第2章《实数》（原卷版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_06专项讲练_培优方案2022-2023学年八年级数学上册章节重点复习考点讲义（北师大版）

2022-2023 学年北师大版数学八年级上册章节考点精讲精练 第 2 章《实数》 知识互联网 知识导航 知识点01:平方根和立方根 类型 平方根 立方根 项目 被开方数 非负数 任意实数 符号表示  a 3 a 一个正数有两个平方根，且互 一个正数有一个正的立方 性质 为相反数； 根；零的平方根为零； 一个负数有一个负的立方 根； 负数没有平方根； 零的立方根是零； ( a)2  a(a 0) (3 a)3  a 重要结论 a(a 0) 3 a3  a a2  a   a(a 0) 3 a  3 a 知识点02:无理数与实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类  正有理数    有理数 零 有限小数或无限循环小数       负有理数     正无理数  无理数 无限不循环小数  负无理数    实数 细节剖析（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限 循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． 5 3 2 （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如 ， 等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. 2.实数与数轴上的点一 一对应 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质 在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： a a （1）任何一个实数 的绝对值是非负数，即| |≥0； a a2 （2）任何一个实数 的平方是非负数，即 ≥0； a 0 a0 （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ( ). 非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算 a a 数 的相反数是－ ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对 值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘 除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 知识点03:二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 1 3, , 0.02, 0 形如 a(a0)的式子叫做二次根式，如 2 等式子，都叫做二次根式. a a0 a0 a a 细节剖析：二次根式 有意义的条件是 ，即只有被开方数 时，式子 才是二次根式， 才有意义. 2.二次根式的性质 （1） ； （2） ； （3） . a a ( a)2 a0 细节剖析：（1） 一个非负数 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 （ ），1 1 2( 2)2; ( )2;x( x)2 如 3 3 （ x0 ）. a2 a a a2 （2） 中 的取值范围可以是任意实数，即不论 取何值， 一定有意义. a2 a （3）化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简. a2 ( a)2 （4） 与 的异同 a2 a ( a)2 a 不同点： 中 可以取任何实数，而 中的 必须取非负数； a2 a ( a)2 a a0 = ， = （ ）. a a2 ( a)2 相同点：被开方数都是非负数，当 取非负数时， = . 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 2, ab,3 x, a2 b2 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如 等都是最简二次根式. 细节剖析：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都 小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 细节剖析：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断. 2 8 8 2 2 2 8 如 与 ，由于 = ， 与 显然是同类二次根式. 知识点04:二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 积的算术平方根化简公式： 二次根式的乘法 a  b  ab(a0,b0) ab  a  b(a0,b0)商的算术平方根化简公式： a a 二次根式的除法  a  0，b＞0 a a b b  (a0,b0) b b 细节剖析：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如 a bc d ac bd . （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）. (4)(9)  4 9 如 . 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同 类二次根式. 细节剖析：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后 23 25 2 (135) 2  2 合并同类二次根式.如 . 考点提优练 考点01：非负数的性质：算术平方根 1．（2021春•密山市期末）若a，b为实数，且|a+1|+ ＝0，则﹣（﹣ab）2018的值是（ ） A．1 B．2018 C．﹣1 D．﹣2018 2．已知x，y为实数，则代数式 + + 的最小值是（ ） A．2 B．3 C． D． 3．（2022春•礼县期末）已知 ，则ab＝ ． 4．（2022春•东莞市期中）已知 和|y﹣ |互为相反数，则x＝ ，y＝ ． 5．（2021春•鼓楼区校级期中）已知|7﹣3m|+（5﹣n）2＝3m﹣7﹣ ，求（ ）2． 6．（2021春•大冶市期中）已知：实数a、b满足条件 +（ab﹣2）2＝0．试求 的值． 考点02：立方根 7．（2022春•越秀区校级期末）下列计算正确的是（ ） A． B．