(x-50)2＝2601,∴x-50 1 2 ＝±51,∴x＝101,x＝-1. (3)移项得x2＋8x＝-9,配方得x2＋8x＋16＝-9＋16,即(x＋4)2＝7,∴x＋4＝±❑√7,∴x＝ 1 2 1 ❑√7-4,x＝-❑√7-4. (4)移项得y2＋2❑√2y＝4,配方得y2＋2❑√2y＋2＝4＋2,即(y＋❑√2)2＝6,∴y＋❑√2＝±❑√6 2 ,∴y＝❑√6-❑√2,y＝-❑√6-❑√2. 1 2 课堂上把激发学生的学习热情和获得学习能力放在教学首位,通过运用各种启发、激励性的语言,以及 组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度.本节课多次组织学生合作交流,通过小组合作,为学生 提供展示自己聪明才智的机会,并且在此过程中,教师可以发现学生在分析问题和解决问题时的独到见解,以 及思维的误区,这样可以使得老师更好地指导今后的教学. 在小组讨论之前,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他 学生的思考,掩盖了其他学生的疑问. 教师应对小组讨论给予适当地指导,包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生 的帮助等,使小组合作学习更具实效性. 随堂练习(教材第37页) 解:(1)配方,得(x-5)2＝7,两边开平方,得x-5＝±❑√7,即x-5＝❑√7或x-5＝-❑√7,所以x＝5＋❑√7,x＝5-❑√7. (2) 1 2 配方,得x2-14x＋72＝8＋72,即(x-7)2＝57,开平方,得x-7＝±❑√57,即x-7＝❑√57或x-7＝-❑√57,所以x＝7＋ 1 (3) 2 (3) 2 ( 3) 2 13 3 ❑√13 ❑√57,x＝7-❑√57. (3)配方,得x2＋3x＋ ＝1＋ ,即 x＋ ＝ ,开平方,得x＋ ＝± , 2 2 2 2 4 2 2 3 ❑√13 3 ❑√13 3 ❑√13 3 ❑√13 即x＋ ＝ 或x＋ ＝- ,所以x＝- ＋ ,x＝- - . (4)整理,得x2-6x-2＝0,移项,得x2- 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 6x＝2,配方,得x2-6x＋32＝2＋32,即(x-3)2＝11,开平方,得x-3＝±❑√11,即x-3＝❑√11或x-3＝-❑√11,所以x＝3＋ 1 ❑√11,x＝3-❑√11. 2 习题2.3(教材第37页) 1.解:(1)移项,得x2＋12x＝-25,配方,得x2＋12x＋62＝-25＋62,即(x＋6)2＝11,开平方,得x＋6＝±❑√11,即x＋6＝ ❑√11或x＋6＝-❑√11,所以x＝-6＋❑√11,x＝-6-❑√11. (2)移项,得x2＋4x＝10,配方,得x2＋4x＋22＝10＋22, 1 2 即(x＋2)2＝14,开平方,得x＋2＝±❑√14,即x＋2＝❑√14或x＋2＝-❑√14,所以x＝-2＋❑√14,x＝-2-❑√14. (3) 1 2 配方,得x2-6x＋32＝11＋32,即(x-3)2＝20,开平方,得x-3＝±2❑√5,即x-3＝2❑√5或x-3＝-2❑√5,所以x＝3＋2❑√5 1 (9) 2 (9) 2 ( 9) 2 5 9 ,x＝3-2❑√5. (4)移项,得x2-9x＝-19,配方,得x2-9x＋ ＝-19＋ ,即 x- ＝ ,开平方,得x- ＝ 2 2 2 2 4 2 ❑√5 9 ❑√5 9 ❑√5 9 ❑√5 9 ❑√5 ± ,即x- ＝ 或x- ＝- ,所以x＝ ＋ ,x＝ - . 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2.解:设道路的宽为x m,根据题意,得(35-x)·(26-x)＝850(或35×26-35x-26x＋x2＝850),整理,得x2-61x＋60＝0.解 得x＝1,x＝60(不合题意,舍去).答:道路的宽应为1 m. 1 23.解:设增加69人后,增加了x行x列,根据题意,得(x＋8)(x＋12)＝12×8＋69,整理,得x2＋20x-69＝0,解得x＝ 1 3,x＝-23(不合题意,舍去).答:增加的行数、列数都是3. 2 学生的知识技能基础:学生在八年级上学期已经学习过开平方,知道一个正数有两个平方根,会利用开方 求一个正数的两个平方根,并且也学习了完全平方公式.在本章前面几节课中,又学习了一元二次方程的概念, 并经历了用估算法求一元二次方程的解的过程,初步理解了一元二次方程的解的意义. 学生的活动经验基础:在相关知识的学习过程中,学生已经经历了估算一元二次方程解的过程,解决了一 些简单的现实问题,感受到解一元二次方程的必要性和作用,基于学生的学习心理规律,在学习了估算法求解 一元二次方程的基础上,学生自然会产生用简单方法求解的欲望,同时在以前的数学学习中,学生已经经历了 很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力. 本节课基于学生用估算的方法求一元二次方程的解的基础之上,提出了本课的具体学习任务: (1)会用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程,理解配方法,会用配方法解二次项系数为1的一元 二次方程; (2)经历列方程解决实际问题的过程,体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型,增 强学生的数学应用意识和能力; (3)体会转化的数学思想方法; (4)能根据具体问题中的实际意义检验结果的合理性. 已知直角三角形的三边a,b,c,且两直角边a,b满足等式(a2＋b2)2-2(a2＋b2)-15＝0,求斜边c. 解:已知等式可化为(a2＋b2)2-2(a2＋b2)＋1＝16, 即(a2＋b2-1)2＝16, ∴a2＋b2-1＝±4, ∴a2＋b2＝5或a2＋b2＝-3, ∵a2＋b2≥0,∴a2＋b2＝5. 又∵直角三角形中,a2＋b2＝c2, ∴c2＝5,∴c＝❑√5(负值已舍去). 第 课时 会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程. 经历探究求解一般形式的一元二次方程的过程,进一步理解配方法的意义. 通过用配方法将一元二次方程变形的过程,让 学生进一步体会转化的思想方法,并增强学生的数学应用意识和能力. 【重点】 掌握配方法解一元二次方程的过程.【难点】 把一元二次方程转化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 复习配方法解二次项系数为1的一元二次方程的过程. 导入一: 解方程:x2-6x-40＝0. 解:移项,得x2-6x＝40, 配方,得x2-6x＋32＝40＋32, 即(x-3)2＝49, 开平方,得x-3＝±7, 即x-3＝7或x-3＝-7, 所以x＝10,x＝-4. 1 2 [设计意图] 通过解这个方程,使学生们顺畅地理清思路,掌握每一步的理论依据,增强了解题的信心. 导入二: 1.将下列各式填上适当的项,使其配成完全平方式. (1)x2＋2x＋ ＝(x＋ )2; (2)x2-4x＋ ＝(x- )2; (3)x2＋ ＋36＝(x＋ )2; (4)x2＋10x＋ ＝(x＋ )2; (5)x2-x＋ ＝(x- )2. 2.请同学们说出下列两个一元二次方程的联系与区别: (1)x2＋6x＋8＝0; (2)3x2＋18x＋24＝0. 探讨方程(2)应如何解. [设计意图] 通过第一部分的练习题的训练,使学生熟悉完全平方式的三项与二次三项式的联系,第二部 分的两个方程之间的区别是方程(2)的二次项系数为3,不符合上节课解题的基本形式,联系是当方程(2)的两 边同时除以3以后,这两个方程为同解方程.学生们做了方程的变形以后,对二次项系数不为1的方程的解法 有了初步的感受和思路. 一、规律探究 [过渡语] 对于新出现的问题,我们可以通过转化的思想,把未知转化为已知来解决,这也是我们日常生活 中常用的解决问题的方法. 解方程:3x2＋8x-3＝0. 思路:由于该方程不是(x＋m)2＝n(n≥0)的形式,因此不能用直接开平方法解,而且也不符合上节课学习的 用配方法所解的方程的形式,但如果将方程两边同时除以二次项系数的话就和上节课所学的形式一样了,即 8 方程两边同时除以3,得x2＋ x-1＝0,再用上节课的知识解决即可. 3 总结:对于二次项系数不为1的一元二次方程,我们可以先将等式两边同时除以二次项系数,再利用配方 法求解. [设计意图] 教师引导学生合理转化,渗透从“未知”到“已知”的转化过程. 二、配方法解一元二次方程的一般步骤 [过渡语] 前面我们研究配方法解一元二次方程的基本方法,下面我们通过例题来总结一下用配方法解一 元二次方程的基本步骤. (教材例2)解方程:3x2＋8x-3＝0. 〔解析〕 将二次项系数化为1后,用配方法解此方程.8 解:两边都除以3,得x2＋ x-1＝0, 3 8 移项,得x2＋ x＝1, 3 8 (4) 2 (4) 2 配方,得x2＋ x＋ ＝1＋ , 3 3 3 ( 4) 2 (5) 2 即 x＋ ＝ , 3 3 4 5 开平方,得x＋ ＝± , 3 3 1 所以x＝ ,x＝-3. 1 3 2 [设计意图] 抓住主要问题精讲,并总结规律,让学生根据规律去学习配方法解一元二次方程,体会解方 程的步骤. [知识拓展] (1)利用配方法解一元二次方程的一般步骤:①方程两边同时除以二次项系数,将二次项系 数化为1;②把常数项移到方程右边;③在方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方,使左边成为完全平 方式;④利用直接开平方法求解. (2)配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系, 从而化繁为简.何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从 而完成配方.有时也将其称为“配凑法”. (3)最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方,其依据是完全平方公式:(a＋b)2＝a2＋2ab＋ b2,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:a2＋b2＝(a＋b)2-2ab＝(a-b)2＋2ab;a2＋ab＋b2＝(a＋b)2- ab＝(a-b)2＋3ab. (4)在应用配方法解一元二次方程时有两种做法:一种是先移走常数项,然后方程两边同时除以二次项系 数,把二次项系数化为1,两边再同时加上一次项系数(除以二次项系数后的)一半的平方,把原方程化成(x＋m)2 ＝n(n≥0)的形式,两边同时开方,把一元二次方程转化为一元一次方程.另一种是先移走常数项,通过“凑”与 “配”进行配方. (5)配方法在二次代数式的讨论与求解中的应用也十分广泛. 【课件1】 解方程:2x2＋6x-3＝0. 解法1:移项,得2x2＋6x＝3, 3 两边同时除以2,得x2＋3x＝ , 2 (3) 2 (3) 2 3 9 ( 3) 2 15 两边同时加上 ,得x2＋3x＋ ＝ ＋ ,即 x＋ ＝ , 2 2 2 4 2 4 3 ❑√15 3 ❑√15 开平方,得x＋ ＝ 或x＋ ＝- , 2 2 2 2 -3＋❑√15 -3-❑√15 解得x＝ ,x＝ , 1 2 2 2 解法2:移项,得2x2＋6x＝3, 原方程可变形为:(❑√2x) 2 ＋2❑√2x× 3❑√2 ＋ (3❑√2) 2 ＝3＋ (3❑√2) 2 , 2 2 2 ( 3❑√2) 2 30 即 ❑√2x＋ ＝ , 2 43❑√2 ❑√30 3❑√2 ❑√30 两边同时开方,得❑√2x＋ ＝ 或❑√2x＋ ＝- , 2 2 2 2 -3＋❑√15 -3-❑√15 解得x＝ ,x＝ . 1 2 2 2 【课件2】 用配方法证明:无论x为何值,代数式x2-4x＋4.5的值恒大于零. 证明:∵x2-4x＋4.5＝x2-4x＋22-22＋4.5＝(x-2)2＋0.5≥0.5>0, ∴无论x为何值,代数式x2-4x＋4.5的值恒大于零. 【课件3】 若x2y2-20xy＋x2＋y2＋81＝0,求x,y的值. 〔解析〕 此题可以运用“裂项”与“凑”的技巧,把-20xy裂成-18xy与-2xy的和来完成配方,并根据 完全平方式为非负数的性质,把方程化为二元一次方程组求解. 解:∵x2y2-20xy＋x2＋y2＋81＝0, ∴(x2y2-18xy＋81)＋(x2-2xy＋y2)＝0, 即(xy-9)2＋(x-y)2＝0, {xy-9＝0, ∴ ∴x＝y＝±3. x- y＝0, 【课件4】 若M＝3x2-8xy＋9y2-4x＋6y＋13(x,y是实数),则M的值一定是 ( ) A.正数 B.负数 C.零 D.整数 〔解析〕 先将多项式转化成几个完全平方式的和的形式,然后就其结构特征进行合理的分析、推理. 因为M＝3x2-8xy＋9y2-4x＋6y＋13＝2(x-2y)2＋(x-2)2＋(y＋3)2≥0,并且2(x-2y)2,(x-2)2,(y＋3)2这三个式子不可能 同时为0,所以M>0.故选A. 【课件5】 化简二次根式❑√19-8❑√3＋❑√19＋8❑√3. 〔解析〕 复合二次根式的化简是将被开方数化成完全平方的形式,要用到配方的思想. 解: ❑√19-8❑√3＝❑√19-2❑√48＝❑√19-2❑√16×3＝❑√16-2❑√16×3＋3＝❑√(❑√16-❑√3) 2 ＝❑√16 -❑√3＝4-❑√3, 同理可得❑√19＋8❑√3＝4＋❑√3, 所以原式＝4-❑√3＋4＋❑√3＝8. 【课件6】 已知三角形的三边a,b,c满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc,判断这个三角形的形状. 〔解析〕 确定三角形的形状,主要是讨论三条边之间的关系.代数式a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc之中蕴含 了完全平方式,可以重新拆项、组合. 解:已知条件可化为2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc, 即2a2＋2b2＋2c2-2ab-2ac-2bc＝0, 即a2-2ab＋b2＋a2-2ac＋c2＋b2-2bc＋c2＝0, 即(a-b)2＋(a-c)2＋(b-c)2＝0, 所以a＝b＝c,即三角形是等边三角形. 用配方法解一元二次方程的一般步骤: (1)方程两边同时除以二次项系数,使二次项系数化为1; (2)把常数项移到方程的右边; (3)在方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方,使左边成为完全平方式; (4)利用直接开平方法求解. 1.填空: 1 (1)x2- x＋ ＝(x- )2; 3 (2)2x2-3x＋ ＝2(x- )2.1 1 ( 1) 2 解析:(1)同时在方程的两边加上一次项系数一半的平方,即x2- x＋ ＝ x- .(2)要注意二次项的 3 36 6 9 ( 3) 2 系数没有化为1,而是提到括号的前面.2x2-3x＋ ＝2 x- . 8 4 1 1 9 3 答案:(1) (2) 36 6 8 4 2.2x2-6x＋3＝2(x- )2- ;x2＋mx＋n＝(x＋ )2＋ . 解析:第一个代数式的配方要注意二次项的系数没有化为1,而是提到括号的前面,第二个是同时在方程 的两边加上一次项系数一半的平方. 3 3 m 4n-m2 答案: 2 2 2 4 3.用配方法解下列方程. (1)3x2-4x-2＝0; (2)2x2＋3x-2＝0; (3)4(x-3)2＝225; (4)3y2＋1＝2❑√3y. 4 2 解:(1)二次项系数化为1,得x2- x- ＝0, 3 3 4 (2) 2 (2) 2 2 配方,得x2- x＋ - - ＝0, 3 3 3 3 ( 2) 2 10 即 x- - ＝0, 3 9 2 ❑√10 所以x- ＝± , 3 3 2＋❑√10 2-❑√10 所以x＝ ,x＝ . 1 3 2 3 3 (2)二次项系数化为1,得x2＋ x-1＝0, 2 3 (3) 2 (3) 2 配方,得x2＋ x＋ - -1＝0, 2 4 4 ( 3) 2 25 即 x＋ - ＝0, 4 16 3 5 所以x＋ ＝± , 4 4 1 所以x＝ ,x＝-2. 1 2 2 225 (3)原方程可化为(x-3)2＝ , 4 15 所以x-3＝± , 221 9 所以x＝ ,x＝- . 1 2 2 2 (4)移项,得3y2-2❑√3y＋1＝0, 2 1 二次项系数化为1,得y2- ❑√3y＋ ＝0, 3 3 2 (❑√3) 2 (❑√3) 2 1 配方,得y2- ❑√3y＋ - ＋ ＝0, 3 3 3 3 ( ❑√3) 2 ❑√3 即 y- ＝0,所以y＝y＝ . 3 1 2 3 第2课时 1.规律探究 2.配方法解一元二次方程的一般步骤 一、教材作业 【必做题】 教材第39页随堂练习. 【选做题】 教材第40页习题2.4的1题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.用配方法解方程2x2-4x＋3＝0,配方正确的是 ( ) A.2x2-4x＋4＝3＋4 B.2x2-4x＋4＝-3＋4 3 C.x2-2x＋1＝ ＋1 2 3 D.x2-2x＋1＝- ＋1 2 2.用配方法解下列方程,配方错误的是 ( ) A.x2＋2x-99＝0化为(x＋1)2＝100 ( 7) 2 65 B.t2-7t-4＝0化为 t- ＝ 2 4 C.x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25 ( 2) 2 10 D.3x2-4x-2＝0化为 x- ＝ 3 9 3.用配方法解方程2y2-❑√5y＝1时,方程的两边都应加上 ( ) ❑√5 5 ❑√5 5 A. B. C. D. 2 4 4 16 4.方程2(x＋4)2-10＝0的根是 . 【能力提升】 5.a2＋b2＋2a-4b＋5＝(a＋ )2＋(b- )2. 6.用配方法解下列方程. (1)2x2＋1＝3x; (2)3y2-y-2＝0;(3)3x2-4x＋1＝0; (4)2x2＝3-7x. 【拓展探究】 7.已知(a＋b)2＝17,ab＝3,求(a-b)2的值. 8.解方程(x-2)2-4(x-2)-5＝0. 【答案与解析】 1.D(解析:用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时,应先把二次项系数化为1,再配方.) 2.C(解析:x2＋8x＋9＝0应化为(x＋4)2＝7.) 3.D(解析:先把二次项系数化为1,然后再加上一次项系数一半的平方.) 4.x＝-4＋❑√5,x＝-4-❑√5(解析:移项,得2(x＋4)2＝10,把系数化为1,得(x＋4)2＝5,则x＋4＝±❑√5,解得x＝-4＋ 1 2 1 ❑√5,x＝-4-❑√5.) 2 5.1 2(解析:a2＋b2＋2a-4b＋5＝(a2＋2a＋1)＋(b2-4b＋4)＝(a＋1)2＋(b-2)2.) 3 1 3 9 1 ( 3) 2 1 3 1 6.解:(1)移项,二次项系数化为1,得x2- x＝- ,配方,得x2- x＋ ＝ ,即 x- ＝ ,∴x- ＝± 2 2 2 16 16 4 16 4 4 1 1 2 1 1 25 ( 1) 2 25 ,∴x＝1,x＝ . (2)移项,二次项系数化为1,得y2- y＝ ,配方,得y2- y＋ ＝ ,即 y- ＝ , 1 2 2 3 3 3 36 36 6 36 1 5 2 4 1 4 4 1 ∴y- ＝± ,∴y＝1,y＝- . (3)移项,二次项系数化为1,得x2- x＝- ,配方,得x2- x＋ ＝ ,即 6 6 1 2 3 3 3 3 9 9 ( 2) 2 1 2 1 1 7 3 7 x- ＝ ,∴x- ＝± ,∴x＝1,x＝ . (4)移项,二次项系数化为1,得x2＋ x＝ ,配方,得x2＋ x＋ 3 9 3 3 1 2 3 2 2 2 49 73 ( 7) 2 73 7 ❑√73 -7＋❑√73 -7-❑√73 ＝ ,即 x＋ ＝ ,∴x＋ ＝± ,∴x＝ ,x＝ . 16 16 4 16 4 4 1 4 2 4 7.解:∵(a-b)2＝a2-2ab＋b2＝a2＋2ab＋b2-4ab＝(a＋b)2-4ab,∴(a-b)2＝17-4×3＝5. 8.解:把x-2看成一个整体,将原方程移项,配方,得(x-2)2-4(x-2)＋4＝9,∴(x-2-2)2＝9,∴x-4＝±3,∴x＝7,x＝1. 1 2 这节课主要是以习题训练为重点,依照书上的例题为重点展示配方法解一元二次方程的基本步骤,同时 添加辅助性的习题,让学生体会解一元二次方程的感受. 应尽可能地体现分层教学,让每个学生都得到发展,对于基础较差的学生只要求认真理解并巩固 配方法,对于基础较好的学生,根据他们的课堂反应,在知识拓宽方面加以提示. 基础较好的学生对于基础题的计算速度比较快,所以老师应准备多个不同层次的习题,当这部分学生做 完后,可以为他们提供更高层次的习题,继续引领他们的思维前进,同时应加强对数据计算速度慢,基础薄弱的 同学动手动脑的监督. 随堂练习(教材第39页)9 19 ( 3) 2 19 3 ❑√57 解:(1)移项,得3x2-9x＝-2,二次项系数化为1,配方,得x2-3x＋ ＝ ,即 x- ＝ ,∴x- ＝± ,∴x 4 12 2 12 2 6 1 3 ❑√57 3 ❑√57 7 49 1 ＝ ＋ ,x＝ - . (2)移项,得2x2-7x＝-6,二次项系数化为1,配方,得x2- x＋ ＝ ,即 2 6 2 2 6 2 16 16 ( 7) 2 1 7 1 3 7 x- ＝ ,∴x- ＝± ,∴x＝2,x＝ . (3)移项,得4x2-8x＝3,二次项系数化为1,配方,得x2-2x＋1＝ , 4 16 4 4 1 2 2 4 7 ❑√7 ❑√7 ❑√7 即(x-1)2＝ ,∴x-1＝± ,∴x＝1＋ ,x＝1- . 4 2 1 2 2 2 习题2.4(教材第40页) 7 1 ( 7 ) 2 25 7 5 1.