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专题突破卷 15 立体几何中的截面问题
题型一：判断正方体截面的形状
1．如图，在正方体 中， 为 中点， 为线段 上一动点，过
的平面截正方体的截面图形不可能是（ ）
A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
【答案】A
【分析】根据点 在 、 以及 三个特殊位置时，截面图形的形状，选出正确选项.【详解】B选项，当点 与 重合时，
取 中点 ，因为 是 中点，则 ，且 ，
连接 ，则四边形 为平行四边形，
又因为 ，所以平行四边形 为矩形，故排除B选项；
C选项，当点 与 重合时，
取 中点 ，因为 是 的中点，所以 ，
连接 ，截面四边形 为梯形，故排除C选项；
D选项，当点 为 中点时，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！因为 是 中点，所以 且 ，
连接 ，则四边形 是平行四边形，
又因为 ，
，
因为是正方体，所以 ，所以 ，
所以平行四边形 是菱形，故排除D选项；
不管点 在什么位置，都不可能是三角形.
故选：A.
2．已知正方体 的棱长为2，点M、N、P分别为棱AB、 、 的中点，
则平面MNP截正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过平行画出截面为正六边形，然后结合正三角形面积计算其面积即可.
【详解】如图所示，分别取 ， ， 的中点 ， ， ，
连接 ， ， ， ， ，则 ， .因为 ，所以 ，同理得 ， .
由基本事实及其三个推论得 ， ， ， ， ， 六点共面，
所以平面 截正方体 所得的截面是六边形.
根据正方体的性质可知截面 是边长为 的正六边形，
所求面积 .
故选：B
3．已知正方体 的棱长为6，点 ， 分别在棱 ， 上，且满足
，点 为底面 的中心，过点 ， ， 作平面 ，则平面
截正方体 所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由于上下底平行，则可得平面 与上下底面的交线平行，则可得 为平面
与上底面 的交线， 为平面 与下底面 的交线，则梯形 为
平面截正方体的截面，可证得梯形 为等腰梯形，根据已知的数量关系求解即可.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】连接 ， ， 与 交点即为 ，
因为 ，所以 ‖ ，
因为 ‖ ，所以 ‖ ，
所以 共面，
所以平面 截正方体 所得的截面为梯形 ，
因为正方体 的棱长为6，且 ，
所以 ，
在 中， ，则 ，
在 中， ，则
，
在 ， ，则
，
过 作 于 ，则 ，
所以 ,
所以等腰梯形 的面积为
,
故选：A4．在长方体 中， ，点 是线段 上靠近 的四等分
点，点 是线段 的中点，则平面 截该长方体所得的截面图形为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】C
【分析】延长 交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，延长 交
的延长线于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，即可得到截面图形，再利用相
似验证即可.
【详解】延长 交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
延长 交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
则五边形 为平面 截该长方体所得的截面图形，
不妨设 ，又点 是线段 上靠近 的四等分点，点 是线段
的中点，
所以 ， ， ，所以 ，又 ，
所以 ，又 ，所以 ，
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！又 ，即 ，解得 ，
又 ，即 ，解得 ，符合题意，
即五边形 为平面 截该长方体所得的截面图形.
故选：C
5．如图，在棱长为2的正方体 中，内部有一个底面垂直于 的圆锥，
当该圆锥底面积最大时，圆锥体积最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取 的中点，记为 ，当圆锥底面内切于
正六边形 时该圆锥的底面积最大，结合圆锥体积公式计算即可得解.
【详解】如图所示，取 的中点，记为 ，
易知六边形 为正六边形，此时 的中点 在正六边形的中心，
当圆锥底面内切于正六边形 时该圆锥的底面积最大，设此时圆锥底面圆半径为 ，因为 ，所以 ，
圆锥底面积为 ，圆锥顶点为 （或 ）处，
此时圆锥体积最大，此时 .
故选：C.
6．在正方体 中，点 分别为棱 的中点，过点 三点作该
正方体的截面，则（ ）
A．该截面多边形是四边形
B．该截面多边形与棱 的交点是棱 的一个三等分点
C． 平面
D．平面 平面
【答案】B
【分析】将线段 向两边延长，分别与棱 的延长线，棱 的延长线交于 ，连
分别与棱 交于 ，可判断A；利用相似比可得 ，可判断
B；证明 平面 即可判断C；通过证明 平面 ，可判断D.
【详解】对于A，将线段 向两边延长，分别与棱 的延长线，棱 的延长线交于
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连 分别与棱 交于 ，得到截面多边形 是五边形，A错误；
对于B，易知 和 全等且都是等腰直角三角形，所以 ，
所以 ，即 ，点 是棱 的一个三等分点，B正确；
对于C，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，同理可证 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
因为平面 与平面 相交，所以 与平面 不垂直，C错误；
对于D，易知 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ，
结合C结论，所以平面 与平面 不平行，D错误.
