文档内容
专题突破卷 16 求数列的通项公式
1.周期数列
1．若数列 中， ， ，且 （ ），记数列 的前n项积为 ，则 的
值为 ．
【答案】
【分析】根据数列的周期性，即可求解.
【详解】因为 ， ，且 ，所以 ，
则 ， ， ， ， ， ，
发现数列 是以6为周期的数列，且前6项积为1，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1则 ， ，
所以 .
故答案为： .
2．函数 的部分对应值如下表所示，对于任意 ，点 都在函数 的图象上.已
知 ，则 的值是 .
x 1 2 3 4
3 1 2 4
【答案】1
【分析】根据题意求出数列 的周期，再根据数列的周期性即可得解.
【详解】因为点 都在函数 的图象上，所以 ，
因为 ，所以 ， ， ，
所以数列 是以 为周期的周期数列，
所以 .
故答案为： .
3．已知数列 满足 ，则 =（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据递推形式求数列的前几项，判断数列是周期数列，再求值.
【详解】 ， ， ， ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2所以 是周期数列，且周期为4，
又 ，所以 ．
故选：C.
4．数列 满足 ，，则 的前2023项和 .
【答案】1351
【分析】根据已知递推式求出 ，则可得 从第3项起以3为周期的周期数列，从而可求
得答案
【详解】因为 ，
所以 ，
则 从第3项起以3为周期的周期数列，
所以 .
故答案为：1351
5．数列 满足 ， ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】根据递推式得到 周期为6，进而求得 、 ，即可得结果.
【详解】由题设 ，则 ，且 ，
所以 是周期为6的数列，则 ，故 ，
，所以 .
故答案为：
2.累加、累乘法
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36．数列 中，若 ， ，则 .
【答案】
【分析】根据数列的递推关系式结合累乘法即可得 .
【详解】由题意， ， 可得 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
7．已知正项数列 满足a=1，a=2，a=64，且 ．
1 2 4
(1)求k的值；
(2)求数列 的通项公式．
【答案】(1)2；
(2) .
【分析】（1）运用代入法进行求解即可；
（2）通过换元法、等比数列的定义，结合等比数列的通项公式、累积法、等差数列前 项和公式进行求解
即可.
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ；
（2）因为 ，所以 ，则 ，
令 ，所以 ，则 是等比数列，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4则
8．北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一
货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，
记第n层货物的个数为 ，则使得 成立的n的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由题设及累加可得 ，应用等差数列前n项和公式及已知不等关系求n范围，
即可得结果.
【详解】由题意 ， ， 且 ，
累加可得 ，所以 ，
∴ ，得 ，即 ．
故选：C．
9．已知数列 满足 ， ，若 表示不超过x的最大整数，则
．
【答案】1
【分析】根据迭代法可得 利用裂项求和结合 的定义即可求解.
【详解】由 得 时，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5，
当 时， 也符合，所以
，故 ，
，
故答案为：1
10．已知定义数列 为数列 的“差数列”，若 的“差数列”的第 项为 ，则数列
的前2023项和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件可得 ，利用累加法求出数列 的通项，再利用等比数列前n项和公式
求解作答.
【详解】依题意， ，当 时，
，而 满足上式，因此 ，
所以 .
故选：D
11．已知数列 中， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和 ，求证： ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由 ，得到 ，再利用累乘法求解；
（2）由（1）易得 ，再利用裂项相消法求解.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，
所以
当 时， 满足条件，
所以 ；
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
3.待定系数法
12．已知： ， 时， ，求 的通项公式．
【答案】
【分析】构造等比数列 ，即可由等比数列的性质求解.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7【详解】设 所以
， ，
∴ ，解得： ，
又 ∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列，
，
∴ ∴
， ．
13．数列 满足 且 ，则数列 的通项公式是 ．
【答案】
【分析】根据题意构造等比数列，进而求出通项公式即可.
【详解】设 ，则 ，
又因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 为常数，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 .
故答案为：
14．已知数列 中， 且 ，则数列 的通项公式为 .
【答案】
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8【分析】根据题意,可得 ，令 ，则 ，再结合等比数列的定义求解即可.
