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专题突破卷 17 立体几何中的折叠和探索性问题
题型一：两个平面折叠后有关二面角的考察
1．已知菱形 中， ，沿对角线AC折叠之后，使得平面 平面 ，
则二面角 的余弦值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】采用建系法，设 中点为 ，以 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为
轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面 和平面 的法向量，由向量夹角的余弦
公式即可求解.
【详解】因为平面 平面 ，设 中点为 ， ，则 平面 ，
，故以 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴，建立空间直角坐标系，设菱形边长为2，则 ，
， ，显然 是平面 的一个法向量，
设平面 的法向量为 ，则满足 ，即 ，
令 ，可得 ，故 ，则 ，即二面角
的余弦值为 .
故选：D
2．如图，将正方形ABCD沿对角线AC折叠后，平面 平面DAC，则二面角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】根据给定条件，作出二面角 的平面角，再在直角三角形中计算作答.
【详解】设正方形的边长为a，取AC的中点O，连接BO，则 ，过O作AD的平
行线OE交CD于E，连接BE，如图，
因为平面 平面DAC，平面 平面 ， 平面 ，
则 平面DAC，而 平面DAC，于是 ，
又 ， 平面BOE，则 平面BOE，
而 平面BOE，即有 ，
因此 为二面角 的平面角，显然 ， ，
有 ，即 为直角三角形，有 ，则 ，
所以 .
故选：C
3．已知矩形 中， ，折叠使点A，C重合，折痕为 ，打开平面
，使二面角 的大小为 ，则直线 与直线 的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】设 的中点为P， 的中点为Q，则 为 与 的公垂线段，利用题设中
的二面角可求公垂线段的长度.
【详解】如图，设 的中点为P，则折叠后二面角 的平面角为 ．又 ，于是 是边长为 的正三角形．
设 的中点为Q，则 为 与 的公垂线段，也即直线 与直线 的距离，为
．
故选：B.
4．如图，已知梯形 ， ． ，沿着对角线 折叠使得点B，
点C的距离为 ，此时二面角 的平面角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先分别过 作 ， 垂直 ，交 于 ，根据梯形 为等
腰梯形得到 ，从而得到 ，即可用勾股逆定理证明 ，根据
，即可得到 ，从而得到 平面 ，即平面 平面 ，从
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！而得到二面角 的平面角为 .
【详解】分别过 作 ， 垂直 ，交 于 ，如图所示：
因为 ， ，所以梯形 为等腰梯形，
则 ， .
在 中， ， ，则 .
所以 ，
则 ，即 .
沿着对角线 折叠使得点B，点C的距离为 ，如图所示：
在 中， ， ，
则 ，即 .
所以 平面 .
又因为 平面 ，所以平面 平面 ，
即二面角 的平面角为 .故选：D
5．在 中， 是斜边的高线，现将 沿 折起，使
平面 平面 ，则折叠后 的长度为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】由题意画出平面图及其翻折后的立体图，利用面面垂直的性质可得 面 ，
由线面垂直的性质有 ，进而在直角三角形中应用勾股定理求 .
【详解】由题设，可得如下平面图及其翻折后的立体图， ，
∴ ， ，又面 面 ，面 面 ， ， 面
，
∴ 面 ，而 面 ，故 ，
∴在 中， .
故选：C.
6． ， 是直线 上的两点，若沿 轴将坐标平面折成 的二面角，
则折叠后 、 两点间的距离是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】A
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】作 轴于点 ，作 轴于点 ，将 用 表示，再根据数量
积的运算律结合向量的模的计算公式计算即可.
【详解】因为 ， 是直线 上的两点，
所以 ， ，
如图为折叠后的图形，作 轴于点 ，作 轴于点 ，
则异面直线 ， 所成的角为 ，即 、 的夹角为 ，
， ， ，
，
则
，
即折叠后 、 两点间的距离为 .
故选：A.
7．在矩形ABCD中， ，M是AD边上一点，将矩形ABCD沿BM折叠，使平
面 与平面 互相垂直，则折叠后A，C两点之间距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据立体几何中面面垂直的相关性质以及余弦定理、正弦二倍角公式运算求解即
可.
【详解】作示意图如下，在平面 中，作 ，连接 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面
，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
设 ，
所以 ， ， ，
在 中，由余弦定理得， ，
所以 ，
所以 ，
若 最小，则 最小，当 时，
此时 ， 可以取到.
