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2022-2023 学年北师大版数学八年级上册章节考点精讲精练
第 2 章《实数》
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知识点01:平方根和立方根
类型
平方根 立方根
项目
被开方数 非负数 任意实数
符号表示 a 3 a
一个正数有两个平方根，且互 一个正数有一个正的立方
性质
为相反数； 根；零的平方根为零； 一个负数有一个负的立方
根；
负数没有平方根；
零的立方根是零；
( a)2 a(a 0) (3 a)3 a
重要结论 a(a 0) 3 a3 a
a2 a
a(a 0)
3 a 3 a
知识点02:无理数与实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数或无限循环小数
负有理数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
实数
细节剖析（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限
循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
5 3 2
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如 ， 等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
2.实数与数轴上的点一 一对应
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
a a
（1）任何一个实数 的绝对值是非负数，即| |≥0；
a a2
（2）任何一个实数 的平方是非负数，即 ≥0；
a 0 a0
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ( ).
非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算
a a
数 的相反数是－ ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对
值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘
除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
知识点03:二次根式的相关概念和性质
1. 二次根式
1
形如 的式子叫做二次根式，如 3, , 0.02, 0 等式子，都叫做二次根式.
a(a0) 2
a a0 a0 a a
细节剖析：二次根式 有意义的条件是 ，即只有被开方数 时，式子 才是二次根式，
才有意义.
2.二次根式的性质
（1） ；
（2） ；
（3） .
细节剖析：（1） 一个非负数a可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a ( a)2 （a0），1 1
如2( 2)2; ( )2;x( x)2（ ）.
3 3 x0
（2） a2 中a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值， a2 一定有意义.
（3）化简 a2 时，先将它化成 a ，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4） a2 与( a)2的异同
不同点： a2 中a可以取任何实数，而( a)2中的a必须取非负数；
a2 = a ，( a)2=a（a0）.
相同点：被开方数都是非负数，当a取非负数时， a2 =( a)2.
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如 2, ab,3 x, a2 b2 等都是最简二次根式.
细节剖析：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都
小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
细节剖析：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.
如 2 与 8，由于 8=2 2， 2 与 8显然是同类二次根式.
知识点04:二次根式的运算
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
