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第 2 章：《有理数及其运算》章末综合检测卷
（试卷满分：120分，考试用时：120分钟）
姓名___________ 班级 考号______________
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求.）
1．（2024•福建模拟）24的相反数是（ ）
1 1
A．﹣24 B．− C． D．24
24 24
【分析】相反数：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数．
【解答】解：24的相反数是﹣24．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数是解答此题的关键．
2．（2024春•金山区校级期末）在体育课的立定跳远测试中，以 2.00m为标准，若小明跳出了2.35m，可
记作+0.35m，则小亮跳出了1.65m，应记作（ ）
A．+0.25m B．﹣0.25m C．﹣0.35m D．+0.35m
【分析】根据题意得，由1.65m﹣2m可得结论．
【解答】解：根据题意得，1.65m﹣2m＝﹣0.35m，
故选：C．
【点评】本题主要考查正负数，掌握正负数的应用，有理数减法是解题的关键．
7 4
3．（2023秋•锡山区校级月考）下列7个数：− 、1.010010001、 、0、﹣ 、﹣3.2626626662…（每两
4 33
π
⋅
个2之间依次多一个6）、0.12 ，其中有理数有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都能化成分数，无理数是无限不循环小
数，对各个数进行判断即可．
7 4
⋅
【解答】解：− ，1.010010001、 ，0，
0.12
都是有理数，共5个，﹣ 和﹣3.2626626662…（每两
4 33
π个2之间依次多一个6）是无理数，
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数，解题关键是熟练掌握有理数和无理数的概念．
4．（2024•和平区模拟）沈阳某天4个时刻的气温（单位：℃）分别为﹣5，0，﹣1，﹣2，其中最低的气
温是（ ）
A．﹣5℃ B．0℃ C．﹣1℃ D．﹣2℃
【分析】根据两个负数比较，绝对值大的反而小比较﹣1与﹣2，然后根据0大于负数即可得出最低的气
温．
【解答】解：∵|﹣5|＝5，|﹣1|＝1，|﹣2|＝2，
又∵5＞2＞1，
∴﹣5＜﹣2＜﹣1＜0，
∴最低的气温是﹣5°C，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键．
1 2
5．（2023秋•鼓楼区校级期中） 与绝对值等于 的数的和等于（ ）
3 3
1 1
A． B．1 C．﹣1 D．− 和1
3 3
2 1 2
【分析】先求出绝对值是 的数，再求 与绝对值等于 的数的和．
3 3 3
2 2 2
【解答】解：设绝对值等于 的数为a，则有|a|= ，所以a＝± ．
3 3 3
2 1 2
当a= 时， + =1；
3 3 3
2 1 2 1
当a=− 时， +（− ）=− ．
3 3 3 3
故选：D．
【点评】注意已知一个数的绝对值要求这个数，有两种情况，因为互为相反数的两个数的绝对值相等．
6．（2024春•和平区期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列不等式一定成立的是
（ ）A．﹣5a＜﹣3a B．a+c＜b+c C．ac2＞bc2 D．b﹣c＜b
【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后根据不等式的性质解答．
【解答】解：由图可知，a＜c＜0＜b，
A、∵﹣5＜﹣3，a＜0，
∴﹣5a＞﹣3a，
故本选项不符合题意；
B、∵a＜b，
∴a+c＜b+c，
故本项符合题意；
C、∵a＜b，c2＞0，
∴ac2＜bc2，
故本项不符合题意；
D、∵c＜0，
∴﹣c＞0，
∴b﹣c＞b，
故本项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴、不等式的基本性质，根据数轴判断出a、b、c的正负情况是解题的关
键．
7．（2023秋•东莞市校级期末）如果|a+2|+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2023的值为（ ）
A．﹣2023 B．2023 C．﹣1 D．1
