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专题突破卷 16 立体几何中的轨迹问题
题型一：求算在正方体中的轨迹
1．如图，在棱长为1的正方体 中， 为平面 内一动点，则下列说法不正确的是
（ ）
A．若 在线段 上，则 的最小值为
B．平面 被正方体内切球所截，则截面面积为
C．若 与 所成的角为 ，则点 的轨迹为椭圆D．对于给定的点 ，过 有且仅有3条直线与直线 所成角为
【答案】C
【分析】把矩形 与正方形 置于同一平面，求出 长判断A；求出内切球球心到平面 ，
求出截面小圆半径判断B；建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角建立方程判断C；利用异面直线所成
角的意义转化判断D.
【详解】对于A，正方体 的对角面 是矩形，把矩形 与正方形
置于同一平面，且在直线 两侧，连接 ，则 ，
当且仅当 为 与 的交点时取等号，A正确；
对于B，令正方体内切球球心为 ，连接 ， 为正方体的中心，
， ，正 半径 ，
正三棱锥 底面 上的高 ，又球 的半径为 ，
则被截得的圆的半径为 ，面积为 ，B正确；对于C，建立空间直角坐标系，如图，
则 ，设 ，有 ，
则 ，整理得 ，
则 的轨迹是双曲线，C错误；
对于D，显然过 的满足条件的直线数目等于过 的满足条件的直线 的数目， ，
在直线 上取点 ，使 ，不妨设 ，则 ，
则四面体 是正四面体， 有两种可能，直线 也有两种可能，
若 ，则 只有一种可能，就是与 的角平分线垂直的直线，所以直线 有三种可能，D正
确.
故选：C
2．在棱长为2的正方体 中，点E为棱 的中点，点F是正方形 内一动点（包括
边界），则（ ）
A．三棱锥 的体积为定值B．若 平面 ，则点F的轨迹长度是
C．当点Q在直线 上运动时， 的最小值是
D．若点F是棱 的中点，则平面 截正方体所得截面的周长为
【答案】AB
【分析】对A：由平面平行可得点 到平面 的距离为定值，结合体积公式即可得；对B：借助线面
平行的判定定理与性质定理与面面平行的性质定理可得平面 平面 ，计算即可得点F的轨迹长
度；对C：将 沿 翻折到与 在同一个平面，借助两点之间线段最短计算即可得；对D：画
出截面图形后计算即可得.
【详解】对于A：平面 平面 ，则点 到平面 的距离为定值2，
则 ，故A正确；
对于B：如图1，分别取 中点 ，连接 ，
则 ，且 ，又 ， ，
故 且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，因为 平面 平面 ，
所以 平面 ，同理 ，有 平面 ，
因为 且都在面 ，所以平面 平面 ，
因为平面 平面 ，
所以点 的轨迹是线段 ，其长度为 ，故B正确；
对于C，把 沿 翻折到与 在同一个平面(如图2所示)，连接 ，则 是 的最小值，
其中 是边长为 的等边三角形，
是直角边为2的等腰直角三角形，
由对称性得 ，
即 的最小值是 ，故C错误；
对于D：如图3，由B选项知，四边形 就是平面 截正方体所得截面的图形，
其周长为 ，故D错误.
故选：AB.
3．已知正方体 的棱长为1，点 满足 ，其中 ， ，则（ ）
A．当 时，则 的最小值为
B．过点 在平面 内一定可以作无数条直线与 垂直
C．若 与 所成的角为 ，则点 的轨迹为双曲线
D．当 ， 时，正方体经过点 、 、 的截面面积的取值范围为
【答案】ACD
【分析】对A，将平面 展开到与 同一平面，由两点间线段最短得解；对B，当 在 时，过
点只能作一条直线与 垂直，可判断；对CD，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，设出点P坐标，利用向量的坐标运算即可判断.
【详解】对于A，当 时， ，
所以点 在线段 上，
如图，将三角形 与矩形 沿 展成平面图形如下所示，
则线段 即为 的最小值，
利用余弦定理可知 ，
所以 ，即 的最小值为 ，故A正确；
对于B，当 在 时，过点 在平面 内只可以作一条直线与 垂直，故B错误；
对于C，以D为原点，分别以 为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则 ，得 ，
，整理得 ，为双曲线方程，故C正确．
对于D，当 时， ，故点 在线段 上运动,
正方体经过点 、 、 的截面为平行四边形 ，
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则A(1,0,0)， ， ， ，
所以 ， ， ，
， ，
所以点 到直线 的距离为 ，
于是当 时 ， 的面积取最小值，此时截面面积为 ；
当 或 时 ， 的面积取最大值，此时截面面积为 ，
所以正方体经过点 、 、 的截面面积的取值范围为 ，故D正确．
故选：ACD．
4．已知正方体 的棱长为2，点 为平面 上一动点，则（ ）
A．当点 为 的中点时，直线 与 所成角的余弦值为B．当点 在棱 上时， 的最小值为
C．当点 在正方形 内时，若 与平面 所成的角为 ，则点 的轨迹长度为
D．当点 在棱 （不含顶点）上时，平面 截此正方体所得的截面为梯形
【答案】ACD
【分析】对于A，连接 ，求出 ，再利用余弦定理解 即可判断；对于B，将平面
和平面 展成同一平面，结合图象即可判断；对于C，连接 ，根据 平面 ，
可得 即为 与平面 所成的角，进而可得出点 的轨迹，即可判断；对于D，连接 ，设
， ，过点 作 交 于点 ，连接 ，证明 即可判断.
【详解】对于A，连接 ，如图（1），当点 为 的中点时，
， ，
，
所以直线 与 所成角的余弦值 ，
故A正确；
对于B，当点 在棱 上时，将平面 和平面 展成同一平面，如图（2），
则 的最小值为 ，故B错误；
对于C，如图（3），连接 ，
因为点 在正方形 内， 平面 ，
所以 即为 与平面 所成的角，若 与平面 所成的角为 ，则 ，
所以 ，即点 的轨迹是以 为圆心、以2为半径的 圆，
所以点 的轨迹长度为 ，故C正确；
对于D，如图（4），连接 ，
当点 在棱 （不含顶点）上时，设 ， ，
过点 作 交 于点 ，连接 ，
因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，所以四边形 为平面 截此正方体所得的截面，
因为 ， ，所以 ，
所以截面四边形 为梯形，故D正确.
故选：ACD.