故选：B．7．在正方体 中， 分别为 的中点，若 ，则平面
截正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】借助正方体截面的性质可得该截面是边长为 的正六边形，计算其面积即可得.
【详解】如图，过点 作 的平行线交 于点 ，过点 作 的平行线交 于点 ，
过点 作 的平行线交 于点 ，易知点 都在截面 内，
且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为 的正六边形，
所求面积 .
故选：D.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8．已知正方体 的边长为1，现有一个动平面 ，且 平面 ，当平
面 截此正方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为 ，周长为 ，则（ ）
A． 不为定值， 为定值 B． 为定值， 不为定值
C． 与 均为定值 D． 与 均不为定值
【答案】A
【分析】利用正方体棱的关系，判断平面 所成的角都相等的位置，可知截面边数最多时
为六边形.如图所示，可计算出周长为定值，计算正三角形 的面积和截而为正六边形
时的截面面积通过比较即可得答案.
【详解】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，与面 平行的面且截面是六边形
时满足条件，如图所示，
正方体边长为1，即
设 ，则 ，
，
同理可得六边形其他相邻两边的和均为 ，
六边形的周长 为定值 ，
正三角形 的面积为 .
当 均为中点时，六边形的边长相等即截面为正六边形时截面面积最大，此时 ,截面面积为 ，
截面从 平移到 的过程中，截面面积的变化过程是由小到大，再由大到小，故
可得周长 为定值，面积 不为定值.
故选：A
9．已知正方体 的棱长为 为棱 的中点， 为侧面 的中心，过
点 的平面 垂直于 ，则平面 截正方体 所得的截面面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】取 的中点 ，由 ，证得 ，再由 平面
，证得 ，从而得到 平面 ，同理证得 ，利用线面垂
直的判定定理，证得 平面 ，得到平面 截正方体的截面为 ，进而求得
截面的面积，得到答案.
【详解】如图所示，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！取 的中点 ，分别连接 ，
在正方形 中，因为 分别为 的中点，可得 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
又因为 分别为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，所以 ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，同理可证： ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
即平面 截正方体 的截面为 ，
由正方体 的棱长为 ，
在直角 中，可得 ，
在直角 中，可得 ，
在直角 中，可得 ，
所以截面的面积为 .
故选：D.10．在棱长为 的正方体 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，
动点 在平面 内，且 .则下列说法正确的是（ ）
A．存在点 ，使得直线 与直线 相交
B．存在点 ，使得直线 平面
C．直线 与平面 所成角的大小为
D．平面 被正方体所截得的截面面积为
【答案】C
【分析】连接 ， ，取 的中点 ，连接 ，点 到线段 的最短距离大于 ，
即可判断 ；建立空间直角坐标系，点 到平面 的距离为 ，即可判断
；由 平面 ，连接 交 于点 ， 与 全等，所以
，即可判断 ；平面 被正方体所截得的截面图形为正六边形，且
边长为 ，可求截面面积.
【详解】
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！连接 ， ，所以 ， ，取 的中点 ，连接 ，
所以 ，点 到线段 的最短距离大于 ，所以不存在点 ，使得直线
与直线 相交，故 不正确；
以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标
系，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，所以 ，即 ，
令x=1，则 ， ，所以 ，
所以点 到平面 的距离为 ，而 ，所以不存在点 ，使
得直线 平面 ，故 不正确；
因为 ，所以 平面 ，连接 交 于点 ，所以 为 的中点，
，所以 为直线 与平面 所成角，
因为 ，在 中， ，
所以 ，因为 与 全等，所以 ，故 正确；
延长 交 的延长线于 ，连接 交 于 ，连接 ，取 的中点 ， 的
中点 ，
连接 ， ， ， ， ， ，
平面 被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为 ，
所以截面面积为 ，故 不正确.
故选： .
题型二：球的截面性质与计算
11．已知正三棱锥 的外接球是球 ，正三棱锥底边 ，侧棱 ，点
在线段 上，且 ，过点 作球 的截面，则所得截面圆面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】设 的外接圆的圆心为 ，根据 中， ，解得 ，过
点 作圆 的截面，当截面过球心时，截面面积最大，由此能求出所得截面圆面积的最大
值．
【详解】如图，设 的中心为 ，球 的半径为 ，连接 ， ，
则 ， ，
在 中， ，解得 ，
当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为 ．
所得截面圆面积的最大值为 ．
故选：D．
12．已知球O的体积为 ，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面 被球O所截
的截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据球的体积公式，结合球的截面的性质进行求解即可.