【分析】先根据非负数的性质求出a和b的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵|a+2|+|b﹣1|＝0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2023＝（﹣2+1）2023＝（﹣1）2023＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了非负数的性质，以及求代数式的值，根据非负数的性质求出 a和b的值是解答本题的关键．
8．（2022秋•陵城区期末）已知|a|＝5，|b|＝8，且a＜b，则a+b＝（ ）
A．13或3 B．﹣13或3 C．13或﹣3 D．﹣13或﹣3
【分析】根据题意得出a和b的值，然后得出结论即可．
【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝8，且a＜b，
∴a＝5，b＝8或a＝﹣5，b＝8，
∴a+b＝13或3，
故选：A．
【点评】本题主要考查有理数的加法计算，熟练掌握有理数的加法计算是解题的关键．
9．（2023秋•潮州期末）如图是一个计算程序，若输入a的值为﹣1，则输出的结果b为（ ）
A．﹣5 B．﹣6 C．5 D．6
【分析】把a的值代入计算程序中计算即可得到结果．
【解答】解：把a＝﹣1代入得：
[（﹣1）2﹣（﹣2）]×（﹣3）+4
＝（1+2）×（﹣3）+4
＝3×（﹣3）+4
＝﹣9+4
＝﹣5，
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的混合运算和代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（2024•南岗区校级一模）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：
输入 … 1 2 3 4 5 …
输出 … 1 2 3 4 5 …
2 5 10 17 26
那么，当输入数据为8时，输出的数据为（ ）
8 8 8 8
A． B． C． D．
61 63 65 67【分析】由表格中的数据可知，输入的数据与输入的数据的分子相同，分母是分子的平方加1，从而可
以解答本题．
【解答】解：∵由表格可知，输入的数据与输出的数据的分子相同，而输出数据的分母正好是分子的平
方加1，
8 8
∴当输入数据为8时，输出的数据为： = ．
82+1 65
故选项A错误，选项B错误，选项C正确，项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查对数字变化规律的找寻，关键是通过一组数据的部分观察出这组数据的变化规律．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024春•南岗区校级期中）已知a为有理数，则|a﹣2|+4的最小值为 ．
【分析】根据绝对值都是非负数，可得答案．
【解答】解：∵|a﹣2|≥0，
∴当a＝2时，|a﹣2|+4的最小值是4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质，利用非负数最小时和最小．
12．（2024•台江区校级三模）北京市某天的最高气温是8℃，最低气温是﹣3℃，那么当天的日温差是
．
【分析】根据最高气温减去最低气温即为日温差列式计算即可．
【解答】解：由题意得8﹣（﹣3）＝8+3＝11（°C），
故答案为：11°C．
【点评】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法运算法则是解题的关键．
13．（2024•海东市二模）4月1日，国家和青海省重点能源项目——玛尔挡水电站首台机组投产发电，水
电站机组全面投产后，平均年发电量达73.04亿千瓦时，数据“73.04亿”用科学记数法表示为
．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此解答即可．
【解答】解：73.04亿＝7304000000＝7.304×109．
故答案为：7.304×109．【点评】本题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法书写规则是关键．
14．（2023秋•福鼎市期中）“24点”游戏的规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，
（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24或﹣24．现有1，8，10，﹣5四个
数，则列出一个求“24点”的式子是 ．
【分析】根据有理数混合运算法则运算即可．