类型 法则 逆用法则
积的算术平方根化简公式：
二次根式的乘法 a b ab(a0,b0)
ab a b(a0,b0)商的算术平方根化简公式：
a a
二次根式的除法 a 0，b＞0 a a
b b (a0,b0)
b b
细节剖析：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如
a bc d ac bd .
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.
如 (4)(9) 4 9 .
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同
类二次根式.
细节剖析：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后
合并同类二次根式.如 23 25 2 (135) 2 2.
考点提优练
考点01：非负数的性质：算术平方根
1．（2021春•密山市期末）若a，b为实数，且|a+1|+ ＝0，则﹣（﹣ab）2018的值是（ ）
A．1 B．2018 C．﹣1 D．﹣2018
解：∵|a+1|+ ＝0，
∴a+1＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣1，b＝1，
∴﹣（﹣ab）2018＝﹣[﹣（﹣1）×1）]2018＝﹣1，
故选：C．
2．已知x，y为实数，则代数式 + + 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
解：如图，设P（x，0），Q（0，y），A（﹣1，2），B（3，﹣3），
则代数式表示AQ+PB+PQ，
当A，Q，P，B四点共线时，AQ+PB+PQ取最小值，
即AB＝ ＝ ，
故选：D．
3．（2022春•礼县期末）已知 ，则ab＝ 1 ．
解：由题意得，a﹣1＝0，8﹣b＝0，
解得a＝1，b＝8，
所以，ab＝18＝1．
故答案为：1．
4．（2022春•东莞市期中）已知 和|y﹣ |互为相反数，则x＝ ﹣ 3 ，y＝ ．
解：∵ 和|y﹣ |互为相反数，
∴ +|y﹣ |＝0
∴2x+6＝0，y﹣ ＝0，
解得x＝﹣3，y＝ ，
故答案为﹣3， ．
5．（2021春•鼓楼区校级期中）已知|7﹣3m|+（5﹣n）2＝3m﹣7﹣ ，求（ ）2．
解：根据条件得：|7﹣3m|+（5﹣n）2+ ＝3m﹣7，
根据非负数的性质得：3m﹣7≥0，
∴7﹣3m≤0，
∴3m﹣7+（5﹣n）2+ ＝3m﹣7，∴（5﹣n）2+ ＝0，
∴5﹣n＝0，m﹣4＝0，
∴m＝4，n＝5，
∴原式＝m﹣2 × +n
＝4﹣2×2× +5
＝9﹣4 ．
6．（2021春•大冶市期中）已知：实数a、b满足条件 +（ab﹣2）2＝0．
试求 的值．
解：∵ +（ab﹣2）2＝0，
∴a﹣1＝0，ab﹣1＝0，
解得，a＝1，b＝2，
∴ + + +…+
＝ + +…+
＝1﹣ + ﹣ +…﹣
＝1﹣
＝ ．
考点02：立方根
7．（2022春•越秀区校级期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．4a﹣a＝3 C．|a|﹣a＝0 D．
解：∵ ＝3，
∴A选项的计算不正确；
∵4a﹣a＝3a，
∴B选项的计算不正确；
∵|a|﹣a＝ ，∴C选项的运算不正确；
∵ ＝﹣1，
∴D选项的计算正确，
故选：D．
8．（2022春•同安区期中）已知 ，则 ＝ 1 ．
解：∵a2＝81，
∴a＝±9．
∵ ＝﹣2，
∴b＝﹣8．
∵b﹣a≥0，
∴a＝﹣9，b＝﹣8．
∴ ＝ ＝1．
故答案为：1．
9．（2022春•康巴什期末）有一个数值转换器，流程如下：
当输入的x值为64时，输出的y值是 ．
解： ＝8，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2的算术平方根是 ．
故答案为： ．
10．（2022春•静海区校级期中）已知5x+2的立方根是3，3x+y﹣1的算术平方根是4．求：
（1）x、y的值；
（2）3x﹣2y﹣2的平方根．
解：（1）由题意得， ， ．
∴5x+2＝27，3x+y﹣1＝16．
∴x＝5，y＝2．
（2）由（1）得，x＝5，y＝2．
∴3x﹣2y﹣2＝15﹣4﹣2＝9．∴3x﹣2y﹣2的平方根是 ．
11．（2022•南京模拟）求下列各式中的x：
（1）4x2﹣49＝0；
（2） ；
（3）25x2﹣64＝0；
（4）343（x+3）3+27＝0．
解：（1）4x2﹣49＝0，
∴4x2＝49，
即： ，
∴ ；