解:(1)原方程变形为x2- x＝- ,配方,得 x- ＝ ,两边直接开平方,得x- ＝± ,∴x＝1,x＝ 6 6 12 144 12 12 1 2 1 9 18 ( 9 ) 2 441 . (2)原方程变形为x2- x＝ .配方,得 x- ＝ .两边直接开 6 5 5 10 100 9 21 6 3 ( 3) 2 841 平方,得x- ＝± .∴x＝3,x＝- . (3)原方程变形为x2- x＝13.配方,得 x- ＝ .两边直接开 10 10 1 2 5 4 8 64 3 29 13 2 4 ( 1) 2 21 平方,得x- ＝± .∴x＝4,x＝- . (4)原方程变形为x2＋ x＝ .配方,得 x＋ ＝ .两边直接开 8 8 1 2 4 5 5 5 25 1 ❑√21 -1＋❑√21 -1-❑√21 平方,得x＋ ＝± .∴x＝ ,x＝ . 5 5 1 5 2 5 (1 ) 2 2.解:设总共有x只猴子,根据题意,得x＝ x ＋12.整理,得x2-64x＋768＝0.解得x＝16,x＝48.答:猴子总 8 1 2 数为16只或48只. ⊥ 3.解:(1)设出发x s后P,Q两点间的距离是10 cm,则AP＝3x cm,CQ＝2x cm.过点Q作QM AB于M(如右 图所示),则PM＝|16-2x-3x|＝|16-5x|cm,由题意得(16-5x)2＋62＝102,解得x＝1.6或x＝4.8.答:P,Q出发1.6 s或 4.8 s后,P,Q间的距离是10 cm.学生的知识技能基础:学生已经学习过平方根的定义以及完全平方公式,在上节课初步学习了用配方法 解二次项系数为1的一元二次方程,这些为本节课学习用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程打下较 好的基础. 学生的活动经验基础:上一课时,学生已经经历了求二次项系数为1的一元二次方程的解的过程,已经体 会到其中转化的思想方法的运用,这些都成为完成本课任务的活动经验基础. 在课程安排上,这节课的具体学习任务是:用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程,以及利用一元 二次方程解决实际问题,因此本节课的教学目标是: (1)经历配方法解一元二次方程的过程,获得解一元二次方程的基本技能; (2)经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程,体会其中的转化思想; (3)能利用一元二次方程解决有关的实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培 养分析问题、解决问题的意识和能力. 23 用配方法证明:2x2-x＋3的值不小于 . 8 证明:2x2-x＋3＝2 ( x2- 1 x＋ 1 ) - 1 ＋3＝2 ( x- 1) 2 ＋ 23 , 2 16 8 4 8 ( 1) 2 ( 1) 2 23 23 ∵2 x- ≥0,∴2 x- ＋ ≥ , 4 4 8 8 23 即2x2-x＋3的值不小于 . 8 3 用公式法求解一元二次方程 1.经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程,理解求根公式和根的判别式. 2.能用公式法解一元二次方程. 3.会用一元二次方程的根的判别式判断方程实数根的情况. 经历用一元二次方程解决简单实际问题的过程,体会数学建模思想,增强数学应用意识和能力. 在推导求根公式和利用根的判别式判断方程根的情况的过程中,强化推理技能训练,进一步发展演绎推 理能力. 【重点】 一元二次方程的求根公式. 【难点】 一元二次方程的根的判别式与方程的根之间的关系.第 课时 会用公式法解一元二次方程. 体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程,明确运用公式求根的前提条件是b2-4ac≥0. 在公式的推导过程中,培养学生的符号感. 【重点】 1.掌握一元二次方程的求根公式,并应用它熟练地解一元二次方程. 2.根的判别式的运用. 【难点】 求根公式的使用. 【教师准备】 预设学生学习过程中遇到的困难. 【学生准备】 复习配方法解一元二次方程的步骤. 导入一: 用配方法解下列方程. (1)2x2＋3＝7x; (2)3x2＋2x＋1＝0. 学生在练习本上运算,可找同学上黑板演算,并由学生总结用配方法解一元二次方程的一般步骤. 解:(1)将方程化成一般形式:2x2-7x＋3＝0, 7 3 两边都除以二次项系数:x2- x＋ ＝0, 2 2 7 (7) 2 49 3 配方,得x2- x＋ - ＋ ＝0, 2 4 16 2 ( 7) 2 25 ( 7) 2 25 即 x- - ＝0,所以 x- ＝ , 4 16 4 16 7 5 1 所以x- ＝± ,解得x＝3,x＝ . 4 4 1 2 2 2 1 (2)两边都除以二次项系数:x2＋ x＋ ＝0, 3 32 (1) 2 1 1 配方,得x2＋ x＋ - ＋ ＝0, 3 3 9 3 ( 1) 2 2 ( 1) 2 2 即 x＋ ＋ ＝0,所以 x＋ ＝- , 3 9 3 9 2 因为- <0,所以原方程无解. 9 [设计意图] 进一步夯实用配方法解一元二次方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法做了小小 的改动,没有把常数项移到方程右边,而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数(除以二次项系数后的)一 半的平方.选择了一个没有解的方程,让学生切实感受到并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解. 导入二: 1.复习用配方法解一元二次方程的一般步骤. 2.如何解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)? [设计意图] 本环节复习了解一元二次方程的配方法,因为这是推导公式的基础,然后抛出了富有启发性 的问题,激发学生的学习兴趣. 一、求根公式 思路一 [过渡语] 我们发现,利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的.因此,如果能用配方法解一般形式 的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0),得到根的一般表达式,那么再解一元二次方程时,就会方便简捷得多. 你能用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)吗?请你试一试,并与同伴交流. 教师给出答案. b c 解:方程两边都除以a,得x2＋ x＋ ＝0, a a b c 移项,得x2＋ x＝- , a a b ( b ) 2 c ( b ) 2 配方,得x2＋ x＋ ＝- ＋ , a 2a a 2a ( b ) 2 b2-4ac 即 x＋ ＝ , 2a 4a2 ∵a≠0,∴4a2>0, b ❑√b2-4ac 当b2-4ac≥0时,x＋ ＝± , 2a 2a -b＋❑√b2-4ac -b-❑√b2-4ac ∴x＝ ,x＝ . 1 2 2a 2a -b±❑√b2-4ac 一般地,对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是x＝ ,当b2- 2a 4ac<0时,一元二次方程无实数根. 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. [设计意图] 先让学生自己动手解答,在复习配方法解一元二次方程的同时,也让学生理解了求根公式. 教师给出解答过程,让学生学会规范解答. 思路二[过渡语] 同学们,下面我们共同来解一下一元二次方程的一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 解方程:ax2＋bx＋c＝0(a≠0). b c 解:两边都除以二次项系数:x2＋ x＋ ＝0, a a 问:为什么可以两边都除以二次项系数a? 答:∵a≠0. b ( b ) 2 b2 c 配方,得x2＋ x＋ - ＋ ＝0, a 2a 4a2 a ( b ) 2 b2-4ac 即 x＋ - ＝0, 2a 4a2 ( b ) 2 b2-4ac ∴ x＋ ＝ . 2a 4a2 问:现在可以两边开平方吗? b2-4ac 答:不可以,∵不能保证 ≥0. 4a2 b2-4ac 问:什么情况下 ≥0? 4a2 b2-4ac 答:∵a≠0,∴4a2>0,要使 ≥0,只要b2-4ac≥0即可. 4a2 b √b2-4ac ❑√b2-4ac 当b2-4ac≥0时,两边开平方,得x＋ ＝± ❑ ＝± , 2a 4a2 2a -b＋❑√b2-4ac -b-❑√b2-4ac ∴x＝ ,x＝ . 1 2 2a 2a 问:如果b2-4ac<0,会出现什么问题? 答:方程无解. 问:如果b2-4ac＝0呢? ❑√b2-4ac b 答:此时 ＝0,x＝x＝- ,即方程有两个相等的实数根. 2a 1 2 2a [设计意图] 学生能否自主推导出来公式并不重要,重要的是由学生亲身经历公式的推导过程,只有经历 了这一过程,他们才能发现问题,汲取教训,总结经验,形成自己的认识,在集体交流的时候,才能有感而发. 二、根的判别式 [过渡语] 前面我们在推导求根公式的过程中发现一个问题:一元二次方程的根的情况与b2-4ac有关,我们 再深入研究一下. 1.你能解一元二次方程x2-2x＋3＝0吗?你是怎么想的? 2.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0),当b2-4ac<0时,它的根的情况是怎样的? 学生思考,与同伴交流,教师总结. 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0), 当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; 当b2-4ac＝0时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,方程没有实数根. 由此可知,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2-4ac来判定,我们把b2-4ac叫做一元二次 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“Δ”来表示. [设计意图] 在探究中,体会方程的根的判别式存在的意义. 三、例题讲解 [过渡语] 前面我们学会了一元二次方程的求根公式,下面我们通过例题来研究一下怎样来应用. (教材列题)解方程. (1)x2-7x-18＝0; (2)4x2＋1＝4x. 〔解析〕 要求一元二次方程的解,需先确定a,b,c的值,注意a,b,c带有符号.第(2)小题要先将方程化成 一般形式,再用求根公式求解. 解:(1)这里a＝1,b＝-7,c＝-18. ∵b2-4ac＝(-7)2-4×1×(-18)＝121>0, 7±❑√121 7±11 ∴x＝ ＝ , 2×1 2 即x＝9,x＝-2. 1 2 (2)原方程化为一般形式,得4x2-4x＋1＝0, 这里a＝4,b＝-4,c＝1. ∵b2-4ac＝(-4)2-4×4×1＝0, -(-4)±0 1 ∴x＝ ＝ , 2×4 2 1 即x＝x＝ . 1 2 2 [知识拓展] 公式法解一元二次方程的一般步骤: (1)把方程化为一般形式,进而确定a,b,c的值(注意符号); (2)求出b2-4ac的值(先判断方程是否有根); -b±❑√b2-4ac (3)在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入求根公式,求出 的值,最后写出方程的根. 2a 不解方程,判断下列方程根的情况. (1)2x2＋3x-4＝0; (2)4y2＋9＝12y; (3)5(x2＋1)-7x＝0. 〔解析〕 先把方程化为一般形式,确定a,b,c的值后,再算出b2-4ac的值,对方程的根给予判定. 解:(1)∵a＝2,b＝3,c＝-4, ∴b2-4ac＝32-4×2×(-4)>0, ∴原方程有两个不相等的实数根. (2)原方程可化为4y2-12y＋9＝0, ∴a＝4,b＝-12,c＝9, ∴b2-4ac＝(-12)2-4×4×9＝0, ∴原方程有两个相等的实数根. (3)原方程可化为5x2-7x＋5＝0, ∴a＝5,b＝-7,c＝5, ∴b2-4ac＝(-7)2-4×5×5<0, ∴原方程无实数根. [设计意图] 这一环节是在学生解决了疑难后的跟踪训练,体现了重点问题强化训练的教学要求,同时又 使学生对所学知识的掌握情况得到进一步的理解.[知识拓展] 一般地,对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0),当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根:x＝ -b±❑√b2-4ac ;当b2-4ac<0时,方程没有实数根.在运用该公式时,有的学生会出现盲目套公式的现象.正 2a 确使用求根公式解一元二次方程时应注意以下五点:(1)注意化方程为一般形式:ax2＋bx＋c＝0(a≠0);(2)注意 a,b,c的值应包括各自的符号;(3)注意方程有实数根的前提条件是判别式b2-4ac≥0;(4)由判别式Δ的值决定方 程的根,解题时灵活选用解题方法和技巧;(5)用公式法解出的根应注意适当化简.总之,先化方程为一般形式: ax2＋bx＋c＝0(a≠0),再确定a,b,c的值(注意应包括各自的符号),计算出判别式b2-4ac的值,再代入求根公式求 解,最后注意化简结果. -b±❑√b2-4ac 1.一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式:x＝ . 2a 2.利用求根公式解一元二次方程的步骤: (1)把方程化为一般形式,进而确定a,b,c的值(注意符号); (2)求出b2-4ac的值(先判断方程是否有根); -b±❑√b2-4ac (3)在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入求根公式,求出 的值,最后写出方程的根. 2a 3.一元二次方程的根的判别式与一元二次方程的根之间的关系: 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0), 当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; 当b2-4ac＝0时,方程有两个相等的实数根; 当b2-4ac<0时,方程没有实数根. 由此可知,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2-4ac来判定,我们把b2-4ac叫做一元二次 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“Δ”来表示. 1.把方程4-x2＝3x化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式为 ,b2-4ac＝ . 解析:可以把方程左边的项移到右边,这样化简比较简便.原方程可化为x2＋3x-4＝0,这里a＝1,b＝3,c ＝-4,b2-4ac＝32-4×1×(-4)＝25. 答案:x2＋3x-4＝0 25 2.方程x2＋x-1＝0的根是 . -b±❑√b2-4ac 解析:直接代入公式x＝ 即可.方程x2＋x-1＝0中,a＝1,b＝1,c＝-1,∴b2-4ac＝5,∴x＝ 2a -1±❑√5 -1＋❑√5 -1-❑√5 -1＋❑√5 -1-❑√5 ,即x＝ ,x＝ .故填x＝ ,x＝ . 2×1 1 2 2 2 1 2 2 2 3.用公式法解方程❑√2x2＋4❑√3x＝2❑√2时,其中求得的b2-4ac的值是 . 解析:要求b2-4ac的值,需将原方程先转化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式.原方程可化为❑√2x2＋4❑√3x-2 ❑√2＝0,b2-4ac＝(4❑√3)2-4×❑√2×(-2❑√2)＝64.故填64. 4.用公式法解下列方程. (1)3x2-x-2＝0; (2)2x2＋1＝3x; (3)4x2-3x-1＝x-2; (4)3x(x-3)＝2(x-1)(x＋1). 解:(1)∵a＝3,b＝-1,c＝-2, ∴b2-4ac＝(-1)2-4×3×(-2)＝25>0,1±❑√25 1±5 ∴x＝ ＝ , 2×3 6 2 ∴x＝1,x＝- . 1 2 3 (2)移项,得2x2-3x＋1＝0, ∴a＝2,b＝-3,c＝1, ∴b2-4ac＝(-3)2-4×2×1＝1>0, 3±❑√1 3±1 ∴x＝ ＝ , 2×2 4 1 ∴x＝1,x＝ . 1 2 2 (3)整理,得4x2-4x＋1＝0, ∴a＝4,b＝-4,c＝1, ∴b2-4ac＝(-4)2-4×4×1＝0, 4±❑√0 4±0 ∴x＝ ＝ , 2×4 8 1 ∴x＝x＝ . 1 2 2 (4)整理,得x2-9x＋2＝0, ∴a＝1,b＝-9,c＝2, ∴b2-4ac＝(-9)2-4×1×2＝73>0, 9±❑√73 9±❑√73 ∴x＝ ＝ , 2×1 2 9-❑√73 9＋❑√73 ∴x＝ ,x＝ . 1 2 2 2 第1课时 1.求根公式 2.根的判别式 3.例题讲解 例1 例2 一、教材作业 【必做题】 教材第43页随堂练习. 【选做题】 教材第43页习题2.5的2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.方程(x-1)(x-3)＝2的根是 ( ) A.x＝1,x＝3 B.x＝2±2❑√3 1 2 C.x＝2±❑√3 D.x＝-2±2❑√3 2.用公式法解方程3x2＋4＝12x时,下列代入求根公式正确的是 ( ) 12±❑√144-12 A.x＝ 2-12±❑√144-12 B.x＝ 2 12±❑√144＋12 C.x＝ 2 12±❑√144-48 D.x＝ 6 3.三角形两边长分别是3和5,第三边的长是方程3x2-10x-8＝0的根,则此三角形是 三角形. x2＋x-2 4.如果分式 的值为零,那么x＝ . x-1 【能力提升】 5.把方程(2x-1)(x＋3)＝x2＋1化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式,则b2-4ac＝ ,方程的根是 . 6.若关于x的一元二次方程x2＋4x-m＝0的一个根是❑√5-2,则m＝ ,方程的另一个根是 . 【拓展探究】 7.若最简二次根式❑√m2-7和❑√8m＋2是同类二次根式,则m的值是( ) A.9或-1 B.-1 C.1 D.9 8.用公式法解下列方程. (1)x2-2x-8＝0; (2)x2＋2x-4＝0; (3)2x2-3x-2＝0; (4)3x(3x-2)＋1＝0. 【答案与解析】 1.C(解析:原方程化为一般形式为:x2-4x＋1＝0,其中a＝1,b＝-4,c＝1,则方程的根x＝ 4±❑√(-4)2-4×1×1 ＝2±❑√3.) 2×1 2.D(解析:方程化为一般形式为:3x2-12x＋4＝0,其中a＝3,b＝-12,c＝4,所以代入求根公式得:x＝ 12±❑√(-12)2-4×4×3 12±❑√144-48 ＝ .) 2×3 6 10±❑√(-10)2-4×3×(-8) 10±14 3.直角(解析:方程3x2-10x-8＝0的根x＝ ＝ ,则三角形第三边的 2×3 6 长为4(负值舍去),因为32＋42＝52,符合勾股定理,所以是直角三角形.) x2＋x-2 {x2＋x-2＝0, 4.-2(解析:若分式 ＝0,则有 解方程x2＋x-2＝0得x＝1,x＝-2,又x-1≠0,所以 x-1 x-1≠0, 1 2 x≠1,所以x＝-2.) -5＋❑√41 -5-❑√41 5.41 x＝ ,x＝ (解析:方程(2x-1)(x＋3)＝x2＋1化为一般形式为x2＋5x-4＝0,则b2- 1 2 2 2 -5±❑√41 -5＋❑√41 -5-❑√41 4ac＝52-4×1×(-4)＝41,则方程的根为x＝ ,即x＝ ,x＝ .) 2 1 2 2 2 6.1 -❑√5-2(解析:把❑√5-2代入方程,得(❑√5-2)2＋4(❑√5-2)-m＝0,解得m＝1,再把m＝1代入方程,利用公式求 根.) 7.D(解析:由题意得m2-7＝8m＋2,即m2-8m-9＝0,解得m＝9,m＝-1,又m2-7≥0,∴m＝9.) 1 22±❑√36 2±6 8.解:(1)∵a＝1,b＝-2,c＝-8,∴b2-4ac＝(-2)2-4×1×(-8)＝36>0,∴x＝ ＝ ,∴x＝4,x＝-2. (2)∵a＝ 2×1 2 1 2 -2±❑√20 -2±2❑√5 1,b＝2,c＝-4,∴b2-4ac＝22-4×1×(-4)＝20>0,∴x＝ ＝ ,∴x＝-1＋❑√5,x＝-1-❑√5. 2×1 2 1 2 3±❑√25 3±5 1 (3)∵a＝2,b＝-3,c＝-2,∴b2-4ac＝(-3)2-4×2×(-2)＝25>0,∴x＝ ＝ ,∴x＝2,x＝- . (4)整理,得 2×2 4 1 2 2 6±❑√0 6±0 1 9x2-6x＋1＝0,∴a＝9,b＝-6,c＝1,∴b2-4ac＝(-6)2-4×9×1＝0,∴x＝ ＝ ,∴x＝x＝ . 2×9 18 1 2 3 在授课过程中,教师给学生留下了很大的思维空间,通过自己的亲自操作,运用探索发现法,让学生积极参 与,自主探究,合作交流,把主体地位返还给学生.无论是公式的推导,还是公式的应用,都是在教师的引导下学 生自己完成的,教师这样做,重视了知识的形成过程,在应用中又开拓了学生的视野,使学生的发散思维与应用 技巧得到了锻炼. 没有很好地体现分层教学,让每个学生都得到发展,对于基础较差的学生只要求认真理解并巩固公式法, 对于基础较好的学生,根据他们的课堂反应,还应在知识拓宽方面加以提示. 这节课不仅仅是让学生能够背公式、套公式解方程,还要让学生初步建立对一些规律性的问题加以归 纳、总结的数学建模意识,亲身体会公式推导的全过程,提高学生推理技能和逻辑思维能力,进一步发展学生 合作交流的意识和能力,帮助学生形成积极主动的求知态度. 