【解答】解：例如：1+8+10﹣（﹣5）＝24，[1﹣10÷（﹣5）]×8＝24，
故答案为：1+8+10﹣（﹣5）（或[1﹣10÷（﹣5）]×8等，答案不唯一）．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则列式即可，熟练掌握相关运算法则
是解题关键．
15．（2023秋•市中区校级期中）若|a|＝8，b2＝49，且|a﹣b|＝b﹣a，则a+b＝ ．
【分析】先根据绝对值的性质可得a＝±8，有理数的乘方可得b＝±7，再根据绝对值的性质可得a＜b，
然后代入计算即可得．
【解答】解：∵|a|＝8，
∴a＝±8，
∵b2＝49，（±7）2＝49，
∴b＝±7，
又∵|a﹣b|＝b﹣a，
∴a﹣b＜0，即a＜b，
∴a＝﹣8，
当a＝﹣8，b＝7时，a+b＝﹣8+7＝﹣1，
当a＝﹣8，b＝﹣7时，a+b＝﹣8﹣7＝﹣15，
故答案为：﹣1或﹣15．
【点评】本题考查了绝对值的性质、有理数的乘方、有理数的加减法，熟练掌握绝对值的性质是解题关
键．
16．（2023秋•恩施市期末）“转化”是一种解决问题的常用思想，有时画图可以帮助我们找到转化的方
法．例如借助图①，可以把算式1+3+5+7+9+11转化为62＝36．请你观察图②，利用转化的方法计算：
1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + + + = ．
2 4 8 16 32 64 128 2561
【分析】通过观察可知：所求有理数的和在图形中所对的面积为1− ，由此求和即可．
256
1 1 1 1 1 1 1 1 1 255
【解答】解： + + + + + + + =1− = ，
2 4 8 16 32 64 128 256 256 256
255
故答案为： ．
256
【点评】本题考查有理数的混合运算，能够利用图形面积求有理数的和是解题的关键．
三．解答题（本小题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（每小题3分，共12分）（2024春•道里区校级月考）计算
6
（1）(−96 )÷(−6)；
11
4 4 4
（2）3.94×(− )+2.41×(− )−6.35×(− )；
7 7 7
2 1 2 1 1
（3）−|− |−|− × |−| − |；
3 2 3 3 4
（4）﹣14﹣[（﹣3）3+（1+42）×2]．
【分析】（1）带分数化成两个数的和，再利用乘法分配律简便计算即可求解；
（2）逆用乘法分配律简便计算即可求解；
（3）先去绝对值符号，再通分，利用同分母的分数的加减法计算即可求解；
（4）先计算乘方，再计算乘法，有括号，先计算括号内的．
6
【解答】解：（1）(−96 )÷(−6)
11
6 1
=(−96− )×(− )
11 61 6 1
=−96×(− )− ×(− )
6 11 6
1
=16+
11
1
=16 ；
11
4 4 4
（2）3.94×(− )+2.41×(− )−6.35×(− )
7 7 7
4
=(3.94+2.41−6.35)×(− )
7
4
=0×(− )
7
＝0；
2 1 2 1 1
（3）−|− |−|− × |−| − |
3 2 3 3 4
2 1 1 1
=− − −( − )
3 3 3 4
2 1 1 1
=− − − +
3 3 3 4
4 1
=− +
3 4
16 3
=− +
12 12
13
=− ；
12
（4）﹣14﹣[（﹣3）3+（1+42）×2]
＝﹣1﹣（﹣27+17×2）
＝﹣1+27﹣34
＝﹣8．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是关键．
18．（6分）（2023秋•浔阳区校级期中）把下列各数填入相应的集合中：
1 22
﹣3.14，2 ，− ，0.618， ，0，﹣1，6%，+3，3.010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）
3 7
π
正数集合{ ……}；分数集合{ ……}；
有理数集合{ ……}；
非负整数集合{ ……}；
【分析】根据正数、分数、有理数、非负整数的定义，直接填空即可．
22
【解答】解：正数集合{ 2 ，0.618， ，6%，+3，3.010010001…（每相邻两个1之间依次多一个
7
π
0）……}；
1 22
分数集合{﹣3.14，− ，0.618， ，6%……}；
3 7
1 22
有理数集合{﹣3.14，− ，0.618， ，0，﹣1，6%，+3……}；
3 7
非负整数集合{ 0，+3……}．
22