5．正四棱柱 中， ，动点 满足 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，直线 平面
B．当 时， 的最小值为
C．若直线 与 所成角为 ，则动点P的轨迹长为
D．当 时，三棱锥 外接球半径的取值范围是
【答案】ABD
【分析】当 时，由平面向量线性运算法则可知点 在线段 上，根据正四棱柱特征利用线面垂直判
定定理即可证明直线 平面 ；当 时，由共线定理可得点 在线段 上，根据对称性将
的最值转化成平面几何问题，即可求得最小值；若直线 与 所成角为 ，可知点 的轨迹是
以 为圆心，半径为 的半圆弧，即可计算出其轨迹长度；当 时，取 的中点为 ，由共
线定理可知 三点共线，几何法找出球心位置写出半径的表达式，利用函数单调性求其取值范围即可
得出结果.
【详解】对于A，取 相交于点 ， 的中点为 ，如下图所示：
当 时，即 ， ，由平面向量线性运算法则可知，点 在线段 上，
由正四棱柱 可得 ，
且 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 ，且 平面 ，所以 平面 ；
又因为平面 与平面 是同一平面，所以 平面 ，即A正确；
对于B，当 时，由 利用共线定理可得， 三点共线，
即点 在线段 上，
由对称性可知，线段 上的点到 两点之间的距离相等，所以 ；
取平面 进行平面距离分析，如下图所示：
所以 ，当且仅当 三点共线时，等号成立，
此时点 为线段 的中点，即 的最小值为 ，故B正确；
对于C，由图可知， 与 所成角都为 ，
由 可知，点 在平面 内，
若直线 与 所成角为 ，在线段 上取点 ，使 ，
则直线 与 所成角为 ；则点 的轨迹是以 为圆心，半径为 ，且在平面 内的半圆弧 ，
如下图中细虚线所示：
所以动点P的轨迹长为 ，故C错误；
对于D，当 时，取 的中点为 ，即 ；
由 可知， 三点共线，
即点 在线段 上，如下图所示：
易知三棱锥 外接球球心在直线 上，设球心为 ， ；
作 于点 ，设 ，易知 ，
由相似比可得 ，设外接球半径为 ，则 ，解得 ；
所以 ，
易知当 时，半径最小为 ；当 时，半径最大为 ；
又x∈(0,1)，所以半径的取值范围是 ，即D正确.
故选：ABD.
6．在边长为2的正方体 中，动点 满足 ， 且
，下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 的最小值为
B．当 时，异面直线 与 所成角的余弦值为
C．当 ，且 时，则 的轨迹长度为
D．当 时， 与平面 所成角的正弦值的最大值为
【答案】AD
【分析】对于A，确定M的位置，利用侧面展开的方法，求线段的长，即可判断；对于B，利用平移法，
作出异面直线所成角，解三角形，即可判断；对于C，结合线面垂直以及距离确定点M的轨迹形状，即可
确定轨迹长度；对于D，利用等体积法求得M点到平面 的距离，结合线面角的定义求得 与平面
所成角的正弦值，即可判断.
【详解】对于A，在 上取点H，使 ，在 上取点K，使 ，因为 ，即 ，故M点在 上，
将平面 与平面 沿着 展开到同一平面内，如图：
连接 交 于P，此时 三点共线， 取到最小值即 的长，
由于 ，则 ，
故 ，
即此时 的最小值为 ，A正确；
对于B，由于 时，则 ，
此时M为 的中点，取 的中点为N，连接 ，
则 ,故 即为异面直线 与 所成角或其补角，
又 , ，
故 ，而异面直线所成角的范围为 ，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 ，B错误；
对于C，当 时，可得点M的轨迹在 内（包括边界），
由于 平面 ， 平面 ，故 ，
又 ， 平面 ，故 平面 ，
平面 ，故 ，同理可证 ,
平面 ，故 平面 ，
设 与平面 交于点P，由于 ，
为边长为 的正三角形，则点A到平面 的距离为 ，
若 ，则 ，
即M点落在以P为圆心， 为半径的圆上，
P点到 三遍的距离为 ，
即M点轨迹是以P为圆心， 为半径的圆的一部分，其轨迹长度小于圆的周长 ，C错误；
对于D，因为 平面 ， 平面 ，故 平面 ，因为当 时， ，即M在 上，
点M到平面 的距离等于点B到平面 的距离，设点B到平面 的距离为d，
则 ，
为边长为 的正三角形，即 ，
解得 ，
又M在 上，当M为 的中点时， 取最小值 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，即 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ，D正确，
故选：AD
7．在正方体 中， ，点P满足 ，其中 ，则下列结
论正确的是（ ）
A．当 平面 时， 与 所成夹角可能为
B．当 时， 的最小值为
C．若 与平面 所成角为 ，则点P的轨迹长度为D．当 时，正方体经过点 的截面面积的取值范围为
【答案】AC
【分析】A选项，当点 与点 重合时，满足 平面 ， 与 所成夹角为 ，A正确；B选
项，将两图形展开到同一平面内，由三点共线得到 的最小值，由余弦定理求出最小值；C选项，
作出辅助线，得到点P的轨迹，求出轨迹长度；D选项，先得到点 在线段 上，从而得到正方体过点
的截面，建立空间直角坐标系，得到点 到直线 的距离，从而求出截面面积的取值范围.
【详解】如图1，因为 ， ，
所以 点在正方形 内（包含四个端点），
当点 与点 重合时， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
此时 ，故 为等边三角形，
故 与 所成夹角为 ，A正确；
当 时，点 在对角线 上，
将矩形 和等腰直角三角形 折叠到同一平面内，如图2，连接 与 于点 ，
由三点共线可知， 的最小值即为 的长，
其中 ， ，
由余弦定理得
，B错误；
C选项，如图3，以 为圆心， 的长为半径作圆，与正方形 交于 圆弧，
此时满足 与平面 所成角为 ，
故则点P的轨迹长度等于 ，C正确；
D选项，如图4，当 时， ，即 ，故 ，
故点 在线段 上，
在 上取点 ，使得 ，连接 ，则可证得 ，四边形 为平行四边形，
故正方体经过点 的截面为平行四边形 ，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ，
其中 ， ，
，
则 ，
则点 到直线 的距离
，
因为 ，所以 ，
故截面面积为 ，D错误.
故选：AC8．已知正方体 的棱长均为 为线段 的中点, ,其中 ,则下
列选项正确的是（ ）
A．当 时,
B．当 时, 的最小值为
C．若直线 与平面 所成角为 ,则点 的轨迹长度为
D．当 时,正方体被平面 截的图形最大面积为
【答案】AD
【分析】将 代入 ,将 用 表示,计算其数量积是否为0即可证明;将
代入可知点 在 上,且在平面 上,将 沿着 向下翻折至与平面 共面, 点 翻
折后变为 ,过 向 作垂线,垂足为 ,可知 在 上,且为 中点,所以 最小值为 ,根据
长度关系解出即可;由直线 与平面 所成角为 可得 为等腰直角三角形,即 ,可得 的
轨迹为以 为圆心 为半径的圆上,且在平面 内,进而可求其轨迹长度,判断正误;由 ,可得
三点共线,分 在 上运动和 在 上运动两种情况下,讨论截面面积的大小情况,求出最值,即可判
断正误.
