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第二章 实数（复习讲义）
1. 了解实数、平方根、立方根、二次根式等概念，体会实数体系及各概念间整体联系。
2. 能用实数与数轴上点一一对应关系，解释相关数的几何意义；会求平方根、立方根，判断二次根式有
意义条件。
3. 理解实数的非负性、二次根式性质，利用其解决化简、求值等问题；掌握最简二次根式、同类二次根
式概念，能识别与区分。
4. 熟练运用二次根式乘、除、加、减及混合运算法则，进行准确运算；结合实数性质与根式运算，解决
实际与代数问题 。一、实数的概念和性质
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分： 按与0的大小关系分：
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
实数 实数
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数 的绝对值是非负数，即| |≥0；
a2
（2）任何一个实数 的平方是非负数，即 ≥0；
a 0 a0
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ( ).
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
二、平方根与立方根
类型
平方根 立方根
项目
被开方数 非负数 任意实数
符号表示 a 3 a
一个正数有两个平方根，且互为相反 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一
性质 数；零的平方根为零；负数没有平方 个负的立方根；零的立方根是零；
根；( a)2 a(a 0) (3 a)3 a
重要结论 a(a 0) 3 a3 a
a2 a
a(a 0)
3 a 3 a
三、二次根式
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为二次根
号．如 都是二次根式.
2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号 ；（2）被开方数必须是非负数.
3.二次根式有无意义的条件
①二次根式有意义：被开方数为非负数，即
；
②二次根式无意义：被开方数为负数，即
；
4.二次根式的性质
①二次根式 （ ）的非负性
（ ）表示 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 （ ）．
②二次根式 的性质： （ ）
二次根式 的性质：
③
四、最简二次根式与同类二次根式
1.最简二次根式
（1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
2.同类二次根式
（1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘
（2）法分配律，如
五、二次根式的运算
1.二次根式的乘法
（1）二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不
变）
（2）二次根式的乘法法则的推广:
①
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进
②
行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
（3）二次根式的乘法法则的逆用： （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算
数平方根的性质）
（4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：
2.二次根式的除法
（1）二次根式的除法法则： （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
（2）二次根式的除法法则的推广： .
3.二次根式的加减法
（1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
（2）二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
4.二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括
号里面的（或先去掉括号）题型一 无理数的识别
【例1】下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数
【分析】本题考查了无理数的概念，掌握其概念及常见无理数的形式是解题的关键．
无理数是无限不循环小数，常见的无理数有含有 的最简式子，开不尽方的数，特殊结构的数，如
（相连两个2之间1的个数逐渐增加），由此即可求解．
【详解】解：A、 是有理数，不符合题意；
B、 是有理数，不符合题意；
C、 是有理数，不符合题意；
D、 是开不尽方的数，是无理数，符合题意；
故选：D ．
【变式1-1】实数 （相邻每个2之间依次多一个1）， ，其中无理数
的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】求一个数的算术平方根、无理数
【分析】本题考查了无理数的定义、算术平方根、立方根等知识点，对含根号的数进行化简是解题的关键．
根据无理数的定义、算术平方根、立方根这个判断即可．
【详解】解： 是有理数； 是无理数；0是有理数； 是有理数； 是无理数；
（相邻每个2之间依次多一个1）是无理数， 是有理数；总共有3个无理数．
故选A．
【变式1-2】实数 （相连两个1之间依次多一个0），其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数、实数的分类
【分析】本题主要考查无理数、立方根及算术平方根，熟练掌握各个概念是解题的关键；由题意易得
，然后问题可求解．
【详解】解：∵ ，
∴在实数 （相连两个1之间依次多一个0）中，无理数的有
（相连两个1之间依次多一个0），共3个；
故选C．
【变式1-3】在实数 （每两个1之间的3依次多1）中，其中无理数的个数
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】求一个数的立方根、无理数
【分析】此题主要考查了立方根和无理数的定义，熟知无理数的常见形式是解题的关键．首先计算
，然后根据无理数是无限不循环小数判断即可．
【详解】解： ，
根据无理数的定义可知： ， ， （每两个1之间的3依次多1）是无理数，
无理数的个数是 个．
故选：B．
题型二 求一个数的平方根、算术平方根、立方根【例2】 的立方根是 ，3的算术平方根是 ．
【答案】
【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、立方根，求出一个数的算术平方根、立方根即可．
