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第 2 章 有理数及其运算（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）
知识点1．有理数的分类
正整数 正整数
正有理数
整数零
正分数
按意义分：有理数
负整数；按符号分：有理数零 ．
正分数 负整数
分数
负有理数
负分数 负分数
注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；
（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．
（3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可
以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
要点归纳：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：
作用 举例
表示数的性质 0是自然数、是有理数
表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态 00C
表示冰点
1表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数
知识点2．数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线．
要点归纳：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如 ．
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
知识点3．相反数
只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．
要点归纳：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．
（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．
知识点4．绝对值
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作
a
．
（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．
知识点5.倒数
乘积是1的两个数互为倒数．
1 1
要点归纳：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是 2 ，-2和 2 是互相依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
知识点6.有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负
数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
知识点7.有理数运算法则
2（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值
较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
1
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·b(b≠0) ．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何
非零次幂都是0．
(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点归纳：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）
×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：
(3)2 9 (3)3 27
， ．
知识点8.有理数运算律
（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
知识点9.科学记数法
a10n a 10 n
把一个大于10的数表示成 的形式（其中1≤ ， 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：
2105
200 000= ．
知识点10.近似数
近似数是一个与准确数接近的数，其接近程度可以用精确度表示.四舍五入到某一位，就说这个数近似数精确到那
一位．
3考点1：一个概念——有理数的概念
【例题1】（23-24六年级下·上海黄浦·期中）下列说法正确的是（ ）
A．自然数就是非负整数 B．正数和负数统称为有理数
C．零是最小的有理数 D．有最小的正整数，没有最大的负整数
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）零是（ ）
A．最小的整数 B．最小的正数 C．最小的有理数 D．最小的非负整数
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列数中： ，有理数有 个．
【变式3】（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：
(1)正数集合：{ …}；
(2)整数集合：{ …}；
(3)负分数集合：{ …}．
考点2：一种运算——有理数的运算
【例题2】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：
【变式1】（22-23七年级上·福建莆田·阶段练习）计算
(1) (2)
4【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）运用简便方法计算：
(1) ； (2) ．
【变式3】（23-24七年级上·广东·期末）计算
(1) (2)
考点3：一个应用——有理数的实际应用
【例题3】（22-23七年级上·山西长治·阶段练习）一个长方体冷藏仓库，从里面量长8米，宽6米，高5米，如果往
仓库中放入棱长为2米的正方体储物箱，最多可放进（ ）个.
A．60 B．30 C．24 D．38
【变式1】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）下表列出了国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时
刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数）如果现在是北京时间9月11日15时，那么现
在的纽约时间是（ ）
巴
城市 纽约 东京 芝加哥
黎
时差/时
A．9月10日21时 B．9月12日4时
5C．9月11日4时 D．9月11日2时
【变式2】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（盈亏问题）买来一批苹果，分给幼儿园大班的小朋友．如果每人
分5个苹果，那么还剩余32个；如果每人分8个苹果，那么还有5个小朋友分不到苹果，这批苹果共有 个．
【变式3】（23-24七年级上·广东深圳·期末）在疫情期间，某县城为了保障学校学生的正常学习，需每天抽取不低于
总学生人数的 进行核酸抽检．为了更好地统计每天抽测的学生人数，医务人员以每天抽测2000人为标准，超过
的人数记作正，不足的人数记作负．下表是该县城学校一周核酸抽检情况的记录（单位：人）：
星期 一 二 三 四 五
与标准的差/人
(1)该县城哪天抽检的学生人数最多？哪天抽检的最少？分别是多少人？
(2)聪明的你，帮医务人员计算下这周该县城总共核酸抽检了学生多少人？
考点4：科学记数法与近似数
【例题4】（22-23七年级上·吉林长春·期末）卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，是卡塔尔规模
最大的体育场．世界杯之后，将有约170000个座位将捐赠给需要体育基础设施的国家，其中大部分来自世界杯决赛
场地卢塞尔体育场，170000这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）求 个偶数的平均数，保留一位小数得数是 ，若保留两位小数得数
应该是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23七年级上·福建莆田·阶段练习）据统计截止2021年12月31日，全国共有学生团员48310000名，
48310000用科学记数法表示为 ．
【变式3】（23-24七年级上·全国·课后作业）下列各数精确到什么位？请分别指出来．
(1) ． (2) ． (3) ． (4) 万．
6考点5：三种思想
思想1：从特殊到一般思想
【例题5】（23-24七年级上·广东梅州·期中）按一定规律排列的数： ， ， ， ， ，则这列数的第 个数
是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（20-21七年级上·四川达州·期中）已知一列数：1， ， ， ， ……，则第n个数是（ ）
A． ； B． ； C． ； D． 、
【变式2】（23-24七年级·全国·假期作业）观察下列等式： ， ， ，
……
（1）根据上面的规律，若 ，则 ， ；
（2）用含有自然数n的式子表示上述规律为 ．
【变式3】（23-24七年级上·山西晋中·期中）观察下列等式：
，
，
，
……
回答下面的问题：
(1) ．
(2)猜想 ．
7(3)计算： 的值．
思想2：数形结合思想
【例题6】（23-24七年级上·四川达州·期末）如图，若A是有理数a在数轴上对应的点，则关于a， ，1的大小关
系表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24七年级上·四川达州·期末）数轴上点D、E、F和原点如图所示，已知有理数a、b、c分别与其中的
一个点对应(对应顺序暂不确定），若a、b、c满足 ， ， ，那么有理数b在数轴上对应的点是
，
【变式2】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）画出数轴，在数轴上标出表示下列各数的点，并用“>”号把这些数