【详解】由题知正方体 的棱长均为2,
当 时, ,
此时,
所以 ,
即选项A正确;
当 时, ,
所以点 在 上,且点 在平面 上,
分别将 , 延长至 ,
使得 ,
将 沿着 向下翻折至与平面 共面,
点 翻折后变为 ,过 向 作垂线,垂足为 ,如图所示:
因为 ,
所以 ,
因为 ,所以 为 中点,且 ,
因为平面 平面 ,且平面 平面 ,,所以 平面 ,
所以 ,又因为 ,
所以 在 上,且为 中点, ,
在平面 中,连接 交 于点 时, 取最小值,
因为 ,所以 ,
此时
,
故选项B错误;
因为 面 ，所以 为直线 与面 的平面角，
当直线 与平面 所成角为 时,
即 ,因为 ,所以 ,
所以 为等腰直角三角形,因为 ,所以 ,
因为 ,由平面向量基本定理可知 在平面 内,
所以 的轨迹为以 为圆心 为半径的圆上,且在平面 内,
所以点 的轨迹长度为 ,
故选项C错误;
因为 ,其中 ,
因为 ,所以 三点共线,
连接 交 于点 ,
当点 在 上运动时,延长 交 于点 ,则正方体被平面 截的图形为 ,
由图可知,当 点运动到 点时,截面为 ,此时截面积最大,
因为正方体棱为2,所以 ,
此时截面积最大为 ,
当点 在 上运动时,延长 交 于点 ,
过点 做 的平行线交 于点 ,连接 ,
再过点 做 的垂线,垂足为 ,如图所示:
由题可知,此时截面为等腰梯形 ,
记 ,则 ,
, ,
所以 ,,
所以
,
令 ,
所以 ,所以 在 单调递增,
所以 ,
故 ,因为 ,
所以正方体被平面 截的图形最大面积为 ,
即选项D正确.
故选:AD
题型二：求算在长方体中的轨迹
9．长方体 中， ， 为棱 的中点，平面 上一动点 满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．长方体外接球的表面积为 B．C． 到平面 距离为 D． 的轨迹长度为
【答案】AD
【分析】计算出长方体的外接球直径，结合球体表面积公式可判断A选项；利用空间向量法可判断BC选
项；分析可知，点 的轨迹为圆，求出圆的周长，可判断D选项.
【详解】对于A选项，长方体 的外接球直径为
，
所以，长方体 外接球的表面积为 ，A对；
对于B选项，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直
角坐标系，
则A(1,0,0)、 、 、 、 ，
所以， ， ，则 ，B错；
对于C选项，设平面 的法向量为 ，
，则 ，取 ，可得 ，且 ，
所以，点 到平面 的距离为 ，C错；
对于D选项，取线段 的中点 ，因为 ，则 ，因为 为 的中点，且点 到平面 的距离为 ，
故点 到平面 的距离为 ，
所以，点 的轨迹是平面 截以点 为球心，半径为 的球所得圆，
且截面圆的半径为 ，
因此，点 的轨迹长度为 ，D对.
故选：AD.
10．在长方体 中，AB＝3， ，P是线段 上的一动点，则下列说法正确的是
（ ）
A． 平面 B． 与平面 所成角的正切值的最大值是
C． 的最小值为 D．以A为球心，5为半径的球面与侧面 的交线长是
【答案】ACD
【分析】由平面与平面平行，可得直线与平面平行即可判断A，根据线面角定义找出线面角，当 最短
时，可求线面角的正切的最大值判断B，根据展开图，转化为求 ，利用余弦定理求解即可判断C，根
据球面与侧面交线为圆弧的四分之一即可求解即可判断D.
【详解】对于A，如图，在长方体中， ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理可得 平面
，又 ，所以平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以A
正确；
对于B，因为 平面 ，所以 与平面 所成角为 ，如图，
当 时， 最小， 的正切值最大， ，所以B错误；
对于C，将 沿 翻折与 在同一个平面，且点 ，C在直线 的异侧，如图，此时 ， ， , ,
所以 ，所以 ，
故 ，
解得 ，所以 的最小值为 ，所以C正确；
对于D，如图，
由于 平面 ，所以交线为以B为圆心，半径为4的四分之一圆周，
所以交线长为 ，所以D正确，
故选：ACD．
11．如图所示，在长方体 中， ， ，点E是棱CD上的一个动点，F是
BC的中点， ，给出下列命题，其中真命题的（ ）．A．当E是CD的中点时，过 的截面是四边形
B．当点E是线段CD的中点时，点P在底面ABCD所在平面内，且 平面 ，点Q是线段MP
的中点，则点Q的轨迹是一条直线
C．对于每一确定的E，在线段AB上存在唯一的一点H，使得 平面
D．过点M做长方体 的外接球的截面，则截面面积的最小值为
【答案】BD
【分析】延长 和 交于 ，取 的三等分点 ，连接 ，证得平面 与平面 为同
一个平面，连接 ，得到过平面 的截面为五边形 ，可判定A不正确；取 的中点 ，
连接 ，取 的中点为 ，连接 ， ，证得平面 平面 ，得到 ，进
而得到点 的轨迹，可判定B正确；以 为原点，建立的空间直角坐标系，设 ，其中
，结合 ，求得 的值，可判定C不正确；先求得长方体的外接球的半径为 ，结
合球的性质，求得截面圆的面积最小值，可判定D正确.
【详解】对于A中，延长 和 交于 ，连接 与 交于 ，连接 ，并延长 ，可得
三点共线，连接 ，如图所示，平面 与平面 为同一个平面，连接 ，可平面
与长方体的各个面的交线分别为 ，所以过平面 的截面为五边形 ，所以A不正确；
对于B中，在长方体 中，取 的中点 ，连接 ，
取 的中点为 ，连接 ， ，则 ，
再取 分别为 的三等分点，连接 ，可得 ，
又由 为 的三等分点，所以 ，所以 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可证： 平面 ，
且 平面 ，所以平面 平面 ，
当点 在 上时，此时 平面 ，所以 平面 ，
取 的中点 ，可得 ，
又由 为 的中点，所以点 的轨迹为直线 ，所以B正确；
对于C中，如图所示，以 为原点，建立的空间直角坐标系，
则 ，
设 ，其中 ，可得 ，
若 平面 ，则 垂直于平面 的所有直线，
由 ，可得 ，
因为 ，所以不成立，所以C不正确；
对于D中，设长方体的外接球的半径为 ，可得 ，
球心为 ，可得球心的坐标为 ，
则 ，
当 与该长方体的外接球的截面圆垂直时，截面面积取得最小值，
设截面圆的半径为 ，可得 ，
所以截面圆的面积的最小值为 ，所以D正确.