【详解】∵ ，等式两侧同除 ，可得 ，
令 ，则 ，
∴ ，又 ，
∴ 是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴ ，即 ，
∴ ，即 .
故答案为： .
15．已知数列 中， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定的递推公式，构造等比数列并求出通项作答.
【详解】由 ，得 ，而 ，
因此数列 是首项为 ，公比为4的等比数列，则 ，即 ，
所以 .
故选：C
16．已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式．
【答案】
【分析】解法一：利用待定系数法可得 ，即可得到 是首项为 ，
公比为 的等比数列，从而求出其通项公式；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9解法二：两边同时除以 得 ，再利用构造法计算可得；
【详解】解法一：因为 ，
设 ，
所以 ，
则 ，解得 ，
即 ，
则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ；
解法二：因为 ，两边同时除以 得 ，
所以 ， ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，则 ，所以 .
17．已知数列 中， ，求 的通项公式．
【答案】
【分析】构造法求证 为等比数列并写出通项公式，再应用累加法求数列通项公式.
【详解】 化为 ，即 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10，可得 或 ，（所得两组数值代入上式等价），
不妨令 ， ，
所以 是以1为首项， 为公比的等比数列，则 ，
累加法可得： ，
又 符合上式，故 .
4.取倒数法、取对数法
18．数列 中， ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列 的通项公式为
B．数列 为等比数列
C．数列 为等比数列
D．数列 为等差数列
【答案】C
【分析】求出数列 的前3项，利用等比数列定义判断A，B；给定等式两边取对数可得 ，
判断C，D作答.
【详解】数列 中， ， ，则 ， ，显然 不成等比数列，
A，B都不正确；
依题意， ，由 两边取对数得： ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11因此，数列 是首项为 ，公比为2的等比数列，C正确，D不正确.
故选：C
19．已知数列 的递推公式 ，且首项 ，则 .
【答案】 /
【分析】推导出 ，结合等差数列的定义可求得数列 的通项公式，即可得出数列 的通
项公式.
【详解】因为 ，且 ，则 ， ，
以此类推可知，对任意的 ， ，
在等式 两边取倒数可得 ，则 ，
所以，数列 为等差数列，且其首项为 ，公差为 ，
，故对任意的 ， .
故答案为： .
20．已知数列 满足 ， ，求 的通项公式.
【答案】
【分析】两边取对数得 ，根据等比数列的通项公式求解，解方程即可得解.
【详解】取以10为底的对数可得 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12所以 ，即 ，即 .
21．（1）定义：若数列 满足 ，则称 为“平方递推数列”.已知：数列 中， ，
.
①求证：数列 是“平方递推数列”；
②求证：数列 是等比数列；
③求数列 的通项公式；
（2）已知：数列 中， ， ，求：数列 的通项.
【答案】（1）①见解析；②见解析；③ ；（2） .
【分析】（1）①依据“平方递推数列”定义，结合条件 ，可证数列 是“平方递推
数列”；
②令 ，进而有 ．从而可证数列 为等比数列；
③由②知，数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，故可求；
（2）两边同乘以 整理得， ，两边取对数得： ，故数列
是以 为首项，3为公比的等比数列，从而可求数列 的通项．
【详解】解：（1）①由条件 ，得 ，
数列 是“平方递推数列”；
②令 ， ，则 ，
， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13数列 是等比数列；
③由②知， ，
，
；
（2）∵ ，
∴ ，
，
两边取对数得： ，
数列 是以 为首项，3为公比的等比数列，
，
，
.
22．（多选）已知数列 满足 ，则下列结论正确的有（ ）
A． 为等比数列
B． 的通项公式为
C． 为递增数列
D． 的前n项和
【答案】ABD
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14【分析】根据已知证明 为定值即可判断A；由A选项结合等比数列的通项即可判断B；作差判断
的符号即可判断C；利用分组求和法即可判断D.
【详解】因为 ，
所以 +3，所以 ，
又因为 ，
所以数列 是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；
，即 ，故B正确；
因为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 为递减数列，故C错误；
，
则 ，故D正确.