故选：D
8．如图，在梯形 中， ，四边形 为矩形，点 为
的中点，沿 ， 折叠，使得点 与 重合于点 ，如图2，则异面直线 与
所成角的余弦值为（ ）
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将该几何体补形为直三棱柱 ，作出异面直线 与 所成的角（或
其补角）为 ．在 中，分别求出各边，利用余弦定理求出余弦值.
【详解】
由题意知 是边长为1的正三角形， ， 平面 ， ，
，将该几何体补形为直三棱柱 ，
如图所示，取 的中点 ，连接 ， ，则由三角形中位线定理， ，
所以 为异面直线 与 所成的角或其补角．
在 中， ，在 中， ，
所以 ．取 的中点 ，连接 ， ，则 ， ， ，
所以 ，
在 中， ， ， ，由余弦定理得：
所以 ，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选：B
9．在平面直角坐标系中，已知 ， ，现沿 轴将坐标平面折成120°的二面
角，则折叠后 ， 两点间的距离为（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】B
【解析】折叠后，利用余弦定理求出 ，再用勾股定理求出 即可得解.
【详解】过 作 轴，垂足为 ，过 作 轴的平行线 ，过 作 ，垂
足为 ，折叠后如图：根据题意可得 ， ， ， ，
在三角形 中，
，
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！在直角三角形 中， ，
所以 .
故选：B
10．如图，在矩形 中， ， ，沿 将矩形 折叠，连接 ，所
得三棱锥 正视图和俯视图如图，则三棱锥 中 长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】先由正视图、俯视图及题意还原三棱锥，过A作AM⊥BD于点M,连结MC，把
放在直角三角形AMC中解AC.
【详解】
根据三棱锥 正视图和俯视图，还原后得到三棱锥的直观图如图示，由图可知：平
面ABD⊥平面CBD，过A作AM⊥BD于点M,连结MC,则AM⊥平面CBD，
∴△MCA为直角三角形.
过C作CN⊥BD于点N,在直角三角形ABD中，AB=1，AD= ，∴
所以∠ABD=60°，∠ADB=30°，
则在直角三角形ABM中，AB=1，∠ABM=60°，∴ .
同理，在直角三角形CBD中， .
∴MN=BD-BM-DN= ,
∴
在直角三角形AMC中，
故选：C
题型二：两个平面折叠后有关外接球的考察
11．某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，
已知球的表面积为 ，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折
叠形成，即面 ，面 ，面 都与面 垂直，如图②，则经过三个顶点A，
B，C的球的截面圆的面积为（ ）
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A．π B． C． D．
【答案】B
【分析】设三点 在底面上的射影分别为 ，可得 与 全等，
经过三个顶点 的球的截面圆与 的外接圆相同，根据正弦定理求出外接圆的
半径可得答案.
【详解】设三点 在底面上的射影分别为 ，
因为面 ，面 ，面 都与面 垂直，
所以 是 三边中点，
所以 与 全等，且所在平面互相平行，
所以经过三个顶点 的球的截面圆与 的外接圆相同，
由题意 ， ，
所以 的外接圆的半径为 ，
则经过三个顶点 的球的截面圆的面积为 .
故选：B.
12．如图， 是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将 折叠，形成三
棱锥 ．当二面角 为直二面角时，三棱锥 外接球的体积为
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】补形成长方体模型来解即可.
【详解】由于二面角 为直二面角，且 和 都是直角三角形，
故可将三棱锥 补形成长方体来求其外接球的半径R，
即 ，解得 ，
从而三棱锥 外接球的体积 ．
故选：D
13．在边长为 的菱形 中， ，将 沿着 折叠，得到三棱锥
，若 ，则该三棱锥的外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】C
【分析】设 的中点为 ，连接 ， ，设 、 分别为 、 外接圆的圆
心，过点 、 分别作平面 、平面 的垂线，设两垂线交于点 ，从而得到点
为该三棱锥外接球的球心，利用余弦定理求出 ，即可求出 ，再由勾股定理求出
，即可求出外接球的体积.