随堂练习(教材第43页) 1.解:(1)原方程可化为2x2-7x＋5＝0,∵a＝2,b＝-7,c＝5,∴b2-4ac＝(-7)2-4×2×5>0,∴原方程有两个不相等的实数 根. (2)原方程可化为4x2-4x＋3＝0,∵a＝4,b＝-4,c＝3,∴b2-4ac＝(-4)2-4×4×3<0,∴原方程无实数根. (3)原方程 可化为4y2-2.4y＋0.36＝0,∵a＝4,b＝-2.4,c＝0.36,∴b2-4ac＝(-2.4)2-4×4×0.36＝0,∴原方程有两个相等的实数根. 9±❑√17 9±❑√17 9＋❑√17 2.解:(1)这里a＝2,b＝-9,c＝8,∴b2-4ac＝(-9)2-4×2×8＝17>0,∴x＝ ＝ ,∴x＝ ,x 2×2 4 1 4 2 9-❑√17 -6±0 1 1 ＝ . (2)这里a＝9,b＝6,c＝1,∴b2-4ac＝62-4×9×1＝0,∴x＝ ＝- ,∴x＝x＝- . (3)原方程 4 2×9 3 1 2 3 化为一般形式,得16x2＋8x-3＝0,这里a＝16,b＝8,c＝-3,∴b2-4ac＝82-4×16×(-3)＝256>0,∴x＝ -8±❑√256 -1±2 1 3 ＝ ,∴x＝ ,x＝- . (4)原方程化为一般形式,得x2-3x＋5＝0,这里a＝1,b＝-3,c＝ 2×16 4 1 4 2 4 5,∴b2-4ac＝(-3)2-4×1×5＝-11<0,∴原方程无实数根. 3.解:设中间的数为x,则另外两个数为x-2,x＋2.根据题意,得x2＋(x-2)2＝(x＋2)2,解得x＝8,x＝0(不合题意,舍 1 2 去),所以三条边长分别为6,8,10. 习题2.5(教材第43页) 1.解:(1)原方程可化为5x2＋x-7＝0,∴a＝5,b＝1,c＝-7,∴b2-4ac＝12-4×5×(-7)>0,∴原方程有两个不相等的实数根. (2)∵a＝25,b＝20,c＝4,∴b2-4ac＝202-4×25×4＝0,∴原方程有两个相等的实数根. (3)原方程可化为4x2＋3x ＋1＝0,∴a＝4,b＝3,c＝1,∴b2-4ac＝32-4×4×1<0,∴原方程无实数根.4±❑√24 2±❑√6 ❑√6 2.解:(1)这里a＝2,b＝-4,c＝-1,∴b2-4ac＝(-4)2-4×2×(-1)＝24>0,∴x＝ ＝ ,∴x＝1＋ ,x＝ 2×2 2 1 2 2 ❑√6 1- . (2)原方程可化为3x2-5x-2＝0,∴a＝3,b＝-5,c＝-2,∴b2-4ac＝(-5)2-4×3×(-2)＝49>0,,∴x＝ 2 5±❑√49 5±7 1 ＝ ,∴x＝2,x＝- . (3)原方程可化为3x2-11x＋9＝0,∴a＝3,b＝-11,c＝9,∴b2-4ac＝(-11)2- 2×3 6 1 2 3 11±❑√13 11±❑√13 11＋❑√13 11-❑√13 4×3×9＝13>0,∴x＝ ＝ ,∴x＝ ,x＝ . (4)原方程化为一般形式, 2×3 6 1 6 2 6 3 3 ( 3) 2 7 得0.2x2- x＋5＝0,这里a＝0.2,b＝- ,c＝5,∴b2-4ac＝ - -4×0.2×5＝- <0,∴原方程无实数根. 2 2 2 4 3.解:设门高为x尺,则宽为(x-6.8)尺,根据题意,得x2＋(x-6.8)2＝102,整理,得x2-6.8x-26.88＝0,解得x＝9.6,x 1 2 ＝-2.8(不合题意,舍去).所以门高为9尺6寸,宽为2尺8寸. 4.解:设木箱的宽为x dm,则长为(x＋5)dm,根据题意,得8x(x＋5)＝528,整理,得x2＋5x-66＝0,解得x＝6,x 1 2 ＝-11(不合题意,舍去).所以木箱的长为11 dm,宽为6 dm. 学生的知识技能基础:学生通过前几节课的学习,认识了一元二次方程的一般形式:ax2＋bx＋c＝0(a≠0), 并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式.在上一节课的基础上,大部分学生能够利用配方 法解一元二次方程. 学生的活动经验基础:学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验,并且已经具备本节课所需要的 推理技能和逻辑思维能力. 公式法实际上是配方法的一般化,利用总结出来的公式可以更加便利地求解一元二次方程,所以本节课 的教学目标是: (1)在教师的指导下,学生能够正确地推导出一元二次方程的求根公式,并在探求过程中培养学生的数学 建模意识和合情推理能力; (2)能够根据方程的系数,判断出方程的根的情况,在此过程中,培养学生观察和总结的能力; (3)通过正确、熟练地使用求根公式解一元二次方程,提高学生的综合运算能力; (4)通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流,进一步发展学生合作交流 的意识和能力. 第 课时 会分析实际问题中的等量关系,并能够用公式法解决简单的实际问题. 结合方案设计训练,让学生不断探究,寻找问题的突破口,从而学会用公式法解决简单应用问题的方法,增 强解决实际问题的能力.通过对实际问题的分析,进一步理解方程是刻画现实世界中数量关系的有效模型,培养在生活中发现问 题、解决问题的能力. 【重点】 在实际问题中寻找等量关系,建立方程,利用公式法解方程. 【难点】 根据实际问题,设计灵活多变的解决方案. 【教师准备】 预设学生可能设计的方案. 【学生准备】 熟练地利用公式法解一元二次方程. 导入一: 你能举例说明什么是一元二次方程吗?它有什么特点?怎样用配方法解一元二次方程?怎样用公式法解 一元二次方程? [设计意图] 帮助学生回忆一元二次方程及其解法,为后面说明设计方案的合理性做铺垫. 导入二: 在一块长16 m,宽12 m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半,你能给出 设计方案吗? [设计意图] 此题是一个开放型题目,答案多种多样,没有标准答案,只要学生的答案合理即可,意在培养 在生活中发现问题、解决问题的能力,提高学习兴趣. 一、互动探究 [过渡语] (针对导入二)同学们,你们的答案相同吗?下面给出一些设计方案,我们一起来看一下: 小明的设计方案如右图所示,其中花园四周小路的宽度都相等. 1 小明的做法是:设小路的宽度为x m,根据题意,得(16-2x)(12-2x)＝ ×12×16.整理,得x2-14x＋24＝0,解得 2 x＝2,x＝12. 1 2 小亮的设计方案如右图所示,其中花园每个角上的扇形都相同. (1)你认为小明的结果对吗?为什么? (2)你能帮小亮求出图中的x吗? (3)你还有其他的设计方案吗?与同伴交流.分析:(1)在解一元一次方程时,只要题目、方程及解法正确,那么得出的根便是所列方程的根,一般也就是 所解应用题的解,而一元二次方程有两个根,这些根虽然都满足所列的一元二次方程,但未必符合实际问题,因 此,解完一元二次方程之后,要按题意检验这些根是不是实际问题的解.小明的结果中,小路的宽12 m符合所 列方程,但荒地的宽为12 m,小路的宽就不可能为12 m,因而它不是实际问题的解,应舍去.而小路的宽2 m 符合这个实际问题,所以小路的宽是2 m. 1 (2)4个相同扇形的面积之和恰好为一个圆的面积,且其半径为x m,根据题意,得πx2＝ ×12×16,解得x＝ 2 √96 ± ❑ ≈5.5,所以图中的x约为5.5. π (3)学生的设计方案可能是多种多样的,下面列举出一些方案.[设计意图] 结合方案设计训练,让学生不断探究,寻找问题的突破口,从而学会用公式法解决简单的应 用问题,增强解决实际问题的能力. 二、解决实际问题 利用方程解决实际问题的关键是从实际问题中探索出等量关系,下面我们结合例题谈几种找等量关系 的方法. 1.抓住问题中的关键句 实际问题中的关键句是指包含数量关系的句子,此句子中的等量关系是列方程的基础. 一间会议室,它的地板长为20 m,宽为15 m,现在准备在会议室地板的中间铺一块地毯,要求四 周未铺地毯的部分宽度相同,而且地毯的面积是会议室地板面积的一半,那么未铺地毯的部分的宽度应该是 多少?〔解析〕 本题的关键句是“地毯的面积是会议室地板面积的一半”,据此可得等量关系:地毯面积＝ 会议室地板面积的一半. 解:设未铺地毯的部分宽为x m,则地毯的长为(20-2x)m,宽为(15-2x)m,根据题意,得 1 (20-2x)(15-2x)＝ ×20×15, 2 解得x＝2.5,x＝15(不合题意,舍去). 1 2 所以未铺地毯的部分的宽度应该是2.5 m. 2.抓住问题中的不变量 在实际问题中,如果一个量不随问题的变化而变化,那么这个量就是不变量,我们可以依据这个不变量寻 找等量关系. 某超市将进货单价为40元的商品按50元/件出售,每天可卖500件,且这种商品每涨价1元,其销 售量就减少10件,若超市要使这种商品每天赚得8000元利润,则商品的售价应定为每件多少元? 〔解析〕 本题中的不变量是每天赚得8000元的利润.等量关系是:每件商品的利润×销售数量＝8000 元. 解:设该商品的售价为每件(50＋x)元, 则每件商品的利润为[(50＋x)-40]元, 销售量为(500-10x)件, 根据题意,得[(50＋x)-40](500-10x)＝8000, 解得x＝10,x＝30. 1 2 所以若每天要赚得8000元的利润,则这种商品的售价应定为每件60元或80元. 3.借助表格 当实际问题中的数量较多时,我们可以利用表格列出各种数量关系,结合表格中的数量关系列出方程. 某种服装平均每天可销售20件,每件盈利44元.如果每降价1元,每天可多销售5件,那么每天要 盈利1600元,每件应降价多少元? 〔解析〕 设每件应降价x元,则根据题意,可得如下表格: 每件利润(元) 销售量(件) 利润(元) 降价前 44 20 880 降价后 44-x 20＋5x 1600 解:设每件服装应降价x元, 则根据题意,得(44-x)(20＋5x)＝1600, 解得x＝36,x＝4. 1 2 所以每件服装应降价4元或36元. 4.利用公式 在借助方程解决与图形有关的实际问题时,一般根据图形的面积公式,找出等量关系,如三角形的面积公 式、矩形的面积公式等. 如图所示,ΔABC中,∠B＝90°,AB＝6 cm,BC＝8 cm.点P从点A开始,沿AB边向点B以1 cm/s 的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么 经过几秒钟,可使得ΔPBQ的面积等于8 cm2? 〔解析〕 本题可利用三角形的面积公式,列出方程解决问题. 解:设经过x秒,ΔPBQ的面积等于8 cm2, 由题意得,此时PB＝(6-x)cm,QB＝2x cm,1 则有 (6-x)2x＝8, 2 解得x＝2,x＝4. 1 2 所以经过2秒或4秒,ΔPBQ的面积为8 cm2 . 利用方程解决实际问题的关键是从实际问题中探索出等量关系,列出方程,要注意方程的根要根据实际 问题的意义进行取舍. 1.(2014·天津中考)学校要组织一次排球邀请赛,参赛的每个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件, 赛程计划安排7天,每天安排4场比赛.设比赛组织者邀请x个队参赛,则x应满足的关系式为 ( ) 1 1 A. x(x＋1)＝28 B. x(x-1)＝28 2 2 C.x(x＋1)＝28 D.x(x-1)＝28 1 解析:每支球队都需要与其他球队赛(x-1)场,但2队之间只有1场比赛,所以可列方程为 x(x-1)＝4×7.故 2 选B. 2.(2014·昆明中考)某果园2011年水果产量为100吨,2013年水果产量为144吨,求该果园水果产量的年 平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为x,则根据题意可列方程为 ( ) A.144(1-x)2＝100B.100(1-x)2＝144 C.144(1＋x)2＝100 D.100(1＋x)2＝144 解析:由题意得2012年水果产量为100(1＋x)吨,2013年水果产量为100(1＋x)2吨,所以方程为100(1＋x)2 ＝144.故选D. 3.利用一面墙(墙的长度不限),用20 m长的篱笆,怎样围成一个面积为50 m2的矩形场地? 解:设与墙垂直的一边长为x m, 则与墙平行的一边长为(20-2x)m, 根据题意,得x(20-2x)＝50, 解得x＝x＝5. 1 2 所以与墙垂直的两边长分别为5 m,与墙平行的边长为10 m. 4.一块矩形耕地的大小尺寸如图(1)所示,现要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条小渠,如果 小渠的宽相等,而且要保证余下的耕地面积为9600 m2,那么水渠应挖多宽? 解析:这类问题的特点是挖掘土地的面积只与挖渠的条数,渠道的宽度有关,而与渠道的位置无关,为了研 究问题方便,可分别把东西和南北方向的渠道移动到一起,最好靠一边(如图(2)所示),那么剩余可耕的矩形土 地的长为(162-2x)m,宽为(64-4x)m. 解:设水渠应挖x m宽,则根据题意,得 (162-2x)(64-4x)＝9600, 解得x＝1,x＝96(不合题意,舍去). 1 2 答:水渠应挖1 m宽.第2课时 1.互动探究 小明 小亮 2.解决实际问题 (1)抓住问题中的关键句 (2)抓住问题中的不变量 (3)借助表格 (4)利用公式 一、教材作业 【必做题】 教材第44页随堂练习. 【选做题】 教材第44页习题2.6的1,2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.一个直角三角形的两条直角边相差3 cm,面积是9 cm2,求较长的直角边的长. 2.某商店将进价为8元的商品按每件10元售出,每天可售出200件,现在采取提高商品售价,减少销售量的办 法增加利润,如果这种商品的售价每提高0.5元时,其销售量就减少10件,那么将每件售价定为多少元时,才能 使每天利润为640元? 【能力提升】 3.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商 场决定采取适当的减价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多销售出2件,若商场平 均每天要盈利1200元,则每件衬衫应降价多少元? 【拓展探究】 4.某商厦今年一月份销售额为60万元,二月份由于种种原因,经营不善,销售额下降10%,后经加强改进激励机 制,月销售额大幅度上升,到四月份时,销售额猛增到96万元,则三、四月份平均每月增长的百分率是多少?(精 确到0.1%) 【答案与解析】 1 1.解:设较短的直角边的长为x cm,则较长的直角边的长为(x＋3)cm,根据三角形的面积公式,得 x(x＋3)＝9, 2 解得x＝3,x＝-6(不合题意,舍去),故x＝3,x＋3＝6.所以较长的直角边的边长为6 cm. 1 2 ( x-10 ) 2.解:设每件售价定为x(x>10)元,则每件利润为(x-8)元,每天的销售量为 200- ×10 件,则由题意, 0.5 ( x-10 ) 得 200- ×10 (x-8)＝640,即x2-28x＋192＝0,解得x＝12,x＝16.因为要提高售价,减少销售量,所 0.5 1 2 以售价应定为16元.答:当每件售价定为16元时,每天利润为640元. 3.解:设每件衬衫应降价x元,则由题意,得(20＋2x)(40-x)＝1200,整理,得x2-30x＋200＝0,解得x＝10,x＝20.因 1 2 为要尽快减少库存,所以要使20＋2x尽可能大,所以x＝20.答:每件衬衫应降价20元. 4.解:设三、四月份平均每月增长的百分率为x.由题意得二月份的销售额为60(1-10%)万元,三月份的销售额 是二月份的(1＋x)倍,即三月份的销售额为60(1-10%)(1＋x)万元,四月份的销售额是三月份的(1＋x)倍,则四月 16 1 7 份的销售额为60(1-10%)(1＋x)2万元,所以60(1-10%)(1＋x)2＝96,整理,得(1＋x)2＝ ,解得x＝ ,x＝- (舍 9 1 3 2 3 1 去),即三、四月份平均每月增长的百分率为 ≈33.3%.答:三、四月份平均每月的增长率为33.3%. 3本课时的教学内容主要是通过对实际问题的分析,进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型,培养学 生在生活中发现问题、解决问题的能力.本课时首先提供了具体的情境,然后在具体的情境中逐步地展开对 列方程解决实际问题的步骤探讨,最后通过练习加以巩固.通过提供适当的问题情境或实例促使学生反思,引 起学生必要的认知冲突,从而让学生通过其主动的思辨构起新的认知结构. 限于课堂时间,学生的各种设计任务在课上无法全部展示,有些学生的优秀作业没有时间展示,学生的积 极性和兴趣无法完全体现. 利用多媒体课件帮助学生理解问题的实质,从而理清思路.另外,可以把设计任务作为课外作业,学生完成 后在班内进行展评. 随堂练习(教材第44页) 1 1 1 解:根据题意,得(16-x)(12-x)＝ ×16×12或16x＋(12-x)x＝ ×12×16或12x＋(16-x)x＝ ×12×16或16x＋12x-x2 2 2 2 1 ＝ ×12×16.整理,得x2-28x＋96＝0,解得x＝4,x＝24(不合题意,舍去),所以x＝4. 2 1 2 习题2.6(教材第44页) 1.解:设金色纸边的宽度是x cm,根据题意,得(90＋2x)(40＋2x)×72%＝90×40,整理,得x2＋65x-350＝0,解得x＝ 1 5,x＝-70(不合题意,舍去),所以金色纸边的宽度为5 cm. 2 2.解:(1)设与墙垂直的一边长为x m,则与墙平行的一边长为(40-2x)m.当x(40-2x)＝180时, 解得x＝10＋❑√10,x＝10-❑√10(不合题意,舍去).所以鸡场的面积能达到180 m2.当x(40-2x)＝200时,解得x 1 2 1 ＝x＝10,所以鸡场的面积能达到200 m2. (2)当x(40-2x)＝250时,整理,得x2-20x＋125＝0,由b2-4ac＝202- 2 4×125＝-100<0可知这个方程无解,所以鸡场的面积不能达到250 m2. 3.解:设圆柱底面半径为r cm,根据题意,得15×2πr＋2πr2＝200π.解得r＝5,r＝-20(不合题意,舍去).所以圆柱 1 2 的底面半径为5 cm. 1 1 1 4.解:过点P作x轴的垂线,垂足为M.根据题意,得S ＝S -S -S ,即 ×14(1＋a)- a2- (14-a)×1＝ ΔPAB 梯形PMOB ΔBOA ΔPMA 2 2 2 18,解得a＝3,a＝12.所以a的值为3或12. 1 2 学生的知识技能基础:学生已学习了一元一次方程、二元一次方程组等内容,已经经历了将一些实际问 题抽象成数与代数问题的过程及一元二次方程的建模过程.学生的活动经验基础:学生在七年级和八年级时有过方案设计的经历,经历了很多合作学习的过程,具有 了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力,这些构成了本课任务完成的活动经验基础. 本节主要为了巩固解方程的方法,同时考虑到单纯的式的训练比较枯燥,因此设计了一个方案设计活动, 为此制定本课时的教学目标是: (1)通过一元二次方程的建模过程,体会方程的解必须符合实际意义,增强数学应用的意识,巩固解一元二 次方程的方法; (2)通过设计方案培养学生的思维创新能力,展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性. 古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中就提到了一元二次方程的问题,不过 当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式,只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中,形 a 如x2＋ax＝b2(a>0,b>0)的方程的图解法是:如下图所示,以 和b为两直角边BC,AC的长作RtΔABC,再在斜边 2 a 上截取BD＝ ,则AD的长就是所求方程的解. 2 (1)请用含字母a,b的代数式表示AD的长; (2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性,并说说这种解法的遗憾之处. a 解:(1)∵∠C＝90°,BC＝ ,AC＝b, 2 √ a2 ∴AB＝ ❑b2＋ , 4 √ a2 a ❑√4b2＋a2-a ∴AD＝ ❑b2＋ - ＝ . 4 2 2 -❑√4b2＋a2-a ❑√4b2＋a2-a (2)用求根公式求得:x＝ ,x＝ .该图解法的正确性是AD的长就是 1 2 2 2 方程的正根,而遗憾之处是图解法不能表示方程的负根. 4 用因式分解法求解一元二次方程会用因式分解法解一元二次方程. 能根据一元二次方程的特征,选择适当的求解方法,体会解决问题的灵活性和多样性. 体会用因式分解实现“降次”、“化归”的思想方法. 【重点】 用因式分解法解一元二次方程. 【难点】 将方程右边化为零后,对左边进行正确的因式分解. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 复习因式分解的方法. 导入一: 1.用配方法解一元二次方程的关键是什么?(将方程转化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式) 2.用公式法解一元二次方程应先做什么?(将方程化为一般形式) 3.选择合适的方法解下列方程. (1)x2-6x＝7; (2)3x2＋8x-3＝0. [设计意图] 以问题串的形式引导学生思考,回忆两种解一元二次方程的方法,有利于学生衔接前后知识, 形成清晰的知识脉络,为学生后面的学习做好铺垫. 导入二: 在上课之前,要求大家复习因式分解的方法,下面我们看一个小问题: 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相等,这个数是几?