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第 28 课 相似三角形（解答题）
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、解答题
1．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝8，BC＝24，CD＝18，AD＝6，求AE、
BE的长．
【答案】AE=8，BE=10．
【分析】由△ADE∽△ABC，且DE=8，BC=24，CD=18，AD=6，根据相似三角形的对应边成比例，即可求
得答案．
【解析】解：∵△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵DE=8，BC=24，CD=18，AD=6，
∴AC=AD+CD=24，
∴AE=8，AB=18，
∴BE=AB-AE=10．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用是解此题的关键．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
【答案】证明见解析．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．
【解析】∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键．
3．如图，在 中， ， ， ， ．
（1）求证： ∽ ；
（2）求 的长度．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【分析】（1）由平行线的性质得∠ADE＝∠B， ，从而可得到 ∽ ；
（2）由 ∽ ，可得 ，又知 ， ， ，可求AB=7，从而可得到EC
的长度．
【解析】（1）∵ ，
∴ ， ，
∴ ∽ ；
（2）∵ ∽ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理及性质定
理.
4．如图，平行四边形ABCD中，点E是BC上一线，连接AE，连接DE，F为线段DE上一点，且
∠AFE=∠B．求证：△ADF∽△DEC；
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质可得∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，由∠AFD+∠AFE=180°，
∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，进而可证△ADF∽△DEC．
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，
∴△ADF∽△DEC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质及平行四边形的性质.解题的关键是根据平行四边形
的性质结合角的计算找出∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠C．
5．如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的角平分线，且 ，求证：△ABC∽△DAC．
【答案】证明见解析【分析】根据 ，可以得到 ，再根据CA是∠BCD的角平分线，可以得到
，即可得证.
【解析】解：∵ ，
∴ ，
∵CA是∠BCD的角平分线，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形
的判定条件.
6．如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO＝78cm，BO＝42cm，CD＝159cm，求CO和DO．
【答案】
【解析】试题分析：根据题意，易证 ，根据相似三角形的判定与性质，列出比例式即可解
得 和 的长．
试题解析：设 则即
点睛：两组角对应相等，两三角形相似.
7．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD•AB，求证：△ACD∽△ABC．
【答案】证明见解析．
【分析】由对应边成比例，及夹角可得△ACD∽△ABC即可．
【解析】证明：∵AC2＝AD⋅AB，
∴AC：AB＝AD：AC．
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
【点睛】本题考查相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键．
8．如图，在矩形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，求证：
△DEC∽△ADF．
【答案】见解析
【分析】根据两角对应相等两三角形相似即可得出结论．
【解析】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DEC，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠C＝90°，
∴△DEC∽△ADF．
【点睛】本题考查矩形的性质、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．
9．在 中，D为 上的一点，E为 延长线上的一点， 交 于F．求证：
【答案】见解析
【分析】过D作 交 于G，证明 和 相似， 和 相似，列出比例式变形，
比较，即可解决问题．
【解析】证明：过D作 交 于G，则 和 相似，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由 可得 和 相似，
∴ 即 ，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的证明和性质的使用，熟知以上知识是解题的关键．
10．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面
的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．
【答案】树高AB是9米
【分析】先证得△DEF∽△DCB，可得 ，再由勾股定理可得DE=0.4m，可得BC＝7.5m，即可求解．
【解析】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴ ，
∵DF＝0.5 m，EF＝0.3 m，AC＝1.5 m，CD＝10 m，
由勾股定理得DE＝ ＝0.4 m，
∴ ，
∴BC＝7.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9（m），
答：树高AB是9m．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
11．已知，如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，∠ADE=60°．
求证：△ABD∽△DCE．
【答案】见解析．
【分析】两个三角形中如果两组角对应相等,那么这两个三角形互为相似三角形,从而可证明本题．【解析】证明:∵∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠ABD=∠ECD=120°,