（2） ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
（3）25x2﹣64＝0，
∴25x2＝64，
即： ，
解得： ；
（4）343（x+3）3+27＝0，
∴343（x+3）3＝﹣27，
即： ，
∴ ，
解得： ．12．（2022春•黄冈期中）观察下列计算过程，猜想立方根．
13＝123＝833＝2743＝6453＝12563＝216 73＝343 83＝51293＝729
（1）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为 7
，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为 2 ，验证得19683的立方根是 2 7
（2）请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：
① ＝ 4 9 ； ② ＝ ﹣ 7 2 ；③ ＝ 0.8 1 ．
解：（1）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为 7，又由203＜19000＜303，猜想19683
的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27
（2）① ＝49； ② ＝﹣72；③ ＝0.81．
故答案为：（1）7，2，27；（2）49，﹣72，0.81．
考点03：数轴
13．（2022春•集美区期末）数轴上的点A，B，O表示的数分别为a，b，0，其中a＞0，ab＜0，且|a|＜
2|b|，M是OA中点，线段BM上仅有 2 个表示整数的点．若a﹣2b﹣2＝2 ，则整数c不可能是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵a＞0，ab＜0，且|a|＜2|b|，
∴b＜0，且|b|＞ |a|，即OB＞ a，
∵M是OA中点，
∴OM＝ a，点M表示的数为 a，
∴OB＞OM，
∵线段BM上仅有2个表示整数的点，
∴线段OM上除了0没有其他表示整数的点，线段BM上有2个表示整数的点0和﹣1，
∴ a＜1，﹣2＜b＜﹣1，
∴a＜2，2＜﹣2b＜4，
∴a+2＜a﹣2b＜a+4，
∴a＜a﹣2b﹣2＜a+2，
∵a﹣2b﹣2＝2 ，
∴a＜2 ＜a+2，∵0＜a＜2，且c为整数，
∴0＜c＜4，
∴c不可能是4．
故选：D．
14．（2022•城厢区校级一模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列选项正确的是
（ ）
A．|c|＞|a| B．c﹣a＝b﹣a+b﹣c
C．a+b+c＝0 D．|a﹣b|＝|a﹣c|﹣|b﹣c|
解：由数轴可知，a＜﹣3＜0＜b＜2＜c，
∴|c|＜|a|，故A选项错误；
∵b≠c，
∴2b≠2c，
∴c﹣a≠b﹣a+b﹣c，故B选项错误；
∵a＜﹣3＜0＜b＜2＜c，a，b，c不是整数，且不确定，
∴a+b+c的值不能确定为0，故C选项错误；
∵|a﹣b|＝b﹣a，|a﹣c|﹣|b﹣c|＝c﹣a﹣（c﹣b）＝b﹣a，
∴|a﹣b|＝|a﹣c|﹣|b﹣c|，故D选项正确；
故选：D．
15．（2019秋•松滋市期末）如图，O，A，B，C四点在数轴上，其中O为原点，且AC＝2，OA＝2OB，若C
点所表示的数为m，则B点所表示的数正确的是（ ）
A．﹣2（m+2） B． C． D．
解：由点A、B、C在数轴上的位置，AC＝2，若C点所表示的数为m，
∴点A表示的数为m﹣2，
∴OA＝|m﹣2|＝2﹣m
∵OA＝2OB，
∴OB＝ OA＝ ，
故选：D．16．（2021秋•钢城区期末）如图，在数轴上点A表示的数是4、点P表示的数是1，线段AB⊥AP，AB＝
1，以点P为圆心，PB长为半径画弧交数轴于点C，则点C表示的数是 1 ﹣ ．
解：在Rt△ABP中，根据勾股定理得：PB＝ ，
∵ ，
∴C到原点的距离为 ，
∵C在原点的左侧，
∴ ．
故答案为：1﹣ ．
17．（2022春•沙湾县期末）如图，CB＝1，OC＝2，且OA＝OB，BC⊥OC，则点A在数轴上表示的实数是
﹣ ．
解：由勾股定理得：OB＝ ＝ ，
点A在数轴上表示的实数是﹣ ，
故答案为：﹣ ．
18．（2021秋•义乌市期末）如图，已知实数a（a＞0）表示在数轴上对应的位置为点P．现对点P进行如
下操作：先把点P沿数轴以每秒1个单位的速度向左移动t秒，再把所得到的点沿数轴以每秒2个单位
的速度向右移动a秒，得到点P'．我们把这样的操作称为点P的“回移”，点P'为点P的“回移点”．
（1）当t＝2时，
①若a＝4，求点P的回移点P'表示的实数；