故选：BD.
12．如图，透明塑料制成的长方体容器 内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，
再将容器以BC为轴顺时针旋转，则（ ）A．有水的部分始终是棱柱
B．水面所在四边形EFGH为矩形且面积不变
C．棱 始终与水面平行
D．当点H在棱CD上且点G在棱 上（均不含端点）时， 不是定值
【答案】AC
【分析】利用棱柱的几何特征判断A；根据水面矩形变化情况判断B；利用线面平行的判定判断C；利用
盛水的体积判断D作答.
【详解】对于A，有水部分的几何体，有两个面都垂直于BC，这两个面始终平行，而 ，
并且BC始终与水面平行，即有 ，若点H在棱 上，由面面平行的性质知，
，若点H在棱CD上， ，因此该几何体有两个面互相平行，其余各
面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，即该几何体是棱柱，A正确；
对于B，因为水面 为矩形，边 的长不变， 随旋转角的变化而变化，矩形 的面积不是
定值，B错误；
对于C，因为 始终与 平行，而 始终与水面平行，并且 不在水面所在平面内，即棱 始
终与水面平行，C正确；
对于D，当点 在棱 上且点 在棱 上（均不含端点）时，有水部分的棱柱的底面为三角形，
而水的体积不变，高 不变，则底面面积 不变，即 为定值，D错误.
故选：AC
13．长方体 中， ， ， ，则（ ）
A． 到平面 的距离为
B． 到平面 的距离为
C．沿长方体的表面从 到 的最短距离为
D．沿长方体的表面从 到 的最短距离为
【答案】AC【分析】利用体积相等求出点 到平面 的距离即可判断选项 和 ；求 点到 的最短距离，由两
点之间直线段最短，想到需要把长方体剪开再展开，把 到 的最短距离转化为求三角形的边长问题，根
据实际图形，应该有三种展法，展开后利用勾股定理求出每一种情况中 的长度，比较三个值的大小后
即可得到结论，进而判断 和 .
【详解】如图，连接 ，因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
在 中，由余弦定理可得： ，
所以 ，
则 ，
又 ，
设点 到平面 的距离为 ，由体积相等可得：
，即 ，
所以 ，解得： ，故选项 正确；选项 错误；
长方体 的表面可能有三种不同的方法展开，如图所示：， ， ，
表面展开后，依第一个图形展开，则 ；
依第二个图形展开，则 ；
依第三个图形展开，则 ；
三者比较得： 点沿长方形表面到 的最短距离为 ，故选项 正确，选项 错误，
故选： .
14．如图所示，在长方体 中， 是 上的一动点，则下列选项正确
的是
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【答案】AD
【解析】 的最小值，即求 底边 上的高即可；旋转 所在平面到平面 ，的最小值转化为求 即可.
【详解】求 的最小值，即求 底边 上的高，易知 ，所以 边上的
高为 ，连接 ，得 ，以 所在直线为轴，将 所在平面旋转到平面 ，
设点 的新位置为 ，连接 ，则 即为所求的最小值，易知 ，
所以 .
故选：AD.
A B C D
15．在长方体 中， ， ，点 、 在底面 1 1 1 1内，直线 与该长
方体的每一条棱所成的角都相等，且 ，则（ ）
A．
B．点 的轨迹长度为
C．三棱锥 的体积为定值
D． 与该长方体的每个面所成的角都相等
【答案】BCD
【分析】将长方体 补成正方体 ，连接 、 、 、 ，设
， ，确定点 的位置，求出 的长，可判断A选项；确定点 的轨迹，求出点 的轨迹的长度，可判断B选项；利用锥体的体积公式可判断C选项；利用线面角的定义可判断D选
项.
【详解】如下图所所示，将长方体 补成正方体 ，
连接 、 、 、 ，设 ， ，
易知 与正方体 的每一条棱所成的角都相等，
A B C D
所以， 与底面 1 1 1 1的交点即为点 .
对于A选项， ，A错；
对于B选项，因为 平面 ， 平面 ，则 ，
又因为四边形 为正方形，则 ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，同理， ，
因为 ， 、 平面 ，则 平面 ，
故 平面 ，
因为 ，所以， 平面 ，即 平面 ，
A B C D
又因为 平面 1 1 1 1，平面 平面 ，所以， ，所以，点 的轨迹为线段 ，且 ，B对；
对于C选项，记点 到平面 的距离为 ，
由 ，
因为 ，则 ，则 ，故点 为 的中点，
同理可知， 为 的中点，所以， ，
因为 ， ，故四边形 为平行四边形，所以， ，
所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
所以，点 到平面 的距离为定值，
又因为 的面积为定值，所以，三棱锥 为定值，C对；
对于D选项，因为 到平面 、平面 、平面 的距离都相等，
易知，直线 与正方体 的每个面所成的角都想等，
所以， 与长方体 的每一个面所成的角都相等，D对.
故选：BCD.
16．如图，长方体 中， ， ， ，点M是侧面 上的一个动点（含
边界），P是棱 的中点，则下列结论正确的是（ ）A．当PM长度最小时，三棱锥 的体积为
B．当PM长度最大时，三棱锥 的体积为
C．若保持 ，则点M在侧面内运动路径的长度为
D．若M在平面 内运动，且 ，则点M的轨迹为圆弧
【答案】AC
【分析】由等体积法可判断AB，由圆的知识可判断C，利用空间向量法求夹角余弦值，可判断D.
【详解】对于A，当PM长度最小时，点 在线段 的中点，
， ，A正确.
对于B，当PM长度最大时，点 与点 或点 重合，若点 与点 重合，
，
当点 与点 重合时，由于 与平面 不平行且 在该平面同侧，
所以此时体积不为 ，所以B错误.
对于C，作 中点 ，连接 ，如下图所示，易证 平面 ，
平面 ，则 ，若保持 ，则 ，
则点M的轨迹是以 为半径的半圆弧，长度为 ，C正确.对于D，以点 为原点建立空间直角坐标系如图所示：
则 ， ， ，设
则有 ， ，
若 ，则有 ，
即 ，
化简得： ，
即 ，
即 或 （此时 ， ）,
故点M的轨迹为一段直线，D错误.