又∵∠ADB+∠DAB=∠ABC=60°,
∠ADB+∠EDC=60°
∴∠DAB=∠EDC
△ABD∽△DCE．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，关键知道两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形互
为相似三角形．
12．如图，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，
（1）求证： ；
（2）若3AB=2AD，且DE=6，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据∠BAD=∠CAE，可证得∠DAE=∠BAC，然后用相似三角形判定方法直接判定即可；
（2）利用∆ABC∽∆ADE，得到对应边成比例，然后计算即可．
【解析】（1）∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAC，
∵∠B=∠D，
∴在∆ABC和∆ADE中，∠DAE=∠BAC，∠B=∠D，∠E=∠C，
∴ ∆ABC∽∆ADE；
(2)由（1）知 ∆ABC∽∆ADE，且3AB=2AD，
∴ = = ，
∵DE=6，
∴ ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，能够证明相似并用相似的性质计算边长是解题的关键．13．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面，上树AB的高度，已知两直角边
，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一
直线上，DM垂直于地面，测得 ，边DF离地面的距离为 ，求树高AB．
【答案】15.6米
【分析】证明 ，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【解析】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
答：树高15.6m．
【点睛】本题考查利用相似三角形测高，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键．
14．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F．求证：
△CDE∽△CBF；
【答案】见解析
【分析】根据矩形的性质可得∠D＝∠CBF＝∠BCD＝90°，由CF⊥CE可证∠BCF＝∠DCE，则可证△CDE∽△CBF．
【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CBF＝∠BCD＝90°．
∵CF⊥CE
∴∠ECF＝90°．
∴∠BCD－∠ECB＝∠ECF－∠ECB．
即∠BCF＝∠DCE．
∴△CDE∽△CBF．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定方法是解题的关键．
15．如图，已知 ．求证： ．
【答案】
【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似，即可得到 ；
【解析】证明： ，
在 中，
，
,
在 中，
在△ABC和△DEF中，三边对应成比例,
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三边对应成比例的两个三角形相似，熟悉运用相似三角形
的判定与性质即可进行证明．
16．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC、AC上，且∠ADE＝60°，求证：BD•CD＝AC•CE．【答案】见解析
【分析】先证明 再证明 再利用相似三角形与等边三角形的性质可得结论.
【解析】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，
∵∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴ ，
∴BD•CD＝AB•CE，
即BD•CD＝AC•CE；
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握两个角分别对应相等的两个三
角形相似是解题的关键.
17．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）先证△ABE∽△ACD，得出 ，再利用∠A是公共角，即可求证；（2）
在BC上截取BF=BD，连接EF，先证△BDE≌△BFE，得出DE=FE，∠BDE=∠BFE，再证EF=EC即可.解：（1）∵∠ABE =∠ACD，且∠A是公共角，
∴△ABE∽△ACD．
∴ ，即 ，
又∵∠A是公共角，
∴△AED∽△ABC．
（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，
在△BDE与△BFE中，BD=BF,∠DBE=∠FBE，BE=BE，
∴△BDE≌△BFE，
∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，
∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，
∴∠EFC=∠ACB，
∴EF=EC，
∴DE=CE．
18．如图，已知，在平行四边形ABCD中，E为射线CB上一点，联结DE交对角线AC于点F，∠ADE＝
∠BAC．
（1）求证：CF•CA＝CB•CE；
（2）如果AC＝DE，求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用平行四边形性质，得到∠ADE＝∠E．结合已知找到∠BAC＝∠E．即可证明
△ACB∽△ECF．从而得到结论．
（2）先证明△ADF∽△CEF．利用对应边成比例，结合已知AC＝DE和（1）的结论，即可证明AB＝BC，
从而得到结论．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC．
∴∠ADE＝∠E．
∵∠ADE＝∠BAC．
∴∠BAC＝∠E．
∵∠ACB＝∠ECF．
∴△ACB∽△ECF．
∴ ．
∴CF•CA＝CB•CE
（2）由（1）知∠ADE＝∠E．
∵∠ADF＝∠CFE．
∴△ADF∽△CEF．
∴ ．
∴ ．
∵AC＝DE．
∴EF＝CF．
∵△ACB∽△ECF．
∴AB＝BC
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形性质和菱形的判定等知识，关键在于熟悉各个知
识点在本题中运用．
19．如图，在等边 中，点 是 边上的一个动点（不与点 ， 重合），以 为边作等边
， 与 交于点 ，连接 ．
(1)求证： ；(2)若 ，且 ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形内角和定理和平角定义可得 ，可证明 ；
（2）过点 作 于 ，由等边三角形的性质首先求出 ，由（1）知 ，根据相似
三角形的性质即可得到结论．