【详解】设球O的半径为R，则 ，解得 .
因为点A到球心O的距离为3，
所以过点A的平面 被球O所截的截面圆的半径的最小值为 ，
则所求截面面积的最小值为 .
故选：C13．在正六棱柱 中， ， 为棱 的中点，以 为球心，
为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，画出图形，设 分别为 的中点，连接
，由题意可知球 不与侧面 及侧面 相交，球 与
侧面 交于点 ，与侧面 交于点 ，然后分别判断与其余4个面的交线，
求出球面与正六棱柱各个面所交的弧线的长度之和即可
【详解】因为球 的半径为6， ，所以球 不与侧面 及侧面 相交，
设 分别为 的中点，连接 ，
则由题意可得 ，
所以 ，
所以球 与侧面 交于点 ，与侧面 交于点 ，
在正六边形 中，因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 平面 ，且 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，
所以球 与侧面 的交线是以 为直径的半圆，
同理可得球 与侧面 的交线是以 为直径的半圆，
因为 ，所以球 与上下底面的交线均为 个半径为 的圆，
所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为
故选：D
14．已知 ，底面半径 的圆锥内接于球 ，则经过 和 中点的平面截球
所得截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据球的截面性质，结合三角形面积等积性、勾股定理进行求解即可.
【详解】如图，设球 的半径为 ，线段 的中点为 ，因为 ，
所以 ，解得 ，
设经过 和 中点 的平面截球 所得截面圆的圆心为 ，半径为 ，球心 到截面的
距离 ，
则 ，要截面面积最小，则 要最小，即 要最大，
因为当 为点 到 的距离时最大，此时 ，又 ，
所以 ，
所以 ，
故截面面积的最小值为 ．
故答案为： ．
故选：A
15．已知边长为6的正方体与一个球相交，球与正方体的每个面所在平面的交线都为一个
面积为 的圆，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先得截面圆半径，再求得球心到截面圆的距离即可得球的半径，结合球的表面
积公式即可求解.
【详解】由对称性，球心与正方体重心重合，且每个面的交线半径为4.
连球心与任意面中心，则连线长为3，且连线垂直该面，
再连交线圆上一点与球心（即为球半径），由勾股定理得球的半径为5，
则表面积为 .
故选：B.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16．已知三棱锥 的体积是 ，A，B，C是球O的球面上的三个点，且
， ， ，则球O的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理即可求出 的外接圆半径，即可求出三棱锥 的高，利
用余弦定理即可求出 ，可计算出三角形ABC的面积，再利用锥体的体积公式，进
而求解．
【详解】因为 ， ，
所以由正弦定理得， 的外接圆半径为 ，
在 中，由余弦定理可得
，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
∴ ，由球中的截面性质及勾股定理，可知球的半径 ，
所以球O的表面积为： ．
故选：C．
17．已知球O半径为4，圆 与圆 为球体的两个截面圆，它们的公共弦长为4，若， ，则两截面圆的圆心距 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据球心与截面圆心连线垂直圆面，求得两个圆面所成二面角，再根据直角三角
形以及勾股定理求解即可.
【详解】设圆 与圆 公共弦为 ，其中点为 ，
则 ， ，
所以 ， ，
所以在 中， ，所以 ，
在 中， ，所以 ，
所以在 中， ，所以 .
故选：D.
18．球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆面叫做球冠的底，垂直于圆面的直径
被截得的一段叫做球冠的高．球冠也可看作圆弧绕过它的一个端点的直径旋转一周所成的
曲面．假设球面对应球的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积公式为 ．据
中国载人航天工程办公室消息，北京时间2023年12月21日21时35分，经过约7.5小时
的出舱活动，航天员汤洪波、唐胜杰已安全返回天和核心舱，神舟十七号航天员乘组第一
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！次出舱活动取得圆满成功．若航天员汤洪波出仓后站在机械臂上，以背后的地球为背景，
如图所示，面向镜头招手致意，此时汤洪波距离地球表面约为400km（图中的点A处），
设地球半径约为Rkm，则此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 ，结合公式 计算即可求解.
【详解】如图， km，
由 ，得 ，又 ，
则 ，得 ，
所以 （ ）.
即此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为 （ ）.
故选：D
19．若正四面体 的棱长为 ，M为棱 上的动点，则当三棱锥 的外接球的体积最小时，三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据几何性质分析外接球的球心位置，再构造长度的等量关系，即可求解三
棱锥的体积.