故选：ABD.
23．已知数列 的前 项和为 ，数列 满足 ，且
(1)求数列 的通项公式；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15(2)求数列 的通项公式；
(3)对于 ，试比较 与 的大小.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由数列 的前 项和为 ，利用 ，能求出 ；
（2）由 ，两边取倒数得 ，从而得到 是以首项为 ，公比为
2的等比数列，由此能求出 ；
（3）将问题转化为证明 成立，利用数学归纳法、二项式定理或函数的知识证明即可.
【详解】（1）当 时， ；
当 时， ，
经检验， 时， 也符合上式，
所以数列 的通项公式为 ；
（2）易知 ，两边取倒数得 ，整理得 ，
是以首项为 ，公比为2的等比数列，
；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16（3）由（1）（2）问可知，欲比较 与 的大小，
即比较 与 的大小.
当 时， ，有 ；
当 时， ，有 ；
当 时， ，有 ，
猜想 ，下面证明:
方法一：当 时，
，
所以对于任意的 都成立，所以 .
方法二：令 ，则
令 则 ，
当 时， 即 在 单调递增，
在 单调递增，
所以 ，所以 ，即 ，
所以对于任意的 都成立，所以 .
方法三：下面用数学归纳法证明①当 时，显然成立；
当 时，显然成立；
②假设 时（ ，猜想成立，即 成立，
那么当 时，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17，
因为 ，
对任意的 且 上式都大于0，
所以有 ，
综上所述， 对于任意的 都成立，所以 .
5.已知 求通项公式
24．数列 的前 项和记为 ，若 ，则 .
【答案】
【分析】根据 的关系即可求解.
【详解】解：当 时，有 ，
但当 时， 不适合上式，
故 .
故答案为: .
25．（多选）数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 是递减数列
B．数列 是等差数列
C．当 时，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18D．数列 有最大项，没有最小项
【答案】ACD
【分析】根据 的关系可得通项公式，然后可以判断ABC；求出 ，根据单调性可判断D.
【详解】当 时， ，又 ，
所以 ，则 是递减数列，故A正确，B错误；
当 时， ，故C正确；
是递减数列，故D正确.
故选：ACD
26．等差数列 的前 项和记为 ，满足 ，则数列 的公差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意求出 ，然后求解公差即可；
【详解】因为 ,所以 ，
令 解得：
解得：
又因为 为等差数列 ，
由此解得：
故选：D
27．已知数列 的前 项和为 ， ， ，则数列 的通项
．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19【答案】
【分析】构造 并证其为等差数列，写出通项公式，应用 求数列通项公式即可.
【详解】由 ，而 ，故 是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，则 ，
又 且 ，显然 也满足上式，
所以 .
故答案为：
28．已知数列 的前 项和 ．
(1)求 ；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 对任意 恒成立，求 的最小整数值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）利用 与 的关系求解；
（2）利用裂项相消求和法求出 ，进而可得答案．
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ， ，
作差得 ，
故
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20（2）当 时， ，
当 时， ，
所以当 时，
，
又 ，要使 对任意 恒成立，则 ，
故 的最小整数值为3．
29．设数列 满足
(1)求数列 的通项公式.
(2)若数列 的前n项和为 ，求 .
【答案】(1) =
(2)
【分析】(1)由 ，求出 时的通项公式，再检验 是否满足所求通项公式即可;
(2)由 得到 列项相消进行求和即可.
【详解】（1）因为 ，
所以当 时， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21则
即
又当 时， 则 ，满足
故
（2）由(1)可知
所以
6.已知 或者 求通项公式
30．（多选）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用 可直接求出 判断A；再得出 与 的关系式，判断出数列 的特征，即可判
断B；再求出前 项和即可判断C；根据 即可判断D.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，A正确；
两式相减可得， ，
则 ， 时，不符合，
所以从第 项起，是公比为 的等比数列，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22所以 ，B错误；
则 ，C正确；
则 ，D错.
故选：AC
31．设 是数列 的前 项和，已知 且 ，则 （ ）
A．101 B．81 C．32 D．16
【答案】B
【分析】分类讨论 和 ，构造 ，化简得到通项公式即可求解.