（1）
证明： 与 为等边三角形，
，
，
，
，
，
又 =60°，
；
（2）
解：过点 作 于 ，
是等边三角形， ， ，
， ，
，
在 中， ，
，，
，
，
由②知 ，
，
即 ，
．
【点睛】本题要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性
质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
培优第二阶——拓展培优练
一、解答题
1．如图， 和 都是等腰直角三角形， ， ， ，连接 ，
，求 的值．
【答案】
【分析】由等腰直角三角形的性质可推出 ， , ，从而可得出
， ，即证明 ，得出 ．
【解析】解：∵ 和 都是等腰直角三角形，∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质．掌握三角形相似的判定条件是解题
关键．
2．如图，在矩形 中，E是边 的中点， 于点F．
(1)求证： ．
(2)已知 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据矩形的性质可得 ，根据等角的余角相等可得 ，即可证
明 ，根据相似三角形的性质即可得证；
（2）勾股定理求得 ，由（1）的比例式即可求解．
（1）
证明：∵四边形 为矩形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．（2）
∵E为 的中点，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键．
3．小明和小刚都是篮球迷，他们常常晚上写完作业后，抽出一点时间到小区附近的室外篮球场打篮球，
小明注意到篮球场两侧有两个一样高的路灯，他想正好可以用所学的知识来测量一下路灯的高度，便设计
出如下的测量方案如图，用 、 两点表示路灯， 、 、 ，小明站在 上的
处．小刚帮他测得他在路灯主照射下的影长 米，在路灯 照射下的影长 米．已知小明的
身高 米，篮球场的宽 米，请根据以上数据计算出路灯的高度（ 或 的长）．
【答案】8米
【分析】设BH=x米，根据题意得到DH=15-x，BG=1.75+2+x=3.75+x，根据相似三角形的性质即可得到结
论．
【解析】解：设BH=x米，
∵BD=15，FH=1.75，FG=2，
∴DH=15-x，BG=1.75+2+x=3.75+x，
∵AB⊥BD、CD⊥BD，EF⊥BD，
∴AB∥EF∥CD，
∴△EFG∽△ABG，△EHF∽△CHD，∴ ， ，
∴ ， ，
解得：AB=8（m），
答：路灯的高度为8m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
4．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，
AE²=AQ·AB求证：
(1)∠CAE=∠BAF；
(2)CF·FQ=AF·BQ
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用SAS证明 ACE≌△ABF即可；
（2）先证 ACE∽△AFQ可得∠△AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证 CAF∽△BFQ，利用相似三角形的
性质得出结△论． △
(1)
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CF=BE，
∴CE=BF，
在 ACE和 ABF中， ，
△ △
∴ ACE≌ ABF（SAS），
△ △∴∠CAE=∠BAF；
(2)
证明：∵ ACE≌ ABF，
∴AE＝AF△，∠CA△E=∠BAF，
∵AE²=AQ·AB，AC＝AB，
∴ ，即 ，
∴ ACE∽△AFQ，
∴△∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE，
∵∠B=∠C，
∴ CAF∽△BFQ，
△
∴ ，即CF·FQ=AF·BQ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌
握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
5．已知：如图，在四边形ABCD中， ，点E在边BC上，且 ，作
交线段AE于点F，连接BF．
(1)求证： ：
(2)如果 ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析【分析】（1）先通过两组平行线等角对等边，证明 ；再通过两组对边平行证明四边形
AFCD是平行四边形，最后通过平行四边形的性质挖掘条件，即可证明全等
（2）利用平行四边形对边平行，得到 ，再将题目条件 转化为 ，利
用边角边证明 ，最后利用相似对应角相等，即可得到结论
(1)
∵ ，∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴四边形AFCD是平行四边形
∴
∴
∴
(2)
∵
∴
在 中，
∴
∴
∵ ，
在 与 中
∴
∴
∵
∴【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等，相似；注意第一小问平行四边形的判定和性质
是重点，第二小问相似三角形的判定和性质是重点
6．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），
BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)连接BD，交EF于点Q，求证：DQ•BC＝CE•DF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）过点 作 于点 ，先根据矩形的性质、平行线的判定可得 ，再根据平行
线的性质可得 ，从而可得 ，然后根据等腰三角形的
判定可得 ，最后根据正方形的判定即可得证；
（2）先根据四边形的内角和可得 ，从而可得 ，再根据正方形的性质
可得 ，然后根据相似三角形的判定证出 ，根据相似三角形的性质即可
得证．
(1)
证明：如图，过点 作 于点 ，
∵四边形 是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∴矩形 是正方形．
(2)
证明： ，
，
，
，
∵四边形 是正方形，
，
在 和 中， ，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各
判定定理与性质是解题关键．
7．阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校
里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为
1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站
在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔
（2）请求出丙树的高度．
【答案】（1）5.1，4.2；（2）丙树的高为5.56米
【分析】(1)如下图1，根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用相似三角形的比例式直接得出甲