【详解】解： 的立方根是 ，3的算术平方根是 ，
故答案为： ， ．
【变式2-1】 的立方根为 ． 的平方根是 ．
【答案】 2
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根
【分析】本题考查求一个数的平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键．
【详解】解： ，8的立方根为2；
，4的平方根是 ，
故答案为：2； ．
【变式2-2】 的平方根是 ， 的算术平方根是 ， 的立方根是 ．
【答案】 /0.7 2
【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数，
正的平方根即为它的算术平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，
0的立方根是0．分别根据平方根、算术平方根和立方根的概念直接计算即可求解．
【详解】解： ,
的平方根是 ； 的算术平方根是 ， 的立方根是2；
故答案： ， ，2．【变式2-3】36的平方根是 ； 的算术平方根是 ；立方根和算术平方根都等于它本身的数是
．
【答案】 2 1和0
【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根
【分析】此题考查了平方根，算术平方根和立方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根，算术平方根和
立方根的概念．根据平方根，算术平方根和立方根的概念求解即可．
【详解】解：36的平方根是 和 ；
∵ ，4的算术平方根是2，
∴ 的算术平方根是2；
∵1的算术平方根和立方根为1，0的算术平方根和立方根为0，
∴立方根和算术平方根都等于它本身的数是1和0，
故答案为： ；2；1和0．
题型三 实数与数轴
【例3】如图，数轴上点 表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算
【分析】本题考查数轴，实数的估值，对各选项的无理数进行估值，即可解答．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴点P表示的数可能是 ．
故选：B
【变式3-1】如图，将实数 表示在数轴上（ ）A．R点 B．Q点 C．S点 D．T点
【答案】D
【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算
【分析】本题主要考查了实数与数轴，先观察数轴，判断各点表示数的大小，然后再估算 的大小，
最后进行判断即可．
【详解】解：观察数轴可知：点R表示的数大于 且小于 ，点T表示的数是大于2且小于3，点Q表示
的数大于3小于4，点S表示的数是大于4且小于5，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴实数 表示在数轴上是T点，
∴A，B，C选项不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
【变式3-2】如图，已知正方形 的面积为 ，点 在数轴上，且表示的数为 ．现以点 为圆心，
的长为半径画圆，和数轴交于点 （点 在点 的右侧），则点 表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数与数轴
【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据正方形的边长是面积的算术平方根得 ，
结合 点所表示的数及 间距离可得点 所表示的数，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数
是关键．【详解】解： 正方形 的面积为 ，且 ，
，
点 表示的数是 ，且点 在点 的右侧，
点 表示的数为 ．
故选：C．
【变式3-3】如图，把一块含 角的三角板放入 的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与
数轴上表示 的点重合，则数轴上点 所表示的数为（ ）
A． B．1.8 C． D．
【答案】C
【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴
【分析】本题考查了数轴上的点与实数一一对应，求一个数的算术平方根，正确理解题意是解题的关键．
设含 角的三角板直角边为 ，由面积法即可求解三角板直角边为 ，即可表示数轴上点 所表示的数．
【详解】解：设含 角的三角板直角边为 ，
则 ，
则 ，
∵直角顶点与数轴上表示 的点重合，
∴数轴上点 所表示的数为 ，
故选：C．
题型四 实数大小比较
【例4】比较大小： （用“ ”或“ ”填空）．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【分析】此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题的关键是熟知当一个带根号的无理数和一个有理数
进行比较时，首选的方法就是把有理数还原成带根号的形式，比较被开方数．
把3化成带根号的形式，再根据实数比较大小的方法即可解决问题．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式4-1】比较大小： ．
【答案】>
【知识点】实数的大小比较
【分析】本题考查了实数大小的比较，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负
实数绝对值大的反而小．根据实数大小的比较来判断即可，因为 ，所以
【详解】解： ，
．
故答案为
【变式4-2】比较大小： ．（填“＞”“＝”或“＜”）
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握实数大小的比较，根据题意，则 ， ，可
得 ，即 ，则 ，根据正数大于零大于负数，即可解答．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式4-3】比较大小： （填“ ”，“ ”或“=”）
【答案】
【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较
【分析】根据无理数估算，实数的大小比较解答即可．
本题考查了实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．题型五 无理数整数部分的有关计算
【例5】如果设 的整数部分为 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】无理数整数部分的有关计算
【分析】本题考查无理数的知识，解题的关键是掌握估算无理数，根据题意，则 ，同时乘以 ，
可得 ，再同时加 ，即 ，即可确定 的值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的整数部分 为 ．