②若回移点P'与点P恰好重合，求a的值；
（2）是否存在这样的情况：原点O，点P及其回移点P'中，一个点是以另外两点的端点的线段的三等
分点？若存在，请用含a的代数式表示t；若不存在，请说明理由．解：（1）①t＝2，a＝4时，回移点P'表示的实数是4﹣2×1+2×4＝10；
②t＝2时，回移点P'表示的实数是a﹣2×1+2a＝3a﹣2，
∵回移点P'与点P恰好重合，
∴3a﹣2＝a，
解得a＝1，
答：a的值是1；
（2）存在原点O，点P及其回移点P'中，一个点是以另外两点的端点的线段的三等分点，
根据题意，P表示的数是a，O表示的数是0，P'表示的数是a﹣t+2a＝3a﹣t，
∴OP＝a，OP'＝|3a﹣t|，PP'＝|2a﹣t|，
当O为PP'三等分点时，OP'＝2OP或OP'＝ OP，
∴|3a﹣t|＝2a或|3a﹣t|＝ a，
解得t＝a（不符合题意，舍去）或t＝5a或t＝ a（不符合题意，舍去）或t＝ a；
当P'是OP的三等分点时，OP'＝2PP'或OP'＝ PP'，
∴|3a﹣t|＝2|2a﹣t|或|3a﹣t|＝ |2a﹣t|，
解得t＝a（不符合题意，舍去）或t＝ a或t＝4a（不符合题意，舍去）或t＝ a，
当P为OP'的三等分点时，OP＝2PP'或OP＝ PP'，
∴a＝2|2a﹣t|或a＝ |2a﹣t|，
解得t＝ a或t＝ a（不符合题意，舍去）或t＝4a（不符合题意，舍去）或t＝0（不符合题意，舍
去），
综上所述，t＝5a或t＝ a或t＝ a或t＝ a或t＝ a．
19．（2021秋•济宁期末）已知，如图，实数a，b，c在数轴上表示的点分别是点A，B，C，且a，b，c满
足（a+8）2+（b+2）2+|c﹣3|＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）若点A沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒，3个单位秒．设运动时间为t（秒）．
①2秒后，点A，B，C表示的数分别是 ﹣ 1 0 ， 2 ， 9 ；
②运动t秒后，求点B和点C之间的距离（用“BC”表示）和点A和点B之间的距离（用“AB”表示）；
（用含t的代数式表示）
③在②的基础上，请问：3BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若
变化，求这个值的变化范围．
解：（1）∵a、b、c满足（a+8）2+（b+2）2+|c﹣3|＝0，
∴a+8＝0，b+2＝0，c﹣3＝0，
解得a＝﹣8，b＝﹣2，c＝3，
答：a＝﹣8，b＝﹣2，c＝3；
（2）∵A 表示的数为﹣8，B表示的数为﹣2，C表示的数为3，
又∵点A沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、
3个单位/秒，
∴t秒后A表示的数为﹣8﹣t、B表示的数为﹣2+2t、C表示的数为3+3t，
①2秒后，A表示﹣8﹣2＝﹣10，B表示﹣2+4＝2，C 表示3+6＝9，
故答案为：﹣10，2，9；
②t秒后，B点始终在C点的左侧，∴BC＝3+3t﹣（﹣2+2t）＝t+5，
B点始终在A点的右侧，∴AB＝﹣2+2t﹣（﹣8﹣t）＝3t+6，
所以BC＝t+5，AB＝3t+6；
③∵3BC﹣AB＝3（t+5）﹣（3t+6）＝3t+15﹣3t﹣6＝9是定值，
∴3BC﹣AB的值不随着时间t的变化而变化，始终是9．
考点04：实数的大小比较
20．（2022春•五华区校级期中）在﹣1，π，﹣ ，3.14四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．π C．﹣ D．3.14
解：∵1＜ ，∴﹣1＞﹣ ，
∴﹣ ＜﹣1＜3.14＜π，
∴最小的数是﹣ ，
故选：C．
21．（2022•雁塔区校级模拟）下面四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B． C．0 D．﹣3
解：∵﹣3＜﹣1＜0＜ ，
∴其中最小的数是﹣3．
故选：D．
22．（2021秋•鼓楼区校级期末）比较3 和5 的大小：3 ＜ 5 （用“＞”或“＜”连接）．
解：3 ＝ ，5 ＝ ，
∵45＜50，
∴3 ＜5 ，
故答案为：＜．
23．（2022春•高新区期中）已知a是大于1的实数，且有a3+a﹣3＝p，a3﹣a﹣3＝q成立．
（1）若p+q＝4，求p﹣q的值；
（2）当q2＝22n+ ﹣2（n≥1，且n是整数）时，求p（用n表示）；
（3）在（2）的条件下比较p与（a3+ ）的大小，并说明理由．
解：（1）∵a3+a﹣3＝p①，a3﹣a﹣3＝q②，
∴①+②得，2a3＝p+q＝4，
∴a3＝2；