你是怎样求出来的? 小颖、小明、小亮都设这个数为x,根据题意,可得方程x2＝3x,但是他们的解法却各不相同. 3±❑√9 小颖:由方程,得x2-3x＝0,因此x＝ ,所以x＝0,x＝3,所以这个数是0或3. 2 1 2 小明:方程x2＝3x的两边同时约去x,得x＝3.所以这个数是3. 小亮:由方程x2＝3x,得x2-3x＝0,即x(x-3)＝0,于是x＝0或x-3＝0,因此x＝0,x＝3,所以这个数是0或3. 1 2 他们做得对吗?为什么?你是怎么做的? [设计意图] 这个问题比较简单,学生未必选用配方法或公式法求解,部分学生可能会选用小明和小亮的 方法.“你是怎样求出来的?”意在引导学生思考其他求解方法,学生的解法可能是多种多样的. 一、概念引入 思路一 [过渡语] 同学们,老师被一道题难住了,想请同学们帮助一下. 【课件】 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果能,这个数是几?你是怎样求出来的? 学生独自完成,教师巡视指导,选择不同答案准备展示. 【生1】 设这个数为x, 根据题意,可列方程x2＝3x, ∴x2-3x＝0,∵a＝1,b＝-3,c＝0, ∴b2-4ac＝9,∴x＝0,x＝3, 1 2 ∴这个数是0或3. 【生2】 设这个数为x,根据题意,可列方程x2＝3x, (3) 2 (3) 2 ∴x2-3x＝0,∴x2-3x＋ ＝ , 2 2 ( 3) 2 9 即 x- ＝ , 2 4 3 3 3 3 ∴x- ＝ 或x- ＝- , 2 2 2 2 ∴x＝3,x＝0,∴这个数是0或3. 1 2 【生3】 设这个数为x, 根据题意,可列方程x2＝3x, ∴x2-3x＝0,即x(x-3)＝0, ∴x＝0或x-3＝0,∴x＝0,x＝3, 1 2 ∴这个数是0或3. 【生4】 设这个数为x, 根据题意,可列方程x2＝3x, 两边同时约去x,得x＝3, ∴这个数是3. 【师】 同学们在下面用了多种方法解决此问题,观察以上四个同学的做法,是否存在问题?你认为哪种 方法更合适?为什么? 【生5】 我认为第四位同学的做法不正确,因为要方程两边同时约去x,必须确保x不等于0,但题目中 没有说明. 【生6】 补充一点,刚才讲x需确保不等于0,而此题恰好x＝0,所以不能约去,否则会丢根. 【师】 这两位同学的回答条理清楚并且叙述严密,相信下面同学的回答会一个比一个棒!(及时评价鼓 励,激发学生的学习热情)现在请第三位同学为大家说说他的想法. 【生3】 由x(x-3)＝0,得x＝0或x＝3,因为我想3×0＝0,0×(-3)＝0,0×0＝0,反过来,如果ab＝0,那么a＝ 1 2 0或b＝0,所以a与b至少有一个等于0. 【师】 好,这时我们可这样表示:如果a×b＝0,那么a＝0或b＝0,这就是说,当一个一元二次方程降为两 个一元一次方程时,这两个一元一次方程中用的是“或”,而不用“且”,所以由x(x-3)＝0得到x＝0或x-3＝ 0时,中间应写上“或”字. 我们再来看第三位同学解方程x2＝3x的方法,他是把方程的一边变为0,而另一边分解成两个因式的乘 积,然后利用若ab＝0,则a＝0或b＝0,把一元二次方程变成一元一次方程,从而求出方程的解.我们把这种解 一元二次方程的方法称为因式分解法. 当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就采用因式分解法来解一 元二次方程. [设计意图] 通过独立思考,使学生根据方程的具体特征,灵活选取适当的解法.在操作活动过程中,培养 学生积极的情感态度,提高学生自主学习和思考的能力,让学生尽可能自己探索新知,教师要关注每一位学生 的发展,同时进一步点明因式分解的理论依据及实质,总结本节课的重点. 思路二 [过渡语] (针对导入二)同学们,下面我们来总结一下他们三个同学的做法. 小明的做法是不正确的,方程两边同时除以x,这样解使方程少了一个解,原因在于两边同时除以的因式x 可能为0,而方程两边不可以同时除以0. 点评:如果ab＝0,那么a＝0或b＝0.(注意:这里用的是“或”而不是“且”,要和学生解释清楚原因) 总结:当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用小亮的方 法求解,这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. 我们再来看下面哪些方程用因式分解法求解比较简便? (1)x2-2x-3＝0; (2)(2x-1)2-1＝0; (3)(x-1)2-18＝0; (4)3(x-5)2＝2(5-x). 分析:第(1)(4)小题用因式分解法求解比较简便.结论:如果一个一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积,那么这样的一元二 次方程就可以用因式分解法求解. [设计意图] 本环节通过教师引导来组织同学探究因式分解法解一元二次方程的一般步骤和思路. 二、例题讲解 [过渡语] 同学们,下面我们通过例题来熟悉用因式分解法解一元二次方程. (教材例题)解下列方程. (1)5x2＝4x; (2)x(x-2)＝x-2. 〔解析〕 第(1)小题先化为一般形式,再提取公因式分解因式求解.第(2)小题先移项,然后把x-2看成一 个整体,提取公因式求解. 解:(1)原方程可变形为5x2-4x＝0, 即x(5x-4)＝0, ∴x＝0或5x-4＝0, 4 ∴x＝0,x＝ . 1 2 5 (2)原方程可变形为x(x-2)-(x-2)＝0, 即(x-2)(x-1)＝0, ∴x-2＝0或x-1＝0, ∴x＝2,x＝1. 1 2 解下列方程. (1)x2-4＝0; (2)(x＋1)2-25＝0. 〔解析〕 第(1)小题方程的右边是0,左边x2-4可分解因式,即x2-4＝(x-2)(x＋2),这样,方程x2-4＝0就可 以用分解因式法来解.第(2)小题方程的右边是0,左边是(x＋1)2-25,可以把x＋1看做一个整体,这样左边就是 一个平方差,利用平方差公式即可分解因式,从而求出方程的解. 解:(1)原方程可化为(x＋2)(x-2)＝0, ∴x＋2＝0或x-2＝0, ∴x＝-2,x＝2. 1 2 (2)原方程可化为[(x＋1)＋5][(x＋1)-5]＝0, ∴(x＋1)＋5＝0或(x＋1)-5＝0, ∴x＝-6,x＝4. 1 2 [知识拓展] 一元二次方程四种基本解法的比较如下表所示: 方法 适合方程类型 注意事项 直接开 b≥0时有解,b<0 (x＋a)2＝b 平方法 时无解. 二次项系数若不 为1,必须先把系 配方法 x2＋px＋q＝0 数化为1,再进行 配方. b2-4ac≥0时,方程 有解;b2-4ac<0时, ax2＋bx＋c＝ 公式法 方程无解.先化为 0(a≠0) 一般形式后,再用 公式法求解. 方程的一边 方程的一边必须 为0,另一边 因式分 是0,另一边可用 可分解成两 解法 任何方法分解因 个一次因式 式. 的积. 当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,可用因式分解法来解一元二次 方程.1.一元二次方程(x-1)(x-2)＝0可化为一元一次方程: 或 ,方程的根是 . 解析:(x-1)(x-2)＝0可化为一元一次方程:x-1＝0或x-2＝0,求得方程的根为x＝1,x＝2. 1 2 答案:x-1＝0 x-2＝0 x＝1,x＝2 1 2 2.方程3x2＝0的根是 ,方程(y-2)2＝0的根是 ,方程(x＋1)2＝4(x＋1)的根是 . 答案:x＝x＝0 y＝y＝2 x＝-1,x＝3 1 2 1 2 1 2 3.解方程x(x＋1)＝2时,要先把方程化为 ,再选择适当的方法求解.方程的两根为x＝ 1 ,x＝ . 2 答案:x2＋x-2＝0 1 -2 4.用因式分解法解下列方程. (1)x2＋16x＝0; (2)5x2-10x＝-5; (3)x(x-3)＋x-3＝0; (4)2(x-3)2＝9-x2. 解:(1)原方程可变形为x(x＋16)＝0, ∴x＝0或x＋16＝0, ∴x＝0,x＝-16. 1 2 (2)原方程可变形为x2-2x＋1＝0, 即(x-1)2＝0, ∴x＝x＝1. 1 2 (3)原方程可变形为(x-3)(x＋1)＝0, ∴x-3＝0或x＋1＝0, ∴x＝3,x＝-1. 1 2 (4)原方程可变形为2(x-3)2＋x2-9＝0, 即(x-3)(2x-6＋x＋3)＝0, 即(x-3)(3x-3)＝0, ∴x-3＝0或3x-3＝0, ∴x＝3,x＝1. 1 2 4 用因式分解法求解一元二次方程 1.概念引入 2.例题讲解 例1 例2 一、教材作业 【必做题】 教材第47页随堂练习. 【选做题】 教材第47页习题2.7的1题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.已知方程4x2-3x＝0,则下列说法正确的是( ) 3 A.只有一个根,x＝ 4 B.只有一个根,x＝0 3 C.有两个根,x＝0,x＝ 1 2 4 3 D.有两个根,x＝0,x＝- 1 2 4 2.若(x-1)(x＋2)＝0,则以下结论正确的是 ( )A.x＝1或x＝-2 B.x＝1 C.x＝2或x＝-1 D.x＝1且x＝2 3.方程(x＋1)2＝x＋1的正确解法是 ( ) A.化为x＋1＝1 B.化为(x＋1)(x＋1-1)＝0 C.化为x2＋3x＋2＝0 D.化为x＋1＝0 【能力提升】 4.用因式分解法解方程5(x＋3)-2x(x＋3)＝0时,可把其化为一元一次方程: 或 求解. 5.如果方程x2-3x＋c＝0有一个根为1,那么c＝ ,该方程的另一个根为 ,该方程可化为(x-1)(x )＝0. 6.用因式分解法解下列方程. (1)(x＋2)2＝3x＋6; (2)(3x＋2)2-4x2＝0; (3)5(2x-1)＝(1-2x)(x＋3); (4)2(x-3)2＋(3x-x2)＝0. 【拓展探究】 7.方程x2＝x的根为 ( ) A.x＝0 B.x＝0,x＝1 1 2 C.x＝0,x＝-1 D.x＝0,x＝2 1 2 1 2 8.用适当的方法解下列方程. (1)(3x-1)2＝1; (2)2(x＋1)2＝x2-1; (3)(2x-1)2＋2(2x-1)＝3; (4)(y＋3)(1-3y)＝1＋2y2 【答案与解析】 3 1.C(解析:方程可化为(4x-3)x＝0,∴4x-3＝0或x＝0,即x＝0,x＝ .) 1 2 4 2.A(解析:若(x-1)(x＋2)＝0,则x-1＝0或x＋2＝0,即x＝1或x＝-2.) 3.B(解析:把x＋1看成一个整体,则方程可化为(x＋1)2-(x＋1)＝0,即(x＋1)(x＋1-1)＝0.) 4.x＋3＝0 5-2x＝0(解析:把x＋3看成一个整体,则原方程可化为(x＋3)(5-2x)＝0,化为一元一次方程即为x＋ 3＝0或5-2x＝0.) 5.2 2 -2(解析:把x＝1代入方程,得1-3＋c＝0,∴c＝2,∴原方程为x2-3x＋2＝0,可变形为(x -1)(x-2)＝0,即x-1＝0或x-2＝0,∴x＝1,x＝2,即方程的另一个根为2.) 1 2 6.解:(1)原方程可变形为(x＋2)(x＋2-3)＝0,即(x＋2)(x-1)＝0,∴x＋2＝0或x-1＝0,∴x＝-2,x＝1. (2)原方程可 1 2 2 变形为(3x＋2-2x)·(3x＋2＋2x)＝0,即(x＋2)(5x＋2)＝0,∴x＋2＝0或5x＋2＝0,∴x＝-2,x＝- . (3)原方程可变 1 2 5 1 形为(2x-1)(5＋x＋3)＝0,即(2x-1)(x＋8)＝0,∴2x-1＝0或x＋8＝0,∴x＝ ,x＝-8. (4)原方程可变形为2(x-3)2- 1 2 2 x(x-3)＝0,即(x-3)(2x-6-x)＝0,即(x-3)(x-6)＝0,∴x-3＝0或x-6＝0,∴x＝3,x＝6. 1 2 7.B(解析:原方程可变形为x2-x＝0,即x(x-1)＝0,∴x＝0,x＝1.) 1 2 2 8.解:(1)直接开平方得,3x-1＝±1,∴3x-1＝1或3x-1＝-1,∴x＝ ,x＝0. (2)原方程可变形为2(x＋1)2-(x＋1)(x-1) 1 3 2 ＝0,即(x＋1)·(2x＋2-x＋1)＝0,即(x＋1)(x＋3)＝0,∴x＋1＝0或x＋3＝0,∴x＝-1,x＝-3. (3)原方程可变形为 1 2 (2x-1)2＋2(2x-1)-3＝0,即(2x-1-1)(2x-1＋3)＝0,即(2x-2)(2x＋2)＝0,∴2x-2＝0或2x＋2＝0,∴x＝1,x＝-1. (4)整 1 2-8±❑√104 -8±2❑√26 理,得5y2＋8y-2＝0,∵a＝5,b＝8,c＝-2,∴b2-4ac＝82-4×5×(-2)＝104>0,∴x＝ ＝ ,∴x 2×5 10 1 -4＋❑√26 -4-❑√26 ＝ ,x＝ . 5 2 5 根据学生有可能出现的问题设计了相关的代表性的习题,让学生总结出用因式分解法解一元二次方程 的解题思路.通过见到什么题,就考虑用哪种方法,提高了解题速度,优化了解题方法,增强了学生的解题感觉. 这节课的内容教材上给的特别简单,如果不做补充,学生的思维得不到训练,知识得不到拓展,能力得不到 提高,所以要精心设计习题,同时教学关注的焦点没有只停留在教会学生上,而是引导学生如何去学,授之以渔, 由学会到会学,以便终身受益. 在课堂中有时处理问题过于急躁,过分关注学生的学习结果,而忽略了过程,这样使得部分学生不清楚用 因式分解法求解的实质,导致在后续学习中对于公因式为多项式、平方差公式中的第一项或第二项为多项 式的题容易出错. 因为教学本身就是一个动态生成的过程,在解题过程中,尽量让有典型问题的学生上黑板解答,这样虽然 出现了这样或那样的问题,也许是教师也始料不及的,但这样正好是教师的第一手资料,使教学能更有效进行, 同时也使教师能真正了解学生的学情,同时对于学生出现的问题为了及时地加以强化,可以再出类似问题让 学生解决,更有效地体现课堂教学的实效性. 随堂练习(教材第47页) 1.解:(1)由(x＋2)(x-4)＝0,得x＋2＝0或x-4＝0,∴x＝-2,x＝4. (2)原方程可变形为4x(2x＋1)-3(2x＋1)＝0,即 1 2 1 3 (2x＋1)(4x-3)＝0,∴2x＋1＝0或4x-3＝0,∴x＝- ,x＝ . 1 2 2 4 7 2.解:设这个数为x,根据题意,得2x2＝7x,即2x2-7x＝0,即x(2x-7)＝0,∴x＝0或2x-7＝0,∴x＝0,x＝ .因此这个 1 2 2 7 数是0或 . 2 习题2.7(教材第47页) 1 7 1.解:(1)由(4x-1)(5x＋7)＝0,得4x-1＝0或5x＋7＝0,∴x＝ ,x＝- . (2)原方程可变形为3x(x-1)＋2(x-1)＝0, 1 4 2 5 2 即(x-1)(3x＋2)＝0,∴x-1＝0或3x＋2＝0,∴x＝1,x＝- . (3)原方程可变形为(2x＋3)2-4(2x＋3)＝0,即(2x＋3) 1 2 3 3 1 (2x-1)＝0,∴2x＋3＝0或2x-1＝0,∴x＝- ,x＝ . (4)原方程可变形为2(x-3)2-(x＋3)(x-3)＝0,即(x-3)(x-9)＝ 1 2 2 2 0,∴x-3＝0或x-9＝0,∴x＝3,x＝9. 1 22.解:(1)整理,得2x2-8x＝0,方程可变形为x2-4x＝0,即x(x-4)＝0,∴x＝0或x-4＝0,∴x＝0,x＝4. (2)原方程可变 1 2 1 形为(x-2)2-(2x＋3)2＝0,化简,得(x＋5)(3x＋1)＝0,∴x＋5＝0或3x＋1＝0,∴x＝-5,x＝- . (3)原方程可变形为 1 2 3 x2-5x-6＝0,即(x＋1)(x-6)＝0,∴x＋1＝0或x-6＝0,∴x＝-1,x＝6. (4)原方程可变形为(x＋3)2-2(x＋3)＝0,即(x＋ 1 2 3)(x＋1)＝0,∴x＋3＝0或x＋1＝0,∴x＝-3,x＝-1. (5)原方程可变形为2y2＋3y-2＝0,即(y＋2)(2y-1)＝0,∴y＋2 1 2 1 ＝0或2y-1＝0,∴y＝-2,y＝ . 1 2 2 3.解:设原正方形空地的边长为x m,根据题意,得(x-1)(x-2)＝12,整理,得x2-3x-10＝0,解得x＝5,x＝-2(不合题 1 2 意,舍去).故原正方形空地的边长为5 m. 学生的知识技能基础:在之前学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程 的分式方程等,在八年级学生学习了因式分解,会用提公因式法及公式法(平方差公式、完全平方公式)熟练地 分解因式,在本章前几节课中又学习了配方法及公式法解一元二次方程,掌握了这两种方法的解题思路及步 骤. 学生的活动经验基础:在相关知识的学习过程中,学生已经经历了用配方法和公式法求一元二次方程的 解的过程,并在现实情境中加以应用,切实提高了数学的应用意识和能力,同时在以前的数学学习中,学生已经 经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力. 基于用因式分解法解一元二次方程是解决特殊问题的一种简便、特殊的方法的基础之上,提出了本课 的具体学习任务: (1)能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性; (2)会用因式分解法(提公因式法、公式法)解决某些简单的数字系数的一元二次方程; (3)通过因式分解法的学习,培养学生分析问题、解决问题的能力,并体会转化的思想. 用因式分解法解下列方程. (1)(2x-5)2-2x＋5＝0; (2)4(2x-1)2＝9(x＋4)2. 〔解析〕 方程(1)的左边把2x-5看成一个整体,然后利用提取公因式法来分解因式.方程(2)先移项,然后 将2x-1和x＋4分别看做一个整体,利用平方差公式分解因式. 解:(1)原方程可变形为(2x-5)2-(2x-5)＝0, 即(2x-5)[(2x-5)-1]＝0, ∴2x-5＝0或(2x-5)-1＝0, 5 ∴x＝ ,x＝3. 1 2 2 (2)原方程可变形为4(2x-1)2-9(x＋4)2＝0, 即[2(2x-1)＋3(x＋4)][2(2x-1)-3(x＋4)]＝0, 即(7x＋10)(x-14)＝0, ∴7x＋10＝0或x-14＝0, 10 ∴x＝- ,x＝14. 1 7 2 *5 一元二次方程的根与系数的关系掌握一元二次方程的根与系数的关系,会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积,并 会解一些简单的问题. 经历一元二次方程的根与系数关系的探究过程,培养学生的观察、思考、归纳、概括能力,在运用关系 解决问题的过程中,培养学生解决问题的能力,渗透整体的数学思想. 通过学生自己探究,发现根与系数的关系,增强学习的信心,培养科学探究精神. 【重点】 根与系数的关系及运用. 【难点】 关系定理的发现及运用. 【教师准备】 预设学习过程中的易错点. 【学生准备】 复习用公式法解一元二次方程,预习本节课教材. 导入一: 1.一元二次方程的一般形式是什么?(ax2＋bx＋c＝0(a≠0)) 2.一元二次方程有实数根的条件是什么?(Δ＝b2-4ac≥0) 3.当Δ>0,Δ＝0,Δ<0时,方程的根的情况如何? -b±❑√b2-4ac 4.一元二次方程的求根公式是什么?(x＝ ) 2a [设计意图] 以问题串的形式引导学生思考,回忆公式法解一元二次方程的相关知识,有利于学生衔接前 后知识,形成清晰的知识脉络,为后面的学习做好铺垫. 导入二: 通过前面的学习我们发现,一元二次方程的根完全由它的系数确定,求根公式就是根与系数的关系的一 种形式,除此之外,一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢?下面我们通过解方程来探究. (1)x2-2x＋1＝0; (2)x2-2❑√3x-1＝0; (3)2x2-3x＋1＝0. 每个方程的两根之和与它的系数有什么关系?两根之积呢? 对于任何一个一元二次方程,这种关系都成立吗?与同伴交流. [设计意图] 通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积,启发学生从中发现存在的 一般规律,渗透由特殊到一般的思想.一、一元二次方程的根与系数的关系的推导 思路一 [过渡语] (针对导入二)同学们,对于一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0),是不是也存在这样的 规律?我们来研究一下这个问题. 我们知道,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)当b2-4ac≥0时有两个根: -b＋❑√b2-4ac -b-❑√b2-4ac x＝ ,x＝ . 1 2 2a 2a -b＋❑√b2-4ac -b-❑√b2-4ac -2b b 于是,两根之和为x＋x＝ ＋ ＝ ＝- . 1 2 2a 2a 2a a -b＋❑√b2-4ac 两根之积为x·x＝ · 1 2 2a -b-❑√b2-4ac (-b)2-(❑√b2-4ac) 2 b2-b2＋4ac c ＝ ＝ ＝ . 2a 4a2 4a2 a b c [知识拓展] 如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x,x,那么x＋x＝- ,x·x＝ . 1 2 1 2 a 1 2 a [设计意图] 让学生自己发现规律,体会成功感,再从理论上加以验证,让学生经历由特殊到一般的科学 探究过程. 思路二 [过渡语] 同学们,下面我们做一个简单的游戏. 计算,填表,回答问题. 方 程 x 1 x 2 x 1 ＋x 2 x 1 x 2 x2＋3x＋4＝0 6x2＋x-2＝0 2x2-3x＋1＝0 问题: (1)你找到快速求出一元二次方程的两根之和与两根之积的方法了吗? (2)刚才我们列举了部分方程,发现了两根之和、两根之积与系数的关系,那么是不是所有的一元二次方 程的根与系数之间都有这样的关系呢? (3)请根据以上的观察发现,猜想方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x,x 与a,b,c之间的关系为 1 2 . (4)你能证明上面的猜想吗?