【详解】在菱形 中， ，所以 和 均是边长为 的等边三角
形，
如图在三棱锥 中，设 的中点为 ，连接 ， ，设 、 分别为 、
外接圆的圆心，
过点 、 分别作平面 、平面 的垂线，设两垂线交于点 ，则点 为该三棱锥
外接球的球心，
连接 、 ，则 为外接球的半径，
依题意 ，且 、 ，
由余弦定理 ，
所以 ，
由 、 分别为 、 外接圆的圆心，
所以 ， ，
因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即外接球的半径 ，
所以外接球的体积 .故选：C
14．已知在 中， ， ， ，D是AB的中点，沿着CD将
折起，使得点A折叠到点 的位置，则当三棱锥 的体积最大时，其外接球
的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设三棱锥 的高为h， 的高为 ，则 为 的中点，当且仅当
平面BCD时， ，此时三棱锥 的体积最大，如图 分别为
和 的外接圆圆心， 为三棱锥 的外接球球心，利用勾股定理求得
外接球球心即可得解.
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】由题易知 是边长为2的等边三角形， 是顶角为 的等腰三角形，
设三棱锥 的高为h， 的高为 ，则 为 的中点，则 ，
当且仅当 平面BCD时， ，此时三棱锥 的体积最大，
如图 分别为 和 的外接圆圆心， 为三棱锥 的外接球球心，
则四边形 是矩形，
由题可知 的外接圆半径为 ,所以 （易知 是等边三
角形 的高）.
因为 ，所以 ，
所以三棱锥 的体积最大时，其外接球的表面积为 .
故选：D.
15．如图，一块边长为8的正方形铁片上有四块全等的阴影部分.将空白部分剪掉，对余下
阴影部分按下面工序加工成一个正四棱锥：将四块阴影部分分别沿虚线折叠，以其中等腰
直角三角形组成棱锥的底面，余下为棱锥的侧面.则所得正四棱锥的外接球表面积是（）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题画出四棱锥 ，进而可知 为正方形 的中心， 平面
，进而求出 的长，易知外接球的球心 在 上，假设球的半径 ，根据勾股定
理求出 ,进而求出球的表面积
【详解】由题意,作出正四棱锥 如图所示,
设点 为正方形 的中心，则 ,
且该正四棱锥的侧棱长为 .
连接 ，则 平面 ， 平面 ，所以 ,
所以 .
设正四棱锥 外接球的球心为 ，则 在 上,
连接 ，设球 的半径为 ，则 ,
即 ，解得 ,
故球 的表面积为 ,
故选：C.
16．如图， 是边长为4的正三角形， 是 的中点，沿 将 折叠，形成三
棱锥 ．当二面角 为直二面角时，三棱锥 外接球的表面积为
（ ）
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先证明 平面 ，利用二面角的定义可得 ，利用勾股定理可得
的外接圆直径为 ，将三棱锥 补形成长方体来求其外接球的半径 ，再
利用球体表面积公式可得出答案.
【详解】如图所示，
折叠前，由于 是边长为4的正三角形， 是 的中点，则 ，
折叠后，则有 ， ，因为 ，所以 平面 ，
因为二面角 为直二面角， ，
则二面角 的平面角为 ，且 ，
，
可将三棱锥 补形成长方体来求其外接球的半径 ，即 ，解
得 ，从而三棱锥 外接球的表面积为 ．
故选：B
17．如图，在 中， ， ， 是棱 的中点，以 为折痕把
折叠，使点 到达点 的位置，则当三棱锥 体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】 平面 时，三棱锥 体积最大，把三棱锥补形为一个长方体，求
出外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.
【详解】在 中， ， 是 的中点，则有 ，
， ，
当 ，即 平面 时，三棱锥 体积最大，此时 两两垂
直，
可把三棱锥 补形为一个长方体，且长方体长、宽、高分别为： ，
所以三棱锥的外接球半径为 ，
所以外接球的表面积为 .
故选：D.
18．中国的折纸艺术历史悠久，一个同学在手工课时，取了一张长方形纸，长边为 ，
短边为2，如图 分别为各边的中点，现沿着虚线折叠得到一个几何体，则该几
何体的外接球表面积是（ ）
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意作出折叠后图形，可得出三棱锥的棱长及三棱锥是长方体内一部分，利用
外接球直径为长方体的体对角线求解即可.