故选：AC
17．如图，在长方体 中， ，E、F分别为棱 、 的中点，则下
列说法中正确的有（ ）
A．B．三棱锥 的体积为
C．若P是棱 上一点，且 ，则E、C、P、F四点共面
D．平面 截该长方体所得的截面为五边形
【答案】BCD
【分析】连接DE， ，根据勾股定理，可证 ，根据线面垂直的判定定理，可证 平面
，即 ，因为 ，即可判断A的正误；利用等体积法，即可求得三棱锥
的体积，即可判断B的正误；取 中点G，则P为 中点，连接FP，CP， ，则可证
，根据两平行线可确定一个平面，即可判断C的正误；作 ，交 于H ，则可证E、
H、P、C在同一平面内，即可得E、C、P、F、H在同一平面内，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】连接DE， ，如图所示，
因为E为AB的中点，所以EB=BC=2，
所以 ，同理 ，又DC=4，
所以 ，即 ，
又因为 底面ABCD， 底面ABCD，
所以 ，
所以 平面 ，即 ，
又 ，即 与 不平行，所以CE不垂直 ，故A错误；
由等体积法可得：三棱锥 的体积 ，故B正确；
作出P，使 ，取 中点G，则P为 中点，连接FP，CP， ，
因为F，P分别为 ， 中点，
所以 ，
又 ，且 ，
所以 ，所以 ，
所以E、C、P、F四点共面，故C正确；
由选项C可得E、C、P、F四点共面，平面CEF即为平面CEFP，
作 ，交 于H ，如图所示：
所以E、H、P、C在同一平面内，即H点在平面ECP内，
所以E、C、P、F、H在同一平面内，
所以平面 截该长方体所得的截面为五边形，故D正确.
故选：BCD
题型三：求算在棱台中的轨迹18．下列说法中，错误的为（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥．
【答案】ABC
【分析】对于A，根据棱锥的定义分析判断，对于B，根据棱台的定义分析判断，对于C，根据正三棱锥
的定义分析判断，对于D，根据正六棱锥的定义分析判断.
【详解】对于A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体
叫棱锥，
而有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图，所以A错误，
对于B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得，而有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯
形的六面体的侧棱不一定交于一点，所以B错误，
对于C，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点不一定在底面的射影为底面等边三角形
的中心，所以C错误，
对于D，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，若以正六边形
为底面，则侧棱必然大于底面边长，所以D正确，
故选：ABC
19．已知平面 平面 ，A， 且A， ，C， 且C， ，E， ，且 ，
，下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则几何体 是柱体
C．若 ， ，则几何体 是台体D．若 ，且 ，则直线 ， 与 所成角的大小相等
【答案】AD
【分析】利用线面垂直的判定与性质判断A；利用棱柱的结构特征判断B；利用棱台的结构特征判断C；
利用直线与平面所成的角，结合线面垂直的性质判断D.
【详解】对于A，由平面 平面 ，得 ，而 ，则 ，又 ，
且 ， 且 ，于是 ，因此 平面ACE，
而 平面ACE，所以 ，A正确；
对于B，平面 平面 ， 且 ， ，则 不一定成立，
而棱柱的每个侧面都是平行四边形，因此几何体 不一定是柱体，B错误；
对于C，由 ， ，而 ，AB与l不一定相交， ，CD与l也不一定相交，
即使AB、CD与l都相交，但交点也不一定重合，因此几何体 不一定是台体，C错误；
对于D，平面 平面 ， 且 ， ，则 ，而 ， ，因此 ，
又 ，连接CE、DE，则 分别是直线AC、AD与 所成角，
而 ， ，因此 ，而 ，于是 ≌ ，
所以 ，即直线AC，AD与 所成角的大小相等，D正确.
故选：AD
20．已知正三棱台 中， 的面积为 ， 的面积为 ， ，棱 的中
点为 ，则（ ）A．该三棱台的侧面积为 B．该三棱台的高为
C． 平面 D．二面角 的余弦值为
【答案】BCD
【分析】计算出正三棱台侧面上的高，结合梯形的面积公式可判断A选项；利用梯形的几何性质求出该三
棱台的高，可判断B选项；分别延长棱 、 、 交于点 ，推导出三棱锥 为正四面体，且
为等边 的中心，结合正四面体的几何性质可判断C选项；利用二面角的定义可判断D选项.
【详解】对于A，根据条件可得 ， ，
分别过点 、 在平面 内作 ， ，垂足分别为点 、 ，
因为 ， ， ，
所以， ，则 ，
因为 ， ， ，则四边形 为矩形，
所以， ，所以， ，
则 ，即等腰梯形 的高为 ，
其面积为 ，
所以该三棱台的侧面积为 ，故A错误；
对于B，设 的中心为 ， 的中心为 ，可知 是直角梯形，过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，
因为 ， ， ，则四边形 为矩形，
因为 ，解得 ，同理可得 ，
所以， ， ，
所以， ，则 ，
所以， ，故B正确；
对于C，分别延长棱 、 、 交于点 ，
因为 ， ，则 ，可得 ，
则 ，同理可得 ，
所以，四面体 为正四面体，延长 交 于点 ，则 ，所以， ，
且 ，即 ，则 为 的中点，
又因为 ，则 为正 的中心，故 平面 ，故C正确；
对于D，二面角 即正四面体相邻侧面的夹角，
因为 为 的中点， 为等边三角形，则 ，
且 ，
因为 是边长为 的等边三角形，则 ，且 ，
故二面角 的平面角为 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
则 ，故二面角 的余弦值为 ，故D正确．
故选：BCD.
21．如图，在三棱台 中， 表示体积，下列说法正确的是（ ）
A．
B． 成等比数列
C．若该三棱台存在内切球，则D．若该三棱台存在外接球，则
【答案】ABD
【分析】对于A，根据等体积转换进行判断；对于B，根据三棱台可以拆3个三棱锥以及其体积公式进行
判断；对于C，根据三棱锥有内切球，作截面与内切球相切，则此球也是三棱台的内切球进行判断；对于
D，三棱台的外接球在上下底面的投影点 为两个底面三角形的外心，得出三个直角梯形全等，再进行
判断.
【详解】对于A，如图1，因为 ， ，
又在梯形 因为 ，所以 ，所以 .故A正确；
对于B，设三棱台 上底面面积为 ，下底面面积为 ，高为h,
则 ，
又 ，
所以 ，所以 ，
所以 成等比数列，故B正确；
对于C，如图2，设 平面 ，三棱锥 的内切球为球 ，作截面 与球 相切，
则球 也是三棱台 的内切球，
显然 中 最小，即 不一定相等，故C错误；对于D，如图3，若该三棱台的外接球为为球 ，球 在上下底面的投影点为 ，
则 分别为 的外心，所以 ， ，
平面 ， 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，同理可证 ，
所以四边形 是一个直角梯形，同理可得四边形 ， 也是直角梯形，
所以三个直角梯形全等，则 ，故D正确.
故选：ABD.
22．在正四棱台 中， ， ， 为棱 的中点，当正四棱台的体积最
大时，下列说法正确的有（ ）
A．该正四棱台的高为2
B．该正四棱台的体积为224
C．平面 截该正四棱台的截面面积是
D．该正四棱台的内切球半径为1
【答案】AC
【分析】令 ，应用棱台体积公式及导数求正四棱台的体积最大时对应参数 ，进而求棱台
的高、体积、内切球半径，根据平面基本性质画出截面并求面积即可.
