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专题突破卷 17 数列求和
1.分组求和法
1．已知正项数列 的前n项和 其中A，B，q为常数．
(1)若 ，求证：数列 是等比数列；
(2)在（1）的条件下，若 ，求数列 的前10项和 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12．已知等比数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
3．在数列 中， ， ．
(1)证明数列 是等比数列；
(2)求数列 的前n项和 ；
4．已知数列 中， .
(1)证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25．已知数列 和 满足： ， ， ， ，其中 ．
(1)求证： ；
(2)求数列 的前 项和 ．
6．已知 为等差数列 的前 项和， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前15项和 ．
2.并项求和法
7．已知数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知数列 满足 ，数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前20项和.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 39．已知数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A．1012 B． C．2023 D．
10．已知等比数列 的前 项和为 ，若 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
11．记 为等差数列 的前 项和，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前30项的和 .
12．在等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求满足 的k的值．
3.奇偶数列求和
13．若数列 满足 ，则称数列 为“平方递推数列".已知数列 中， ，点 在
函数 的图象上，其中n为正整数，
(1)证明:数列 是“平方递推数列”，且数列 为等比数列;
(2)设 ， ， 求数列 的前10项和 .
14．设数列 的前 项和为 ，已知 .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)若数列 满足 求数列 的前20项的和.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 515．校考阶段练习）已知数列 满足 ，数列 为等比数列且公比 ，满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 的前 项和为 ，若 ，记数列 满足 求数列 的前 项和 .
16．已知数列 是等差数列， 是各项均为正数的等比数列，数列 的前n项和为 ，且 ，
， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前12项和 ．
17．设数列{an}的首项 n=1，2，3，
⋯
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
(2)当a=1时，求数列{an}的前2n项和Sn.
2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 618．已知数列 满足， ， .
(1)若数列 为数列 的奇数项组成的数列，证明：数列 为等差数列；
(2)求数列 的前50项和.
4.倒序相加法
19．已知正数数列 是公比不等于1的等比数列，且 ，试用推导等差数列前 项和的方法探求：
若 ，则 （ ）
A．2022 B．4044 C．2023 D．4046
20．已知函数 关于点 对称，其中 为实数.
(1)求实数 的值；
(2)若数列 的通项满足 ，其前 项和为 ，求 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 721．记 为等差数列 的前 项和
(1)若 ，求数列 的通项公式.
(2)若 ，记 为数列 的前 项和，求 的值.
22．设 ，若 ，试求：
（1） _____；
（2） _____．
23．已知函数 ，则 _____；设数列 满足 ，则此数列
的前2023项的和为_____．
24．在数列 中， ，则 … 的值是_____.
5.错位相减法
25．设正项等比数列 的前n项和为 ，且 ，
(1)求数列 的公比；
(2)若 ，数列 满足 ，求 的前n项和 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 826．已知数列 的首项为 ，且满足 ，数列 满足 ，且 ．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求 ．
27．已知正项数列 满足 ， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项 .
28．已知数列 的前n项和为 且 ，则数列 的前 项和为_____.
29．已知数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 96.裂项相消法
30．已知等差数列 ，其前 项和 满足 为常数.
(1)求 及 的通项公式；
(2)记数列 ，求 前 项和的 .
31．已知等差数列 的前 项和为 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，求 .
32．从① ；②前 项和 满足 ， ；③
中任选一个，并将序号填在下面的横线上，再解答已知数列 中， ，且_____.
(1)求数列 的通项公式；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10(2)设 ，数列 的前 项和 ，证明： .
(注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
33．设 ， ， ，
(1)求数列 通项公式；
(2)若数列 ，求数列 的前n项和．
34．在数列 中， ，且 ．
(1)证明： ， 都是等比数列．
(2)求 的通项公式．
(3)若 ，求数列 的前 项和 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1135．已知等比数列 的各项均为正值， 是 、 的等差中项， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，并证明 .
7.先放缩，再裂项
36．已知函数 的图象与x轴正半轴交于点A，函数 的图象在点A处的切线
为l，l在y轴上的截距记为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求证 （ 且 ）．
37．已知 ，抛物线 与 轴正半轴相交于点 ．设 为该拋物线在点 处的切线在 轴上
的截距．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， 求证： （ 且 ）．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1238．设正项数列 满足 ，且 .
(1)证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求证：数列 的前 项和 .
8.数列求和结合不等式
39．已知数列 满足： ， ，数列 的前 项和为 ，则满足 的
的最小取值为_____.
40．在数列 中， ， ，且 .设 为满足 的 的个数.
(1)求 ， 的值；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，对任意的 ，不等式 恒成立，求m的
取值范围.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1341．在数列 中， ，其中 ．
(1)证明数列 是等差数列，并写出证明过程；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求 ；
(3)对 ，使得 恒成立，求实数 的最小值．
42．已知数列 ， 满足
(1)证明： 为等差数列，并求 通项公式；
(2)若 ，记 前n项和为 ，对任意的正自然数n，不等式 恒成立，求实数 的范围．
43．记首项为 的数列 的前 项和为 ，且当 时，
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1444．数列 满足 ， ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， .证明：当 时， .
1．（多选）已知数列 满足 ， ，则（ ）
A． B． 为等比数列
C． D．数列 的前 项和为
2．已知数列 满足 ，且 ，则 _____；记数列 的前
和为 ，若 ，则 的最小取值为_____.
3．在数列 中，已知 ， ．
(1)求 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15(2)若 ， 为 的前n项和，证明： ．
4．已知数列 中， ，前n项和为 ，若对任意的 ，均有 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 （ ），求 （ 且 ）的
值（结果用m表示）．
5．数列 的各项均为正数，前 项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式．
(2)设数列 满足条件① ；② ，请从条件①②中选一个，求出数列 的前
项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 166．已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
7．已知数列 中， ， .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前n项和 .
8．设数列 的前 项和为 ， ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 179．已知等差数列 前n项和为 ，数列 是等比数列， ， ， ，
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前2n项和 ．
10．已知数列 满足 ， ， ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)记数列 的前 项和为 ，求最小的正整数 ，使得 ．
11．已知数列 满足 ，
(1)记 ，求证： 为等比数列；
(2)若 ，求 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1812．已知数列 是首项为2的等差数列，数列 是公比为2的等比数列，且数列 的前 项和为
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设__________，求数列 的前 项和为 ．
① ，② ，③ ．从这三个条件中任选一个填入上面横线中，并回答问题．
13．已知等差数列 的公差不为0，且 ， ， ， ，成等比数列，
(1)求数列 的通项公式：
(2)若数列 满足 ，记 为数列 的前n项和，求 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1914．已知数列 的前 项的积记为 ，且满足
(1)证明：数列 为等差数列;
(2)若 求数列 的前 项和 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20