4a﹣a＝3 C．|a|﹣a＝0 D． 8．（2022春•同安区期中）已知 ，则 ＝ ． 9．（2022春•康巴什期末）有一个数值转换器，流程如下： 当输入的x值为64时，输出的y值是 ． 10．（2022春•静海区校级期中）已知5x+2的立方根是3，3x+y﹣1的算术平方根是4．求： （1）x、y的值； （2）3x﹣2y﹣2的平方根． 11．（2022•南京模拟）求下列各式中的x： （1）4x2﹣49＝0； （2） ； （3）25x2﹣64＝0； （4）343（x+3）3+27＝0．12．（2022春•黄冈期中）观察下列计算过程，猜想立方根． 13＝123＝833＝2743＝6453＝12563＝216 73＝343 83＝51293＝729 （1）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为 ，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为 ，验证得19683的立方根是 （2）请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ＝ ； ② ＝ ；③ ＝ ． 考点03：实数与数轴 13．（2022春•集美区期末）数轴上的点A，B，O表示的数分别为a，b，0，其中a＞0，ab＜0，且|a|＜ 2|b|，M是OA中点，线段BM上仅有 2 个表示整数的点．若a﹣2b﹣2＝2 ，则整数c不可能是 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2022•城厢区校级一模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列选项正确的是 （ ） A．|c|＞|a| B．c﹣a＝b﹣a+b﹣c C．a+b+c＝0 D．|a﹣b|＝|a﹣c|﹣|b﹣c| 15．（2019秋•松滋市期末）如图，O，A，B，C四点在数轴上，其中O为原点，且AC＝2，OA＝2OB，若C 点所表示的数为m，则B点所表示的数正确的是（ ） A．﹣2（m+2） B． C． D． 16．（2021秋•钢城区期末）如图，在数轴上点A表示的数是4、点P表示的数是1，线段AB⊥AP，AB＝ 1，以点P为圆心，PB长为半径画弧交数轴于点C，则点C表示的数是 ．17．（2022春•沙湾县期末）如图，CB＝1，OC＝2，且OA＝OB，BC⊥OC，则点A在数轴上表示的实数是 ． 18．（2021秋•义乌市期末）如图，已知实数a（a＞0）表示在数轴上对应的位置为点P．现对点P进行如 下操作：先把点P沿数轴以每秒1个单位的速度向左移动t秒，再把所得到的点沿数轴以每秒2个单位 的速度向右移动a秒，得到点P'．我们把这样的操作称为点P的“回移”，点P'为点P的“回移点”． （1）当t＝2时， ①若a＝4，求点P的回移点P'表示的实数； ②若回移点P'与点P恰好重合，求a的值； （2）是否存在这样的情况：原点O，点P及其回移点P'中，一个点是以另外两点的端点的线段的三等 分点？若存在，请用含a的代数式表示t；若不存在，请说明理由． 19．（2021秋•济宁期末）已知，如图，实数a，b，c在数轴上表示的点分别是点A，B，C，且a，b，c满 足（a+8）2+（b+2）2+|c﹣3|＝0． （1）求a，b，c的值； （2）若点A沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单 位/秒，3个单位秒．设运动时间为t（秒）． ①2秒后，点A，B，C表示的数分别是 ， ， ； ②运动t秒后，求点B和点C之间的距离（用“BC”表示）和点A和点B之间的距离（用“AB”表示）； （用含t的代数式表示） ③在②的基础上，请问：3BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若 变化，求这个值的变化范围．考点04：实数大小比较 20．（2022春•五华区校级期中）在﹣1，π，﹣ ，3.14四个数中，最小的数是（ ） A．﹣1 B．π C．﹣ D．3.14 21．（2022•雁塔区校级模拟）下面四个数中，最小的数是（ ） A．﹣1 B． C．0 D．﹣3 22．（2021秋•鼓楼区校级期末）比较3 和5 的大小：3 5 （用“＞”或“＜”连接）． 23．（2022春•高新区期中）已知a是大于1的实数，且有a3+a﹣3＝p，a3﹣a﹣3＝q成立． （1）若p+q＝4，求p﹣q的值； （2）当q2＝22n+ ﹣2（n≥1，且n是整数）时，求p（用n表示）； （3）在（2）的条件下比较p与（a3+ ）的大小，并说明理由． 24．（2022•南京模拟）请完成以下问题 （1）有理数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示，试比较a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c，0的大 小，并用“＜”连接． （2）有理数a、b、m、n、x满足下列条件：a与b互为倒数，m与n互为相反数，x的绝对值为最小的 正整数，求2021（m+n）+2020x3﹣2019ab的值．25．（2019春•磁县期末）（1）求出下列各数：①2的算术平方根；②﹣27的立方根；③ 的平方根． （2）将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上，将这些数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． 考点05：实数的运算 26．（2022•夏邑县模拟）下列运算正确的是（ ） A．2÷（﹣6）﹣1＝﹣3 B．﹣3×20220＝﹣3 C． D． 27．（2022春•东莞市期中）下图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为16时，输出的数值为 ． 28．（2022•南岗区校级模拟）计算（﹣ ）0﹣ 的结果是 ． 29．（2022春•静海区校级期中）计算： （1） ； （2） ． 30．（2022春•仓山区校级期中）先阅读，然后解答提出的问题： 设a，b是有理数，且满足a+ b＝3﹣2 ，求ba的值． 解：由题意得（a﹣3）+（b+2） ＝0，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，由于 是无理数，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝（﹣2）3＝﹣8． 问题：设x，y都是有理数，且满足x2﹣2y+ y＝8+4 ，求xy的值． 31．（2022•鼓楼区校级开学）计算： （1）（ ）2+ ﹣ ﹣82； （2） ﹣（﹣1）2﹣（π﹣1）0+2﹣1．考点06：二次根式的性质与化简 32．