树高，接着如下图2先利用 ，求出 的长，接着利用 ，可得出乙树的高；
(2)如下图3，先通过 求出FG的长，然后通过 求出FH的长，最后通过
可求出丙树的高．
【解析】解：（1）如图1，假设线段AB是甲树，线段CD是竹竿，
线段BE和线段CE分别为甲树和竹竿的影子，
米，
故甲树的高为5.1米；如图2，假设线段 是乙树，线段 为乙树在墙壁上的影长，
线段 为乙树落在地面上的影长，
与图1中的 相似，
又 ，
故乙树的高为4.2米；
故答案为：5.1，4.2；
（2）如图3，假设线段 是丙树，线段 为丙树落在地面上的影长，
线段 为丙树落在坡面上影长， 为小明， 为小明落在坡面上影长，
则 =2.4米， =3.2米， =1.6米， =2米，又 与图1中的 相似，
又
故丙树的高为5.56米．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，有一定难度和综合性，根据同一时刻影长与高成比例以及假
设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键．
8．如图，在 中， ， ， ，动点P从点A开始沿着边AB向点B以
的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以 的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动 ．
(1)当移动几秒时， 的面积为 ．
(2)设四边形APQC的面积为 ，当移动几秒时，四边形APQC的面积为 ？
(3)当移动几秒时， 与 相似？
【答案】(1)2秒或4秒
(2)3秒
(3)当移动3秒或 秒时， 与 相似．
【分析】（1）求出运动时间为t秒时PB、BQ的长度，根据三角形的面积公式结合 BPQ的面积为
32cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论； △
（2）用 ABC的面积减去 BPQ的面积即可得出S，令其等于108即可得出关于t的一元二次方程，解之
即可得出△结论； △
（3）分两种情况：①当 BPQ∽△BAC时，②当 BPQ∽△BCA时，分别利用相似三角形的性质列式求解即
可． △ △
（1）
解：运动时间为t秒时（0≤t＜6），PB＝12−2t，BQ＝4t，
由题意得：S BPQ＝ PB·BQ＝ （12−2t）·4t＝ ＝32，
△
解得：t＝2，t＝4，
1 2
答：当移动2秒或4秒时， BPQ的面积为32cm2；
（2） △
由题意得： ，
解得：t＝3，答：当移动3秒时，四边形APQC的面积为108cm2；
（3）
分两种情况：
①当 BPQ∽△BAC时，
△
则 ，即 ，
解得： ，
②当 BPQ∽△BCA时，
△
则 ，即 ，
解得： ，
综上，当移动3秒或 秒时， 与 相似．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的性质，正确理解题意，列出方程或比例式
是解答此题的关键．
9．四边形 ，点 是对角线 上一点，将一个含有 角的三角板的直角顶点与点 重合，使其一
条直角边经过点 ，另一条直角边与 交于点 ．
(1)如图1，若四边形 是正方形，求证： ；（请用两种方法证明）
(2)如图2，若四边形 是矩形，且 ， ，猜想 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)过程见解析
(2) ，过程见解析
【分析】对于（1），方法一：连接CE，根据正方形的性质得AB=BC，∠ABC=90°，
∠ABD=∠CBD=45°，再根据BE=BE，得出△ABE≌△CBE，然后根据全等三角形的性质得AE=CE，∠BAE=∠BCE，再根据四边形的内角和定理及平角定义得∠EFC=∠BAE，即可得出答案；
方法二：作EM⊥AB，EN⊥BC，根据正方形的性质得AB=BC，∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°，即可说
明四边形BNEM是正方形，然后证明△AEM≌△FEN，可得答案；
对于（2），作EM⊥AB，EN⊥BC，先说明四边形MBNE是矩形，可得 ， ，BM=EN，
ME=BN，进而得出 ，可知矩形MBNE 矩形ABCD，可得 ，
然后证明 ，即可得出答案．
（1）
连接EC，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°．
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，∠BAE=∠BCE．
∵∠AEF=90°，∠BAE+∠ABC+∠AEF+∠BFE=360°，
∴∠BAE+∠BFE=180°．
∵∠BFE+∠EFC=180°，
∴∠EFC=∠BAE，
∴∠EFC=∠BCE，
∴EF=EC，
∴AE=EF；
方法二：过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，如图．∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°．
∵EM⊥AB，EN⊥BC，
∴四边形BNEM是正方形，
∴EM=EN，∠MEN=90°，
∴∠MEF+∠FEN=90°．
∵∠AEF=90°，
∴∠FEM+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠FEN．
在△AEM和△FEN中，
∴△AEM≌△FEN，
∴AE=EF；
（2）
，理由如下：
过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．
∵EM⊥AB，EN⊥BC，
∴四边形MBNE是矩形，
∴ ， ，BM=EN，ME=BN，
∴ ，
∴矩形MBNE 矩形ABCD，
∴ ．
∵∠MEF+∠FEN=90°，∠FEM+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠FEN．
∵∠AME=∠FNE=90°，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质 ，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，构造正方形
（矩形）是解题的关键．
10．在等边 ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，连接BD、AE相交于点F．
△
(1)如图1，当 时， =__________；
(2)如图2，求证： AFD∽△BAD；
△
(3)如图3，当 时，猜想AF与BF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)1
(2)详见解析(3) ，理由见解析
【分析】（1）由题意可得AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，可证 ABD≌△CAE，可得∠EAC
△
＝∠DBA，由等边三角形的性质可得∠BAE＝∠DBA＝30°，可求 的值；
（2）根据 ABD≌△CAE得出∠EAC＝∠DBA，进而利用相似三角形的判定解答即可；
（3）设AF△＝x，BF＝y，AB＝AC＝BC＝n，AD＝CE＝1，BD＝AE＝m，通过证 ADF∽△BDA，
