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第 28 课 相似三角形（解答题）
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、解答题
1．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝8，BC＝24，CD＝18，AD＝6，求AE、
BE的长．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
3．如图，在 中， ， ， ， ．
（1）求证： ∽ ；
（2）求 的长度．
4．如图，平行四边形ABCD中，点E是BC上一线，连接AE，连接DE，F为线段DE上一点，且
∠AFE=∠B．求证：△ADF∽△DEC；
5．如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的角平分线，且 ，求证：△ABC∽△DAC．6．如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO＝78cm，BO＝42cm，CD＝159cm，求CO和DO．
7．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD•AB，求证：△ACD∽△ABC．
8．如图，在矩形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，求证：
△DEC∽△ADF．
9．在 中，D为 上的一点，E为 延长线上的一点， 交 于F．求证：
10．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF
保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面
的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．11．已知，如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，∠ADE=60°．
求证：△ABD∽△DCE．
12．如图，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，
（1）求证： ；
（2）若3AB=2AD，且DE=6，求BC的长．
13．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面，上树AB的高度，已知两直角边
，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一
直线上，DM垂直于地面，测得 ，边DF离地面的距离为 ，求树高AB．
14．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F．求证：
△CDE∽△CBF；15．如图，已知 ．求证： ．
16．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC、AC上，且∠ADE＝60°，求证：BD•CD＝AC•CE．
17．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．
18．如图，已知，在平行四边形ABCD中，E为射线CB上一点，联结DE交对角线AC于点F，∠ADE＝
∠BAC．
（1）求证：CF•CA＝CB•CE；
（2）如果AC＝DE，求证：四边形ABCD是菱形．19．如图，在等边 中，点 是 边上的一个动点（不与点 ， 重合），以 为边作等边
， 与 交于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，且 ，求 的面积．
培优第二阶——拓展培优练
一、解答题
1．如图， 和 都是等腰直角三角形， ， ， ，连接 ，
，求 的值．
2．如图，在矩形 中，E是边 的中点， 于点F．(1)求证： ．
(2)已知 ，求 的长．
3．小明和小刚都是篮球迷，他们常常晚上写完作业后，抽出一点时间到小区附近的室外篮球场打篮球，
小明注意到篮球场两侧有两个一样高的路灯，他想正好可以用所学的知识来测量一下路灯的高度，便设计
出如下的测量方案如图，用 、 两点表示路灯， 、 、 ，小明站在 上的
处．小刚帮他测得他在路灯主照射下的影长 米，在路灯 照射下的影长 米．已知小明的
身高 米，篮球场的宽 米，请根据以上数据计算出路灯的高度（ 或 的长）．
4．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，
AE²=AQ·AB求证：
(1)∠CAE=∠BAF；
(2)CF·FQ=AF·BQ
5．已知：如图，在四边形ABCD中， ，点E在边BC上，且 ，作
交线段AE于点F，连接BF．(1)求证： ：
(2)如果 ，求证： ．
6．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），
BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)连接BD，交EF于点Q，求证：DQ•BC＝CE•DF．
7．阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校
里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为
1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站
在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔
（2）请求出丙树的高度．
8．如图，在 中， ， ， ，动点P从点A开始沿着边AB向点B以
的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以 的速度移动（不与点
C重合）．若P、Q两点同时移动 ．(1)当移动几秒时， 的面积为 ．
(2)设四边形APQC的面积为 ，当移动几秒时，四边形APQC的面积为 ？
(3)当移动几秒时， 与 相似？
9．四边形 ，点 是对角线 上一点，将一个含有 角的三角板的直角顶点与点 重合，使其一
条直角边经过点 ，另一条直角边与 交于点 ．
(1)如图1，若四边形 是正方形，求证： ；（请用两种方法证明）
(2)如图2，若四边形 是矩形，且 ， ，猜想 与 之间的数量关系，并证明．
10．在等边 ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，连接BD、AE相交于点F．
△
(1)如图1，当 时， =__________；
(2)如图2，求证： AFD∽△BAD；
(3)如图3，当 △ 时，猜想AF与BF的数量关系，并说明理由．
11．如图1，在 中，对角线DB⊥BC，将△ADB绕点A按逆时针方向旋转得到 ，点E在线段
D′D的延长线上，且 ．
(1)若旋转角 =94°，求 的度数；
(2)如图2，连接B 交DE于点F，求证：DF=EF；(3)在（2）的条件下，若 ，试探究D 与B 的数量关系．
12．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接
FC（AB＞AE）．
(1)求证：△AEF∽△DCE；
(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
(3)设 ，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若
不存在，请说明理由．
13．如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H
点，交CD于G点．
(1)求证：△BGC∽△DGF；
(2)求证： ；
(3)若点G是DC中点，求 的值．
14．在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点 ，点 ，点 ．以点O为中心，
顺时针旋转矩形OABC，得到矩形ODEF，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．
(1)如图①，当 时，求点D的坐标；
(2)如图②，当点E落在OC的延长线上时，求点D的坐标；
(3)当点D落在线段AC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．
15．解答
(1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求
证： ；
(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，N分别在边BC，CD上，若 ，求 的值；
(3)如图3四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，，求
的值．
16．在正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（与点B、C不重合），以AE为直角边在直线BC上方作
等腰直角三角形AEF， ．(1)如图1，若EF与CD交于点G，连接CF．
①求证： ；
②求 的值；
③若正方形ABCD的边长为1，在点E运动过程中，则以A、D、F为顶点的三角形周长的最小值为
_________；
(2)如图2，若AF与CD交于点P，连接BD分别与AE、AF交于点M、N，连接PM．求证： ．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、解答题
1．（2022·吉林长春·中考真题）如图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为
1，其顶点称为格点， 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，
保留作图痕迹．
(1)网格中 的形状是________；
(2)在图①中确定一点D，连结 、 ，使 与 全等：
(3)在图②中 的边 上确定一点E，连结 ，使 ：
(4)在图③中 的边 上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结 ，使 ，且相似比
为1：2．
2．（2022·山东枣庄·中考真题）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方
向以每秒 cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运
动，设运动的时间为t秒．
(1)如图①，若PQ⊥BC，求t的值；
(2)如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？
3．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段
AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
4．（2022·山东威海·中考真题）回顾：用数学的思维思考
(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
(2)猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于
点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问
题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
如图2，在 ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的
字母），使得BD＝CE，并证明．
△
(3)探究：用数学的语言表达
如图3，在 ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延
长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．
△
5．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在平行四边形 中， 是一条对角线，且 ，
， ， 是 边上两点，点 在点 的右侧， ，连接 ， 的延长线与 的延长线
相交于点 ．(1)如图1， 是 边上一点，连接 ， ， 与 相交于点 ．
①若 ，求 的长；
②在满足①的条件下，若 ，求证： ；
(2)如图2，连接 ， 是 上一点，连接 ．若 ，且 ，求 的
长．
6．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中， ， ．点E是线段AD上的动点
（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作 ，交AB于点F．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接CF，过点B作 ，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．
①求 的最小值；
②当 取最小值时，求线段DE的长．