【详解】如图，
在正四面体 中，假设 底面 ，则点H为 外心．
在 上取一点O，满足 ，则O为三棱锥 的外接球球心．
当 取得最小值时， 最小，三棱锥 的外接球体积最小，此时点O与点H
重合．
作 ，垂足为N， ，
为三棱锥 的高．
由正四面体 的棱长为 ，易知 ，
所以 ， ， ．
由 ，设 ，则 ， ．
由 ，得 ，解得 ．
． ．
故选：A
20．四棱锥 各顶点都在球心 为的球面上，且 平面 ，底面 为
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！矩形， ，设 分别是 的中点，则平面 截球 所得
截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据线面垂直关系可得四棱锥 外接球与以 为棱长的长方体
的外接球相同，确定外接球半径 ，根据线面关系求解三棱锥 的体积，利用等体
积法确定球心 到平面 的距离为 ，从而得截面面积.
【详解】因为 平面 ，底面 为矩形，
如下图所示，
易知四棱锥 外接球与以 为棱长的长方体的外接球相同；
由题意可知球心 为 中点，
故球O的直径 ，解得
由 分别是 的中点可得 ，因为 平面 ，可得 平面 ；
所以球心 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
设球心 到平面 的距离为 ，截面圆的半径为 ，
因为 ， 分别是 的中点，所以 ，且 ，
又 ，
所以 ，故 ，又 平面 ，所以
平面 ，
且 ，所以 ，
而 ，由等体积法得 ，所以 ，故截面面积为 ．
故选：B.
题型三：求算正方体截面的周长及其它
21．正方体 的棱长为1，E，F，G分别为 的中点，下列结论
中正确的是（ ）
A．
B． 平面
C．直线 与直线 所成角的余弦值为
D．平面 截正方体所得的截面面积为
【答案】D
【分析】利用空间中直线、平面的位置关系及异面直线夹角的求法、平面的性质结合正方
体的特征计算即可.
【详解】易知 ，而 底面 ， 底面 ，即 ，
所以 与 不垂直，故A错误；
在平面 中，易知 ，且 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，显然平面 平面 ，但两平面不重合，故B错误；
取 的中点H，易得 ，
则异面直线 与 所成角为 （或其补角），
由正方体棱长为1可知 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由余弦定理可知 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故C错误；
连接 ，易得 ，则平面 截正方体所得图形即梯形 ，
易知 ，
所以梯形 的面积 ，故D正确.
故选：D
22．如图，正方体 的棱长为2，E，F分别为 ， 的中点，则平面
截正方体所得的截面面积为（ ）
A． B． C．9 D．18
【答案】B
【分析】根据 ， 分别是 ， 的中点，得到 ，利用正方体的结构特征，有 ，从而有 ，由平面的基本性质得到 在同一平面内，截面
是等腰梯形，再利用梯形面积公式求解.
【详解】由题知连接 ， ， ，如图所示
因为 分别是 的中点，所以 ，
在正方体中 ，所以 ，
所以 在同一平面内，
所以平面 截该正方体所得的截面为平面 ，因为正方体的棱长为 ，
所以 ， ， ，
则 到 的距离为等腰梯形 的高为 ，
所以截面面积为 ，故B正确.
故选：B.
23．如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，用过点 ，E，
的平面截正方体，则截面周长为（ ）
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． B．9 C． D．
【答案】A
【分析】作出正方体的截面图形，求出周长即可.
【详解】
如图，取AB的中点G，连接GE， ， ．
因为E为BC的中点，所以 ， ，
又 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以用过点 ，E， 的平面截正方体，所得截面为梯形 ，
其周长为 ．
故选：A．24．如图，正方体 的棱长为3，点P是平面 内的动点，M，N分别为
， 的中点，若直线BP与MN所成的角为 ，且 ，则动点P的轨迹所围
成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ， ，得到 ，把BP与MN所成的角就是直线BP与 所成
的角，在正方体 中，证得 平面 ，得到 ，设 与平
面 的交点为G，连接PG，结合题意，得到点P的轨迹是以G为圆心， 为半径的圆，
根据圆的面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，连接 ， ，则N为 的中点，又M为 的中点，所以
，
因此直线BP与MN所成的角就是直线BP与 所成的角，
在正方体 中，可得 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！因为 平面 ， 平面 ，可得 ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，同理可得 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，则 ．
设 与平面 的交点为G，连接PG，所以 ，
在直角 中， ，因为 ，所以 ，
又由 ，所以 ，
所以点P的轨迹是以G为圆心， 为半径的圆，其面积为 .
故选：A.
25．如图，在棱长为1的正方体 中， 分别为棱 上的动
点（点 不与点 重合）．若 ，则下列说法正确的个数是（ ）①存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ；
②直线 与 所成角为 ；
③ 平面 ；
④用平行于平面 的平面 去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为
.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据已知得出 到平面 的距离的范围，即可得出①；平移即可得出②正确；
根据①可知平面 平面 ，进而说明 与平面 相交即可判断③；根据已
知作出截面，即可求出周长.