△
BFE∽△BCD可得 ， ，可得 ，求出n＝4即可得出答案．
△
（1）解：∵ ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝CE，
△
∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠EAC＝∠DBA，∵ ，∴点D是AC中点，∴∠DBA＝30°，∴∠EAC
＝30°，∴∠BAE＝∠DBA＝30°，∴AF＝BF，∴ ，故答案为：1；
（2）由（1）可得 ABD≌△CAE，∴∠EAC＝∠DBA，∵∠ADF＝∠BDA，∴△AFD∽△BAD；
△
（3） ；理由：由（1）可得 ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠EAC＝∠DBA，∴∠BFE＝∠DBA＋
△
∠BAF＝∠EAC＋∠BAF＝∠BAD＝60°，设AF＝x，BF＝y，AB＝AC＝BC＝n，AD＝CE＝1，BD＝AE＝
m，∵∠EAC＝∠DBA，∠ADB＝∠ADB，∴△ADF∽△BDA，∴ ，∴ ①，∵∠BFE＝∠C
＝60°，∠DBC＝∠DBC，∴△BFE∽△BCD，∴ ，∴ ②，①÷②得： ，∴
，∵ ，∴n＝4，∴ ．
【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，等边三角形的性质，
相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质求线段的关系是本题的关键．
11．如图1，在 中，对角线DB⊥BC，将△ADB绕点A按逆时针方向旋转得到 ，点E在线段
D′D的延长线上，且 ．
(1)若旋转角 =94°，求 的度数；
(2)如图2，连接B 交DE于点F，求证：DF=EF；(3)在（2）的条件下，若 ，试探究D 与B 的数量关系．
【答案】(1) =47°
(2)证明见解析
(3)B =2 D
【分析】（1）根据旋转的性质和平行四边形的性质求解即可；
（2）根据旋转的性质证明 即可得到；
（3）根据旋转的性质证明 即可得到．
（1）
由旋转可知， ，
∵ =94°，
∴ ，
∵DB⊥BC，
∴ ，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）
由旋转可知，AD=A ， = ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由旋转可知， ，∴ ，
∵
∴
∴ ，
由旋转可知，BD= ，
∴
∵ ，
∴
∴DF=EF；
（3）
解：B =2 D ，
理由：在Rt ADB， ，
∴ ，
由旋转可知， ，
∴ ，
由旋转可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴B =2 D ．
【点睛】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和相似三角形的证明，解决本题
的关键是熟练的掌握旋转的性质．
12．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接
FC（AB＞AE）．(1)求证：△AEF∽△DCE；
(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
(3)设 ，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)相似，证明见解析
(3)存在，
【分析】(1)由题意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，据此证得
结论；
(2)根据题意可证得Rt△AEF≌Rt△DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE垂直平分FG，
△CGF是等腰三角形，据此即可证得△AEF与△ECF相似；
(3)假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况：①当∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根据题意可知此种
情况不成立；②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，可得AF＝ ，
BF＝ ，再由△AEF∽△DCE，即可求得k值．
（1）
证明：∵EF⊥EC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∵∠AEF＋∠AFE＝90°，
∴∠DEC＝∠AFE，
又∵∠A＝∠EDC＝90°，
∴△AEF∽△DCE；
（2）
解：△AEF∽△ECF．
理由：∵E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，
∴△AEF≌△DEG(ASA)，
∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．
又∵EF⊥CE，
∴CE垂直平分FG，
∴△CGF是等腰三角形．
∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC．
又∵∠A＝∠FEC＝90°，
∴△AEF∽△ECF；
（3）
解：存在 使得△AEF与△BFC相似．
理由：
假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况：
①当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立；
②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，
设BC＝a，则AB＝ka，
∵△AEF∽△BCF，
∴ ，
∴AF＝ ，BF＝ ，
∵△AEF∽△DCE，∴ ，即 ，
解得， ．
∴存在 使得△AEF与△BFC相似．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，等腰三角形的
判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
13．如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，
交CD于G点．
(1)求证：△BGC∽△DGF；
(2)求证： ；
(3)若点G是DC中点，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到
△BGC∽△DCF．
（2）由第一问的结论可得到相似比，既有 ，然后因为正方形四边相等，进行等量代换
即可求出证明出结论．
（3）通过ASA判定出△BGC≌△DEC，进而根据第一问结论可得△BGC∽△DGF，然后通过相似比设未知数，赋值 ，即可求出 的值．
（1）
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴
∵
∴
∴ ，
又∵ ，
∴△BGC∽△DCF．
（2）
证明：由（1）知△BGC∽△DGF，
∴ ，
∴
∵四边形ABCD是正方形，
∴
∴ ．
（3）
解：由（1）知△BCC∽△DGF，
∴ ，
在△BGC与△DEC中，
∴△BGC≌△DEC（ASA）