【详解】 时， ，
时， ①
②
由 得： ，且n=1时也满足，
故 是首项为1，公比为3的等比数列， ，
故选：B.
32．记数列 的前n项和为 ，对任意 ，有 ．
(1)证明： 为等差数列；
(2)求数列 的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23(2)
【分析】（1）根据 ，令 得到 ，令 最终得到 ，结合等差数列
定义即可证明；
（2）根据等差数列定义得到 ，结合裂项相消法求和即可.
【详解】（1）因为 ，
所以当 时， ，所以 ，
当 时， ，
两式相减得 ，
即 ，
即 ，
因为 ，所以 为常数，
所以 是首项为2，公差为2的等差数列
（2）由（1）知， ，
所以 ，
所以数列 的前n项和为 .
33．已知数列 的前 项和为 ，且 ， 是公差为2的等差数列.
(1)求 的通项公式；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24(2)求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）推导出 ，则 ，两式相减得 ，再由累乘法能求
出 的通项公式；
（2）分奇数偶数两种情况讨论，利用并项求和能求出 .
【详解】（1）由题意可知 ，整理可得 ，①
则 ②
由② ①可得 ，
整理可得 ，
因为 ，所以由累乘法可得 ，
因为 ，所以 ，
（2）当 为偶数时，
当 为奇数时，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25所以， .
34．已知各项均为正数的数列 满足 ，其中 是数列 的前n项和.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若对任意 ，且当 时，总有 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）由 与 的关系式即可证得数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求出数列
的通项公式；
（2）由等差数列的前n项和公式求出 ，再由裂项相消法可证明 ，即可
求出实数 的取值范围.
【详解】（1）∵ ，∴
当 时， ，解得 .
当 时， ，
即 ，
∵ ，∴ ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26∴数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴ .
（2）因为 ，所以
∴当 时， ，
∴
，
∴ ，
∴实数 的取值范围为 .
35．（多选）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ， ，则（ ）
A． B． C．数列 为等差数列 D． 为等比数列
【答案】ABC
【分析】由 可递推得 的通项公式，一一判定即可.
【详解】由 得 ，两式相减得 ，
，
又当 时， ，则 ，故 为首项是1，公差为 的等差数列，
即 .
显然A、C正确；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27，故B正确；
由通项公式易得 ， ， ，三者不成等比数列，故D错误．
故选：ABC．
7.“和”型和“积”型
36．已知数列 是等差数列，其前n和为 ， ， ，数列 满足
.
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)数列 满足 求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量相关运算直接得到 的通项公式，结合已知等式令 得到第二个
等式，两式相减并验证 的情况得到 的通项公式；
（2）先写出通项公式，再结合裂项相消法、等比公式求和公式，运用分组求和的方法求解答案.
【详解】（1）设等差数列的首项为 ，公差为d，
因为 ， ，
所以 ，即 ，
解得 ，所以
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28①
当 时， ②，
可得， ， ，所以 ，
当 时， 适合 ，
所以
（2）由（1）可得，n为奇数时， ，
n为偶数时， .
37．已知数列 的前 项和为 ，且 ，首项为1的正项数列 满足 ，
则数列 的前 项和 ．
【答案】
【分析】根据 ，作差得到 ，即可求出 的通项公式，再记
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29，当 时， ，即可得到数列 是以1为首项， 为公
比的等比数列，再利用等边求和公式计算可得.
【详解】因为 ，当 时， ，解得 ，
当 时， ，两式相减可得 ，即 ，
所以 ，故数列 是以 为首项、 为公比的等比数列，故 ．
记 ，
故当 时， ，即 ，
故 ，因为 ，故 ，
故数列 是以1为首项， 为公比的等比数列，故 ．
故答案为：
38．在① ，② ，且 .这两个条件中任选一个补充在下面
问题的横线上，并解答.
已知数列 的前项和为 ，且满足__________.
(1)求数列 的通项；
(2)求数列 前n项和 .