【详解】将正棱台 补为如下图的棱锥，令 ，由 ， 为棱 的中点，所以 ，
棱锥 高 ，则小棱锥 高 ，
棱台的体积 ，令 ，则 ，
所以 且 ，则 ，
， ，即 递增， ， ，即 递减，
所以 ，即 时棱台体积最大，此时棱台的高 ，A对；
棱台体积为 ，B错；
棱台斜高为 ，则其平行于 且垂直于底面的截面如下：
若存在内切球，则上图等腰梯形存在内切圆且上下底的切点为对应中点，
根据内切圆O与梯形各边都相切，结合切线长定理知：腰长等于上下底之和的一半，
而 ，故不存在内切圆，即棱台不存在内切球，D错；
过 作 交 于 ，又 为棱 的中点，则 为 中点，
所以 ， ，而 ，即 ，
则 ， ，
所以截面为等腰梯形，且高为 ，则面积为 ，C对.
故选：AC23．已知球O的半径为R，正四棱台ABCD－ABC D 的两底面边长分别为2和4，高为h，则（ ）
1 1 1 1
A．对任意h>0，都存在R>0，使点O到该棱台所有面的距离都等于R
B．对任意h>0，都存在R>0，使该棱台的所有顶点都在球O的球面上
C．若点O到该棱台所有面的距离都等于R，则
D．若该棱台所有顶点都在球O的球面上，且 ，则
【答案】BCD
【分析】根据题意，画出正四棱台的俯视图与剖面图，结合图形即可得到结果.
【详解】
由题意，正四棱台的俯视图如图所示，
若点 到棱台所有顶点距离都相同，则点 必位于正方形 对角线交线的垂线上，
由于 可取直线上的任意一点，故B正确；
当 时， ，则 ，解得 ，故D正确；
对选项A，若成立，则取过 的剖面图如图所示，
由全等关系可得， ，
所以 ，此时 ，所以 ，
故A错误，C正确.
故选:BCD
24．正四棱台 中， ，侧棱 与底面所成角为 分别为 ，
的中点， 为线段 上一动点（包括端点），则下列说法正确的是（ ）A．该四棱台的体积为 B．三棱锥 的体积为定值
C．平面 截该棱台所得截面为六边形D．异面直线 与 所成角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】将正四棱台补形为正四棱锥 ，求得相关线段长度，根据棱台的体积公式计算该四棱台
的体积，判断A；根据线面平行的性质结合棱锥体积公式可判断B；根据平面的基本性质作出平面 截
该棱台所得截面，判断C；采用平移法，找到异面直线 与 所成角，解三角形，可求得异面直线
与 所成角的余弦值，判断D.
【详解】将正四棱台补形为正四棱锥 ，
A B C D
由 ，可得 1 1 1 1为其中截面.
设 分别为 的中心，底面 ，故 为侧棱 与底面所成角，
故 ，可得 ，
侧面 为等腰梯形，高为 ，故 ，
对于 ，正确
对于B，连接 ,则 ,而 ,
所以 ， 平面 , 平面 ,得 平面 ，
由于 为定值，M在 上，故三棱锥 的体积为定值
即三棱锥 的体积为定值，B正确；
对于 ，取 中点 ，连接 并延长交 于 ，
连接 并延长交直线 于 ，则 ,则 ,而 ，
故 ,同理 ,
连接 ，则 ,即 为 的中位线，而 为 的中点，
故 在 上，即 三点共线，
连接 ,则五边形 为平面 截正棱台所得的截面，C错误
对于 ，由题意 知四边形 为平行四边形，
故 ，可得 为异面直线 与 所成角或补角，
在 中,由余弦定理得 ，
由于异面直线 与 所成角范围为 ，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 ，D正确,
故选：
25．正三棱台 中， ， 分别是 和 的中心，且 ，则
（ ）
A．直线 与 所成的角为
B．平面 与平面 所成的角为
C．正三棱台 的体积为
D．四棱锥 与 的体积之比为
【答案】ACD【分析】将正三棱台 补形为棱锥，在直角三角形中计算三棱台的高，即可判断C；以 为
轴，平行于 为 轴，垂直于 平面为 轴建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角、面面角、点到
平面距离的向量求法判断ABD即可.
【详解】由题意根据 ， 分别是下底面与上底面的中心以及下底面边长和上底面边长分别为2和3可得
，
假设正三棱台 是由正棱锥 截取正棱锥 得到的，则由已知可得 是棱锥
的高， 是棱锥 的高， 为所求棱台的高，
因此 是一个直角三角形，如图（1）所示，
因为 ， ， ，
所以 ，解得 ，
所以由勾股定理得 ，因此 ，即正三棱台 的高为
，
又因为 ， ，所以 ，选项C正确；
因为 垂直于上下底面，所以以 为 轴，平行于 为 轴，垂直于 平面为 轴建立如图（2）
所示空间直角坐标系，
所以 ， ， ， ， ，
所以 ，直线 ，选项A正确；
又 ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，解得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，故B错误；
又 ，所以 ， ，
所以点 到平面 的距离 ，点 到平面 的距离 ，
所以 ，由棱锥的体积公式可得四棱锥 与 的体积之比为 ，D正确；
综上ACD正确，
故选：ACD
26．如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形 和
为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形， ， ， ，下列说法
不正确的是（ ）
A．该几何体是四棱台
B．该几何体是棱柱，平面 是底面
C．
D．平面 与平面 的夹角为
【答案】ABC
【分析】根据台体、柱体、空间直角坐标系、线线垂直、面面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答
案.
【详解】因为四边形 和 为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，
所以这个六面体是四棱柱，平面 和平面 是底面，故A，B错误；
由题意可知 ， ， 两两垂直，如图，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则 ，
则 ，所以 ， 不垂直，故C错误；
根据题意可知 平面 ，所以 为平面 的一个法向量，，
设 为平面 的法向量，
则有 则可取 ，
则 ，
所以平面 与平面 的夹角为 ，故D正确．
故选：ABC
27．如图，已知正四棱台 的上、下底面边长分别为 ， ，其顶点都在同一球面上，
且该球的表面积为 ，则侧棱长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据球的表面积公式可求得球的半径 ；作出截面 ，设外接球球心为 ，棱台底面的中心
分别为 ，分别讨论 在四边形 内和 在四边形 外两种情况，结合勾股定理可求得棱台的高 ，进而可得侧棱长.