∴
∵G是CD中点
∴
∴
∵△BGC∽△DGF
∴
在Rt△BGC中，设 ，则 ，∴
∴
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练
运用相似三角形判定和性质是解题的关键．
14．在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点 ，点 ，点 ．以点O为中心，
顺时针旋转矩形OABC，得到矩形ODEF，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为
．
(1)如图①，当 时，求点D的坐标；
(2)如图②，当点E落在OC的延长线上时，求点D的坐标；
(3)当点D落在线段AC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．
【答案】(1)
(2)
(3)点E的坐标为
【分析】（1）过点D作DM⊥x轴于M，由旋转的性质得出OD＝AO＝6， ＝∠MOD＝30°，由直角三角
α
形的性质得DM＝3， 即可得出点D的坐标；
（2）过点D作DN⊥OA于N，可得△DON∽△EOF，可得对应边成比例即可求出DN＝3.6，ON＝4.8即可得出点D的坐标；
（3）连接AC,OE，CE作EG⊥x轴于G，可证出AC∥OE，四边形OACE是平行四边形，得出
OA=CE=OG=6 ,GE=OC=8，即可得出答案．
（1）如图，过点D作DM⊥OA于M 由旋转可知：OD＝OA＝6，∠DOM＝
30°∴DM＝3， ，∴
（2）如图，过点D作DN⊥OA于N 则有：∠DNO＝∠F＝90°又∵
，∴△DON∽△EOF，∴ ∵EF＝OD＝6，OE＝10，OF＝8，∴DN＝
3.6，ON＝4.8∴
（3）连接AC,OE，OB,CE作EG⊥x轴于G，如图所示：由旋转的性质得：∠AOB＝∠DOE，OD＝AO，
OB=OE∵四边形OABC是矩形∴AC=OB，∠AOB＝∠CAO，∵OD＝AO∴∠DAO＝∠ADO，∴∠DOE＝
∠ADO，∴AC∥OE，∵AC=OB，OB=OE∴AC=OE∴四边形OACE是平行四边形∴OA=CE=OG=6 ,GE=OC=8∴点E的坐标为（6，8）．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平行四边形的判定与性
质、旋转变换的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，
属于中考压轴题．
15．解答
(1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：
；
(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，N分别在边BC，CD上，若 ，求 的值；
(3)如图3四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，，求
的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)【分析】（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，易证AP＝EF，GH
＝BQ， PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
△
（2）只需运用（1）中的结论，就可得到 ，就可解决问题；
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四
边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得 ．设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5+x，RD＝10﹣y，
在Rt CSD中根据勾股定理可得x2+y2＝25①，在Rt ARD中根据勾股定理可得（5+x）2+（10﹣y）2＝
100②△，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以△解决．
（1）解：过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝
EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝
∠D＝90°，∴∠DAP+∠DPA＝90°，∴∠AQT＝∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴ ，∴ ；
（2）如图2，
∵EF⊥GH，AM⊥BN，∴由（1）中的结论可得 ， ，∴ ．
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴▱ABSR是矩形，∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR
＝BS．∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得 ．设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5+x，RD＝10﹣
y，∴在Rt CSD中，x2+y2＝25①，在Rt ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2＝100②，由②﹣①得x＝2y﹣
△ △
5③，解方程组 ，得 ，（舍去），或 ，∴AR＝5+x＝8，∴ ．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等
知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键．
16．在正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（与点B、C不重合），以AE为直角边在直线BC上方作
等腰直角三角形AEF， ．
(1)如图1，若EF与CD交于点G，连接CF．
①求证： ；
②求 的值；
③若正方形ABCD的边长为1，在点E运动过程中，则以A、D、F为顶点的三角形周长的最小值为
_________；(2)如图2，若AF与CD交于点P，连接BD分别与AE、AF交于点M、N，连接PM．求证： ．
【答案】(1)①证明见解析 ② ③
(2)证明见解析
【分析】（1）①借助正方形的性质可知 ，借助 可证明 ，即可
证明 ； ②过点 作 ，交 的延长线于点 ，先证明 ，可推导
， ，再借助正方形的性质可知 ，进而得到 ，再在 中，由勾
股定理可知 ，即有 ，即可计算 的值；③先证明点F在 的角平分线
CM上，然后过点D作 交BC的延长线于点N，可证明 ，即有D、N关于
CM对称，连接AN，交CM与F，则此点F使 最小，由勾股定理计算AN的长，即可得到 的
周长的最小值；
（2）先证明 ，可推导 ，再结合 ，可证明 ，
可推导出 ，即 ，在 中可求得 ，即 ．
(1)
证明：①∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；解：②过点 作 ，交 的延长线于点 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 等腰直角三角形， ，