【答案】(1) ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 30(2)
【分析】（1）若选①：将 看为数列 的前 项和，根据和与项的关系推得 ，
即可得出 .检验 ，即可得出通项公式；若选②：根据 与 的关系，推得 .检验即可得出
为等比数列，写出等比数列的通项公式，即可得出答案；
（2）设 ，根据错位相减法，即可得出答案.
【详解】（1）若选①：
当 时， ；
当 时， ，
，
上式相减得 ，
所以 .
显然 满足 ，
所以 ， .
若选②：
当 时， ，
又 ，所以 .
当 时，
，
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31两式相减得
，
即 ，
整理可得 .
又 满足该式，
所以 ， ，
所以数列 成等比数列，
所以 ， .
（2）令 ，
，
两式相减得
，
所以， .
39．在① ；② 两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并作答.
已知数列 的前 项和为 ，若_____ .
(1)求数列 的通项公式；
(2)当 ， 时，求区间 上所有整数 的和 的表达式.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 32注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推关系，得到 时的表达式，相减或者相除即可求解 ，验证 即
可，
（2）根据等差数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）选①：∵ ，
时， ，
∴两式相减得 ，即 ，
又当 时， ，满足上式，
∴ .
选②：∵ ，
时， ，
∴两式相除得 ，
当 时， ，满足上式，
∴ .
（2）由（1）可知， ， ， 上所有整数依次为 ， ， ，…，
，
它们构成首项为 ，公差为1的等差数列，且项数为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 33所以
40．已知数列 满足 ，若 ，则数列 的前n项
和 .
【答案】
【分析】变形给定的等式，利用数列前n项和与第n项的关系求出 ，再利用裂项相消法求和作答.
【详解】数列 中，由 ，
得 ，
当 时， ，
两式相减得 ，整理得 ，而 满足上式，
因此 ， ，
所以 .
故答案为：
【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消
去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
41．已知数列 为正项等比数列，数列 满足 ， ， ．
(1)求 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34(2)设 的前n项和为 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据前 项和的定义，结合题意以及等比数列的定义，可得答案；
（2）根据前 项和的定义，结合数列 的通项公式，求得数列 的通项公式，利用错位相减法，可得
答案.
【详解】（1）令 ，
当 时， ，由 ，则 ；
当 时， ，由 ，则 .
由数列 为正项等比数列，设其公比为 ，则 ，所以 .
（2）证明：当 时， ，
则 ，显然 时也成立，所以 .
， ，
两式相减可得： ，
解得 ，
因为 ，所以 .
8.因式分解型求通项
42．已知数列 各项均为正数，且 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 35(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用已知条件因式分解变形，结合条件得 ，可知数列为等差数列，利用等差数
列通项公式求解即可；
（2）由（1）将 带入 化简，写出前 项和 的表达式，根据条件及性质求出
的取值范围.
【详解】（1）因为 ，
所以
所以 ，
因为 各项均为正数， ，
所以 ，
所以数列 是首项为4，公差为4的等差数列，
，
所以数列 的通项公式为 .
（2）因为
所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36则
，
因为 ，故 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 的取值范围为 .
43．已知正项数列 满足 ， 设 ．
(1)求 ， ；
(2)判断数列 是否为等差数列，并说明理由；
(3) 的通项公式，并求其前 项和为 ．
【答案】(1) ，
(2)是，理由见解析
(3) ，
【分析】（1）对等式进行因式分解可得递推关系，判断数列 为等比数列，得到 通项公式，代入求
出 的通项公式，即可求出结果；
（2）由（1）中 的通项公式作差即可证明；
（3）由等差数列前 项和公式可求出结果.
【详解】（1） ，当 时， ， ，
可得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 37则 或 ，因为 为正项数列，所以 .
数列 为首项为1，公比为2的等比数列，
可得 ；
，
， ；
（2）数列 为等差数列，理由： ，
则数列 为首项为0，公差为1的等差数列；
（3） ，
前 项和为 ．
44．已知正项数列 满足 .求 的通项公式；
【答案】
【分析】将所给等式因式分解后再用累乘法求解.