①﹣②得，p﹣q＝2a﹣3＝2× ＝1．
（2）∵q2＝22n+2﹣2n﹣2（n≥1，且n是整数），
∴q2＝（2n﹣2﹣n）2，
∴q＝2n﹣2﹣n，
又由（1）中①+②得2a3＝p+q，a3＝ （p+q），
①﹣②得2a﹣3＝p﹣q，a﹣3＝ （p﹣q），∴p2﹣q2＝4，
p2＝q2+4＝（2n+2﹣n）2，
∴p＝2n+2﹣n；
（3）a3+a﹣3＝2n+2﹣n③，
a3﹣a﹣3＝2n﹣2﹣n④，
∴③+④得2a3＝2×2n，
∴a3＝2n，
∴p﹣（a3+ ）＝2n+2﹣n﹣2n﹣ ＝2﹣n﹣ ，
当n＝1时，p＞a3+ ；
当n＝2时，p＝a3+ ；
当n≥3时，p＜a3+ ．
24．（2022•南京模拟）请完成以下问题
（1）有理数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示，试比较a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c，0的大
小，并用“＜”连接．
（2）有理数a、b、m、n、x满足下列条件：a与b互为倒数，m与n互为相反数，x的绝对值为最小的
正整数，求2021（m+n）+2020x3﹣2019ab的值．
解：（1）将﹣a，﹣b，﹣c在数轴上表示出来如下：
∵在数轴上右边的总比左边的大，
∴a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c用“＜”连接如下：
c＜b＜a＜0＜﹣a＜﹣b＜﹣c．
（2）∵a与b互为倒数，
∴ab＝1；
∵m与n互为相反数，∴m+n＝0；
∵x的绝对值为最小的正整数，
∴x＝±1，
∴当x＝1时，
原式＝2012×0+2020×13﹣2019×1
＝2020﹣2019
＝1；
当x＝﹣1时，
原式＝2012×0+2020×（﹣1）3﹣2019×1
＝﹣2020﹣2019
＝﹣4039．
综上，2021（m+n）+2020x3﹣2019ab的值为1或﹣4039．
25．（2019春•磁县期末）（1）求出下列各数：①2的算术平方根；②﹣27的立方根；③ 的平方根．
（2）将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上，将这些数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．
解（1）①2的算术平方根是 ；
②﹣27的立方根是﹣3；
③ ＝4，4的平方根是±2．
（2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上如下：
用“＜”连接为：﹣3＜﹣2＜ ＜2．考点
考点05：实数的运算
26．（2022•夏邑县模拟）下列运算正确的是（ ）
A．2÷（﹣6）﹣1＝﹣3 B．﹣3×20220＝﹣3
C． D．
解：A、原式＝2÷（﹣ ）＝2×（﹣6）＝﹣12，不符合题意；
B、原式＝﹣3×1＝﹣3，符合题意；
C、原式＝3 ﹣2 ＝ ，不符合题意；
D、原式＝ ﹣3，不符合题意．故选：B．
27．（2022春•东莞市期中）下图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为16时，输出的数值为 3
．
解：将x＝16代入计算程序得，
+1＝ +1＝2+1＝3，
故答案为：3．
28．（2022•南岗区校级模拟）计算（﹣ ）0﹣ 的结果是 ﹣ 1 ．
解：原式＝1﹣2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
29．（2022春•静海区校级期中）计算：
（1） ；
（2） ．
解：（1）
＝2﹣（﹣2）+5
＝2+2+5
＝9；
（2）
＝ ﹣1+4﹣
＝3．
30．（2022春•仓山区校级期中）先阅读，然后解答提出的问题：
设a，b是有理数，且满足a+ b＝3﹣2 ，求ba的值．
解：由题意得（a﹣3）+（b+2） ＝0，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，由于
是无理数，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝（﹣2）3＝﹣8．
问题：设x，y都是有理数，且满足x2﹣2y+ y＝8+4 ，求xy的值．
解：∵x2﹣2y+ y＝8+4 ，∴（x2﹣2y﹣8）+（y﹣4） ＝0，
∴x2﹣2y﹣8＝0，y﹣4＝0，
解得：y＝4，x＝±4，
∴当x＝4，y＝4时，xy＝4×4＝16；
当x＝﹣4，y＝4时，xy＝（﹣4）×4＝﹣16；
综上所述，xy的值为±16．
31．（2022•鼓楼区校级开学）计算：