用文字语言叙述说明. b c [知识拓展] 如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x,x,那么x＋x＝- ,x·x＝ . 1 2 1 2 a 1 2 a [设计意图] 本环节采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程,使学生既动手、动脑, 又动口.教师引导启发,避免注入式地讲授一元二次方程的根与系数的关系,体现学生的主体学习特性,培养了 学生的创新意识和创新精神. 二、例题讲解 [过渡语] 同学们,下面我们利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积. (教材例题)利用根与系数的关系,求出下列方程的两根之和、两根之积. (1)x2＋7x＋6＝0; (2)2x2-3x-2＝0. 解:(1)这里a＝1,b＝7,c＝6, ∴b2-4ac＝72-4×1×6＝25>0,∴方程有两个实数根,设这两个实数根分别为x,x, 1 2 ∴x＋x＝-7,x·x＝6. 1 2 1 2 (2)这里a＝2,b＝-3,c＝-2, ∴b2-4ac＝(-3)2-4×2×(-2)＝25>0, ∴方程有两个实数根,设两个实数根为x,x, 1 2 3 ∴x＋x＝ ,xx＝-1. 1 2 2 1 2 已知关于x的方程x2-px＋q＝0的两个根是0和-3,求p和q的值. 解法1:因为关于x的方程x2-px＋q＝0的两个根是0和-3,所以有x(x＋3)＝0, 即x2＋3x＝0, 所以p＝-3,q＝0. 解法2:由方程x2-px＋q＝0的两个根是0和-3, 可得0＋(-3)＝p,0×(-3)＝q, 即p＝-3,q＝0. [设计意图] 进一步巩固根与系数的关系,体会“整体代入”思想在解题中可起到简便运算的作用. b 1.一元二次方程的根与系数的关系为:如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x,x,那么x＋x＝- 1 2 1 2 a c ,x·x＝ . 1 2 a 2.一元二次方程的根与系数的关系的几种应用:(1)不解方程,判断根的情况.(2)根据方程的根的情况,确定 待定系数的取值范围.(3)证明字母系数方程有实数根或无实数根.(4)应用根的判别式判断三角形的形状.(5)判 断当字母的值为何值时,二次三项式是完全平方式. 1.已知x,x 是方程2x2-3x-5＝0的两个根,不解方程,求下列代数式的值. 1 2 (1)x2＋x2 ; 1 2 (2)|x-x|; 1 2 (3)x2 ＋3x2 -3x. 1 2 2 3 5 解:由2x2-3x-5＝0可得x＋x＝ ,xx＝- . 1 2 2 1 2 2 1 (1)x2＋x2 ＝(x＋x)2-2xx＝7 . 1 2 1 2 1 2 4 1 (2)|x-x|＝❑√(x ＋x )2-4x x ＝3 . 1 2 1 2 1 2 2 1 1 (3)原式＝(x2＋x2 )＋(2x2 -3x)＝7 ＋5＝12 . 1 2 2 2 4 4 2.已知关于x的方程x2＋2(m＋2)x＋m2-5＝0有两个实数根,并且这两个根的平方和比这两个根的积大 16,求m的值. 解析:方程有实数根,则Δ≥0,且由题意得x2＋x2 ＝xx＋16,联立可解得m的值. 1 2 1 2 解:依题意有:x ＋x ＝-2(m＋2),① { 1 2 x x ＝m2-5,② 1 2 x2＋x2＝x x ＋16,③ 1 2 1 2 Δ＝4(m＋2)2-4(m2-5)≥0.④ 由①②③解得m＝-1或m＝-15, 9 又由④可知m≥- ,故m＝-1. 4 3.已知x,x 是关于x的一元二次方程4x2＋4(m-1)x＋m2＝0的两个非零实数根,则x 与x 能否同号?若同 1 2 1 2 号,求出相应的m的取值范围;若不能同号,请说明理由. 解析:由方程有两个实根可得Δ≥0,进而求出m的取值范围,再由根与系数的关系可判断x 与x 是否能同 1 2 号. 1 解:由Δ＝-32m＋16≥0,得m≤ , 2 1 x＋x＝-m＋1,xx＝ m2≥0, 1 2 1 2 4 ∴x 与x 可能同号,分两种情况讨论: 1 2 {x ＋x >0, 1 2 (1)若x>0,x>0,则 1 2 x x >0, 1 2 1 解得m<1且m≠0,∴m≤ 且m≠0. 2 {x ＋x <0, 1 2 (2)若x<0,x<0,则 1 2 x x >0, 1 2 1 解得m>1,与m≤ 矛盾. 2 1 综上所述,当m≤ 且m≠0时,方程的两根同号. 2 4.已知x,x 是一元二次方程4kx2-4kx＋k＋1＝0的两个实数根. 1 2 3 (1)是否存在实数k,使(2x-x)(x-2x)＝- 成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由; 1 2 1 2 2 x x (2)求使 1＋ 2 -2的值为整数的实数k的整数值. x x 2 1 解:(1)由题意得k≠0且Δ≥0,解得k<0, k＋1 ∵x＋x＝1,xx＝ , 1 2 1 2 4k k＋9 3 ∴(2x-x)(x-2x)＝2(x＋x)2-9xx＝- ＝- , 1 2 1 2 1 2 1 2 4k 2 9 ∴k＝ ,而k<0,∴k不存在. 5 x x (x ＋x )2 4 (2) 1＋ 2 -2＝ 1 2 -4＝- , x x x x k＋1 2 1 1 24 要使- 的值为整数,且k为整数, k＋1 k＋1只能取±1,±2,±4, 又k<0,∴整数k的值为-2,-3,-5. 5 一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系的推导 2.例题讲解 例1 例2 一、教材作业 【必做题】 教材第50页随堂练习的1,2题. 【选做题】 教材第51页习题2.8的1,3题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.关于x的方程ax2-2x＋1＝0中,如果a<0,那么根的情况是 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 2.设x,x 是方程2x2-6x＋3＝0的两根,则x2＋x2 的值是 ( ) 1 2 1 2 A.15 B.12 C.6 D.3 3.以方程x2＋2x-3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是 ( ) A.x2＋5x-6＝0 B.x2＋5x＋6＝0 C.x2-5x＋6＝0 D.x2-5x-6＝0 4.如果x,x 是两个不相等的实数,且满足x2 -2x＝1,x2 -2x＝1,那么xx 等于 ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 A.2 B.-2 C.1 D.-1 【能力提升】 5.如果一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有两个相等的实数根,那么k＝ . 6.如果关于x的方程2x2-(4k＋1)x＋2k2-1＝0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是 . 7.若x2-2(m＋1)x＋m2＋5是一个完全平方式,则m＝ . 8.若关于x的方程(m2-2)x2-(m-2)x＋1＝0的两个根互为倒数,则m＝ . 【拓展探究】 9.已知x,x 是关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根,x＋1,x＋1是关于x的方程x2＋qx＋p＝0的两根,求常数 1 2 1 2 p,q的值. 10.已知α,β是关于x的方程4x2-4mx＋m2＋4m＝0的两个实根,并且满足(α-1)(β-1)＝2,求m的值. 【答案与解析】 1.B(解析:Δ＝(-2)2-4a＝4-4a,∵a<0,∴-4a>0,∴4-4a>0,即Δ>0,∴原方程有两个不相等的实数根.) 3 3 2.C(解析:∵方程两根为x,x,∴x＋x＝3,xx＝ ,∴x2＋x2＝(x ＋x )2 -2xx＝32-2× ＝6.) 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3.B(解析:设方程x2＋2x-3＝0的两根为x,x,则x＋x＝-2,xx＝-3,∴以-2和-3为根的一元二次方程为(x＋2)(x 1 2 1 2 1 2 ＋3)＝0,即x2＋5x＋6＝0.)4.D(解析:∵x2 -2x＝1,x2 -2x＝1,∴x,x 可看做是方程x2-2x＝1的两根,∴xx＝-1.) 1 1 2 2 1 2 1 2 5.±2(解析:∵方程x2＋4x＋k2＝0有两个相等的实数根,∴Δ＝16-4k2＝0,∴k＝±2.) 9 6.k>- (解析:∵方程2x2-(4k＋1)x＋2k2-1＝0有两个不相等的实数根,∴Δ＝[-(4k＋1)]2-8(2k2-1)>0,即8k＋ 8 9 9>0,∴k>- .) 8 7.2(解析:令x2-2(m＋1)x＋m2＋5＝0,∵x2-2(m＋1)x＋m2＋5是完全平方式,∴方程x2-2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两 个相等的实根,∴Δ＝[-2(m＋1)]2-4(m2＋5)＝0,即8m-16＝0,∴m＝2.) m-2 1 1 8.-❑√3(解析:设方程的两根为x,x,则x＋x＝ ,xx＝ ,∵方程两根互为倒数,∴xx＝ ＝ 1 2 1 2 m2-2 1 2 m2-2 1 2 m2-2 1,∴m2-2＝1,∴m＝±❑√3.当m＝❑√3时,Δ＝[-(m-2)]2-4(m2-2)<0,不符合题意,舍去,当m＝-❑√3时,Δ＝[-(m-2)]2- 4(m2-2)>0,∴m＝-❑√3.) 9.解:根据题意,得x 1 ＋x 2 ＝-p,① x 1 x 2 ＝q,② x 1 ＋1＋x 2 ＋1＝-q,③ (x 1 ＋1)(x 2 ＋1)＝p,④ 将①代入③,得p-q ＝2,⑤ 将①②代入④,得q＝2p-1,⑥ 将⑥代入⑤,得p-(2p-1)＝2,∴p＝-1,将p＝-1代入⑥,得q＝-3. m2＋4m m2＋4m 10解:∵α,β是方程的两根,∴α＋β＝m,αβ＝ ,∵(α-1)(β-1)＝2,∴αβ-(α＋β)＋1＝2,∴ -m＝ 4 4 1,∴m2＝4,∴m＝±2.∵Δ＝16m2-16(m2＋4m),当m＝2时,Δ<0,不符合题意,应舍去,当m＝-2时,Δ>0,符合题意,∴m 的值为-2. 在整个教学设计中,充分发挥了教师主导、学生主体的作用,通过学生自身体验过程、探究发现,激发学 生获得求知的欲望.通过发现、猜想、证明的过程,使学生感受数学研究的方法与思想,学习例题、习题中渗 透的数学思想,以此为载体,培养学生的发散性思维和探究能力. 学生对于利用根与系数的关系来解决一些有关 一元二次方程的问题还不够熟练,思路不清,且部分同学对两根之和与两根之积有些混淆. 数学课堂上学生在建立起概念,找到规律之后,必须做相当数量的数学练习题,才能对知识进行巩固,才能 形成技能、技巧,培养思维能力.在课堂上,做练习题有利于激发学生的积极性,还可以多方面培养学生观察、 归纳、类比的能力,寻找论证的方法,精确地、简要地表述一系列数量关系的技能. 随堂练习(教材第50页) 1.解:(1)∵b2-4ac＝(-3)2-4×1×(-1)＝13>0,∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x,x,那么x＋x 1 2 1 2 ＝3,xx＝-1. (2)∵b2-4ac＝22-4×3×(-5)＝64>0,∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x,x,那 1 2 1 2 2 5 么x＋x＝- ,xx＝- . 1 2 3 1 2 32.解:他们的答案不正确.判断方法:∵b2-4ac＝62-4×9×(-1)＝72>0,∴方程有两个不相等的实数根,设方程的两个 2 1 ( 1) ( 1) 2 实数根是x,x,那么x＋x＝- ,xx＝- .小明的答案中x＋x＝ - ＋ - ＝- ,xx＝ 1 2 1 2 3 1 2 9 1 2 3 3 3 1 2 ( 1) ( 1) 1 1 2 - × - ＝ ≠- ,∴小明的答案错误.小华的答案中x＋x＝(-3＋3❑√2)＋(-3-3❑√2)＝-6≠- ,xx＝ 3 3 9 9 1 2 3 1 2 1 (-3＋3❑√2)(-3-3❑√2)＝-9≠- ,∴小华的答案错误. 9 2 2 7 3.解法1:由根与系数的关系得x＋x＝ ,又x＝3,∴x＝ -3＝- .解法2:由根与系数的关系得xx＝-7,又x 1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 7 ＝3,∴x＝- . 2 3 习题2.8(教材第50页) 1.解:(1)原方程变形为3x2-x-1＝0,∵b2-4ac＝(-1)2-4×3×(-1)＝13>0,∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个 实数根分别为x, 1 1 1 x,那么x＋x＝ ,xx＝- . (2)原方程化简,得2x2＋6x-2＝0,即x2＋3x-1＝0.∵b2-4ac＝32-4×1×(-1)＝13>0,∴ 2 1 2 3 1 2 3 方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根为x,x,那么x＋x＝-3,xx＝-1. 1 2 1 2 1 2 -7±❑√1 -7±1 1 1 2.解:(1)∵a＝12,b＝7,c＝1,∴b2-4ac＝72-4×12×1＝1,∴x＝ ＝ ,∴x＝- ,x＝- . (2)原方程 2×12 24 1 4 2 3 变形为0.8x2＋x-0.3＝0,∵a＝0.8,b＝1,c＝-0.3,∴b2-4ac＝12-4×0.8×(-0.3)＝1.96,∴x＝ -1±❑√1.96 -1±1.4 1 3 ＝ ,∴x＝ ,x＝- . (3)原方程变形为3x2-2❑√3x＋1＝0.∵a＝3,b＝-2❑√3,c＝ 2×0.8 1.6 1 4 2 2 -(-2❑√3)±❑√0 2❑√3 ❑√3 ❑√3 1,∴b2-4ac＝(-2❑√3)2-4×3×1＝0,∴x＝ ＝ ＝ ,∴x＝x＝ . (4)原方程化简, 2×3 6 3 1 2 3 得x2-4x-8＝0,配方,得x2-4x＋(-2)2＝(-2)2＋8,即(x-2)2＝12,∴x-2＝±2❑√3,∴x＝2＋2❑√3,x＝2-2❑√3. 1 2 6 3 3.解:把x＝2代入原方程,得20＋2k-6＝0,解得k＝-7.由根与系数的关系得xx＝- ,又x＝2,∴x＝- . 1 2 5 1 2 5 4.解:第三边的长不可能是20.理由如下:由根与系数的关系得x＋x＝17,所以三角形的两边之和为17,第三边 1 2 应该小于两边之和,即小于17,所以不可能是20. 学生已学习的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本节课的基础.基于初中三年级学生对事物的 认识多是直观、形象的,他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征,所以在教学初始,出示一 些学生所熟悉和感兴趣的东西,结合一元二次方程求根公式,使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式 相结合的基础上掌握一元二次方程的根与系数的关系. 根与系数的关系也称为韦达定理(韦达是法国数学家),韦达定理是初中代数中的一个重要定理,这是因为 通过韦达定理的学习,把一元二次方程的研究推向了高级阶段,运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多 问题,如二次三项式的因式分解,解二元二次方程组等,韦达定理对后面函数的学习研究也作用非凡,同时通过 韦达定理的教学,可以培养学生的创新意识、探究精神和综合分析数学问题的能力,也为学生今后学习方程 理论打下基础.为此,确定本节课的教学目标为: (1)理解掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x,x 与系数a,b,c之间的关系; 1 2 (2)能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下,求出方程的另一根以及方程中的未知数; (3)会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差; (4)在推导过程中,培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法.已知关于x的方程kx2-2(k＋1)x＋k-1＝0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围; (2)是否存在实数k,使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由. 解:(1)∵方程有两个不相等的实数根, ∴Δ＝[-2(k＋1)]2-4k(k-1)>0,且k≠0, 1 解得k>- ,且k≠0, 3 1 即k的取值范围是k>- ,且k≠0. 3 (2)假设存在实数k,使得方程的两个实数根x,x 的倒数和为0. 1 2 1 1 x ＋x 则x,x 不为0,且 ＋ ＝0,即 1 2 ＝0, 1 2 x x x x 1 2 1 2 2(k＋1) k-1 由方程可知x＋x＝ ,xx＝ , 1 2 k 1 2 k 2(k＋1) k-1 k 所以 ≠0,且 ＝0,解得k＝-1. k k-1 k 1 而k＝-1与方程有两个不相等实数根的条件k>- 且k≠0矛盾, 3 故不存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和为0. 6 应用一元二次方程 通过分析问题中的数量关系,建立方程解决问题,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解决实际问题 的一般过程. 1.经历分析和建模的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型. 2.能够利用一元二次方程解决有关实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培 养学生分析问题、解决问题的意识和能力. 在问题解决的过程中,经历一定的合作交流活动,进一步发展学生合作交流的意识和能力. 【重点】 通过分析问题中的数量关系,建立方程解决问题. 【难点】 方程解决实际问题的一般过程. 第 课时会分析实际问题中的数量关系,并能够用一元二次方程解决实际问题. 经历用方程解决实际问题的过程,知道解应用题的一般步骤和关键所在. 通过对实际问题的分析,进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型,培养在生活中发现问题、解决问 题的能力. 【重点】 列一元二次方程解决实际问题. 【难点】 理解实际问题中的变化量,寻找正确的等量关系. 【教师准备】 预设教学过程中学生可能出现的问题. 【学生准备】 复习列一元一次方程解决实际问题的步骤. 导入一: 一根长22 cm的铁丝. (1)能否围成面积是30 cm2的矩形? (2)能否围成面积是32 cm2的矩形?说明理由. 分析:如果设这根铁丝围成的矩形的长是x cm,那么矩形的宽是 cm.根据相等关系:矩形的长×矩 形的宽＝矩形的面积,可以列出方程: . [设计意图] 提出具体的问题,提高学生的探究欲望. 导入二: 还记得本章开始时梯子下滑的问题吗(附图)? (1)在这个问题中,梯子顶端下滑1 m时,梯子底端滑动的距离大于1 m,那么梯子顶端下滑几米时,梯子底 端滑动的距离和它相等呢? (2)如果梯子的长度是13 m,梯子顶端与地面的垂直距离为12 m,那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端 滑动的距离可能相等吗?如果相等,那么这个距离是多少?分析:如果设梯子顶端下滑的距离为x m,然后根据等量关系:在滑动的过程中梯子的长度不变,列方程求 解. 在解方程的过程中可用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法解方程,但是方程的解必 须符合实际意义. [设计意图] 提出具体的问题,提高学生的探究欲望. 例题讲解 [过渡语] 同学们,下面我们用一元二次方程来解决一个实际问题. (教材例1)如图所示,某海军基地位于A处,在其正南方向200 n mile处有一重要目标B,在B的正东方向 200 n mile处有一重要目标C,小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头.小岛F位于BC的中点,一艘军舰 从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰, 已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多 少海里?(结果精确到0.1 n mile) 〔解析〕 题中含有等量关系:DE2＝DF2＋EF2,结合三角形中位线定理求出DF,利用AB＋BE＝2DE表 示出EF的长,即可求出DE. 解:连接DF,∵AD＝CD,BF＝CF, ∴DF是ΔABC的中位线, 1 ∴DF∥AB,DF＝ AB. 2 ⊥ ∵AB BC,AB＝BC＝200 n mile, ⊥ ∴DF BC,DF＝100 n mile,BF＝100 n mile. 设相遇时补给船航行了x n mile, 那么DE＝x n mile,AB＋BE＝2x n mile, EF＝AB＋BC-(AB＋BE)-CF＝(300-2x)n mile, 在RtΔDEF中,根据勾股定理可得方程x2＝1002＋(300-2x)2,整理,得3x2-1200x＋100000＝0. 100❑√6 100❑√6 解这个方程,得x＝200- ,x＝200＋ (不合题意,舍去). 