【详解】叠后 重合于 ， 重合于 ，平面 与平面 沿 折叠后重合
后得平面 ，得到如图，
又因为 即 垂直 ，
即 垂直 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 三点共线，
所以 ， ， ，
所以三棱锥是长方体内的一部分，
设长方体长宽高分别为 ，外接球半径为 ，则 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以外接球表面积为 .
故选：A
19．在菱形ABCD中， ， ，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段
AD，CD上，且 ， ，将 沿MN折叠到 ，使 ，
则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设MN与BD的交点为H，连接 ，证明 平面ABC．设 的外接圆
圆心为 ， 的外接圆圆心为 ，过 ， 分别作平面ABC，平面 的垂线，
设两垂线交于点O，则O是三棱锥 外接球的球心，先求出 ，再求出三棱锥
的外接球的半径 即得解.
【详解】如图所示，因为 ， ，
所以 ，设MN与BD的交点为H，连接 ，
因为 ， ，所以 ，则 ， ，
所以 ．又 ，则 ，则 ．又 ，
， 平面ABC，故 平面ABC．
设 的外接圆圆心为 ， 的外接圆圆心为 ，过 ， 分别作平面ABC，平
面 的垂线，设两垂线交于点O，则O是三棱锥 外接球的球心，且四边形
22
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！为矩形．设 的外接圆半径为 ，在 中，由 ，解得
，同理可得 的外接圆半径 ，所以 ．设三棱锥 的
外接球半径为R，则 ，则三棱锥 的外接球的表
面积 .
故选：B．
题型三：两个平面折叠后有关立体图的表面积与体积
20．如图甲，在等腰直角三角形 中， ， ， 分别为 两直角
边上的点，且 ， 沿直线 折叠，得到四棱锥 ，如图乙，则四
棱锥 体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】由体积公式得平面 与平面 垂直时，四棱锥体积最大，设 ，用
表示出体积，然后由导数求得最大值．
【详解】如图1， 分别是 中点，则 共线且 ，如图2，在折叠
的过程中，当平面 与平面 垂直时，由面面垂直的性质定理得 平面 ，
当平面 与平面 不垂直时， 是 点到平面 的一个斜线段，因此 到平
面 的距离小于 ，所以四棱锥 体积最大时，平面 与平面 垂
直时，由面面垂直的性质定理得 平面 ，
设 长为 ，则 , ， ， ，
则四棱锥 体积为 ，
由 ，易得 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，即在 处取到最大值，
，
故选：B.
21．如图，等边三角形△ 的边长为4，D，E，F分别为 和 的中点，将△
、△ 、△ 分别沿 、 和 折起，使A、B、C三点重合，则折叠后的
四面体的体积为（ ）
24
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由折叠后四面体的性质求体高，再应用棱锥的体积公式求体积.
【详解】如下图示：正四面体 ，O是S在底面的投影，则正四面体棱长为2且
．
由于 ，则 ，
所以体积 ．
故选：C．
22．如图，在六边形 中，四边形 是边长为2的正方形， 和 都
是正三角形，以 和 为折痕，将六边形 折起并连接 得到如
图所示的多面体 ，其中平面 平面 ，二面角 的余弦值为
，则折叠后得到的多面体的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】多面体 的体积转化为两个相等的四棱锥的体积和.
【详解】
图（1）
如图（1），设 的中点分别为M和N，连接 ，
由题意得 ，故 为二面角 的平面角，
所以 ，
过A作 于H，易证 平面 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
26
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故多面体 的体积为 .
故选：B
23．如图所示，在边长为 的正方形纸片 中， 与 相交于 ，剪去 ，将
剩余部分沿 ， 折叠，使 ， 重合，则以 ， ， ， 为顶点的四面体的
体积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】折叠后的四面体如图所示，
其中 ， ， 两两垂直，
则 ， ，
∴该四面体的体积 ．
本题选择A选项.
24．将一张边长为 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余
下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图
是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设折成的四棱锥的底面边长为 ，高为 ，则 ，故由题设可得
，所以四棱锥的体积 ，应选
答案B．
25．如图，正方形 的边长为2，分别取边 ， 的中点 ， ，连接 ， ，
，以 ， ， ，为折痕，折叠这个正方形，使 ， ， 重合于一点 ，得到一
个三棱锥 ，则（ ）
A．平面 平面 B．二面角 的余弦值为
C．三棱锥 的体积为 D．三棱锥 内切球的表面积为
【答案】ABD
【分析】A. 易得 平面PEF，再利用面面垂直的判定定理判断；
28
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！B. 根据 平面PEF，设二面角 的平面角为 ，由 求解判断；
C.由等体积法 求解判断；
D. 设三棱锥 内切球的半径为 ，由 求解
判断.
