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专题突破卷 16 立体几何中的轨迹问题
题型一：求算在正方体中的轨迹
1．如图，在棱长为1的正方体 中， 为平面 内一动点，则下列说法不正确的是
（ ）
A．若 在线段 上，则 的最小值为
B．平面 被正方体内切球所截，则截面面积为
C．若 与 所成的角为 ，则点 的轨迹为椭圆
D．对于给定的点 ，过 有且仅有3条直线与直线 所成角为
2．在棱长为2的正方体 中，点E为棱 的中点，点F是正方形 内一动点（包括边界），则（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．若 平面 ，则点F的轨迹长度是
C．当点Q在直线 上运动时， 的最小值是
D．若点F是棱 的中点，则平面 截正方体所得截面的周长为
3．已知正方体 的棱长为1，点 满足 ，其中 ， ，则（ ）
A．当 时，则 的最小值为
B．过点 在平面 内一定可以作无数条直线与 垂直
C．若 与 所成的角为 ，则点 的轨迹为双曲线
D．当 ， 时，正方体经过点 、 、 的截面面积的取值范围为
4．已知正方体 的棱长为2，点 为平面 上一动点，则（ ）
A．当点 为 的中点时，直线 与 所成角的余弦值为
B．当点 在棱 上时， 的最小值为
C．当点 在正方形 内时，若 与平面 所成的角为 ，则点 的轨迹长度为
D．当点 在棱 （不含顶点）上时，平面 截此正方体所得的截面为梯形
5．正四棱柱 中， ，动点 满足 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，直线 平面
B．当 时， 的最小值为
C．若直线 与 所成角为 ，则动点P的轨迹长为
D．当 时，三棱锥 外接球半径的取值范围是
6．在边长为2的正方体 中，动点 满足 ， 且
，下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 的最小值为
B．当 时，异面直线 与 所成角的余弦值为
C．当 ，且 时，则 的轨迹长度为
D．当 时， 与平面 所成角的正弦值的最大值为
7．在正方体 中， ，点P满足 ，其中 ，则下列结
论正确的是（ ）
A．当 平面 时， 与 所成夹角可能为
B．当 时， 的最小值为
C．若 与平面 所成角为 ，则点P的轨迹长度为D．当 时，正方体经过点 的截面面积的取值范围为
8．已知正方体 的棱长均为 为线段 的中点, ,其中 ,则下
列选项正确的是（ ）
A．当 时,
B．当 时, 的最小值为
C．若直线 与平面 所成角为 ,则点 的轨迹长度为
D．当 时,正方体被平面 截的图形最大面积为
题型二：求算在长方体中的轨迹
9．长方体 中， ， 为棱 的中点，平面 上一动点 满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．长方体外接球的表面积为 B．
C． 到平面 距离为 D． 的轨迹长度为
10．在长方体 中，AB＝3， ，P是线段 上的一动点，则下列说法正确的是
（ ）
A． 平面 B． 与平面 所成角的正切值的最大值是
C． 的最小值为 D．以A为球心，5为半径的球面与侧面 的交线长是
11．如图所示，在长方体 中， ， ，点E是棱CD上的一个动点，F是BC的中点， ，给出下列命题，其中真命题的（ ）．
A．当E是CD的中点时，过 的截面是四边形
B．当点E是线段CD的中点时，点P在底面ABCD所在平面内，且 平面 ，点Q是线段MP
的中点，则点Q的轨迹是一条直线
C．对于每一确定的E，在线段AB上存在唯一的一点H，使得 平面
D．过点M做长方体 的外接球的截面，则截面面积的最小值为
12．如图，透明塑料制成的长方体容器 内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，
再将容器以BC为轴顺时针旋转，则（ ）
A．有水的部分始终是棱柱
B．水面所在四边形EFGH为矩形且面积不变
C．棱 始终与水面平行
D．当点H在棱CD上且点G在棱 上（均不含端点）时， 不是定值
13．长方体 中， ， ， ，则（ ）
A． 到平面 的距离为
B． 到平面 的距离为C．沿长方体的表面从 到 的最短距离为
D．沿长方体的表面从 到 的最短距离为
14．如图所示，在长方体 中， 是 上的一动点，则下列选项正确
的是
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
A B C D
15．在长方体 中， ， ，点 、 在底面 1 1 1 1内，直线 与该长
方体的每一条棱所成的角都相等，且 ，则（ ）
A．
B．点 的轨迹长度为
C．三棱锥 的体积为定值
D． 与该长方体的每个面所成的角都相等
16．如图，长方体 中， ， ， ，点M是侧面 上的一个动点（含边界），P是棱 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．当PM长度最小时，三棱锥 的体积为
B．当PM长度最大时，三棱锥 的体积为
C．若保持 ，则点M在侧面内运动路径的长度为
D．若M在平面 内运动，且 ，则点M的轨迹为圆弧
17．如图，在长方体 中， ，E、F分别为棱 、 的中点，则下