故答案为：{ 2 ，0.618， ，6%，+3，3.010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）……}；{﹣
7
π
1 22 1 22
3.14，− ，0.618， ，6%……}；{﹣3.14，− ，0.618， ，0，﹣1，6%，+3……}；{
3 7 3 7
0，+3……}．
【点评】本题考查了有理数的分类，题目难度不大．记住有理数的分类及相关定义是解决本题的关键．
19．（7分）（2024春•南岗区校级月考）如图是一个不完整的数轴，
（1）请将数轴补充完整，并将下列各数表示在数轴上；
1
（2）将下列各数按从小到大的顺序用“＜”号连接起来：﹣3；3.5；−(−2 )；﹣|﹣1|．
2
【分析】（1）先规定向右为正方向，以及单位长度，再化简绝对值和多重符号，最后表示出各数即可；
（2）根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可．
1 1
【解答】解：（1）−(−2 )=2 ，﹣|﹣1|＝﹣1，
2 21
（2）由数轴可得，−3＜−|−1|＜−(−2 )＜3.5．
2
【点评】本题主要考查了用数轴表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，化简绝对值和多重符号是解
题的关键．
20．（8分）（2024春•道里区校级月考）某天下午，出租车司机小王的营运全是在东西走向的国庆大街上
进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午载客行车里程（单位：公里）如下：+3，+10，﹣
5，+6，﹣4，﹣3，+12，﹣8，﹣6，+7，﹣21．
（1）最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地多远？
（2）若汽车的耗油量为0.2L/km，则这天下午小王的车共耗油多少升？
（3）该市出租车按里程计费标准为：不超过3公里，收费9元，超过3公里的部分，按每公里2元收费，
则这天下午小王前三次营运收入共多少元？
【分析】（1）把所有行车里程相加，再根据正负数的意义解答；
（2）用0.2乘行车里程的绝对值的和，计算即可得解；
（3）分别计算前三次的每一次收入，再相加即可．
【解答】解：（1）+3+10﹣5+6﹣4﹣3+12﹣8﹣6+7﹣21＝﹣9，
答：最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地9km；
（2）（3+10+5+6+4+3+12+8+6+7+21）×0.2＝17（升）
（3）第一次3公里，不超过3公里，收费为9元；
第二次10公里，超过3公里，收费为9+（10﹣3）×2＝23元；
第三次5公里，超过3公里，收费为9+（5﹣3）×2＝13元，
∴总共收入为：9+23+13＝45元，
答：这天下午小王前三次营运收入45元．
【点评】此题考查了正数和负数，以及有理数加减法的应用，弄清题意是解本题的关键．
21．（8分）（2024春•香坊区校级月考）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝5．求4（a+b﹣
2）+（﹣cd）2024﹣3m的值．
【分析】根据a，b互为相反数，则a+b＝0，c，d互为倒数，则cd＝1，再根据|m|＝5，分类讨论m的
值进行计算即可．
【解答】解：∵a，b互为相反数，∴a+b＝0，
∵c，d互为倒数，
∴cd＝1，
∵|m|＝5，
∴m＝5或m＝﹣5；
∴4（a+b﹣2）+（﹣cd）2024﹣3m＝4×（0﹣2）+（﹣1）2024﹣3m＝﹣8+1﹣3m，
当m＝﹣5时，﹣8+1﹣3m＝﹣7+15＝8；
当m＝5时，﹣8+1﹣3m＝﹣7﹣15＝﹣22．
【点评】本题考查相反数、倒数、绝对值的定义，有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是关
键．
22．（9分）（2023秋•咸丰县校级月考）（1）已知|a|＝6，|b|＝4，且a＜0，b＞0，求2a﹣b的值．
（2）已知x是最小正整数，y，z是有理数，且有|y﹣2|+|z+3|＝0，计算：
①求x，y，z的值；
②求3x+y﹣z的值．
【分析】（1）先根据绝对值性质和已知条件，求出a，b，然后代入所求代数式进行计算即可；
（2）①根据最小的正整数是1和绝对值的非负性，列出关于y，z的方程，解方程，求出x，y，z即可；
②把①中所求的x，y，z的值代入3x+y﹣z，进行计算即可．
【解答】解：（1）∵|a|＝6，|b|＝4，
∴a＝±6，b＝±4，
∵a＜0，b＞0，
∴a＝﹣6，b＝4，
∴2a﹣b
＝2×（﹣6）﹣4
＝﹣12﹣4
＝﹣16；