【详解】A.由题意得 ，且 ， 平面 ，
所以 平面PEF，
又 平面PAF，所以平面 平面 ，故A正确；
B. 由 平面PEF，且 ， ，
设二面角 的平面角为 ，则 ，故B正确；
C. ，故C错误；
D. 设三棱锥 内切球的半径为 ，则 ，
，解得 ，
所以三棱锥 内切球的表面积为 ，故D正确.
故选：ABD
26．边长为4的正方形 沿对角线 折叠，使得平面 平面 ，则关于四面
体 ，下列结论正确的是（ ）A． B． C．四面体 的体积为 D．四面体
的体积
【答案】BD
【分析】
根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理计算即可.
【详解】
取 中点 ，连接 ， ，则 ， ，
而 ， ，则 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
于是 平面 ， 平面 ，则 ，
所以 ， ，AC错误，BD正确.
故选：BD
27．如图，正方形 的边长为2，现将正方形沿其对角线 进行折叠，使其成为一个
空间四边形，在空间四边形中，下列结论中正确的是（ ）
A．B，D两点间的距离d满足
30
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！B．异面直线 ， 所成的角为定值
C．对应三棱锥 的体积的最大值为
D．当且仅当 时，二面角 为60°
【答案】ABD
【分析】取 的中点 ，连接 ，在 中，结合余弦定理，可判定A正确；根
据 ，证得 平面 ，可判定B正确；当平面 平面 时，
三棱锥的体积取得最大值，结合锥体的体积公式，求得三棱锥的体积，可判定C错误；由
，得到 为二面角 的平面角，求得 的长，可判定D
正确.
【详解】对于A中，如图所示，取 的中点 ，连接 ，
则 ，且 ，
设 ，其中 ，则
在 中，可得 ，
即 两点间的距离d满足 ，所以A正确；
对于B中，由 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
即异面直线 与 所成的角为 （定值），所以B正确；
对于C中，因为 的面积 （定值），
则只有当点 到底面 的距离最远时，三棱锥 的体积取得最大值，
当且仅当平面 平面 时，
因为 ，且平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，且 ，所以三棱锥 体积的最大值为 ，所以C错误；
对于D中，因为 ，所以 为二面角 的平面角，
当二面角 为 时，可得 ，
又因为 ，所以 ，
即当且仅当 时，二面角 为 ，所以D正确.
故选：ABD.
28．如图，在平面四边形ABCD中， 和 是全等三角形， ，
， ．下面有两种折叠方法将四边形ABCD折成三棱锥．折法①将
沿着AC折起，形成三棱锥 ，如图1；折法②：将 沿着BD折起，形成三
棱锥 ，如图2．下列说法正确的是（ ）
A．按照折法①，三棱锥 的外接球表面积值为
32
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！B．按照折法①，存在 ，满足
C．按照折法②，三棱锥 体积的最大值为
D．按照折法②，存在 满足 平面 ，且此时BC与平面 所成线面角的
正弦值为
【答案】AC
【分析】根据外接球的圆心为 中点 ,即可根据表面积公式求解A，根据线线垂直即可
结合三角形全等得矛盾求解B，根据面面垂直的性质即可求解高的最大值，进而可求C，
根据全等的性质，由线面垂直即可得线面角，进而根据三角形的边角关系求解D.