列说法中正确的有（ ）
A．
B．三棱锥 的体积为
C．若P是棱 上一点，且 ，则E、C、P、F四点共面
D．平面 截该长方体所得的截面为五边形
题型三：求算在棱台中的轨迹18．下列说法中，错误的为（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥．
19．已知平面 平面 ，A， 且A， ，C， 且C， ，E， ，且 ，
，下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则几何体 是柱体
C．若 ， ，则几何体 是台体
D．若 ，且 ，则直线 ， 与 所成角的大小相等
20．已知正三棱台 中， 的面积为 ， 的面积为 ， ，棱 的中
点为 ，则（ ）
A．该三棱台的侧面积为 B．该三棱台的高为
C． 平面 D．二面角 的余弦值为
21．如图，在三棱台 中， 表示体积，下列说法正确的是（ ）
A．
B． 成等比数列C．若该三棱台存在内切球，则
D．若该三棱台存在外接球，则
22．在正四棱台 中， ， ， 为棱 的中点，当正四棱台的体积最
大时，下列说法正确的有（ ）
A．该正四棱台的高为2
B．该正四棱台的体积为224
C．平面 截该正四棱台的截面面积是
D．该正四棱台的内切球半径为1
23．已知球O的半径为R，正四棱台ABCD－ABC D 的两底面边长分别为2和4，高为h，则（ ）
1 1 1 1
A．对任意h>0，都存在R>0，使点O到该棱台所有面的距离都等于R
B．对任意h>0，都存在R>0，使该棱台的所有顶点都在球O的球面上
C．若点O到该棱台所有面的距离都等于R，则
D．若该棱台所有顶点都在球O的球面上，且 ，则
24．正四棱台 中， ，侧棱 与底面所成角为 分别为 ，
的中点， 为线段 上一动点（包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．该四棱台的体积为 B．三棱锥 的体积为定值
C．平面 截该棱台所得截面为六边形D．异面直线 与 所成角的余弦值为25．正三棱台 中， ， 分别是 和 的中心，且 ，则
（ ）
A．直线 与 所成的角为
B．平面 与平面 所成的角为
C．正三棱台 的体积为
D．四棱锥 与 的体积之比为
26．如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形 和
为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形， ， ， ，下列说法
不正确的是（ ）
A．该几何体是四棱台
B．该几何体是棱柱，平面 是底面
C．
D．平面 与平面 的夹角为
27．如图，已知正四棱台 的上、下底面边长分别为 ， ，其顶点都在同一球面上，
且该球的表面积为 ，则侧棱长为（ ）A． B． C． D．
1．如图，正方体 的棱长为4，点 是其侧面 上的一个动点（含边界），点 是线
段 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点 ，使得二面角 大小为
B．存在点 ，使得平面 与平面 平行
C．当 为棱 的中点且 时，则点 的轨迹长度为
D．当 为 的中点时，四棱锥 外接球的表面积为
2．如图，点P是棱长为2的正方体 的表面上一个动点，则（ ）
A．当P在平面 上运动时，三棱锥 的体积为定值B．当P在线段AC上运动时， 与 所成角的取值范围是
C．若F是 的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足 时， 长度的最小值是
D．使直线AP与平面ABCD所成的角为 的点P的轨迹长度为
3．在棱长为2的正方体 中，M为 中点，N为四边形 内一点（含边界），若
平面 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．三棱锥 的体积为
C．点N的轨迹长度为 D． 的取值范围为
4．如图，在五边形 中，四边形 为正方形， ， ，F为AB中点，现将
沿 折起到面 位置，使得 ，则下列结论正确的是（ ）
A．平面 平面
B．若 为 的中点，则 平面
C．折起过程中， 点的轨迹长度为
D．三棱锥 的外接球的体积为
5．在三棱锥 中， 平面 ，点 是三角形 内的动点
（含边界）， ，则下列结论正确的是（ ）A． 与平面 所成角的大小为
B．三棱锥 的体积最大值是2
C． 点的轨迹长度是
D．异面直线 与 所成角的余弦值范围是
6．如图，在四面体 中， 和 均是边长为6的等边三角形， ，则四面体 外
接球的表面积为 ；点E是线段AD的中点，点F在四面体 的外接球上运动，且始终保持
EF⊥AC，则点F的轨迹的长度为 .
7．已知正三棱锥 的底面边长为6，体积为 ，动点 在棱锥侧面 上运动，并且总保持
，则动点 的轨迹的长度为 .
8．在直四棱柱 中，所有棱长均为2， ， 为 的中点，点 在四边形
内（包括边界）运动，下列结论中正确的是 （填序号）
①当点 在线段 上运动时，四面体 的体积为定值
②若 面 ，则 的最小值为
③若 的外心为M，则 为定值2④若 ，则点 的轨迹长度为
9．已知三棱锥 的四个面是全等的等腰三角形，且 ， ，则三棱锥 的外
接球半径为 ；点 为三棱锥 的外接球球面上一动点， 时，动点 的轨迹长度为
．