∴ ，
由①得 ，
∴ （AAS），
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ；
③由②可知， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴当点E在BC上运动时，点F在 的角平分线CM上运动，过点D作 交BC的延长线于点
N，如图，在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴D、N关于CM对称，
连接AN，交CM与F，则此点F使 最小，
在 中， ，
连接FD，则 ，
∴ 的周长的最小值为： ．
故答案为： ；
(2)
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ （对顶角相等），
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ （对顶角相等），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、最短路径
问题、勾股定理等知识，解题关键是正确做出辅助线，并综合运用相关几何知识．培优第三阶——中考沙场点兵
一、解答题
1．（2022·吉林长春·中考真题）如图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为
1，其顶点称为格点， 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，
保留作图痕迹．
(1)网格中 的形状是________；
(2)在图①中确定一点D，连结 、 ，使 与 全等：
(3)在图②中 的边 上确定一点E，连结 ，使 ：
(4)在图③中 的边 上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结 ，使 ，且相似比
为1：2．
【答案】(1)直角三角形
(2)见解析（答案不唯一）
(3)见解析
(4)翙解析
【分析】（1）运用勾股定理分别计算出AB，AC，BC的长，再运用勾股定理逆定理进行判断即可得到结
论；
（2）作出点A关于BC的对称点D，连接BD，CD即可得出 与 全等：
（3）过点A作AE⊥BC于点E，则可知 ：
（4）作出以AB为斜边的等腰直角三角形，作出斜边上的高，交AB于点P，交BC于点Q，则点P，Q即
为所求．
(1)
∵∴ ,
∴ 是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
(2)
如图，点D即为所求作，使 与 全等：
(3)
如图所示，点E即为所作，且使 ：
(4)
如图，点P，Q即为所求，使得 ，且相似比为1：2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，相似
三角形的判定，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．
2．（2022·山东枣庄·中考真题）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒 cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，
设运动的时间为t秒．
(1)如图①，若PQ⊥BC，求t的值；
(2)如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？
【答案】(1)当t＝2时，PQ⊥BC
(2)当t的值为 时，四边形QPCP′为菱形
【分析】（1）根据勾股定理求出 ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
（2）作 于 ， 于 ，证明出 为直角三角形，进一步得出 和 为等腰
直角三角形，再证明四边形 为矩形，利用勾股定理在 、 中，结合四边形 为
菱形，建立等式进行求解．
（1）
解：（1）如图①，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，
∴AB＝ ＝ （cm），
由题意得，AP＝ tcm，BQ＝tcm，
则BP＝（4 ﹣ t）cm，∵PQ⊥BC，
∴∠PQB＝90°，
∴∠PQB＝∠ACB，
∴PQ AC，
，
，
∴ ＝ ，
∴ ，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，PQ⊥BC．
（2）
解：作 于 ， 于 ，如图，
， ，
， ，
为直角三角形，
，
和 为等腰直角三角形，
， ，
，
四边形 为矩形，，
，
，
在 中， ，
在 中， ，
四边形 为菱形，
，
，
， （舍去）．
的值为 ．
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性
质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
3．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段
AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)① ；② ，理由见解析【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到 ，再由全等三角形的性
质求解；
（2）①根据线段 绕点A按逆时针方向旋转 得到 得到 是等边三角形，
由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作 于点G，连接AF，根据等边三角形的性
质和锐角三角函数求值得到 ， ，进而得到 ，进而求出
，结合 ，ED＝EC得到 ，再用等腰直角三角形的性质求解．
（1）
解： ．
证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
∵线段 绕点A按逆时针方向旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
在 和 中
，
∴ ，
∴ ；
（2）
解：①
理由：∵线段 绕点A按逆时针方向旋转 得到 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ；②过点A作 于点G，连接AF，如下图．
∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是等边三角形，点F为线段BC中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
即 是等腰直角三角形，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相
似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键．
4．（2022·山东威海·中考真题）回顾：用数学的思维思考(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
(2)猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于