【详解】对于A, 和 是全等三角形， ， ， ．
可得 中点 到 ， ， ， 的距离相等，故 为棱锥 的外接球的球心，
为直径，
外接球的半径为2， 三棱锥 的外接球表面积值为 ，故A正确，
对于B：假若存在存在 ，使得 ，由于 ， 平面
，所以 平面 ，由于 平面 ,故 ,
由于 和 是全等三角形，所以 ,故 不可能，因此
不存在 满足条件，故B错误；
对于C：三棱锥 体积最大时，平面 平面 ，由已知 , ,所以 ，
又 ,故 为等边三角形，
过 作 ，则 ，故 到平面 的距离为 1，
，故C正确；
对于D,由于在翻折过程中， ,
故当 ，可得 ， 平面 ， 平面 ，
则 是 与平面 所成的角，
由 ， ，由勾股定理可得 ，
在△ 中， ，故D错误．
故选：AC．
1．已知菱形 中，对角线 ，将 沿着 折叠，使得二面角 为
， ，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
34
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】
【分析】将 沿 折起后，取 中点为 ，连接 ， ，得到 ，在
中由余弦定理求出 的长，进一步求出 的长,分别记三角形 与 的
重心为 、 ，记该几何体 的外接球球心为 ，连接 ， ，证明 与
全等，求出 ，再推出 ，连接 ，由勾股定理求出 ，即可得出外
接球的表面积.
【详解】将 沿 折起后，取 中点为 ，连接 ， ，
则 ， ，
可知 即为二面角 的平面角，即 ；
设 ，则 ，
在 中，由余弦定理可得： ，
即 解得 ，
即 ，可得 ，
所以 与 是边长为 的等边三角形，
分别记三角形 与 的重心为 、 ，
则 ， ； ；
因为 与 都是边长为2的等边三角形，
所以点 是 的外心，点 是 的外心；
记该几何体 的外接球球心为 ，连接 ， ，
根据球的性质，可得 平面 ， 平面 ，
所以 与 都是直角三角形，且 为公共边，
所以 与 全等，因此 ，
所以 ；因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ；
又 平面 ，所以 ，
连接 ，则外接球半径为 ，
所以外接球表面积为 .
故答案为： .
2．长方形 中， ，沿对角线 把平面 折起，使平面 平
面 ，则折叠后 的余弦值为 ．
【答案】 /0.48
【分析】作 ，证明 ，利用勾股定理和余弦定理求出 ，再由余弦定理
求 的余弦值.
【详解】过 作 ，垂足为 ，连接 ，
， ，则 ， ， ，
中， ，
中，由余弦定理 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，则 平面 ，
平面 ， ，则 ，
中，由余弦定理 .
故答案为：
36
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3．如图，在 中， 是 的中点，以 为折痕把
折叠，使点 到达点 的位置，则当平面 平面 时，其外接球的体积为
.
【答案】 /
【分析】由题意可得 两两垂直，则三棱锥 的外接球即是长方体
的外接球，补成长方体后计算体对角线即可得其外接球的半径，即可得外
接球的体积.
【详解】如图，由题意，当平面 平面 ，
是 的中点， ，即
两两垂直，
又 ，
如图，作长方体 ，则三棱锥 的外接球，
即是长方体 的外接球，
设长方体 的外接球的半径为 ，
则 ，
.
当平面 平面 时，其外接球的体积为 .
故答案为： .
4．已知边长为2的等边 中， 为 的中点，以 为折痕进行折叠，使折后的
，则过 四点的球的体积为 .
【答案】
【分析】由给定条件，可得 两两垂直，补形成长方体，利用长方体的外接球即
为三棱锥 的外接球，再求出球半径及体积.
【详解】正 的边长为2， 为 的中点，则 ，
依题意， ，又 ，则三棱锥 的棱 两两垂
直，
则以 为共点的3条棱的长方体的外接球即为三棱锥 的外接球，
于是该球的直径 ，即 ，
所以过 四点的球的体积为 .
故答案为：
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5．已知等边 的边长为2，AD为BC边上的高，以AD为折痕进行折叠，使得二面角
为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】由题意确定 即为二面角 的平面角，即可求出BC的长，进而求
出 的外接圆，设三棱锥 的外接球的半径为R，由外接球性质列式求得R，
结合球的表面积公式即可求得答案.
【详解】如图，由题意知三棱锥 中， ，
则 即为二面角 的平面角，即 ，
由于等边 的边长为2，AD为BC边上的高，故 ，
在 中， ，
则 ，
又 平面 ，
故 平面 ，设 的外接圆圆心为O，半径为r，则 ，
则 ，即 ;
设三棱锥 的外接球的球心为 ，连接 ，则 平面 ，
则 ，且 ，
设三棱锥 的外接球的半径为R，故 ，
故 ，故三棱锥 的外接球的表面积为 ,
故答案为：
6．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线
AD与BC的距离为 ．
【答案】 /
【分析】利用垂直关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线的距离.