【详解】对于①，连接 ，如图1所示：
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！因为 ，所以易知 ，
且平面 平面 ，
又已知三棱锥 各条棱长均为 ，所以三棱锥 为正四面体，
所以 到平面 的距离为： ，
因为 平面 ，所以 ，又 ，且 ，
平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
同理可得 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ，所以 到平面 的距离 ，且 ，故①正确；
对于②，易知 ，直线 与 所成角即等于 与 所成角或其
余角.
因为 均为正方体的面对角线，所以 为等边三角形，
所以， ，即直线 与 所成角为 ，故②正确；
对于③，连接 ，由①可知平面 平面 ，
又因为 平面 平面 ，所以 不平行于平面 ，所以 平面
不成立，故③错误；
对于④，如图2，在 上取点 ，过点 作 交 于 ，过 作 交 于 ，
以此类推，依次可得点 ，此时截面为六边形，根据题意可知：
平面 平面 ，不妨设 ，
所以 ，所以 ，
所以六边形的周长为： ，故④正确.
综上所述，正确的为①②④.
故选：C.
26．已知正方体 的棱长为3， ， 分别为棱 ， 的中点，点 是
棱 上靠近点 的三等分点，则平面 截该正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先作出截面，然后根据梯形面积公式求得正确答案.
【详解】如图所示， ， 分别是 ， 中点，则 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！作 ，交 于 ，连接 ，并延长交 的延长线于点 ，
连接 ，并延长交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，交 于点 ，
则 为过 ， ， 三点的截面．
由于平面 平面 ，且与平面 的截面分别相交于 ，
由面面平行的性质定理得 ，从而有 ， ， ，
则 ， ，因为 是 中点， ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
同理 ， ， ， ， ，
梯形 是等腰梯形，且梯形 与梯形 全等，
高为 ，
截面面积 ．
故选：B
27．在直四棱柱 中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱 ，E是
BC的中点，F是棱 上的点，且 ，过 作平面 ，使得平面 平面AEF，
则平面 截直四棱柱 ，所得截面图形的面积为（ ）A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根据四棱柱的几何性质以及面面平行的判定定理求解.
【详解】
如图，取 的中点M，在 上取一点H，使得 ，连接 ，如
上图，
则 ， 平面 ，
平面AEF， 平面 平面 ；
即过 点平行于平面AEF的平面截四棱柱 的图形是三角形 ，
其中 ，
，
故选：A.
28．在正方体 中， 分别为棱 的中点，动点 平面
， ，则下列说法错误的是（ ）
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． 的外接球面积为 B．直线 平面
C．正方体被平面 截得的截面为正六边形D．点 的轨迹长度为
【答案】D
【分析】可证明正方体被平面 截得的截面为正六边形，故可判断C的正误，利用面
面平行的判定定理可判断B的正误，利用补体法可求 的外接球的直径后可判断A
的正误，利用向量的方法可求 到平面 的距离，从而可求点 的轨迹长度，故可判
断D的正误.
【详解】如图，设 的中点分别为 ，连接 .
由正方体的性质可得 ，而 为三角形 的中位线，
故 ，故 ，故 四点共面，
同理， 也四点共面，故 五点共面，
同理 也四点共面，故 六点共面.
正方体被平面 截得的截面为六边形，
，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
而平面 平面 ，故 ，
而 为三角形 的中位线，故 ，故 ，
但 与 方向相反，故 与 互补，而 为等边三角形，
故 ，故 ，同理 ，
故正方体被平面 截得的截面为正六边形，故C正确.
由 ， 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
同理故 平面 ，而 平面 ，
故平面 平面 ，而 平面 ，故 平面 ，故B正确.
对于A，将三棱锥 补成如图所示的长方体 ，
其中 分别为 、 的中点，
则其外接球的直径即为 的体对角线的长度即 ，
故三棱锥 的外接球的表面积为 ，故A正确.
建立如图所示的空间直角坐标系，
38
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
故 ，取 ，则 ，
故 ，而 ，
故 到平面 的距离为 ，
而 ，故点 的轨迹为平面 与球面的截面（圆），
该圆的半径为 ，故圆的周长为 ，故D错误.
故选：D.