【详解】由 可得： ，
因为 为正项数列，所以 ，
所以 ，则 ，……， ，
将这 个式子相乘，则 ，
又因为 ，所以
45．已知正项数列 满足 ，且 ，求 的通项公式
【答案】
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 38【分析】通过因式分解可得 ，由累乘法可得 的通项公式
【详解】由已知，得 ，
因为数列 是正项数列，所以 ，
即 ，
故
累乘得， ，
又 也满足上式
故 的通项
1．已知数列 的前n项和为 ， ， ，则 （ ）
A．20 B．19 C．18 D．17
【答案】B
【分析】由 ，可得数列 的通项公式，即可求得本题答案.
【详解】因为 ，所以 ① ，
当 时， ② ，
①-②得， ，
所以 ，又 ，得 ，
所以 是等差数列，公差 ，又 ，
所以 ，则 .
故选：B
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 392．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 （ ）
A．1458 B．1460 C．2184 D．2186
【答案】A
【分析】根据 的关系确定数列 为等比数列，利用等比数列的前 项和公式求解即可.
【详解】由 ，可得 ，
两式相减可得 ，即 ，
当 ，
所以数列 从第二项开始，是以4为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，
故选:A.
3．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利
数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，即 ，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的
应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列 ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】列举数列 ，得到数列的周期为6求解.
【详解】解：由题意得：数列 为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…
所以该数列的周期为6，
所以
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 40，
故选：B
4．设 是数列 的前n项和，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等差数列中 ，化简表达式，再同时除以 即可得到等差数列；求出 的通
项公式后，再取倒数即可得到 的表达式，最后计算 即可得答案.．
【详解】解：由已知得 ，两边同时除以 ，得 ，
所以，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以， ， ．
所以
故选：C
5．已知数列 是首项为1，公差为2的等差数列，数列 满足关系： ，数
列 的前 项和为 ，则 的值为（ ）
A．454 B．450 C．446 D．442
【答案】A
【分析】由已知可得 ，进而根据已知可推出当 时， .进而得出 ，求出
前5项，相加即可得出答案.
【详解】由题意可得： .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 41又 ①，
当 时， ②，
①-②可得： ，
所以 .
又 时， ，可得 ，显然满足 ，
所以 .
所以 .
故选：A.
6．已知数列 满足 ，则 的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题中等式，可得 ，再结合 时 ，可得 .
【详解】当 时，有 ，所以 ，
当 时，由 ， ，
两式相减得 ，
此时， ， 也满足，
所以 的通项公式为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 42故选：B.
7．已知 是各项均为正数的数列 的前 项和， ， ，若 对
恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B．16 C． D．32
【答案】D
【分析】根据 ，求出 和 的通项公式，代入不等式计算，再根据基本不等式即可
求解得出.
【详解】 ，
数列 是首项为 、公比为2的等比数列，
，解得 或 （舍），
，即 恒成立，
，当且仅当 即 时取等号， .
故选： .
8．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”
的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设各层球数构成一个数列
， ， ， ，…，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 43【分析】由累加法可得 ，求出 ， 可得答案.
【详解】由题意可得 ，
时， ， ， ，…， ，
以上各式相加可得
，所以 ，
且 ，所以 ，
所以 ， ，
则 .
故选：B.
9．（多选）设 是数列 的前 项和，且 ， ，则（ ）
A．数列 为等差数列 B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由题设可得 ，应用等差数列的定义判断 ，并写出其通项公式，再由 关系
求 的通项公式，即可判断各项的正误.
【详解】由题设 ，则 ，故 ，
又 ，则 是首项、公差均为 的等差数列，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 44故 ，则 ，
当 时， ，而 不满足 ，
所以 ，
由 且 ，则 ，
，
综上，A、B、C正确，D错误.
故选：ABC
10．（多选）已知数列 满足 ， ，令 ，则（ ）
A． B．数列 是等差数列
C． 为整数 D．数列 的前2022项和为4044
【答案】ABD
【分析】由已知当 时，求得 ，当 时，由 ，得
，两式相减化简，再利用累乘法可求得 ，从而可判断A，可求出 ，从
而可判断BC，将 代入 中化简，然后利用分求和法求解即可判断D，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 45【详解】因为 ，
所以当 时， ，故 .