1 3 2 3 100❑√6 ∴x＝200- ≈118.4. 3 答:相遇时补给船大约航行了118.4 n mile. [设计意图] 通过例题的讲解,进一步巩固列方程解决实际问题的方法. [知识拓展] 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤: (1)审:审清题意:已知什么,求什么,已知与未知之间有什么关系; (2)设:设未知数,语句要完整,有单位(统一)的要注明单位; (3)列:列代数式,列方程; (4)解:解所列的方程; (5)验:是否是所列方程的根,是否符合题意; (6)答:答案必须是完整的语句,注明单位,要贴近生活. 列方程解应用题的关键是找出等量关系.所谓的列方程实质上就是把要求的数用一个未知的数(字母)表 示,根据题目中提供的条件列出两个代数式,这两个代数式表示同一个量(这两个代数式中至少有一个代数式 中要含有未知数),用等于号把这两个代数式连接起来,就得到了方程式. 1.用一元二次方程解决实际问题的一般步骤: (1)审:审清题意:已知什么,求什么,已知与未知之间有什么关系; (2)设:设未知数,语句要完整,有单位(统一)的要注明单位; (3)列:列代数式,列方程; (4)解:解所列的方程; (5)验:是否是所列方程的根,是否符合题意; (6)答:答案必须是完整的语句,注明单位,要贴近生活. 2.用一元二次方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 所谓的列方程,其实质上就是把要求的数用一个未知的数(字母)表示,根据题目中提供的条件列出两个代 数式,这两个代数式表示同一个量(这两个代数式中至少有一个代数式中要含有未知数),用等于号把这两个代 数式连接起来,就得到了方程式. 1.(2014·泰安中考)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元,若 每盆增加1株,则平均每株盈利减少0.5元,要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?设每盆多植x株,则 可以列出的方程是 ( ) A.(x＋3)(4-0.5x)＝15 B.(x＋3)(4＋0.5x)＝15 C.(x＋4)(3-0.5x)＝15 D.(x＋1)(4-0.5x)＝15 解析:根据已知,若每盆多植x株,则每盆有(x＋3)株,平均每株盈利为(4-0.5x)元,由题意得(x＋3)(4-0.5x)＝ 15.故选A. 2.(2014·新疆中考)如图所示,要利用一面墙(墙长为25 m)建羊圈,用100 m的围栏围成总面积为400 m2 的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米? 解:设AB的长为x m, 则BC的长为(100-4x)m,根据题意,得(100-4x)x＝400, 解得x＝20,x＝5. 1 2 当AB＝20 m时,BC＝100-4x＝20(m), 此时20<25,符合题意; 当AB＝5 m时,BC＝100-4x＝80(m), 此时80>25,不符合题意,舍去, 即AB＝20 m,BC＝20 m. 答:羊圈的边长AB,BC都是20 m. 3.如右图所示,在ΔABC中,∠C＝90°,AC＝6 cm,BC＝8 cm,点P从点A出发沿AC边向点C以1 cm/s的 速度移动,同时点Q从点C出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动. (1)经过几秒钟后,可使ΔPCQ的面积为8 cm2? (2)点P,Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得ΔPCQ的面积等于ΔABC的面积的一半?若存在,求出运 动的时间;若不存在,说明理由. 解:(1)设经过x s后,ΔPCQ的面积为8 cm2, 此时AP＝x cm,PC＝(6-x)cm,CQ＝2x cm, 1 则根据题意,得 (6-x)2x＝8, 2 整理,得x2-6x＋8＝0, 解得x＝2,x＝4. 1 2 所以经过2 s或4 s后,可使ΔPCQ的面积为8 cm2. (2)设点P出发a s后,ΔPCQ的面积等于ΔABC的面积的一半, 1 1 1 则根据题意,得 (6-a)2a＝ × ×6×8, 2 2 2 整理,得a2-6a＋12＝0, 此时Δ＝(-6)2-4×1×12＝-12<0, 所以方程无实数解. 所以不存在使ΔPCQ的面积等于ΔABC的面积的一半的时刻. 第1课时 1.复习导入 2.例题讲解 例题 一、教材作业 【必做题】 教材第53页随堂练习. 【选做题】 教材第53页习题2.9的2,3题. 二、课后作业 【基础巩固】1.一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距墙角6 m,回答下列问题(结果精确到0.01 m). (1)若梯子的顶端下滑1 m,则梯子的底端水平滑动多少米? (2)若梯子的底端水平向外滑动1 m,则梯子的顶端向下滑动多少米? (3)如果梯子的顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离,那么滑动的距离是多少米? 【能力提升】 2.将一条长为20 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于17 cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于12 cm2吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不能,说明理由. 【拓展探究】 3.如图所示,每个大正方形由边长为1的小正方形组成(n为大正方形的边长): (1)观察图形,填写下列表格: 正方形边长 1 3 5 … n(奇数) 黑色小正 … 方形个数 正方形边长 2 4 6 … n(偶数) 黑色小正 … 方形个数 (2)在边长为n(n≥1)的正方形中,设黑色小正方形的个数为P,白色小正方形的个数为P,则是否存在偶数n,使 1 2 P＝5P?若存在,请求出n的值;若不存在,请说明理由. 2 1 【答案与解析】 1.解:由题意得梯子顶端距地面8 m.(1)若梯子顶端下滑1 m,则顶端距地面7 m,设梯子底端水平滑动x m,则 根据勾股定理,得72＋(6＋x)2＝102,整理,得x2＋12x-15＝0,解这个方程,得x≈1.14,x≈-13.14(舍去),所以梯子顶 1 2 端下滑1 m时,底端水平滑动约1.14 m. (2)当梯子底端水平向外滑动1 m时,设梯子顶端向下滑动m m,则 根据勾股定理,得(8-m)2＋(6＋1)2＝102,整理,得m2-16m＋13＝0,解这个方程,得m≈0.86,m≈15.14(舍去),所以 1 2 梯子底端水平向外滑动1 m时,梯子顶端下滑约0.86 m. (3)设梯子顶端向下滑动a m时,底端向外滑动a m,则根据勾股定理,得(8-a)2＋(6＋a)2＝102,整理,得2a2-4a＝0,解这个方程,得a＝0(舍去),a＝2,所以梯子顶端 1 2 向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离时,滑动距离为2 m. (x) 2 (20-x) 2 2.解:(1)设剪成两段后其中一段为x cm,则另一段为(20-x)cm,则根据题意,得 ＋ ＝17,整理, 4 4 得x2-20x＋64＝0,解得x＝16,x＝4.当x＝16时,20-x＝4;当x＝4时,20-x＝16.答:这段铁丝剪成两段后的长度 1 2 分别是4 cm和16 cm. (2)不能.理由如下:不妨设剪成两段后其中一段为y cm,则另一段为(20-y)cm,则由题 ( y) 2 (20- y) 2 意,得 ＋ ＝12,整理,得y2-20y＋104＝0,Δ＝(-20)2-4×1×104＝-16<0,所以此方程无解,即两正 4 4 方形的面积之和不可能等于12 cm2. 3.解:(1)如下表所示: 正方形边长 1 3 5 … n(奇数) 黑色小正 1 5 9 … 2n-1 方形个数 正方形边长 2 4 6 … n(偶数) 黑色小正 4 8 12 … 2n 方形个数 (2)存在偶数n＝12,使得P＝5P.理由如下:由(1)可知,n为偶数时,P＝2n,所以P＝n2-2n,根据题意,得n2-2n＝ 2 1 1 2 5×2n,即n2-12n＝0,解得n＝12,n＝0(不合题意,舍去).所以存在偶数n＝12,使得P＝5P. 1 2 2 1本课采用启发式、问题讨论式、合作学习相结合的方式,引导学生从已有的知识和生活经验出发,以教 材提供的素材为基础,引导学生对旧知识进行迁移,找出解决问题的新的途径和方法.学生之间的合作交流、 互助学习,能更好地调动学生的学习积极性,可以更好地根据学生的实际情况进行调整,更符合学生的认知规 律. 由于课堂时间有限,给学生独立思考的时间安排可能有些不合理,这样容易让思维活跃的学生的回答代 替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问. 在讲完例题的基础上,将更多教学时间留给学生,这样会使学生感到成功的机会增加,从而有一种积极的 学习态度,同时学生在学习中相互交流、相互学习,共同提高.课堂上多给学生展示的机会,向同学们展示自己 的聪明才智,同时在这个过程中,更有利于教师发现学生分析问题与解决问题的独到见解及思维误区,以便指 导今后的教学. 随堂练习(教材第53页) 解:设经过x秒甲乙二人相遇,则AB＝3x,AC＝10,BC＝7x-10,根据题意,得(3x)2＋102＝(7x-10)2,整理,得2x2-7x＝ 0,解得x＝0(舍去),x＝3.5,当x＝3.5时,7x＝24.5,3x＝10.5.答:甲走了24.5步,乙走了10.5步. 1 2 习题2.9(教材第53页) 1.解:设赛义德得到的钱数为x,则少的一笔钱数为20-x,根据题意,得x(20-x)＝96,整理,得x2-20x＋96＝0,解得x 1 ＝12,x＝8.因为x>20-x,所以x＝12.答:赛义德得到的钱数为12. 2 2.解:设x s后ΔPCQ的面积为RtΔACB的面积的 1 1 1 一半,根据题意,得 (8-x)(6-x)＝ × ×8×6,整理,得x2-14x＋24＝0,解得x＝2,x＝12.因为12×1＝12>6,所以x 2 2 2 1 2 ＝12不合题意,舍去.所以2 s后,ΔPCQ的面积为RtΔACB的面积的一半. 1 3.解:设渠深是x m,根据题意,得 [(x＋0.4)＋(x＋0.4＋0.6)]x＝0.78,解得x＝0.6,x＝-1.3(不合题意,舍去),所以 2 1 2 渠深0.6 m. 4.解:设x s后P,Q两点相距25 cm,根据题意,得(2x)2＋(25-x)2＝252,整理,得x2＝10x,解得x＝0(舍去),x＝10.答: 1 2 10 s后P,Q两点相距25 cm. 本节内容针对的学习者是九年级上学期的学生,已经具备了一定的生活经验和初步的解一元二次方程 的经验,能够与同伴进行合作交流. 本节课的主题是发展学生的应用意识,这也是方程教学的重要任务,但学生应用意识和能力的发展不是 自发的,需要通过大量的应用实例,在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用,并在具体应用中增强学生 的应用能力.因此,本节教学中需要选用大量的实际问题,通过列方程解决问题,并且在问题解决的过程中,促进 学生分析问题、解决问题的意识和能力的提高以及方程观的初步形成.显然,这个任务并非是某个教学活动 所能达成的,而应在教学活动中创设大量的解决问题的情境,在具体情境中发展学生的有关能力.为此,本节课 的教学目标是: (1)通过分析问题中的数量关系,建立方程解决问题,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解决实际问 题的一般过程; (2)经历分析和建模的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型;(3)能够利用一元二次方程解决有关实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培 养学生分析问题、解决问题的意识和能力; (4)在问题解决的过程中,经历一定的合作交流活动,进一步发展学生合作交流的意识和能力. 如右图所示的是一块长和宽分别为60 cm和40 cm的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等 的小正方形,折成一个无盖的长方体水槽,使它的底面积为800 cm2,求截去的正方形的边长. 〔解析〕 设截去的正方形的边长为x厘米之后,关键在于列出底面的长和宽的代数式,结合图示和原 长方形的长和宽,不难得出这一代数式. 解:设截去的正方形的边长为x cm, 根据题意,得(60-2x)(40-2x)＝800, 整理,得x2-50x＋400＝0, 解这个方程,得x＝10,x＝40. 1 2 如果截去的小正方形的边长为40 cm, 那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为80 cm,这超过了长方形铁皮的长60 cm,因此x＝ 2 40不符合题意,应舍去. 答:截去的正方形的边长为10 cm. [解题策略] 在应用一元二次方程解实际问题时,也应像以前学习一元一次方程时一样,注意分析题意, 抓住主要的数量关系,列出方程,把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后,要注意检验是否符合 题意,然后得到原问题的解答. 第 课时 会分析实际问题中的等量关系,并能够用一元二次方程解决实际问题. 经历用方程解决实际问题的过程,知道解应用题的一般步骤和关键所在. 通过对实际问题的分析,进一步理解方程是刻 画客观世界的有效模型,培养在生活中发现问题、解决问题的能力. 【重点】 列一元二次方程解实际问题. 【难点】 理解实际问题中变化的量,寻找正确的等量关系. 【教师准备】 教材例2投影图片. 【学生准备】 复习列一元二次方程解决实际问题的步骤.导入一: 请同学们回忆并回答与利润相关的知识. 9 9折要乘90%或0.9或 ,那么x折呢? 10 [设计意图] 通过回顾,使学生熟悉以利润为背景的实际问题中蕴含的数量关系. 导入二: 问题:某果园有100棵桃树,平均一棵桃树结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量,经试验发现, 每多种一棵桃树,平均每棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那么应多种多少棵桃树? 分析:找出等量关系“现有桃树棵数×每棵桃树的现产量＝现在总产量”和“每棵桃树的现产量＝每棵 桃树的原产量-2×多种的桃树棵数”,将未知数代入列出的代数式与方程即可. [设计意图] 提出具体的问题,提高学生的探究欲望. 例题讲解 [过渡语] 同学们,下面我们用一元二次方程来解决生活中的实际问题. (教材例2)新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元.调查发现,当销售价为2900元时,平均每天能售 出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000元,每台冰箱的定价应为多少元? 〔解析〕 找出等量关系“每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5000元”,如果设每台冰 箱降价x元,那么每台冰箱的定价就是(2900-x)元,每台冰箱的销售利润为(2900-x-2500)元,平均每天销售冰箱 ( x ) 的数量为 8＋4× 台.这样就可以列出一个方程,从而使问题得到解决. 50 解:设每台冰箱降价x元,由题意得: ( x ) (2900-x-2500) 8＋ ×4 ＝5000, 50 解方程得x＝x＝150, 1 2 经检验x＝150符合题意,是原方程的解,所以每台冰箱的定价是2900-150＝2750(元). 答:每台冰箱的定价应为2750元. [过渡语] 同学们,解题思路不应拘泥于这一种,在利用上述方法解完此题后,谁有其他解题的思路和方 法?要求定价为多少,直接设每台冰箱的定价应为x元,应如何解决? 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.调查发现,售价在40元至 60元范围内,这种台灯的售价每上涨1元,其销量就将减少10个.为了实现平均每月10000元的销售利润,这 种台灯的售价应定为多少?这时应购进台灯多少个? 〔解析〕 设这种台灯的售价应定为x元/个,已知这种台灯的售价每上涨1元,其月销售量就减少10个, 为了实现平均每月10000元的销售利润,可列方程求解. 解:设这种台灯的售价应定为x元/个, 则(x-30)[600-10(x-40)]＝10000, 解得x＝50,x＝80(不合题意,舍去), 1 2 ∴每月应购进台灯600-10(x-40)＝600-10×10＝500(个). 答:这种台灯的售价应定为50元/个,这时应购进台灯500个. [设计意图] 通过这两个例题的讲解,进一步巩固列方程解决实际问题的方法. [知识拓展] 一元二次方程与增长率问题:若原来的数量为a,平均每次增长或降低的百分率为x,经过第 一次调整,就调整到a×(1±x),再经过第二次调整就是a×(1±x)(1±x)＝a(1±x)2.(2014·大连中考)某工厂一种产品2013年的产量是100万件,计划2015年产量达到121万件.假 设2013年到2015年这种产品产量的年平均增长率相同. (1)求2013年到2015年这种产品产量的年平均增长率; (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件? 〔解析〕 根据提高后的产量＝提高前的产量×(1＋增长率),设年平均增长率为x,则2014年的产量是 100(1＋x),2015年的产量是100(1＋x)2,已知计划2015年产量达到121万件,列方程即可求得增长率,然后再求 2014年该工厂的年产量. 解:(1)设2013年到2015年这种产品产量的年平均增长率为x, 则100(1＋x)2＝121, 解得x＝0.1＝10%,x＝-2.1(舍去), 1 2 答:2013年到2015年这种产品产量的年平均增长率为10%. (2)2014年这种产品的产量为100(1＋0.1)＝110(万件). 答:2014年这种产品的产量应达到110万件. 1.用一元二次方程解决实际问题的一般步骤. (1)审:审清题意,已知什么,求什么,已知与未知之间有什么关系; (2)设:设未知数,语句要完整,有单位的要注明单位; (3)列:列代数式,列方程; (4)解:解所列的方程; (5)验:是否是所列方程的根,是否符合题意; (6)答:答案也必须是完整的语句,注明单位且要贴近生活. 2.用一元二次方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 所谓的列方程,其实质就是把要求的数用一个未知数(字母)表示,根据题目中提供的条件列出两个代数式, 这两个代数式表示同一个量(这两个代数式中至少有一个代数式中要含有未知数),用等号把这两个代数式连 接起来就得到了方程. 1.(2014·海南中考)某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为81元.如果两次降价的百分率都为x, 那么x满足的方程是 ( ) A.100(1＋x)2＝81B.100(1-x)2＝81 C.100(1-x%)2＝81 D.100x2＝81 解析:已知两次降价的百分率均是x,则第一次降价后价格为100(1-x)元,第二次降价后价格为100(1-x)(1- x)＝100(1-x)2元,根据题意找出等量关系:第二次降价后的价格＝81元,由此等量关系列出方程即可.故选B. 2.某市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番,那么这两年中财政净收入的年平均增长率应为多 少? 解:设原值为1,年平均增长率为x, 则根据题意得1×(1＋x)2＝2, 解这个方程得x＝❑√2-1,x＝-❑√2-1. 1 2 因为x＝-❑√2-1不合题意,舍去,所以x＝❑√2-1≈41.4%. 2 答:这两年中财政净收入的年平均增长率约为41.4%. 3.为了绿化学校附近的荒山,某校初三年级学生连续三年春季上山植树,至今已成活了2000棵,已知这些 学生在初一时种了400棵,若平均成活率为95%,求这个年级学生每年植树数的平均增长率.(精确到0.1%) 解:设这个年级学生每年植树数的平均增长率为x, 则第二年种了400(1＋x)棵, 第三年种了400(1＋x)2棵, 三年一共种了400＋400(1＋x)＋400(1＋x)2棵, 三年一共成活了[400＋400(1＋x)＋400(1＋x)2]×95%棵, 根据题意得[400＋400(1＋x)＋400(1＋x)2]×95%＝2000, 解这个方程得x≈0.624＝62.4%,x≈-3.624＝-362.4%, 1 2 因为x＝-362.4%不合题意,舍去,所以x＝62.4%. 2 答:这个年级学生每年植树数的平均增长率为62.4%. 4.(2014·衡阳中考)学校去年年底的绿化面积为5000平方米,预计到明年年底增加到7200平方米,求这两 年的年平均增长率. 解:设这两年的年平均增长率为x,根据题意得5000(1＋x)2＝7200, 即(1＋x)2＝1.44, 开方得x＋1＝1.2或x＋1＝-1.2, 解得x＝0.2＝20%或x＝-2.2(舍去). 答:这两年的年平均增长率为20%. 第2课时 1.复习导入 2.例题讲解 例1 例2 一、教材作业 【必做题】 教材第55页随堂练习. 【选做题】 教材第55页习题2.10的2,4题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.水果店花500元进了一批水果,按40%的利润定价,无人购买.