（2）①∵x是最小正整数，
∴x＝1，
∵y，z是有理数，且有|y﹣2|+|z+3|＝0，
∴y﹣2＝0，z+3＝0，
解得：y＝2，z＝﹣3；②由①可知：x＝1，y＝2，z＝﹣3，
∴3x+y﹣z
＝3×1+2﹣（﹣3）
＝3+2+3
＝8．
【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算和绝对值的性质，解题关键是熟练掌握绝对值的性质．
23．（10分）（2024春•思明区校级期中）我们规定：对于数对（a，b），如果满足a+b＝ab，那么就称
3 3 3
数对（a，b）是“和积等数对”；例如 +3= ×3，所以数对( ，3)为“和积等数对”；如果满足a
2 2 2
2 2 2
﹣b＝ab，那么就称数对（a，b）是“差积等数对”，例如2− =2× ，所以数对(2， )为“差积等
3 3 3
数对”．
（1）下列数对中，“和积等数对”的是 ；“差积等数对”的是 ．（填序号即可）
2 2 2
①(− ，−2)，②( ，−2)，③(− ，2)．
3 3 3
（2）若数对（2（x+1），﹣3）是“差积等数对”，求x的值．
（3）是否存在非零有理数m，n，使数对（3m，2）是“和积等数对”，同时数对（2n，m）是“差积
等数对”，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据所给定义判断即可；
（2）列出关于x的方程求解；
（3）列出关于m，n的方程组求解．
2 8 2 4 2 4
【解答】解：（1）①∵− −2=− ，− ×（﹣2）= ，− −（﹣2）= ，
3 3 3 3 3 3
2 2
∴− −（﹣2）=− ×（﹣2），
3 3
∴①是“差积等数对”．
2 4 2 8 2 4
②∵ +（﹣2）=− ， −（﹣2）= ， ×（﹣2）=− ，
3 3 3 3 3 3
2 2
∴ +（﹣2）= ×（﹣2），
3 3
∴②“和积等数对”．2 4 2 8 2 4
∵− +2= ，− −2=− ，− ×2=− ，
3 3 3 3 3 3
∴③两者都不是；
故答案为：②，①；
（2）由题意得：2（x+1）﹣（﹣3）＝2（x+1）×（﹣3），
11
解得x=− ；
8
（3）存在，
假设存在，由题意得：3m+2＝6m，2n﹣m＝2mn，
2
解得m= ，n＝1，
3
所以存在．
【点评】本题考查新定义数对的计算与判断，掌握新定义是求解本题的关键．
24．（12分）（2023秋•东坡区期末）盲盒是指消费者无法提前得知具体产品的包装商品，作为一种潮流
玩具，精准切入年轻消费者市场．某盲盒专卖店，以10元的单价购进一批盲盒，为合理定价，销售第
一周试行机动价格，售出时以单价15元为标准，超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负．
该店第一周盲盒的售价单价和售出情况如表所示：
星期 一 二 三 四 五 六 日
售价单价相对于标准价格/元 +1 ﹣2 +3 ﹣1 +5 ﹣4 ﹣3
售出数量/个 20 35 10 30 5 55 45
（1）第一周该店出售这批盲盒，单价最高的是星期 ；最高单价是 元．
（2）第一周该店出售这批盲盒的收益如何？（盈利或亏损的总价）
（3）为了做促销活动，该店决定从元旦前一周开始实行下列两种促销方式．
方式一：购买不超过20个盲盒，每个售价15元，超出20个的部分，每个打七折；
方式二：每个盲盒售价都是13元．
某学校七年级3班为准备元旦庆祝活动，决定一次性购买45个盲盒，试计算说明用哪种方式购买更划
算．
【分析】（1）通过看图表的每斤价格相对于标准价格，可直接得结论；
（2）计算总进价和总售价，比较即可；
（3）计算两种购买方式，比较得结论．
【解答】解：（1）∵卖出时每斤以15元为标准，表格中的数据表示超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负，
∴星期六超市售出的百香果单价为15元，
故答案为：六，15；
（2）1×20﹣2×35+3×10﹣1×30+5×5﹣4×55﹣3×45
＝20﹣70+30﹣30+25﹣220﹣135
＝﹣380（元），
（15﹣10）×（20+35+10+30+5+55+45）
＝5×200
＝1000（元），
（﹣380）+1000＝620（元）；
第一周该店出售这批盲盒盈利620元；
（3）方式一：
20×15+（45﹣20）×0.7×15
＝300+262.5
＝562.5（元），
方式二：45×13＝585（元），
∵562.5＜585，
∴选择方式一购买更省钱．
【点评】本题考查了正负数的应用及有理数的混合运算．计算本题的关键是看懂图表了理解图表．盈利
就是总售价大于总进价，亏损就是总售价小于总进价．