点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：
若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
如图2，在 ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的
字母），使△得BD＝CE，并证明．
(3)探究：用数学的语言表达
如图3，在 ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延
长线上一点△．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)添加条件CD=BE，见解析
(3)能，0＜CF＜
【分析】（1）①利用ASA证明 ABD≌△ACE．
②利用SAS证明 ABD≌△ACE．△
（2）添加条件C△D=BE，证明AC+CD=AB+BE，从而利用SAS证明 ABD≌△ACE．
（3）在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF△，当BD=BF=BA时，可证
CBF∽△BAF，运用相似性质，求得CF的长即可．
△(1)
①如图1，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵BD，CE是 ABC的角平分线，
△
∴∠ABD= ∠ABC，∠ACE = ∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
②如图1，∵AB=AC，点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴AE=AD，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
(2)
添加条件CD=BE，证明如下：
∵AB=AC，CD=BE，∴AC+CD=AB+BE，
∴AD=AE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
(3)
能
在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，
当BD=BF=BA时，E与A重合，
∵∠A＝36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=∠BFA=36°，
∴∠ABF=∠BCF=108°，∠BFC=∠AFB，
∴ CBF∽△BAF，
△
∴ ，
∵AB＝AC＝2=BF， 设CF=x，
∴ ，
整理，得 ，
解得x= ，x= （舍去），
故CF= x= ，
∴0＜CF＜ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形全等的判定，三角形相似的判定性质是解题的关键．
5．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在平行四边形 中， 是一条对角线，且 ，
， ， 是 边上两点，点 在点 的右侧， ，连接 ， 的延长线与 的延长线
相交于点 ．
(1)如图1， 是 边上一点，连接 ， ， 与 相交于点 ．
①若 ，求 的长；
②在满足①的条件下，若 ，求证： ；
(2)如图2，连接 ， 是 上一点，连接 ．若 ，且 ，求 的长．
【答案】(1)① ；②证明见解析
(2)
【分析】（1）①解：根据平行四边形 的性质可证 ，得到 ，再根据
， ， ，结合平行四边形的性质求出 的长，代入比例式即可求出 的长；
②先根据 证明 可得 ，再根据 ， 求出 ，进一步证明
，最后利用等腰三角形的三线合一可证明结论．
（2）如图，连接 ，先根据 证明 ，再结合 ，说明 ，
利用平行线分线段成比例定理可得 ，接着证明 ，可得到 ，设 ，则
，根据 构建方程求出 ，最后利用 可得结论．
(1)
①解：如图，
∵四边形 是平行四边形， ， ，∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
②证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
(2)
如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的长为 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角
形的三线合一，平行线的判定及性质，平行线分线段成比例定理等知识．灵活运用相似三角形和全等三角
形的判定及性质是解答本题的关键．
6．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中， ， ．点E是线段AD上的动点
（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作 ，交AB于点F．
(1)求证： ；(2)如图2，连接CF，过点B作 ，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．
①求 的最小值；
②当 取最小值时，求线段DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)①5；② 或
【分析】（1）证明出 即可求解；
（2）①连接AM．先证明 ．确定出点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．当
A，G，M三点共线时， ．此时， 取最小值．在 中利用勾股定理即可求
出AM，则问题得解．②先求出AF，求AF的第一种方法：过点M作 交FC于点N，即有
，进而有 ．设 ，则 ， ．再根据 ，
得到 ，得到 ，则有 ，解方程即可求出AF；求AF的第二种方法：
过点G作 交BC于点H．即有 ．则有 ，根据 ，可得
，进而求出 ， ．由 得 ，即可求出AF．求出AF
之后，由（1）的结论可得 ．设 ，则 ，即有 ，解得解方程即可求出
DE．
(1)
证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(2)
①解：如图2-1，连接AM．
∵ ，
∴ 是直角二角形．
∴ ．
∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得： ，
当A，G，M三点共线时， ．此时， 取最小值．在 中， ．
∴ 的最小值为5．
②（求AF的方法一）如图2-2，过点M作 交FC于点N，
∴ ．
∴ ．
设 ，则 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由①知 的最小值为5、即 ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ，解得 ，即 ．
（求AF的方法二）
如图2-3，过点G作 交BC于点H．∴ ．
∴ ，
由①知 的最小值为5，即 ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
由 得 ，
∴ ，即 ，
解得 ．
∴ ．
由（1）的结论可得 ．
设 ，则 ，
∴ ，
解得 或 ．
∵ ， ，
∴ 或 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