决定打折出售,但仍无人购买,结果又一次打折 后才售完.经结算,这批水果共盈利67元.若两次打折相同,每次打几折? 【能力提升】 2.某服装厂为学校艺术团生产一批演出服,总成本是3200元,售价为每套40元.服装厂向25名家庭贫困的学 生免费提供了演出服.经核算,这25套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润.这批演出服生产了多 少套? 3.某商店将进价为每件8元的商品按每件10元出售,每天可售出200件,现在采取提高商品售价减少销量的 办法增加利润,若这种商品每件的售价每提高0.5元,其销量就减少10件,则将每件售价定为多少元时,才能使 每天利润为640元? 【拓展探究】 4.(2014·巴中中考)某商店准备进一批季节性小家电,单价40元.经市场预测,销售定价为52元时,可售出180 个,定价每增加1元,销售量净减少10个;定价每减少1元,销售量净增加10个.因受库存的影响,每批次进货个 数不得超过180个,若商店想获利2000元,则应进货多少个?定价为多少元? 【答案与解析】 ( x ) 2 1.解:设每次打x折,根据题意得500(1＋40%)× ＝500＋67,解得x＝9,x＝-9.答:每次打9折. 10 1 2 3200 2.解:设这批演出服生产了x套,则40x-3200＝25× ,即x2-80x-2000＝0,解得x＝-20,x＝100,经检验x x 1 2 1 ＝-20,x＝100都是方程的根,但负数不符合题意,故舍去.答:这批演出服生产了100套. 2 x-10 3.解:设每件售价定为x元,则每件利润为(x-8)元,每天销量为 200- 0.5 ×10 件,所以每天利润为640元时, ( x-10 ) 根据关系式:每天销量×每件利润＝每天利润,有 200- ×10 (x-8)＝640,整理得x2-28x＋192＝0,即 0.5 (x-12)(x-16)＝0,所以x＝12或x＝16.答:将每件售价定为12元或16元时,才能使每天利润为640元. 1 24.解:设这批季节性小家电的定价为x元,由题意,得(x-40)·[180-10(x-52)]＝2000,整理,得x2-110x＋3000＝0,解得 x＝50,x＝60.当x＝50时,进货:180-10(x-52)＝200(个),不符合题意,舍去.当x＝60时,进货100个.答:若想获利 1 2 2000元,则应进货100个,定价为60元. 本课采用启发式、问题讨论式及合作学习相结合的方式,引导学生从已有的知识和生活经验出发,以教 材提供的素材为基础,引导学生对旧知识进行迁移,找出解决问题的新的途径和方法.学生之间的合作交流、 互助学习,能更好地调动学生学习的积极性,可以更好地根据学生的实际情况进行调整,更符合学生的认知规 律. 由于怕完不成任务,给学生独立思考的时间安排有些不合理,这样容易让思维活跃的学生的回答代替了 其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问. 在讲完例题的基础上,将更多教学时间留给学生,使学生感到成功机会增加,产生积极的学习态度,同时学 生在学习中相互交流、相互学习,共同提高.课堂上多给学生展示的机会,让同学们展示自己的聪明才智,同时 在这个过程中,更有利于发现学生分析问题与解决问题的独到见解及思维误区,以便指导今后教学. 随堂练习(教材第55页) ( 200x) 解:设每张贺年卡降价x元时,摊主平均每天可以赢利180元,根据题意,得(0.3-x)· 500＋ ＝180,整 0.05 理得400x2-70x＋3＝0,解得x＝0.1,x＝0.075(实际生活中,最小单位是分,所以这个解应舍去).答:每张贺年卡 1 2 降价0.1元时,摊主平均每天可以赢利180元. 习题2.10(教材第55页) 1.解:设每件应降价x元,根据题意,得(44-x)(20＋5x)＝1600,整理,得x2-40x＋144＝0,解得x＝4,x＝36(不合题 1 2 意,舍去).答:每件应降价4元. 2.解:设储藏x个星期出售这批农产品可获利122000元,根据题意,得(80-2x)(1200＋200x)-1600x-64000＝ 122000,整理,得x2-30x＋225＝0,解得x＝x＝15.答:储藏15个星期出售这批农产品可获利122000元. 1 2 3.解:设该市这两年自然保护区面积的年平均增长率为x,根据题意,得4.85%(1＋x)2＝8%,整理,得(1＋x)2＝ 160 ,解得x＝0.284,x＝-2.284(不合题意,舍去).答:该市这两年自然保护区面积的年平均增长率约为28.4%. 97 1 2 4.解:设该公司11,12两个月营业额的平均月增长率为x,根据题意,得2500×[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100,整理, 得x2＋3x-0.64＝0,解得x＝0.2,x＝-3.2(不合题意,舍去).答:该公司11,12两个月营业额的月均增长率为20%. 1 2 复习题(教材第56页) 1.解:设其中一个数为x,则另一个数为x-4,则x(x-4)＝45,解得x＝9,x＝-5,当x＝9时,x-4＝5;当x＝-5时,x-4 1 2 ＝-9.答:这两个数为9和5,或-5和-9. 2.解:(1)x(x-14)＝0,所以x＝0,或x-14＝0,所以x＝0,x＝14. (2)x2＋12x＋27＝0,所以(x＋3)(x＋9)＝0,所以x＋ 1 2 3＝0,或x＋9＝0,所以x＝-3,x＝-9. (3)x2＝x＋56,x2-x-56＝0,所以(x＋7)(x-8)＝0,所以x＋7＝0,或x-8＝0,所以 1 2 4 x＝-7,x＝8. (4)x(5x＋4)＝5x＋4,(5x＋4)(x-1)＝0,所以5x＋4＝0,或x-1＝0,所以x＝- ,x＝1. (5)4x2-45＝ 1 2 1 5 2 5 31x,4x2-31x-45＝0,所以(4x＋5)(x-9)＝0,所以4x＋5＝0,或x-9＝0,所以x＝- ,x＝9. 1 4 24 (6)-3x2＋22x-24＝0,3x2-22x＋24＝0,所以(3x-4)(x-6)＝0,所以x＝ ,x＝6. (7)(x＋8)(x＋1)＝-12,x2＋9x＋20＝ 1 3 2 0,所以(x＋4)·(x＋5)＝0,所以x＋4＝0,或x＋5＝0,所以x＝-4,x＝-5. (8)(3x＋2)(x＋3)＝x＋14,3x2＋10x-8＝0, 1 2 2 所以(3x-2)(x＋4)＝0,所以3x-2＝0,或x＋4＝0,所以x＝ ,x＝-4. 1 3 2 3.(1)解法1:原方程可化为x2＋9x＋18＝0,所以(x＋3)(x＋6)＝0,所以x＝-3,x＝-6.解法2:(x＋3)(2x＋6-x)＝0,(x 1 2 ＋3)(x＋6)＝0,所以x＝-3,x＝-6. (2)解:x2-2❑√5x＋2＝0,x2-2❑√5x＝-2,x2-2❑√5x＋5＝-2＋5,(x-❑√5)2＝3,x-❑√5 1 2 ＝±❑√3,所以x＝❑√5＋❑√3,x＝❑√5-❑√3. (3)解:(x＋1)2-3(x＋1)＋2＝0,(x＋1-1)(x＋1-2)＝0,x(x-1)＝0,所以 1 2 x＝0,x＝1. 1 2 4.解:(1)b2-4ac＝12-4×2×(-1)＝9>0,所以原方程有两个不相等的实数根. (2)原方程整理成一般式为4x2-4x＋1 ＝0,所以b2-4ac＝(-4)2-4×4×1＝0,所以方程有两个相等的实数根. (3)b2-4ac＝22-4×7×3＝-80<0,所以方程没有 实数根. 5.解:(1)∵a＝1,b＝-5,c＝-6,b2-4ac＝(-5)2-4×1×(-6)＝49>0,∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根 b c 分别为x,x.由根与系数的关系,得x＋x＝- ＝5,xx＝ ＝-6. (2)∵a＝3,b＝5,c＝1,b2-4ac＝52-4×3×1＝ 1 2 1 2 a 1 2 a b 5 13>0,∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为x,x.由根与系数的关系,得x＋x＝- ＝- 1 2 1 2 a 3 c 1 ,xx＝ ＝ . 1 2 a 3 6.解:(1)根据题意,得x2-13x＋12＝0,所以x＝1,x＝12,即当x＝1或x＝12时,代数式x2-13x＋12的值等于0. 1 2 (2)由题意,得x2-13x＋12＝42,所以x＝15,x＝-2,所以当x＝15或x＝-2时,代数式x2-13x＋12的值等于42. 1 2 2 2 (3)由题意,得x2-13x＋12＝-4x2＋18,所以x＝3,x＝- ,所以当x＝3或x＝- 时,代数式x2-13x＋12的值与代数 1 2 5 5 式-4x2＋18的值相等. 7.解:设该公司这两年缴税的年平均增长率为x,根据题意得40(x＋1)2＝48.4,解得x＝0.1＝10%,x＝-2.1(舍去). 1 2 答:该公司这两年缴税的年平均增长率为10%. 8.解:设原铁皮的边长为x cm,根据题意得4(x-8)·(x-8)＝400,解得x＝18,x＝-2(舍去).答:原铁皮的边长为18 1 2 cm. 41 9.解:设小路的宽度为x m,根据题意得(20＋2x)·(15＋2x)＝246＋20×15,解得x＝3,x＝- (舍去).答:小路的 1 2 2 宽度为3 m. 10.解:设每行有x个座位,根据题意,得x(x＋16)＝1161,解得x＝27,x＝-43(舍去),即每行有27个座位. 1 2 (x) 2 (56-x) 2 11.解:设其中一段长为x cm,则另一段长为(56-x)cm.(1)由 ＋ ＝100,解得x＝24,x＝32,所以 4 4 1 2 (x) 2 (56-x) 2 一段长为24 cm,另一段长为32 cm. (2)由 ＋ ＝196,解得x＝0,x＝56,所以不能剪开. 4 4 1 2 (x) 2 (56-x) 2 (3)由 ＋ ＝200,解得x＝28＋4❑√51>56(舍去),x＝28-4❑√51<0(舍去).所以面积之和不可能 4 4 1 2 等于200 cm2. 12.解:令3x＋5＝y,原方程可化为y2-4y＋3＝0,所以(y-1)(y-3)＝0,解得y＝1,y＝3.当y＝1,即3x＋5＝1时,x＝- 1 2 4 2 4 2 ;当y＝3,即3x＋5＝3时,x＝- .所以原方程的解为x＝- ,x＝- . 3 3 1 3 2 313.解:设方程的两根为x,x,且x＝2＋❑√3,由根与系数的关系知x＋x＝4,xx＝c,∴2＋❑√3＋x＝4,∴x＝2- 1 2 1 1 2 1 2 2 2 ❑√3,∴c＝xx＝(2＋❑√3)(2-❑√3)＝1. 1 2 20 20 14.解:根据题意得3t2＋10t＝200,解得t＝ ,t＝-10(舍去).答:行驶200 m需要 s. 1 3 2 3 15.解:设水渠应挖x m宽,根据题意得(92-2x)(60-x)＝885×6,解得x＝1,x＝105(舍去).答:水渠应挖1 m宽. 1 2 16.解:设应多种x棵桃树,根据题意得(100＋x)·(1000-2x)-100×1000＝15.2%×100×1000,解得x＝20,x＝380(舍 1 2 去).答:应多种20棵桃树. 17.解:设较长的直角边长为x cm,则另一条直角边长为(x-1)cm.根据题意得x2＋(x-1)2＝72,解得x＝ 1 1＋❑√97 1-❑√97 1＋❑√97 ❑√97-1 1＋❑√97 ,x＝ (舍去),x-1＝ -1＝ .答:两条直角边长分别为 cm, 2 2 2 2 2 2 ❑√97-1 cm. 2 28 18.解:能.设最早经过x小时能侦察到这艘军舰,根据题意得(20x)2＋(90-30x)2＝502,解得x＝2,x＝ (舍去),所 1 2 13 以最早经过2小时能侦察到这艘军舰. x(x-1) 19.解:设这次会议到会的人数是x,则有 ＝66,解得x＝12,x＝-11(舍去).答:这次会议到会的人数是 2 1 2 12. (3 ) 20.解:设点P(x,-2x＋3),一次函数y＝-2x＋3的图象交x轴于点A ,0 ,交y轴于点B(0,3).∵点P在第一象 2 限,∴x>0,-2x＋3>0,∴PD＝x,PC＝-2x＋3.根据题意,得S ＝PD·PC＝1,即x(-2x＋3)＝1.化简,得-2x2＋3x-1 矩形OCPD 1 1 1 ＝0,解这个方程,得x＝1,x＝ .当x＝1时,-2x＋3＝-2×1＋3＝1,∴点P(1,1).当x＝ 时,-2x＋3＝-2× ＋3＝ 1 2 2 1 2 2 (1 ) (1 ) 2,∴点P ,2 .∴当点P的坐标为(1,1)或 ,2 时,矩形OCPD的面积为1. 2 2 2 21.解:(1)这艘轮船不改变航向,它会进入台风影响区.理由:如右图所示,在RtΔABC中,∠BAC＝90°,BC＝500 km,BA＝300 km,由勾股定理,得AC＝❑√BC2-BA2＝❑√5002-3002＝400(km).当这艘轮船不改变航 400 1 300 向时,轮船由C地到A地的时间为 ＝13 (h),台风中心由B地到A地的时间为 ＝15(h).故轮船到达 30 3 20 40 1 1 A地时,台风中心距离A地为300-20× ＝33 (km).而33 km<200 km,所以这艘轮船不改变航向会进入 3 3 3 台风影响区. (2)设从接到警报开始,经过t h这艘轮船就会进入台风影响区,则CD＝30t km,BE＝20t km,AD ＝AC-CD＝(400-30t)km,AE＝AB-BE＝(300-20t)km,DE＝200 km.在RtΔDAE中,由勾股定理,得AD2＋AE2＝ DE2,即(400-30t)2＋(300-20t)2＝2002.整理,得13t2-360t＋2100＝0,解得t≈8.35,t≈19.34.所以从接到警报开始, 1 2 经过8.35 h它就会进入台风影响区.22.解:设该银行一年定期存款的年利率是x,根据题意,得[2000(1＋x)-1000]＋[2000(1＋x)-1000]x＝1107.45.化 简,得(1000＋2000x)(1＋x)＝1107.45,400x2＋600x-21.49＝0.解这个方程,得x＝0.035＝3.5%,x＝-1.535(不合题 1 2 意,舍去).所以该银行一年定期存款的年利率是3.5%. 巴拿赫是波兰数学家,是泛函分析的奠基人之一,1945年8月31日,巴拿赫病故于乌克兰的利沃夫,人们 为了纪念这位伟大的数学家,特编下面这道关于他生平的智力问题: 巴拿赫病故于1945年8月31日,他在世时某年年份恰好是他当时年龄的平方,他是哪年出生的? 解:设他在世时某年年龄为x,则(x2-x)＋x≤1945,且x为自然数, 其出生年份为x2-x＝x(x-1), 他在世时年龄为1945-x(x-1), 由❑√1945≈44.1,得x应为44或略小于44的自然数, 当x＝44时,由x(x-1)＝44×43＝1892,得他在世时年龄为1945-1892＝53; 当x＝43时,由x(x-1)＝43×42＝1806,得他在世时年龄为1945-1806＝139. 当x取值越小时,他在世年龄越大,显然不合理,故x＝44,即他生于1892年. 1.经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效 的数学模型. 2.能够利用一元二次方程解决有关实际问题,帮助学生认识到运用方程解决实际问题的关键是确定题目 中蕴含的等量关系,并且能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题、解决问 题的能力和意识. 3.了解一元二次方程及其相关概念,会用配方法、公式法、因式分解法解简单的一元二次方程,并在解 一元二次方程的过程中体会转化等数学思想的应用. 1.让学生经历将多种实际问题抽象成数学问题的过程. 2.通过小组合作学习,经历一题多解等过程,提高学生多角度思考问题的能力.1.通过对方程的认识、一题多解的思维展示,发展学生勇于展示自己的勇气. 2.在解决富有挑战性的问题过程中,培养学生敢于直面困难、勇于挑战的良好品质,鼓励学生大胆尝试, 体会成功的喜悦,激发学生学习数学的兴趣. 【重点】 一元二次方程的解法和应用. 【难点】 应用一元二次方程解决实际问题的方法. 定义:只含有一个未知数x的整式方程,并且都 { 可以化成ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,a≠0) 的形式,这样的方程叫做一元二次方程 (1)直接开平方法 { (2)配方法 (3)公式法ax2＋bx＋c＝0(a≠0,b2-4ac 解法 -b±❑√b2-4ac ≥0)的解为x＝ 2a (4)因式分解法 应用:应用中的关键是能根据题意找出等量关系 专题一 选用合理的方法求解一元二次方程 【专题分析】 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基础. 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程进行求解.一元二次方程的基 本解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法四种,在解方程时,要依据方程的特点进行选择. 选用恰当的方法解下列方程. 1 (1) (x＋3)2＝1; 3 (2)(2x＋1)2＝2(2x＋1); (3)x(x＋8)＝16; (4)x2＋2x-8＝0. 〔解析〕 第(1)小题可变形为(x＋3)2＝3,然后利用直接开平方法较为简便;第(2)小题移项后利用分解因 式法较为简便;第(3)小题化为一般式后可利用求根公式法解答;第(4)小题采取配方法较为简便. 解:(1)整理得(x＋3)2＝3,直接开平方得x＋3＝±❑√3,∴x＝-3＋❑√3,x＝-3-❑√3. 1 2 (2)将原方程分解因式得(2x＋1)(2x-1)＝0, 1 1 ∴x＝- ,x＝ . 1 2 2 2 (3)整理得x2＋8x-16＝0, -8±8❑√2 ∵Δ＝b2-4ac＝128>0,∴x＝ , 2 ∴x＝-4＋4❑√2,x＝-4-4❑√2. 1 2 (4)原方程配方得(x＋1)2＝9,直接开平方得x＋1＝±3,∴x＝2,x＝-4. 1 2 [规律方法] 直接开平方法是最基本的方法,公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二 次方程,在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在使用公式前应先计算出判别式 的值,以便判断方程是否有解;配方法是推导公式的工具,掌握公式法后可以直接用公式法解一元二次方程,一 般不用配方法解一元二次方程,但是配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的重要的 数学方法之一;最常用的方法是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般式,同时把二次项系数化为正数.因此,在解一元二次方程时,首先观察是否可以利用开平方、分解因式等简便方法,找不到简便 方法时,再考虑化为一般形式后使用公式法,如果不化为一般式就可以找到简便解法时就直接进行求解. 【针对训练1】 选用恰当的方法解方程. (1)2x2＋❑√3x-9＝0; (2)2(x＋5)2＝x(x＋5). 解:(1)∵Δ＝b2-4ac＝75>0, -❑√3±❑√75 -❑√3±5❑√3 ∴x＝ ＝ , 4 4 3 ∴x＝❑√3,x＝- ❑√3. 1 2 2 (2)原方程整理得2(x＋5)2-x(x＋5)＝0, 分解因式得(x＋5)(x＋10)＝0, 解得x＝-5,x＝-10. 1 2 专题二 运用一元二次方程的根与系数的关系解决问题 【专题分析】 b c 一元二次方程的根与系数的关系又称为韦达定理,它的逆定理也是成立的,即当x＋x＝- ,x·x＝ 时, 1 2 a 1 2 a x,x 是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根.一元二次方程的根与系数的关系应用极为广泛,在中学数学中占有 1 2 极重要的地位,也是数学学习中的重点.对于这个知识点的学习,我们不但要让学生掌握应用韦达定理解决一 些变式题目,还要让学生熟记一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2-4ac存在的三种情况,以 及应用求根公式求出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根x 和x,进而会分解因式,即ax2＋bx＋c＝a(x-x)·(x-x). 1 2 1 2 1 1 (2014·黔东南中考)若一元二次方程x2-x-1＝0的两根分别为x,x,则 ＋ 的值为 . 1 2 x x 1 2 1 1 ＋ 〔解析〕 欲求 的值,先把这个代数式变形为含有两根之积或两根之和的形式,再代入数值计 x x 1 2 1 1 x ＋x 1 算即可.∵一元二次方程x2-x-1＝0的两根分别为x,x,∴x＋x＝1,xx＝-1,∴ ＋ ＝ 1 2＝ 1 2 1 2 1 2 x x x x -1 1 2 1 2 ＝-1.故填-1. [解题策略] 解此类题目时先把所求代数式变形为含有两根之积或两根之和的形式,即将所求代数式表 示成“x＋x”“x·x”的形式,再利用“整体代入”的方法求解. 1 2 1 2 【针对训练2】 (2014·南充中考)已知关于x的一元二次方程x2-2❑√2x＋m＝0有两个不相等的实数根. (1)求实数m的最大整数值; (2)在(1)的条件下,方程的实数根是x 和x,求代数式x2＋x2 -xx 的值. 1 2 1 2 1 2 解:(1)∵一元二次方程x2-2❑√2x＋m＝0有两个不相等的实数根,∴Δ＝8-4m>0,解得m<2,故实数m的最大 整数值为1. (2)由(1)知m＝1,∴此一元二次方程为x2-2❑√2x＋1＝0,∴x＋x＝2❑√2,xx＝1, 1 2 1 2 ∴x2＋x2 -xx＝(x＋x)2-3xx 1 2 1 2 1 2 1 2 ＝8-3＝5. (2014·宜宾中考)若关于x的一元二次方程的两个根为x＝1,x＝2,则这个方程是( ) 1 2 A.x2＋3x-2＝0 B.x2-3x＋2＝0 C.x2-2x＋3＝0 D.x2＋3x＋2＝0〔解析〕 解决此类问题可用验算法.