【详解】 正四棱台的外接球表面积 ，解得： ，即球的半径为 ；
， ，
作出截面 ，设外接球球心为 ，棱台底面的中心分别为 ，
若 在四边形 内，如下图所示，
， ，
，
，即棱台侧棱长为 ；
若 在四边形 外，如下图所示，
， ，，
，即棱台侧棱长为 ；
综上所述：侧棱长为 或 .
故选：AD.
1．如图，正方体 的棱长为4，点 是其侧面 上的一个动点（含边界），点 是线
段 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点 ，使得二面角 大小为
B．存在点 ，使得平面 与平面 平行
C．当 为棱 的中点且 时，则点 的轨迹长度为
D．当 为 的中点时，四棱锥 外接球的表面积为
【答案】BC
【分析】由题意，证得 ，得到二面角 的平面角 ，可得判定
A错误；利用线面平行的判定定理分别证得 平面 ， 平面 ，结合面面平行的判定定
理，证得平面 平面 ，可判定B正确；取 中点 ，证得 ，得到，得到点 在侧面 内运动轨迹是以 为圆心、半径为 的劣弧，可判
定C正确；当 为 中点时，连接 与 交于点 ，求得 ，得到四棱锥
外接球的球心为 ，进而可判定D错误.
【详解】对于A，在正方体 中，可得 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以二面角 的平面角为 ，其中 ，所以A错误；
对于B，如图所示，当M为 中点， 为 中点时，
在正方体 中，可得 ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ，且 平面 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，且 平面 ，所以平面 平面 ，所以B正确；对于C，如图所示，取 中点 ，连接 ， ， ，
在正方体 中， 平面 ，且 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，可得 ，
则 ，
则点 在侧面 内运动轨迹是以 为圆心、半径为2的劣弧，
分别交 ， 于 ，如图所示，则 ，
结合对称性可知， ，
则 ，劣弧 的长为 ，所以C正确；
对于D，当 为 中点时，可得 为等腰直角三角形，且平面 平面 ，
连接 与 交于点 ，可得 ，
所以四棱锥 外接球的球心即为 与 的交点 ，
所以四棱锥 外接球的半径为 ，其外接球的体积为 ，所以D错误.
故选：BC.2．如图，点P是棱长为2的正方体 的表面上一个动点，则（ ）
A．当P在平面 上运动时，三棱锥 的体积为定值
B．当P在线段AC上运动时， 与 所成角的取值范围是
C．若F是 的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足 时， 长度的最小值是
D．使直线AP与平面ABCD所成的角为 的点P的轨迹长度为
【答案】ABD
【分析】求三棱锥 的体积判断A的真假；根据线线角的概念确定 与 所成角的取值范围，
判断B的真假；确定 点轨迹，求 长度的最小值，判断C的真假；判断 点轨迹，求P的轨迹长度判
断D的真假.
【详解】对A：当P在平面 上运动时， 点到平面 的距离为2，
，所以 ，故A正确；
对B：如图： 取 中点 ，连接 ，则 .当P在线段AC上运动时，因为 ，且 ，
所以 为异面直线 与 所成角.
当 与 重合时，异面直线 与 所成角为 .
当 与 不重合时，因为 , ，所以 ，所以 ，
所以异面直线 与 所成角的范围为 ，故B正确；
对C：如图：
根据正方体的结构特点， 平面 ， 为 中点，
因为 ，所以 点轨迹是过点 且平行于平面 的平面，即为平面 ，其中
分别为所在棱上的中点.
故当P在底面ABCD上运动，且满足 时，P点的运动轨迹为线段 .
其中 分别为 ， 中点.易知六边形 为正六边形，
所以当 与 重合时， ，
此时 为点 到直线 的垂线段，取得最小值，为 ，故C错误；
对D：如图：当直线 与平面ABCD所成的角为 时，
因为 ，所以 不可能在四边形 内（ 除外）；
同理 不可能在四边形 内（ 除外）.
在平面 与平面 的运动轨迹为线段 和 ，且 ；
A B C D
1 1 1 1
当 在平面 时，作 平面 ，垂足为 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
所以 在四边形A B C D 上的轨迹是以 为圆心，以2为半径的圆的 ，
1 1 1 1
所以 点的轨迹长度为： ，故D正确.
故选：ABD
3．在棱长为2的正方体 中，M为 中点，N为四边形 内一点（含边界），若
平面 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．三棱锥 的体积为
C．点N的轨迹长度为 D． 的取值范围为
【答案】BD
【分析】根据正方体的性质得出平面 平面 ，则根据已知得出点 在线段 上（含端点），
当 为 时，根据异面直线的平面角结合正方体的性质得出 与 的夹角为 ，此时，即可判断A；三棱锥 ,利用等体积法结合体积公式即可判断B；根据点 在线段
上（含端点），利用勾股定理求出求 ，即可判断C；根据正方体性质结合已知可得 ，
则 ，即可根据 的范围得出 的范围判断D．
【详解】在棱长为2的正方体 中， 为 中点， 为四边形 内一点（含边界），
平面 ，
取 、 中点分别为 、 ，连接 、 、 、 ， ，如图：
为正方体， 为 中点， 为 中点，
， ， ， ，
、 平面 ， 、 平面 ，且 ， ，
平面 平面 ，
为四边形 内一点（含边界），且 平面 ，
点 在线段 上（含端点），
对于A：当 在 时，则 与 的夹角为 ，此时 ，
则 与 不垂直，故A不正确；
对于B 为四边形 内一点（含边界），
到平面 的距离为2，三棱锥 的体积为 ，故B正确；
对于C：由于点 在线段 上（含端点），
而 ，
点 的轨迹长度为 ，故C不正确；
对于D 为正方体，
平面 ，
平面 ，
，
△ 为直角三角形，且直角为 ，
，
点 在线段 上（含端点），
则当 最大时，即点 为点 时，此时 ，此时 最小，为 ，
当 最小时，即 ，此时 ，
此时 最大，最大为 ，
则 的取值范围 ，故D正确．
故选：BD．
4．如图，在五边形 中，四边形 为正方形， ， ，F为AB中点，现将沿 折起到面 位置，使得 ，则下列结论正确的是（ ）
A．平面 平面
B．若 为 的中点，则 平面
C．折起过程中， 点的轨迹长度为
D．三棱锥 的外接球的体积为
【答案】ABD
【分析】首先说明 ，结合已知 ，从而证明 平面 ，即可判断A，由 ，
即可证明B，过点 作 交 于点 ，求出 ，即可求出 点的轨迹长度，从而判断C，连接
，即可证明 平面 ，从而得到三棱锥 的外接球即为四棱锥 的外接球，求
出外接球的半径，即可求出球的体积，即可判断D.