（1）（ ）2+ ﹣ ﹣82；
（2） ﹣（﹣1）2﹣（π﹣1）0+2﹣1．
解：（1）原式＝9﹣4﹣17﹣64
＝9﹣85
＝﹣76；
（2）原式＝2﹣1﹣1+
＝ ．
考点06：二次根式的性质与化简
32．（2022春•藁城区校级期中）与 结果相同的是（ ）
A．a﹣b B．a+b C．b﹣a D．|a﹣b|
解：
＝
＝|a﹣b|．
故选：D．
33．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 +1+|a﹣1|的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
解：根据数轴得：0＜a＜1，
∴a＞0，a﹣1＜0，∴原式＝|a|+1+1﹣a
＝a+1+1﹣a
＝2．
故选：B．
34．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣ + ＝ 2 ．
解：由数轴可得，
﹣1＜a＜0，1＜b＜2，
∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴|a+1|﹣ +
＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）
＝a+1﹣b+1+b﹣a
＝2，
故答案为：2．
35．（2022春•姜堰区月考）将a 根号外面的式子移到根号内是 ．
解：a ＝﹣（﹣a） ＝﹣ ＝﹣ ．
故答案为： ．
36．（2022秋•晋江市月考）材料一：定义： （x，y为正整数）．
材料二：观察、思考、解答： ；反之3﹣2
．
∴3﹣2 ；
∴ ﹣1．
（1）仿照材料二，化简： ；（2）结合两个材料，若 （a，b，m，n均为正整数），用含m、n的代数式分别表示
a和b；
（3）由上述m、n与a、b的关系，当a＝4，b＝3时，求m2+n2的值．
解：（1）
＝
＝
＝
＝ ﹣1．
（2）综合两个材料：当若 （a，b，m，n均为正整数），
则m+n＝a，mn＝b．
（3）由于m、n、a、b满足 （a，b，m，n均为正整数），
∴m+n＝4，mn＝3．
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn
＝16﹣2×3
＝10．
37．（2022春•郧西县期末）像 ， …这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二
次 根 式 可 以 借 助 构 造 完 全 平 方 式 进 行 化 简 ， 如 ： ＝
． 再 如 ： ＝
．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简： ；
（2）化简： ．（3）若a+6 ＝（m+ n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．
解：（1） ＝ ＝ ＝ ；
（2） ＝ ＝ ＝2 ﹣ ；
（3）∵a+6 ＝（m+ n）2＝m2+5n2+2 mn，
∴a＝m2+5n2且2 mn＝6 ，
∴a＝m2+5n2且mn＝3，
∵a，m，n为正整数，
∴当m＝1，n＝3时a＝46；
当m＝3，n＝1时，a＝14．
所以a的值为：14或46．
考点07：二次根式的混合运算
38．（2022春•颍州区期末）下列运算正确的是（ ）
A． + ＝ B．2 × ＝6 C． ÷ ＝2 D．3 ﹣ ＝3
解：A． 和 不能合并，故本选项不符合题意；
B．2 ＝2 ，故本选项不符合题意；
C． ÷
＝
＝
＝2，故本选项符合题意；
D．3 ﹣ ＝2 ，故本选项不符合题意；
故选：C．
39．（2022•南京模拟）下列计算正确的是（ ）
A． ÷ ＝4 B． ﹣ ＝ C．2+ ＝2 D． × ＝
解：A． ÷ ＝2 ÷ ＝2，此选项不符合题意；
B． 与 不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；
C．2与 不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；
D． × ＝ ＝ ，此选项符合题意；
故选：D．
40．（2022•江北区开学）若a+6 ，当a，m，n均为正整数时，则 的值为 2 或 2．
解：∵a+6 ，
∴a+6 ＝m2+2nm +3n2（a，m，n均为整数），
∴a＝m2+3n2，2mn＝6，
∴mn＝3，
①m＝1，n＝3，a＝28，
②m＝3，n＝1，a＝12，
故 的值为2 或2 ．
41．（2022•南京模拟）计算：
（1） ；
（2） ．
解：（1）原式＝
＝﹣1+3
＝2；
（2）原式＝
＝
＝ ．