因为两实数根的和是1＋2＝3,两实数根的积是1×2＝2,解题时检 b c 验两根之和- 是否为3及两根之积 是否为2即可.因为一元二次方程的两个根为x＝1,x＝2,所以两根和 a a 1 2 为3,积为2,观察四个选项,易知选项B符合题意.故选B. [注意事项] 验算时要注意方程中各项系数的正负号. 【针对训练3】 请写出一个一元二次方程,要求满足下列两个条件:①有两个不等实根;②其中一个根 为x＝2.所写方程是 . 〔解析〕 答案不唯一,如x(x-2)＝0化为一般式为x2-2x＝0.故可填x2-2x＝0. 专题三 建模思想的运用 【专题分析】 数学建模思想就是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程,建模思想已经成为不同层次数学 教育的重要基本内容.数学建模是学习数学的一种新的方式,它为学生提供了自主学习的空间,有助于学生体 验数学在解决实际问题中的价值和作用,体验数学与日常生活和其他学科的联系,体验运用综合知识和方法 解决实际问题的过程,增强应用意识,有助于激发学生学习数学的兴趣,发展学生的创新意识和实践能力. 一元二次方程是刻画数量关系的重要数学模型.现实生活中,许多问题中的数量关系可以抽象为一元二 次方程.因此,从深化数学模型思想、加强应用意识的角度看,只要从实际问题中抽象出数量关系,列出一元二 次方程,求出它的根,就解决了实际问题,也体现了建模思想的运用. 为响应市委市政府提出建设“绿色襄阳”的号召,市里某单位准备在院内一块长30米,宽20米 的长方形空地上建一个矩形花园(如左图所示),要在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的地 方种植花草.要使种植花草的面积为532平方米,那么小道进出口的宽度应为多少米?(注:所有小道进出口的 宽度相等,且每段小道均为平行四边形) 〔解析〕 由已知中提到的“一条横向弯折的小道”“所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为 平行四边形”,知横向的三段平行四边形小道的底都相等(即小道的宽度),高度之和等于长方形的长,所以横 向的三段小道面积之和等于一整条横道的面积.则种植花草的面积如右图所示,依题意列方程求解. 解:设小道进出口的宽度应为x米, 依题意得(30-2x)(20-x)＝532, 整理得x2-35x＋34＝0,(x-1)(x-34)＝0, 解得x＝1,x＝34>20(舍去), 1 2 所以小道进出口的宽度应为1米. [方法指导] 在建立数学模型解决实际问题的过程中,难点在于数量关系的分析和数学模型的选择.教学 中应注意引导学生仔细分析题意,借助适当的直观工具,如画图、列表等,找出问题中的已知量、未知量,找到 关键词并由此确定等量关系,进而建立一元二次方程.要注意培养学生良好的解题习惯,包括借助直观方法分 析题意、检验所得方程及其根的实际意义,求出符合要求的结果等. 【针对训练4】 央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后,全国各大药店的销售都受到不同程 2 度的影响,4月初,某种药品的价格大幅度下调,下调后每盒价格是原价格的 ,原来用60元买到的药品下调后 3 可多买2盒.4月中旬,各部门加大了对胶囊生产的监管力度,4月底药品价格开始回升,经过两个月后,药品上 调为每盒14.4元. (1)求该药品的原价格是多少,下调后的价格是多少; (2)求5,6月份药品价格的月平均增长率是多少.2 〔解析〕 (1)设该药品的原价格是x元/盒,则下调后每盒价格是 x元/盒,建立方程求解后检验就可以 3 了.(2)设5,6月份药品价格的月平均增长率是a,列方程求出其解,检验其根是否使实际问题有意义就可以了. 2 解:(1)设该药品的原价格是x元/盒,则下调后每盒价格是 x元, 3 60 60 ＝ 根据题意得2 x ＋2,解得x＝15. x 3 2 经检验,x＝15是原方程的根,则 x＝10, 3 所以该药品的原价格是15元/盒,下调后的价格是10元/盒. (2)设5,6月份药品价格的月平均增长率是a,根据题意得10(1＋a)2＝14.4,解得a＝0.2＝20%,a＝-2.2(不 1 2 合题意,舍去),所以5,6月份药品价格的月平均增长率是20%. [方法指导] 考查求平均变化率的方法是近几年中考的热点问题.掌握增长用“＋”,下降用“-”是解 题关键. 【针对训练5】 为解决群众看病贵的问题,有关部门决定降低药价,对某种原价为289元的药品进行连 续两次降价后为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是 ( ) A.289(1-x)2＝256 B.256(1-x)2＝289 C.289(1-2x)＝256 D.256(1-2x)＝289 〔解析〕 若平均每次降价的百分率为x,则第一降价后售价为289·(1-x),第二次降价后售价为289(1-x)2, 由题意得289(1-x)2＝256.故选A. 专题四 整体思想 【专题分析】 所谓整体思想就是从问题的整体性出发,发现问题及整体结构的特性,从而导出局部结构和元素的特性, 最具体的代表就是换元法的运用.何谓换元法呢?解数学题时,把某个式子看成一个整体,再用一个变量去替换, 这就叫做换元法.换元法的实质是转化,关键是构造元和设元,它可以变高次为低次,化无理为有理. 对于某些一元二次方程,我们可以用新的未知数来替换原有未知数的某些代数式,从而把原方程转化为 一个易解的方程. 解方程(x-1)2-5(x-1)＋4＝0时,我们可以将x-1看成一个整体,设x-1＝y,则原方程可化为y2-5y＋4 ＝0,解得y＝1,y＝4.当y＝1时,x-1＝1,解得x＝2;当y＝4时,x-1＝4,解得x＝5.所以原方程的解为x＝2,x＝5. 1 2 1 2 利用这种方法求得方程(2x＋5)2-4(2x＋5)＋3＝0的解为 ( ) A.x＝1,x＝3 1 2 B.x＝-2,x＝3 1 2 C.x＝-3,x＝-1 1 2 D.x＝-1,x＝-2 1 2 〔解析〕 设y＝2x＋5,则原方程可化为y2-4y＋3＝0,解得y＝1,y＝3.当y＝1,即2x＋5＝1时,解得x 1 2 ＝-2;当y＝3,即2x＋5＝3时,解得x＝-1.所以原方程的解为x＝-2,x＝-1.故选D. 1 2 [注意事项] “整体”代换能达到“降次”的目的,不能盲目将原方程展开,展开后得到的一元四次方程 更加复杂难解. 【针对训练6】 解方程(x2-2x)2＋(x2-2x)-2＝0. 解:设y＝x2-2x,则原方程可化为y2＋y-2＝0, 解得y＝-2或y＝1, 当y＝-2,即x2-2x＝-2时,Δ＝-4<0,此时方程没有实数根; 当y＝1,即x2-2x＝1时,解得x＝1±❑√2, 故原方程的根为x＝1＋❑√2,x＝1-❑√2. 1 2 专题五 分类讨论思想 【专题分析】 当被研究的问题包含多种情形,不能一概而论时,必须按可能出现的所有情形来分别讨论,得出各种情形 下相应的结论,这种处理问题的思维方法称为分类讨论思想.对复杂多变的事物按照一定的标准进行恰当的 分类有助于更为准确、完整地认识事物,恰当的分类应该是既不重复也不遗漏. 在一元二次方程的有关问题中,有一部分问题需要运用分类讨论思想求解.已知方程m2x2＋(2m＋1)x＋1＝0有实数根,求m的取值范围. 〔解析〕 求字母系数的取值范围问题,应首先想到分类讨论.因为题意并没有指明是二次方程,所以要 考虑是一次方程的可能. 解:(1)当m2＝0,即m＝0时,原方程为一元一次方程x＋1＝0,实数根为x＝-1; (2)当m2≠0,即m≠0时,原方程为一元二次方程,由有实根的条件得Δ＝(2m＋1)2-4m2＝4m＋1≥0,解得m≥- 1 1 ,所以m≥- 且m≠0. 4 4 1 综上所述,m≥- . 4 [易错提醒] 考虑此类问题时,要注意谨慎细心,思维要缜密,全面考虑,不要漏掉任何一种情况. 【针对训练7】 当m是何整数时,关于x的一元二次方程mx2-4x＋4＝0与x2-4mx＋4m2-4m-5＝0的根 都是整数? 解:因为给出的关于x的方程是一元二次方程,所以二次项系数不为零,即m≠0. 又因为方程均有实数根,所以Δ＝(-4)2-4m×4≥0,解得m≤1. 1 5 5 又Δ＝(-4m)2-4×1×(4m2-4m-5)≥0,解得m≥- ,所以- ≤m≤1. 2 4 4 因为m是整数,且m≠0,所以m＝-1或m＝1. 当m＝-1时,方程mx2-4x＋4＝0可化为x2＋4x-4＝0, 解得x＝-2＋2❑√2,x＝-2-2❑√2, 1 2 因为这两个根都不是整数,所以m＝-1舍去; 当m＝1时,方程mx2-4x＋4＝0可化为x2-4x＋4＝0,解得x＝x＝2, 1 2 此时方程x2-4mx＋4m2-4m-5＝0的根为x＝5,x＝-1,因为这两个根均为整数,所以m＝1符合题意. 3 4 综上,m＝1. 专题六 数形结合思想 【专题分析】 数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法,用数形结合方法可以使复杂的问题简单化、抽 象的问题具体化,能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质. 所谓数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,使数量关系与空间形式和谐结合在一起的 方法.它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面.数与形是初中数学研究的两类基本对象,既相互独立,又 互相渗透. 在解与几何图形有关的一元二次方程应用题时,寻找等量关系要借助图形变化中的不变量,从运动的几 何图形中挖掘出可以用来列方程的等量关系,列出方程求解即可. 如图所示,已知线段AB的长为a,以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E,以 ⊥ AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF CD,垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积 相等,则AE的长为 .〔解析〕 本题需先设出AE的长,进而得出BE的长,再根据题意列出方程,求出x的值即为AE的长.设 -a±❑√5a2 AE的长为x,则BE的长为a-x,根据题意得x2＝(a-x)×a,∴x2＋ax-a2＝0,∵Δ＝a2＋4a2＝5a2>0,∴x＝ , 2 -a＋❑√5a -1＋❑√5 -a-❑√5a ❑√5-1 解得x＝ ＝ a,x＝ <0(舍去).故填 a. 1 2 2 2 2 2 [方法指导] 数与形是对立统一的,数是形的具体描述,形是数的直观表示,把数与形有机地结合起来,就 可以充分利用图形的直观性找到问题的突破口,从而达到化抽象为具体的目的,便于学生理解、应用所学知 识解决相关问题. 【针对训练8】 如图①所示,要设计一幅宽20 cm,长30 cm的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横、 竖彩条的宽度比为2∶3,如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽 度? 〔解析〕 由横、竖彩条的宽度比为2∶3,可设每个横彩条的宽为2x,则每个竖彩条的宽为3x.为更好地 寻找题目中的等量关系,将横、竖彩条分别集中,即原问题转化为如图②所示的情况,得到矩形ABCD. 结合以上分析完成填空: (1)如图②所示,用含x的代数式表示:AB＝ cm;AD＝ cm;矩形ABCD的面积为 cm2; (2)列出方程并完成本题解答. 解:(1)20-6x 30-4x 24x2-260x＋600 ( 1) (2)根据题意,得24x2-260x＋600＝ 1- ×20×30, 3 整理,得6x2-65x＋50＝0, 5 解得x＝ ,x＝10(不合题意,舍去). 1 6 2 5 5 则2x＝ ,3x＝ . 3 2 5 5 答:每个横、竖彩条的宽度分别为 cm, cm. 3 2 本章质量评估 (时间:90分钟 满分:120分) 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.下列方程是关于x的一元二次方程的是 ( ) 1 A.x2＋ ＝0 x2 B.ax2＋bx＋c＝0 C.(x-1)(x＋2)＝0D.3x2-2xy-5y2＝0 2.已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个非零根为-b,则a-b的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.-2 3.若方程(a-b)x2＋(b-c)x＋(c-a)＝0是关于x的一元二次方程,则有 ( ) A.a＝b＝cB.一根为1 C.一根为-1 D.以上都不对 x2-x-6 4.若分式 的值为0,则x的值为 ( ) x2-3x＋2 A.3或-2 B.3 C.-2 D.-3或2 5.已知(x2＋y2＋1)(x2＋y2＋3)＝8,则x2＋y2的值为 ( ) A.-5或1 B.1 C.5 D.5或-1 6.已知方程x2＋px＋q＝0的两个根分别是2和-3,则x2-px＋q可分解为 ( ) A.(x＋2)(x＋3) B.(x-2)(x-3) C.(x-2)(x＋3) D.(x＋2)(x-3) 7.已知α,β是方程x2＋2006x＋1＝0的两个根,则(1＋2008α＋α2)(1＋2008β＋β2)的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2-6x＋8＝0的解,则这个三角形的周长是 ( ) A.8 B.8或10 C.10 D.8和10 9.关于x的一元二次方程x2＋2(m-1)x＋m2＝0的两个实数根分别为x,x,且x＋x>0,xx>0,则m的取值范围 1 2 1 2 1 2 是 ( ) 1 1 A.m≤ B.m≤ 且m≠0 2 2 C.m<1 D.m<1且m≠0 10.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促 销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克,另外,每天的 房租等固定成本共24元,为了减少库存,该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低 ( ) A.0.2元或0.3元 B.0.4元 C.0.3元 D.0.2元 二、填空题(每小题4分,共24分) 1 11.方程 x(x-3)＝5(x-3)的根是 . 2 12.把方程(1-2x)(1＋2x)＝2x2-1化为一元二次方程的一般形式为 . 1 2 1 13.如果 - -8＝0,则 的值是 . x2 x x 14.关于x的方程(m2-1)x2＋(m-1)x＋2m-1＝0是一元二次方程的条件是 . 15.方程x2-5|x|＋4＝0的所有实数根的和是 . 1 16.代数式 x2＋8x＋5的最小值是 . 2 三、解答题(共66分) x 17.(6分)如果x2-10x＋y2-16y＋89＝0,求 的值. y 18.(6分)(2014·怀化模拟)若实数x,y,z满足x＝4-y,z2＝xy-4,求证x＝y. 19.(8分)解方程. (1)2(x＋2)2-8＝0; (2)x(x-3)＝x; (3)❑√3x2＝6x-❑√3; (4)(x＋3)2＋3(x＋3)-4＝0. 20.(8分)阅读下面的材料,回答问题:解方程x4-5x2＋4＝0,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常如下: 设x2＝y,则x4＝y2,于是原方程可变形为y2-5y＋4＝0,① 解得y 1 ＝1,y 2 ＝4. 当y＝1时,x2＝1,∴x＝±1; 当y＝4时,x2＝4,∴x＝±2; ∴原方程有四个根:x＝1,x＝-1,x＝2,x＝-2. 1 2 3 4 (1)在由原方程得到方程①的过程中,利用 法达到了 的目的,体现了数学的转化思想. (2)解方程(x2＋x)2-4(x2＋x)-12＝0. 21.(8分)如图所示的是丽水市统计局公布的2010~2013年全社会用电量的折线统计图. (1)根据统计图填写统计表: 2010~2013年丽水市全社会用电量统计表 年份 2010 2011 2012 2013 全社会用电量 13.33 (单位:亿KW·h) (2)根据丽水市2010年至2013年全社会用电量统计数据,求2011~2013年全社会用电量的年平均增长率(保 留到0.01). 22.(10分)某商场服装部销售一种名牌衬衫,平均每天可售出30件,每件盈利40元.为了增加销量,减少库存,商 场决定降价销售,经调查,每件降价1元时,平均每天可多卖出2件. (1)若商场要求该服装部每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)当每件衬衫降价多少元时,商场服装部每天盈利最多? 1 1 23.(10分)设a,b,c是ΔABC的三条边,关于x的方程 x2＋❑√bx＋c- a＝0有两个相等的实数根,方程3cx＋2b 2 2 ＝2a的根为x＝0. (1)试判断ΔABC的形状. (2)若a,b为方程x2＋mx-3m＝0的两个根,求m的值. 24.(10分)已知关于x的方程a2x2＋(2a-1)x＋1＝0有两个不相等的实数根x,x. 1 2 (1)求a的取值范围; (2)是否存在实数a,使方程的两个实数根互为相反数?如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由. 1 解:(1)根据题意,得Δ＝(2a-1)2-4a2>0,解得a< .∴当a<0时,方程有两个不相等的实数根. (2)存在.理由如下: 4 2a-1 1 1 如果方程的两个实数根x 1 ,x 2 互为相反数,则x 1 ＋x 2 ＝- a2 ＝0,① 解得a＝ 2 ,经检验,a＝ 2 是方程①的根. 1 ∴当a＝ 时,方程的两个实数根x 与x 互为相反数.上述解答过程是否有错误?如果有,请指出错误之处,并解 2 1 2 答. 【答案与解析】 1.C 2.A 3.B 4.A5.B 6.D 7.D 8.C 9.B 10.C 11.x＝3或x＝10 12.3x2-1＝0 13.4,-2 14.m≠±1 15.0 16.-27 x 5 17.解:由x2-10x＋y2-16y＋89＝0,得(x-5)2＋(y-8)2＝0,∴x＝5,y＝8,∴ ＝ . y 8 18.证明:∵x＝4-y,∴z2＝xy-4＝(4-y)y-4＝-y2＋4y-4＝-(y-2)2≥0,∴y＝2,则x＝2,∴x＝y. 19.解:(1)整理得(x＋2)2＝4,即x＋2＝±2,∴x＝0,x＝-4. (2)整理得x(x-3)-x＝0,即x(x-3-1)＝0,x(x-4)＝0,∴x＝ 1 2 1 0,x＝4. 2 (3)整理得❑√3x2-6x＋❑√3＝0,即x2-2❑√3x＋1＝0,由求根公式得x＝❑√3＋❑√2,x＝❑√3-❑√2. 1 2 (4)设x＋3＝y,则原方程可变为y2＋3y-4＝0,解得y＝-4,y＝1,当y＝-4,即x＋3＝-4时,x＝-7,当y＝1,即x＋3＝ 1 2 1时,x＝-2.∴原方程的解为x＝-7,x＝-2. 1 2 20.解:(1)换元 降次 (2)设x2＋x＝y,则原方程可化为y2-4y-12＝0,解得y＝6,y＝-2.由x2＋x＝6,得x＝-3,x 1 2 1 2 ＝2.由x2＋x＝-2,得方程x2＋x＋2＝0,Δ＝b2-4ac＝1-4×2＝-7<0,此时方程无解.所以原方程的解为x＝-3,x＝2. 1 2 21.解:(1)根据已知填表如下: 年份 2010 2011 2012 2013 全社会用电量 13.33 14.73 17.05 21.92 (单位:亿KW·h) (2)设2011~2013年平均每年增长率为x,由2011年用电量为14.73亿KW·h,知2012年用电量为14.73(1＋x) 亿KW·h,2013年用电量为14.73(1＋x)2亿KW·h,则可列方程14.73(1＋x)2＝21.92,开平方得1＋x≈±1.22,解得 x≈0.22＝22%,x≈-2.22(舍去).所以2011~2013年全社会用电量的年平均增长率约为22%. 1 2 22.解:(1)设每件应降价x元,由题意列出方程为(40-x)·(30＋2x)＝1200,解得x＝0,x＝25,当x＝0时,能卖出30 1 2 件;当x＝25时,能卖出80件.因为要增加销量,减少库存,所以降价25元符合题意.故每件衬衫应降价25元. (2)设商场每天盈利W元,由(1)知W＝(40-x)·(30＋2x)＝-2x2＋50x＋1200＝-2(x2-25x)＋1200＝-2(x-12.5)2＋ 1512.5,当每件衬衫降价12.5元时,商场服装部每天盈利最多,为1512.5元. 1 1 1( 1 ) 23.解:(1)∵ x2＋❑√bx＋c- a＝0有两个相等的实数根,∴Δ＝(❑√b)2-4× c- a ＝0,整理得a＋b-2c＝ 2 2 2 2 0,① 又∵3cx＋2b＝2a的根为x＝0,∴a＝b,② 把②代入①得a＝c,∴a＝b＝c,∴ΔABC为等边三角形. (2)由 (1)知ΔABC为等边三角形,∴a＝b,∵a,b是方程x2＋mx-3m＝0的两个根,∴Δ＝m2-4×(-3m)＝0,即m2＋12m＝ 0,∴m＝0,m＝-12.当m＝0时,原方程的解为x＝0(不符合题意,舍去),∴m＝-12. 1 2 24.解:上述解答有错误.(1)若方程有两个不相等的实数根,则方程首先满足是一元二次方程,∴a2≠0且满足Δ＝ 1 1 1 (2a-1)2-4a2>0,∴a< 且a≠0. (2)a不可能等于 .由(1)知当方程有两个不相等实数根时,a的取值范围是a< 4 2 4 1 1 > 且a≠0,而a＝ (不符合题意),∴不存在这样的a值,使方程的两个实数根互为相反数. 2 4