29．如图，在棱长为 的正方体 中， 分别为棱 的中点， 为
线段 上一个动点，则下列说法不正确的是（ ）A．存在点 ，使直线 平面
B．存在点 ，使平面 平面
C．三棱锥 的体积为定值
D．平面 截正方体所得截面的最大面积为
【答案】B
【分析】对于A项，可以通过取 的中点H、I，连接HI交 于G点，判定即可；
对于B项，通过反证，利用面 与面 和面 的交线PG、DH是否能平行来判
定；对于C项，通过等体积法转化即可判定；对于D项，讨论截面的形状并计算各交线长
来判定即可
【详解】对于A项，如图所示，取 的中点H、I，连接HI交 于G点，
此时 ，由正方体的性质可得 ， ，
平面 ，所以 平面 ，故A正确；
40
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！对于B项，如图所示，连接 ， 为侧面 的中心，
则面 与面 和面 分别交于线PG、DH，
若存在G点使平面 平面 ，则 ，又 ，
则四边形 为平行四边形，即 ，而 ，
此时 应在 延长线上，故B错误；
对于C项，随着G移动但G到面 的距离始终不变即 ，
故 是定值，即C正确；
对于D项，若 点靠C远，如图一所示，过G作 ，即截面为四边形 ，
当截面在正方体底面上的投影面积越大，其面积就越大，如下图，显然当 在底面的投影为 点时，截面为四边形 面积最大，
此时 为侧面 的中心，最大值为 ，
若 靠C近时（图二），G作 ，延长 交 、 延长线于M、H，
连接MK、 交 ， 于 ，则截面为六边形 ，
当截面在正方体底面上的投影面积越大，其面积就越大，
如下图，六边形 在正方体底面的投影为六边形 ，
设
所以 ，
当 时， 取得最大值.
设
则当 在底面的投影为 点时，截面为四边形 面积最大，
42
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！当 为中点时取得最大值，最大值为 ， ，D正确.
故选：B.
30．已知正方体 的棱长为2，点 为线段 的中点，若点 平面 ，
且 平面 ，则平面 截正方体 所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】记 的中点分别为E，F，先证三角形 即为平面 截正方体所得截面，
然后可得周长.
【详解】记 的中点分别为E，F，连接 ，
由正方体性质可知， 平面 ，
因为 平面 ，所以
又 为正方形，所以
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以
因为P，E分别为 的中点，所以 ，所以 ，
同理可证，
又 ， 平面
所以 平面 ，
所以三角形 即为平面 截正方体所得截面，易知三角形 为正三角形，
所以截面周长为 .
故选：C
1．如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体 ）放置在水平
面 的上方，点 恰在平面 内，点 到平面 的距离为2，若容器中装有水，静止时水
面与表面 的交线与 的夹角为0，记水面到平面 的距离为 ，则（ ）
A．平面 平面
B．点 到平面 的距离为8
C．当 时，水面的形状是四边形
44
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！D．当 时，所装的水的体积为
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，求得平面 、平面 的法向量计算可判断A；根据向
量法计算可判断B；当 ，水面为六边形可判断C；作出水面，利用水面与平面
平行，可计算出水面与 交点 ，再计算 后即可判断D.
【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则 ,
因为静止时水面与表面 的交线与 的夹角为0，所以 平面 ，
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)， ，
点 到平面 的距离为 ， ，
，而 ，
令 ，所以平面 的法向量为 ，
对A， ， ， ， ，
故 平面 ，
所以平面 的法向量为 ，又 ，
所以平面 平面 ，故A正确；对B， ，所以 到平面 的距离为 ，故B正确；
对C，因为 ，所以 ，当
时，截面为六边形，故C错误；
对D，当 时，设水面与 的交点分别为 ，设 ，则 ，
则 ， ，故 ，
设水面与 交点为 ，所以 ，
，此时过 作 交 于点 ，连接 ，
设 的面积为 , 的面积为 ，则 ，
，
所以 ，所以
，故D正确.
故选：ABD
2．如图，正方体 的棱长为3，点E、F，G分别在棱 ， ， 上，
满足 ， ，记平面 与平面 的交线为l，则（ ）
46
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． ， 平面
B．平面 截正方体所得截面图形为六边形的充分不必要条件是
C． 时，三棱锥 的外接球表面积为
D． 时，直线l与平面 所成角的正弦值为
【答案】ACD
【分析】根据线面平行的判定定理判断A；画出截面即可判断B；建立如图空间直角坐标
系，确定球心和半径即可判断C；作出截面，如图，确定交线，利用空间向量法求解线面
角即可判断D.