42．（2022春•宿豫区期末）观察下列计算：．
＝ ＝ ＝ ﹣1，
＝ ＝ ＝ ﹣ ，
＝ ＝ ＝ ﹣ ，
（1）运用上面的计算方法化简 （n为正整数）；
（2）利用上面的结论计算：（ + + +…+ ）（1+ ）；（3）计算： + + ．
解：（1）
＝
＝
＝ ；
（2）（ + + +…+ ）（1+ ）
＝（ + + +…+ ）（1+ ）
＝（ ﹣1）（1+ ）
＝2022﹣1
＝2021；
（3） + +
＝ + +
＝ ﹣1+ +
＝ ﹣1．
43．（2022春•安庆期末）计算：
（1） ÷ +2 × ﹣（2 + ）2
（2）（﹣ ）﹣2﹣（﹣1）2012× ﹣ +
解：（1）原式＝ +2 ﹣（8+4 +3）
＝4+2 ﹣11﹣4
＝﹣7﹣2 ；
（2）原式＝4﹣1×1﹣4+5
＝4﹣1﹣4+5
＝4．
考点08：二次根式的化简求值44．（2022春•峄城区期末）已知x＝ ﹣1，y＝ +1，则分式 的值是（ ）
A．2 B． C．4 D．2
解：
＝
＝x+y，
当x＝ ﹣1，y＝ +1时，
原式＝ ﹣1+ +1
＝2 ．
故选：D．
45 ． （ 2021 秋 • 天 河 区 校 级 月 考 ） 已 知 x ＝ ， 则 x6﹣ 2
的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
解：∵x＝ ，
∴x＝ ，
∴x6﹣2
＝ +x（ ）﹣
＝ +x ﹣
＝ +x ﹣
＝
＝x﹣
＝
＝ ．故选：C．
46．（2022春•临西县期末）已知x＝4+ ，y＝4﹣ ．
（1）x+y＝ 8 ．
（2）求x2+xy+y2的值为 5 3 ．
解：（1）∵x＝4+ ，y＝4﹣ ，
∴x+y＝4+ +4﹣ ＝8，
故答案为：8；
（2）∵x＝4+ ，y＝4﹣ ，
∴xy＝（4+ ）×（4﹣ ）＝16﹣5＝11，
∵x+y＝8，
∴x2+xy+y2
＝（x+y）2﹣xy
＝82﹣11
＝64﹣11
＝53，
故答案为：53．
47．（2022•雄县一模）已知 ， ．则
（1）x2+y2＝ 1 4 ．
（2）（x﹣y）2﹣xy＝ 1 1 ．
解：（1）∵x＝ ＝ ＝2﹣ ，y＝2+ ，
∴x﹣y＝（2﹣ ）﹣（2+ ）＝﹣2 ，xy＝（2﹣ ）×（2+ ）＝4﹣3＝1，
∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（﹣2 ）2+2×1＝12+2＝14，
故答案为：14；
（2）由（1）知：x﹣y＝﹣2 ，xy＝1，
所以（x﹣y）2﹣xy＝（﹣2 ）2﹣1＝12﹣1＝11，
故答案为：11．
48．（2022•南京模拟）已知 ， ，求 的值．解：∵ ＝ ＝ +2， ＝ ＝ ﹣2，
∴ab＝（ +2）×（ ﹣2）＝5﹣4＝1，a+b＝ +2+ ﹣2＝2 ，
∴
＝
＝
＝
＝（2 ）2﹣2
＝20﹣2
＝18．
49．（2022春•临汾期末）（1）计算：6+（ +1）（ ﹣1）．
（2）下面是夏红同学对题目的计算过程，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：已知x＝ ，求x+1﹣ 的值．
原式＝ …第一步
＝ …第二步
＝ ．…第三步
把x＝ 代入上式，得
原式＝ …第四步
＝ …第五步
＝﹣1…第六步任务一：填空：
①在化简步骤中，第 一 步是进行分式的通分．
②第 五 步开始出错，这一错误的原因是 分子没有乘（ + 1 ） ．
任务二：请直接写出该题计算后的正确结果．
解：（1）6+（ +1）（ ﹣1）
＝6+5﹣1
＝10；
（2）任务一：填空：
①在化简步骤中，第一步是进行分式的通分．
故答案为：一；
②第五步开始出错，这一错误的原因是分子没有乘（ +1），
故答案为：五，分子没有乘（ +1）；
任务二：﹣1﹣ ，
计算过程为：原式＝
＝
＝ ．
当x＝ 时，原式＝ ＝ ＝﹣1﹣ ．
考点09：二次根式的应用．
（2022春•内黄县校级月考）如图、在一个长方形中无重叠的放入面积分别为 16cm2和12cm2的两张正方形
纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．（4﹣2 ）cm2 B．（8 ﹣4）cm2 C．（8 ﹣12）cm2 D．8cm2
解：如图．由题意知：S ＝HC2＝16cm2，S ＝LM2＝LF2＝12cm2，
正方形ABCH 正方形LMEF
∴HC＝4cm，LM＝LF＝2 cm．
∴S ＝S +S
空白部分 矩形HLFG 矩形MCDE
＝HL•LF+MC•ME
＝HL•LF+MC•LF
＝（HL+MC）•LF
＝（HC﹣LM）•LF
＝（4﹣2 ）×2
＝（8 ﹣12）（cm2）．
故选：C．