【详解】对于A：由题意得 ，所以 ，即 ，
而已知 ，且注意到 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，故A正确；
对于B：因为 为 的中点，所以 ，又 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故B正确；
对于C：因为四边形 为正方形， ， ，所以 ，
过点 作 交 于点 ，则 ，
所以折起过程中， 点的轨迹是以 为圆心， 为半径，圆心角为 的圆弧，
所以 点的轨迹长为 ，故C错误；
对于D：连接 ，则 ，又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
又四边形 为边长为 的正方形，则三棱锥 的外接球即为四棱锥 的外接球，
又四边形 外接圆的直径为 ， ，
设四棱锥 的外接球的半径为 ，则 ，即 ，
所以 ，
所以外接球的体积 ，
即三棱锥 的外接球的体积为 ，故D正确.
故选：ABD5．在三棱锥 中， 平面 ，点 是三角形 内的动点
（含边界）， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 与平面 所成角的大小为
B．三棱锥 的体积最大值是2
C． 点的轨迹长度是
D．异面直线 与 所成角的余弦值范围是
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，把几何体补形成正四棱柱，利用几何法求出线面角判断A；确定 点的轨迹并求
出长度判断C；求出点 到 距离的最大值计算判断B；建立坐标系，利用异面直线夹角的向量求法建
立函数关系求解判断D.
【详解】如图，把三棱锥 补形成正四棱柱并建立空间直角坐标系 ，
对于A，由 平面 ，得 是 与平面 所成的角， ，
因此 ，A正确；
对于C，由 ，得 点的轨迹是以线段 为直径的球面与 相交的一段圆弧及点 ，
令 的中点分别为 ，则 平面 ， ，于是 ，
显然 点所在圆弧所对圆心角大小为 ，长度是 ，C正确；
对于B，由选项C知，当 时， 点到平面 距离最大，最大距离为1，
因此三棱锥 的体积 ，B错误；对于D，设 ，则点 ，而 ，
于是 ，又 ，令异面直线 与 所成的角大小为 ，
则 ，
令 ， 在 上单调递增，
因此 ，D正确.
故选：ACD
6．如图，在四面体 中， 和 均是边长为6的等边三角形， ，则四面体 外
接球的表面积为 ；点E是线段AD的中点，点F在四面体 的外接球上运动，且始终保持
EF⊥AC，则点F的轨迹的长度为 .
【答案】
【分析】设四面体 外接球的球心为 的中心分别为 ，则可得 平面
平面 ，且 四点共面，可得 ，进而求出 ，
然后由勾股定理求出四面体 外接球的半径；取 中点 ，作 ，设点 轨迹所在平面
为 ，求出四面体 外接球半径和 到平面 的距离，从而可求出平面 截外接球所得截面圆的半径，
进而可得结果.
【详解】取 中点 ，连接 ，则 ， 平面 ，
又 和 均是边长为6的等边三角形， ，
∴ 平面 ， ，
所以 ，
∴ ，
设四面体 外接球的球心为 的中心分别为 ，
易知 平面 平面 ，且 四点共面，
由题可得 ， ，
在 中，得 ，又 ，
则四面体 外接球半径 ，
所以四面体 外接球的表面积为 ；
作 于 ，设点 轨迹所在平面为 ，
则平面 经过点 且 ，
易知 到平面 的距离 ，
故平面 截外接球所得截面圆的半径为 ，
所以截面圆的周长为 ，即点 轨迹的周长为 .
故答案为： ； .
7．已知正三棱锥 的底面边长为6，体积为 ，动点 在棱锥侧面 上运动，并且总保持
，则动点 的轨迹的长度为 .【答案】 /
【分析】由正三棱锥的性质可知 ，只需再作 ，即可证得 平面 ，从而求得点
的轨迹 ，再通过解三角形即可得到 的长度.
【详解】
如图，取 的中心为 ，连接 ，作 于 ，连接 ，延长 交 于点 ，
注意到底面三角形 是等边三角形，所以 ，
由正三棱锥的性质可得 为高，
因为底面边长为6，体积为 ，
所以 ，所以 ，
注意到底面三角形 是等边三角形，所以 为三角形 外接圆的半径，
所以由正弦定理有 ，所以 ，
所以 .
因为 面 ， 面 ，
所以 ，
又因为 ， 面 ， 面 ，
所以 面 ，
因为 面 ，
所以 ，
因为 ，且 ， 面 ， 面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，又因为动点 在棱锥侧面 上运动，并且总保持 ，
所以点 的轨迹为线段 .
在等腰三角形 中，由余弦定理有 ，
从而 ，所以 .
故答案为： .
8．在直四棱柱 中，所有棱长均为2， ， 为 的中点，点 在四边形
内（包括边界）运动，下列结论中正确的是 （填序号）
①当点 在线段 上运动时，四面体 的体积为定值
②若 面 ，则 的最小值为
③若 的外心为M，则 为定值2
④若 ，则点 的轨迹长度为
【答案】①④
【分析】由题证得 面 ，所以直线 上各点到平面 的距离相等，又 的面积为定值判
断①；取 的中点分别为 ，由面面平行的判定定理可得平面 面 ，因为 面，所以 平面 ，当 时，AQ有最小值判断②；由三角形外心的性质和向量数量积
的性质判断③；在 上取点 ，使得 ，求出点Q的轨迹为圆弧 判断④.
【详解】对于①，因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以直线 上各点到平面 的距离相等，又 的面积为定值，①正确；
对于②，取 的中点分别为 ，连接 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ， ，则 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
， 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 面 ，所以 平面 ，
当 时，AQ有最小值，则易求出
，
则 ，即 ，所以 重合，
所以AQ的最小值为 ，②错误；对于③，若 的外心为M，过 作 于点 ，则 ，
又 ，则 ，③错误；
A B C D
1 1 1 1
对于④，在平面 内过 作 于点 ，
A B C D A B C D
因为 平面 1 1 1 1， 平面 1 1 1 1，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ， ，
在 上取点 ，使得 ，
则 ， ，
所以，若 ，则 在以 为圆心，2为半径的圆弧 上运动，
又因为 所以 ，则圆弧 等于 ，④正确.故答案为：①④
9．已知三棱锥 的四个面是全等的等腰三角形，且 ， ，则三棱锥 的外
接球半径为 ；点 为三棱锥 的外接球球面上一动点， 时，动点 的轨迹长度为
．
【答案】 /
【分析】由三棱锥的结构特征，可扩成长方体，利用长方体的外接球半径得三棱锥的外接球半径；由动点
的轨迹形状，求长度.
【详解】三棱锥 的四个面是全等的等腰三角形，且 ， ，如图所示，
则有 ， ，
把三棱锥 扩成长方体 ，
则有 ，解得 ，则长方体外接球半径 ，
所以三棱锥 的外接球半径 ；
点 为三棱锥 的外接球球面上一动点， 时，
由 ，动点 的轨迹是半径为 的圆，
轨迹长度为 .故答案为： ； .