【详解】A：由题设及正方体结构特征，有 且 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，故A正确；
B：当 时，平面 截正方体所得截面图形为五边形或六边形，
如图，所以充分性不成立，故B错误：
C：以D为原点，以 ， ， 所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐
标系，当 时， ，C (0,3,3)， ， ， ，
1
外接球的球心在过线段 的中点，且垂直于平面 的直线上，
的中点 ，可记球心 ，外接球的半径 ，
所以 ，解得 ， ，
所以三棱锥 的外接球表面积为 ，故C正确；
D：作出截面图形，交 于 ，交 于 ，
直线 即为直线 ， ，又平面 的法向量为 ，
则 与平面 所成的角 满足 ，故D正确.
故选：ACD
48
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3．如图，棱长为2的正方体 的内切球为球 ， 分别是棱 ， 的
中点， 在棱 上移动，则（ ）
A．对于任意点 ， 平面
B．直线 被球 截得的弦长为
C．过直线 的平面截球 所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为
D．当 为 的中点时，过 的平面截该正方体所得截面的面积为
【答案】BC
【分析】令 与 重合，利用特殊位置举反例证明A，建立空间直角坐标系，利用空间向
量求得 两直线所成角，从而求得 到直线 的距离 ，即可求得直线 被球
截得的弦长判断B，确定过直线 的平面截球 的所有截面圆中，半径最小的圆为以直
线 被球 截得的弦长为 为直径的圆，从而求得圆的面积判断C，确定当 为 的中
点时，过 的平面截该正方体所得截面为边长为 的正六边形，利用正弦定理的面
积公式判断D.
【详解】对于A：因为 在棱 上移动，当 与 重合时，平面 即平面 ，
因为 在直线 上，所以 平面 ，所以 与平面平面 相交，A说法错误；
对于B：以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示空间直角坐
标系，则由题意可得 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设直线 与直线 的夹角为 ，则 ，
所以 ，
连接 ，过 作直线 的垂线，垂足为 ，
则在 中由 解得 ，
设直线 被球 截得弦长为 ，则 ，B说法正确；
对于C，过直线 的平面截球 所得的所有截面圆半径最小时， 垂直与于过 的平
面，
此时圆的半径 ，圆的面积为 ，C说法正确；
对于D，当 为 中点时，过 的平面截该正方体所得截面为正六边形 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，
在 中， ，所以边长 ，
所以截面面积 ，D说法错误；
故选：BC
4．如图，棱长为4的正方体 中，点 为 中点，点 在正方体内（含
表面）运动，且满足 ，则点 在正方体内运动所形成的图形的面积为
；若在正方体内有一圆锥，圆锥底面圆内切于正方形 ，圆锥顶点 与正方体上底面
中心重合，则点 运动所形成的图形截圆锥表面得到的椭圆的离心率为
.
【答案】
【分析】取 ， 的中点 连接 ，证明 平面 ，从而得出
在正方体内运动所形成的图形为四边形 内，得出答案；作出截面椭圆，过截面椭圆
的中心作与圆锥底面平行的截面，由圆中的相交弦定理结合正弦定理可得出离心率.
【详解】取 ， 的中点 ，连接 ，则 且 ，
则点 在正方体内运动所形成的图形为四边形 ，
又在正方体中 平面 ，且 平面 ，则 ，
所以四边形 为矩形.
又 ，则
又 ，所以 ，即 ，
由上可知 平面 ，且 平面 ，则 ，由 ，且 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
当点 在正方体内运动所形成的图形为四边形 时， 平面 ，所以满足
，
此时， ，面积为 .
由上可知 为平面 与底面 所成角.
则 ，则 ，故 ，
设截面椭圆的中心为 ，长轴为 ，短轴为 ，
过椭圆的短轴 作与圆锥的底面平行的截面分别交母线 于 两点.
设该截面与圆锥的轴所成角为 ，则 ，则 ，
设圆锥的母线于圆锥的轴所成角为 ，则 . ，
由相交弦定理可得： ，
在 中， ，
所以 ，即 ，
在 中， ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，即 ，
设椭圆的离心率为 ，则
，
所以 .
故答案为： ； .
5．在棱长为6的正方体 中，E为棱 上一动点，且不与端点重合，F，
G分别为 ， 的中点，给出下列四个结论：
①平面 平面 ；
②平面 可能经过 的三等分点；
③在线段 上的任意点H（不与端点重合），存在点E使得 平面 ；
④若E为棱 的中点，则平面 与正方体所形成的截面为五边形，且周长为
.