【详解】取 的中点 ，连结 ， ，
由条件可知，平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 平面 ，
如图，以点 为原点， 为 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
， ， ， ，
， ， ,
设与 垂直的向量为⃗n=(x,y,z)，则
，令 ，则 ，所以 ，
则异面直线AD与BC的距离为 .
故答案为：
7．将边长为 ，锐角为 的菱形沿较长的对角线折叠成大小为 的二面角，若该菱
形折叠后所得到的三棱锥内接于表面积为 的球，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据外接球表面积求出外接球半径，作出辅助线，找到球心的位置，并得到
，表达出各边长，由勾股定理列出方程，求出答案.
【详解】设球的半径为 ，则 ，解得 ，
菱形 中， ， ，
取 的中点 ，连接 ， ，则 ⊥ ， ⊥ ，
故 ，
因为 ，故 ， ，
故 的外接圆半径为 ，
延长 至点 ，使 ，则 为 的外接圆圆心，设三棱锥外接球球心为 ，则 ⊥平面 ，连接 ， ，
则 ，
过点 作 ⊥ ，交 的延长线于点 ，则 ⊥平面 ，
过点 作 平行 ，交 的延长线于点 ，
由勾股定理得 ，则 ，
因为 ，故 ，
，
故 ，
故 ，
又 ，
由勾股定理得 ，即 ，
即 ，又 ，所以 ，解得 .
故答案为：
8．已知菱形 中，对角线 交于点 ， ，将 沿着 折叠，使得
， ，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】
【分析】折叠后，求出 的长，设 分别为 与 的外心， 为三棱锥
的外接球球心，利用垂直关系和球的性质，求出外接球半径计算表面积.
【详解】菱形 中， ， ， ，
，
折叠后， ， 为等边三角形， ，
与 是全等的等腰三角形，设 分别为 与
的外心，
中，外接圆半径 ， ， ，
中，由勾股定理， ，即 ，解得 ，
则 ，同理 ，
为三棱锥 的外接球球心，连接 ，
由球的性质可知， 平面 ， 平面 ，
与 全等， ，
，
， ， ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， ，则三棱锥 的外接球半径 ，
所以外接球表面积 .
故答案为： .
9．在菱形ABCD中， ， ，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，
CD上，且 ， ，将 沿MN折叠到 ，使 ，则
三棱锥 的外接球的表面积为 ．
【答案】
【分析】设MN与BD的交点为H，连接 ，证明 平面ABC，设 的外接圆
圆心为 ， 的外接圆圆心为 ，过 ， 分别作平面ABC，平面 的垂线，
设两垂线交于点O，则O是三棱锥 外接球的球心，先求出两外接圆的半径 ，
再求出三棱锥 的外接球的半径 即得解.
【详解】如图所示，因为 ， ，
所以 ，设MN与BD的交点为H，连接 ，
因为 ， ，所以 ，
则 ， ，所以 ，
又 ，则 ，则 ，
又 ， ， 平面ABC，
所以 平面ABC，
设 的外接圆圆心为 ， 的外接圆圆心为 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！过 ， 分别作平面ABC，平面 的垂线，
设两垂线交于点O，则O是三棱锥 外接球的球心，
且四边形 为矩形，
设 的外接圆半径为 ，在 中，由 ，解得 ，
同理可得 的外接圆半径 ，所以 ，
设三棱锥 的外接球半径为R，
则 ，
则三棱锥 的外接球的表面积 .
故答案为： ．
10．如图，等边 的边长为4，点D为边 的中点，以 为折痕把 折叠，在
折叠过程中当三棱锥 的体积最大时，该棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】【分析】利用折叠过程中始终有 平面 ，从而可计算三棱锥体积，再引入变量
，找到最大值解，得到的是一个直角四面体，然后利用补形为长方体来求外接球半
径及表面积.
【详解】
在折叠过程中始终有 平面 ， ， ．
，
∵ ，∴当 时，三棱锥 的体积最大．
此时，可以将三棱锥 补成长方体，
所以可得它的外接球半径 ，
即三棱锥 的外接球半径 ，
∴此时外接球的表面积为 ．
故答案为： ．
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