连接起来．
，0， ， ，
【变式3】（22-23七年级上·河南信阳·期末）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，它们对应的数分别是
a，b，c，其中 ， ，如图所示．
(1)若以B为原点，写出点A，B，C所对应的数： ， ， ；此时 中点所表示的数是 ；
8(2)要使b的绝对值是1，则原点应该在什么位置？
(3)若原点O在图中数轴上点C的右边，且 ，求 ．
思想3：分类讨论思想
【例题7】（23-24七年级上·四川达州·期末）数轴上表示整数的点叫作整点．某数轴的单位长度为 ，若在这条数
轴上任意画出一条长度为 的线段，则线段盖住的整点个数为（ ）
A．2025个 B．2024个 C．2025或2024个 D．2024或2023个
【变式1】（22-23七年级上·福建莆田·阶段练习）点A、B在数轴上，若数轴上点A表示 ，且 ，则点B表示
的数是 ．
【变式2】（22-23七年级上·北京海淀·期中）数轴上表示数x的点与原点的距离，记作 ．
(1)数轴上表示数x的点与表示 的点的距离，可以记作___________；
(2)当 时， 的值为___________；当 时， 的值为___________；当 时，
的值为___________．
(3)当x分别取 ， ，……，请你计算 的值，然后观察，思考并得出结论：对于有理数a，当x取任意
一对相反数m与 的值时， 的两个值的关系是___________．
【变式3】（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 与 ， 与 ．并回答下
列各题：
(1)你能发现： 与 在数轴上的对应点间的距离可以表示为： ； 与 在数轴上的对应点间的距离可以表示
9为： ；根据以上规律，则 与 在数轴上的对应点的距离是 ．
(2)若数轴上的点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，则 与 两点间的距离可以表示为 ．
(3)结合数轴思考， 的最小值为多少？
(4)满足 ，求 的值为多少？
一、单选题
1．（2023·江苏盐城·中考真题）下列数中，属于负数的是（ ）
A．2023 B． C． D．0
2．（2024·青海·中考真题） 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏南通·中考真题）如果零上 记作 ，那么零下 记作（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·海南·中考真题）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）
10A．1 B．0 C． D．
5．（2023·山东潍坊·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负
以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“ ”，则“ ”表示（ ）
A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食
二、填空题
7．（2024·江苏镇江·中考真题） 的绝对值等于 ．
8．（2021·江苏南京·中考真题） ； ．
9．（2021·江苏常州·中考真题）数轴上的点A、B分别表示 、2，则点 离原点的距离较近（填“A”或
“B”）．
10．（2024·四川资阳·中考真题）若 ，则 ．
三、解答题
11．（2023·广西·中考真题）计算： ．
12．（2024·广西·中考真题）计算：
13．（2022·浙江杭州·中考真题）计算： ．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
11(1)如果被污染的数字是 ，请计算 ．
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
一、单选题
1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）在11，0， ， ， 中，整数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数．不足标准质量的克
数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
4．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，则m为（ ）
A． B．2 C．1 D．
5．（2024七年级上·全国·专题练习）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（ ）
12A． B． C． D．
6．（2024七年级上·江苏·专题练习）以下数轴画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．正分数和负分数统称为分数 B．0既是正整数也是负整数
C．正整数、负整数统称为整数 D．正有理数和负有理数统称为有理数
8．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）若气温为零上 记作 ，则 表示气温为（ ）
A．零上 B．零下 C．零上 D．零下
9．（23-24七年级上·河南商丘·期中）若A，B是数轴上两点，则点A，B表示的数互为相反数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为 ，3，点P为数轴上一动点，其对应的
数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（ ）
A． B． 和 C． 和 D． 和
二、填空题
11．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）某市地铁去年年底12月的客运量是 人次，用科学记数法表示这个数
．
12．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京
13早的点时数）：
纽
城市 伦敦 东京 巴黎
约
时差/时
如果北京时间是9月13日17时，那么伦敦的当地时间是9月 日 时．
13．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）若 ，且 ，则 ．
14．（22-23七年级上·内蒙古包头·期末）已知 则 ．
15．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）比较大小： （填“ ”或“ ”或“ ”）．
16．（2024七年级上·全国·专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为 、4，点P为数轴上一动点，若P到
A、B的距离的比为 时，则点P表示的数是 ．
17．（22-23七年级上·四川成都·阶段练习）已知 ， ，且 ，则 的值为 ．
18．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知 ，则 的
最大值是 ，最小值是 ．
三、解答题
19．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：
(1) ； (2)
20．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：
(1) (2)
1421．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
22．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
23．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（发车间隔问题）从电车总站每隔一定时间开出一辆电车，甲和乙两人在
一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔
10分15秒遇上迎面开来的一辆电车，则电车总站每隔几分钟开出一辆电车？
1524．（2022七年级·全国·专题练习）世界上最大的沙漠──非洲的撒哈拉沙漠可以粗略地看成是一个长方形，撒哈拉
沙漠的长度大约是5 149 900m，沙层的深度大约是366cm．已知撒哈拉沙漠中沙的体积约为33 345km3．请分别按下
列要求取近似数．
(1)将撒哈拉沙漠的长度用科学记数法表示；
(2)将撒哈拉沙漠中沙层的深度四舍五入到10cm；
(3)将撒哈拉沙漠中沙的体积保留2个有效数字．
25．（22-23七年级上·江苏·周测）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，
超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表：
做乒乓球的同
李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟
学
检测结果
(1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？
(2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？
1626．（22-23七年级上·云南红河·期末）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原
因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：
星
一 二 三 四 五 六 日
期
增
减
(1)根据记录可知前三天共生产________辆；
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产________辆；
(3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣
15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
17