当 时，由 ，得 ，
所以 ，整理 ，所以 ，
所以 ，
所以 ， ，所以A正确，
所以 ，所以 ，所以 为等差数列，所以B
正确，
所以 不是整数，所以C错误，
，
设数列 的前n项和为 ，
则
.
因为 ，
所以 .故 ，所以D正确，
故选：ABD
11．（多选）设数列 的前n项和为 ，若 ，则（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 46A． B． C． 是等比数列D． 是单调递增数列
【答案】ABD
【分析】A选项，根据 ， ，赋值法求出 ，A正确；C选项，利用构造法得到
，又 ，从而C错误；B选项，求出 ，进而得到 ，当
时， ，分两种情况判断得到 ，B正确；D选项，比较出 ，结合作差法
得到当 时， ，从而证明出结论.
【详解】A选项， 中，令 得： ，即 ，
因为 ，所以 ，A正确；
C选项， ，①
当 时， ，②
两式相减得： ，即 ，
设 ，则 ，所以 ，
故 ，
又 ， ， ，
故当 时， 为等比数列，公比为2，C错误；
B选项，当 时， ，故 ，
所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 47当 时， ，
当 时，
，
当 时， ，
当 时，由于 ，故 ，
综上： ， ，B正确；
D选项，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
又当 时， ，
故当 时， ，
综上： 是单调递增数列，D正确.
故选：ABD
12．（多选）已知 是数列 的前 项和， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由 ，可求得 ， 时， ，两式相减可得
，即可判断A；由 ，可得 ，两式相减即可判断C；由
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 48，可得 ，从而可求得数列 的通项公式，即可判断B，求
出 即可判断D.
【详解】因为 ，所以当 时， ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，两式相减得 ，
当 时， ，
所以 ，故A错误；
因为 ，所以 ，
当 时， ，
所以 ，故C错误；
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 从第二项起是公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，故B正确；
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 49，
所以 ，故D正确.
故选：BD.
13．已知数列 满足首项 ， ，则数列 的前2n项的和为_____________．
【答案】
【分析】当 为奇数时，由递推关系得 ，构造 为等比数列，可求出通项，结
合 即可分组求和.
【详解】当 为奇数时， ，即 ，此时 为以 为首项，
公比为3的等比数列，
故 ，即 .
.
故答案为：
【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当 为奇数或 为
偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n项的和．
14．已知数列 满足 ， ，则 _______．
【答案】
【分析】变换得到 ，计算 ，确定 是首项为 ，公比为 的等比数列，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 50计算得到答案.
【详解】设 ，令 得 ，所以 ；
故 ，所以 ；
，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
从而 ，故 ．
故答案为： .
15．对于集合 的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该
子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数．例如集合 的交替和是 ，集
合 的交替和为5．当集合N中的 时，集合 的所有非空子集为 ， ， ，则它的
“交替和”的总和 ，请你尝试对 、 的情况，计算它的“交替和”的总和 、
，并根据其结果猜测集合 的每一个非空子集的“交替和”的总和 ________．
【答案】
【分析】根据“交替和”的定义：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继
的数可求出“交替和”的总和 、 ，并根据其结果猜测集合 的每一个非空子集的“交
替和”的总和 即可．
【详解】由于 ，
当 时 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 51根据前4项猜测集合 ，2，3， ， 的每一个非空子集的“交替和”的总和
故答案为： .
16．已知数列 ， ，且满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据条件，得到数列 为常数列，再求通项即可；
【详解】（1）因为 ，所以 .
因为 ，所以数列 为常数列，所以 ．
即所求数列 的通项公式为 ．
17．已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两式相减可得结果；
（2）将不等式恒成立化为 对 恒成立，再利用数列的单调性求出右边的最小值即可得解.
【详解】（1）当 时， ，得 ，
当 时， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 52整理得 ，即 ，
又 时， 也适合上式，
故 .
（2）若不等式 对 恒成立，即 对 恒成立，
即 对 恒成立，
令 ，
则
，
则 为递增数列，所以当 时， 取得最小值 ，
所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 53