（2022春•藁城区校级期中）与 结果相同的是（ ） A．a﹣b B．a+b C．b﹣a D．|a﹣b| 33．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 +1+|a﹣1|的化简结果是（ ） A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a 34．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣ + ＝ ． 35．（2022春•姜堰区月考）将a 根号外面的式子移到根号内是 ． 36．（2022秋•晋江市月考）材料一：定义： （x，y为正整数）． 材料二：观察、思考、解答： ；反之3﹣2 ． ∴3﹣2 ； ∴ ﹣1． （1）仿照材料二，化简： ； （2）结合两个材料，若 （a，b，m，n均为正整数），用含m、n的代数式分别表示 a和b； （3）由上述m、n与a、b的关系，当a＝4，b＝3时，求m2+n2的值．37．（2022春•郧西县期末）像 ， …这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二 次 根 式 可 以 借 助 构 造 完 全 平 方 式 进 行 化 简 ， 如 ： ＝ ． 再 如 ： ＝ ．请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简： ； （2）化简： ． （3）若a+6 ＝（m+ n）2，且a，m，n为正整数，求a的值． 考点07：二次根式的混合运算 38．（2022春•颍州区期末）下列运算正确的是（ ） A． + ＝ B．2 × ＝6 C． ÷ ＝2 D．3 ﹣ ＝3 39．（2022•南京模拟）下列计算正确的是（ ） A． ÷ ＝4 B． ﹣ ＝ C．2+ ＝2 D． × ＝ 40．（2022•江北区开学）若a+6 ，当a，m，n均为正整数时，则 的值为 ． 41．（2022•南京模拟）计算： （1） ； （2） ．42．（2022春•宿豫区期末）观察下列计算：． ＝ ＝ ＝ ﹣1， ＝ ＝ ＝ ﹣ ， ＝ ＝ ＝ ﹣ ， （1）运用上面的计算方法化简 （n为正整数）； （2）利用上面的结论计算：（ + + +…+ ）（1+ ）； （3）计算： + + ． 43．（2022春•安庆期末）计算： （1） ÷ +2 × ﹣（2 + ）2（2）（﹣ ）﹣2﹣（﹣1）2012× ﹣ + 考点08：二次根式的化简求值 44．（2022春•峄城区期末）已知x＝ ﹣1，y＝ +1，则分式 的值是（ ） A．2 B． C．4 D．2 45．（2021秋•天河区校级月考）已知x＝ ，则x6﹣2 的值为（ ） A．0 B．1 C． D． 46．（2022春•临西县期末）已知x＝4+ ，y＝4﹣ ． （1）x+y＝ ． （2）求x2+xy+y2的值为 ． 47．（2022•雄县一模）已知 ， ．则 （1）x2+y2＝ ． （2）（x﹣y）2﹣xy＝ ． 48．（2022•南京模拟）已知 ， ，求 的值． 49．（2022春•临汾期末）（1）计算：6+（ +1）（ ﹣1）． （2）下面是夏红同学对题目的计算过程，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：已知x＝ ，求x+1﹣ 的值．原式＝ …第一步 ＝ …第二步 ＝ ．…第三步 把x＝ 代入上式，得 原式＝ …第四步 ＝ …第五步 ＝﹣1…第六步 任务一：填空： ①在化简步骤中，第 步是进行分式的通分． ②第 步开始出错，这一错误的原因是 ． 任务二：请直接写出该题计算后的正确结果． 考点09：二次根式的应用 50．（2022春•内黄县校级月考）如图、在一个长方形中无重叠的放入面积分别为 16cm2和12cm2的两张正 方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A．（4﹣2 ）cm2 B．（8 ﹣4）cm2 C．（8 ﹣12）cm2 D．8cm2 51．（2022春•高青县期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为 16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下 的面积为（ ）A．16 cm2 B．40 cm2 C．8 cm2 D．（2 +4）cm2 52．（2022•湖口县二模）俊俊和霞霞共同合作将一张长为 ，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三 次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是 1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是 ﹣1”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是 ． 53．（2022春•前郭县期末）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为 2和8，则图中阴影部分的 面积为 ． 54．（2022春•江宁区期末）材料阅读：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》中提出：如果一个三 角形的三边长分别为a，b，c，记p＝ ，那么三角形的面积为S＝ ，这 一公式称为海伦公式． 我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式S＝ ，被称之为秦九韶公式． （1）海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式的 一致性． 如图①，在△ABC中，BC＝a＝7，AC＝b＝5，AB＝c＝6，求△ABC的面积． （2）在（1）的基础上，作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O．过点O作OD⊥AB，OD的长为 ．55．（2021秋•汝州市期末）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高 度为h（单位km），观测者能看到的最远距离为d（单位km），则d≈ ，其中R是地球半径，通常 取6400km． （1）小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20m，她观测到远处一艘船刚露出海平面， 求此时d的值． （2）判断下面说法是否正确，并说明理由； 泰山海拔约为1500m，泰山到海边的最小距离约230km，天气晴朗时站在泰山之巅可以看到大海．