其中所有正确结论的序号是 .【答案】①③④
【分析】①③利用空间向量法证明线面垂直从而证明面面垂直和判断线面垂直；②利用向
量法求解平面 的法向量，结合平面内直线一定与法向量数量积为0，判断点在平面内；
④利用平面的基本性质作出截面，再求出截面的周长；
【详解】
如图所示建立直角坐标系，以 为原点，以 分别为 为正方向，
，
，设
① ，
因为 ，
所以 是平面 内两条相交直线，则 平面 ，
平面 ，因此平面 平面 ，①正确；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！②取点 为 的三等分点，即 或 ，设平面 的法向量为 ，
，则 ，令 ，所以
当 时， ，若 在平面 中， ，解
得 不合题意；
当 时， ，若 在平面 中， ，解
得 不合题意；②错误；
③在线段 上的任意点H（不与端点重合），设 ，则
，由上可知平面 的法向量为 ，若存在点E使得
平面 ，则有 ，即 ，解得 所以
当 时成立，③正确；
④延长 三线相交于点 ，连接 分别交直线 于点 ,因为
E为棱 的中点，则平面 与正方体所形成的截面为五边形 ，
在正方体中， ，根据三角形相似可得
，则 ，
，因此周长为
.④正确；
故答案为：①③④.6．已知正四棱锥 的所有棱长都为2，点 在侧棱 上，过点 且垂直于 的
平面截该棱锥，得到截面多边形的面积的最大值为 .
【答案】
【分析】取 的中点 ，连接 ，得 平面 ，当点 在 之间时，作平
面 与平面 平行，得到的截面最大为五边形，即可求解．
【详解】解：取 的中点 ，连接 ，则 ，
而 平面 ，得 平面 ，
当点 在 之间时，作 分别交 于点 ，
作 分别交 于点 ，连接 ，则平面 与平面 平行，
得到的截面为五边形，
如图所示：
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！令 ，则 ， ，
可得 ，得 ， ，得 ，
由 ，得 ，
所以 ，
又因为 与 的夹角等于 与 的夹角，且由正四棱锥性质可知 与 垂直，
所以 ，
可得截面的面积为： ，
根据二次函数的性质，可知，当 时， 取得最大值 ，
故答案为：
7．在棱长为 的正方体 中，以 为球心、2为半径的球与正方体的面
相交，则交线长为 .
【答案】
【分析】由题可得球面与底面的交线为以A为圆心， 为半径的弧，即可求出.
【详解】因为在正方体 中， 平面 ，
所以平面 与球的截面是以A为圆心的圆，
且半径为 ，
所以球面与底面 的交线是以A为圆心， 为半径的弧 ，该交线的长度为 .
故答案为： .
8．设 ， 是半径为3的球体 表面上两定点，且 ，球体 表面上动点 满
足 ，则点 的轨迹长度为 .
【答案】
【分析】建立直角坐标系，根据 确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的
交线，计算球心距 ，对应圆的半径为 ，再计算周长得到答案.
【详解】以 所在的平面建立直角坐标系， 为 轴， 的中垂线为 轴：
则 ， ， ，设 ，由 ，可得：
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整理得到： ，故点 在平面的轨迹是以 为圆心，半径 的圆，
转化到空间中：当 绕 为轴旋转一周时， ， 不变，依然满足 ，
故空间中点 的轨迹为以 为球心，半径为2的球，同时点 在球 商，故点 在两球的
交线，为圆，
球心距为 ，
所以 为直角三角形，对应圆的半径为 ，周长为
故答案为：
9．在平面四边形 中， ，将 沿 折起，
使点 到达 ，且 ，则四面体 的外接球为球 ，若点 在线段 上，且
，过点 作球 的截面，则所得截面圆中面积最小的圆半径为 ．
【答案】
【分析】先根据勾股定理逆定理得到 ，再根据直角三角形中线性质找
出外接球的球心，再结合球的截面距离分析，要所得的截面圆中面积最小，只需截面圆半
径最小，只需球心到截面的距离 最大即可．【详解】由题意知， ，
由勾股定理可知， ，所以 ，
取 的中点 ，所以 ，所以四面体 的外接球 在斜边 的
中点处，四面体 的外接球 的半径 ，
根据题意可知，过点 作球 的截面，若要所得的截面圆中面积最小，只需截面圆半径最
小，设球 到截面的距离 ，只需球心到截面的距离 最大即可，
而当且仅当 与截面垂直时，球心到截面的距离 最大，即 ，
取 的中点 ，易知 为等腰三角形，
，所以 ，
所以截面圆的半径为 ．
故答案为： ．
10．已知正方体 的棱长为2，M为 的中点，球O与正方体的各个表面
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【答案】
【分析】设BD，AC交于Q，作 于H，证明 平面 ，所求截面为以H
为圆心的小圆，求圆的面积即可.
【详解】如图：
设BD，AC交于Q，作 于H，
在正方体 中，
平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， ，且两直线在平面BMD内，
所以 平面 ，
在 中，求得 ，故所求截面为以H为圆心的小圆，
半径为 ，故所求面积为 ．
故答案为：