51．（2022春•高青县期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为 16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下
的面积为（ ）
A．16 cm2 B．40 cm2 C．8 cm2 D．（2 +4）cm2
解：从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，
大正方形的边长是 + ＝4+2 ，
留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2 ）2﹣16﹣24＝16+16 +24﹣16﹣24＝16 （cm2）．
故选：A．
52．（2022•湖口县二模）俊俊和霞霞共同合作将一张长为 ，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三
次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是
1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是 ﹣1”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是 1 或
或 2 ﹣ ．解：如图1方式裁剪，另两个等腰三角形腰长是 或 ；
如图2方式裁剪，另两个等腰三角形腰长都是1．
故答案为：1或 或2﹣ ．
53．（2022春•前郭县期末）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为 2和8，则图中阴影部分的
面积为 2 ．
解：由题意可得，
大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，
∴图中阴影部分的面积为： ×（2 ﹣ ）＝2，
故答案为：2．
54．（2022春•江宁区期末）材料阅读：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》中提出：如果一个三
角形的三边长分别为a，b，c，记p＝ ，那么三角形的面积为S＝ ，这
一公式称为海伦公式．
我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式S＝
，被称之为秦九韶公式．
（1）海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式的
一致性．
如图①，在△ABC中，BC＝a＝7，AC＝b＝5，AB＝c＝6，求△ABC的面积．
（2）在（1）的基础上，作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O．过点O作OD⊥AB，OD的长为．
解：（1）我同意这种说法．
验证：利用海伦公式：P＝0.5（5+6+7）＝9．
△ABC的面积的面积为： ＝6 ；
利用秦九韶公式：
△ABC的面积的面积为 ＝6 ．
∵ ＝6 ，
海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．
（2）∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，
∴O为△ABC的内心，且O到三角形的三条边的距离相等，距离为OD的长，设为x，
∴△ABC的面积等于：0.5×（5+6+7）x＝6 ，
解得：x＝ ．
所以OD的长为： ．
故填： ．
55．（2021秋•汝州市期末）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高
度为h（单位km），观测者能看到的最远距离为d（单位km），则d≈ ，其中R是地球半径，通常
取6400km．
（1）小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，
求此时d的值．
（2）判断下面说法是否正确，并说明理由；
泰山海拔约为1500m，泰山到海边的最小距离约230km，天气晴朗时站在泰山之巅可以看到大海．解：（1）由R＝6400km，h＝0.02km，
得d＝ ＝ ＝16（km），
答：此时d的值为16km；
（2）说法是错误，
理由：站在泰山之巅，人的身高忽略不计，此时，h＝1.5km，
则d2＝2×1.5×6400＝19200，
2302＝52900，
∵19200＜52900，
∴d＜230，
∴天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海