故答案为： ．
【变式5-1】若 的整数部分是a，小数部分是b，则 ．
【答案】16
【知识点】无理数整数部分的有关计算、实数的混合运算
【分析】本题考查了实数的加减运算，估算无理数大小的知识，解答本题的关键是求出 、 的值．
根据 ，可得出 ， ，代入运算即可．
【详解】解：∵
∴ ，
∵ 的整数部分是 ，小数部分是 ，
∴ ， ，
∴．
故答案为：16．
【变式5-2】若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值为 ．
【答案】 /
【知识点】无理数整数部分的有关计算
【分析】本题主要考查了无理数的估算，确定 的值是解题的关键．
根据 首先确定 的值，则小数部分即可确定．
【详解】解：∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式5-3】已知 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 ．
【答案】
【知识点】无理数整数部分的有关计算
【分析】此题考查估算无理数的大小，解题关键在于得到 的整数部分．先将 进行分母有理化
得 ，由 得到 ，进而得到 、 的值，即可求解．
【详解】解： ，
，，
， ，
，
故答案为： ．
题型六 利用平方根与立方根的定义解方程
【例6】解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) 或
(2)
【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根
【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键．
（1）根据平方根的定义解方程即可；
（2）根据立方根的定义解方程即可．
【详解】（1）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ；
（2）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式6-1】求下列各式中x的值．
(1)(2)
【答案】(1)
(2) 或
【知识点】求一个数的立方根、利用平方根解方程
【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程：
（1）利用立方根的定义，解方程即可；
（2）利用平方根，解方程即可．
【详解】（1）解：
，
，
∴ ．
（2）
，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
【变式6-2】求下列各式中实数x的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2) 或
【知识点】求一个数的立方根、利用平方根解方程
【分析】本题考查利用立方根和平方根的性质解方程，解题的关键是掌握立方根和平方根的定义及运算法
则．
（1）先将方程变形为 等于一个常数的形式，再根据立方根的定义求解；（2）先将方程变形为 等于一个常数的形式，再根据平方根的定义求出 的值，进而求出 的值．
【详解】（1）解： ，
；
（2）解： ，
，
或 ．
【变式6-3】解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) 或
(2)
【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根
【分析】本题考查了根据立方根和平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据平方根的定义解方程即可；
（2）根据立方根的定义解方程即可．
【详解】（1）解： ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： 或 ；
（2）解： ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．题型七 程序设计与实数运算
【例7】在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数 的运算程序如图所示，若输出的y值
为 时，则输入的实数x可取的负整数值是 ．
【答案】 或
【知识点】程序设计与实数运算
【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键．
按照程序的运算步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：若1次运算输出的值是 时，
，
，
解得： 或 ；
若2次运算输出的值是 时，
，
，
解答： 或 ；
若3次运算输出的值是 时，
，
，
解答： 或 ；
，且 取负整数，
或 ，
故答案为： 或 ．
【变式7-1】有一个数值转换器，原理如下：当输入的 时，输出的y等于 ．
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数、程序设计与实数运算
【分析】本题考查流程图计算，涉及算术平方根、立方根，有理数与无理数的定义．根据流程图，结合算
术平方根运算，立方根运算，由无理数与有理数定义进行判断即可得到答案．
【详解】解：当输入的 时，则取立方根为： ，
4是有理数，取算术平方根为： ，
2取立方根为： ，
是无理数，
即 ，
故答案为： ．
【变式7-2】如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为 ，则输出y的值为 ．
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算
【分析】本题考查算术平方根，无理数的含义，程序流程图，关键是掌握算术平方根的定义．
如果一个正数x的平方等于a，即 ，那么这个正数x叫做a的算术平方根，再代入计算即可求解．
【详解】解：输入x的值为 时， 的算术平方根是 ，
是有理数，再输入可得：的算术平方根是 ，
∵ ，
则输出y的值是 ．
故答案为： ．
【变式7-3】有一个数值转换器，运算流程如下：
(1)在 ，2，4，16中选择3个合适的数分别输入 ，求对应输出 的值．
(2)若输出 的值为 ，求输入 的值．
【答案】(1)当 时， ；当 时， ；当 时，
(2)3或9
【知识点】相反数的定义、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、程序设计与实数运算
【分析】（1）将 ，4， 分别代入，计算求解即可；
（2）由题意知，分当 是无理数的相反数时，当 是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可．
【详解】（1）解：当 时，其算术平方根为 ，是无理数，故 ；
当 时，其算术平方根为2，是有理数，故 ；
当 时，其算术平方根为4，是有理数，故 ；
（2）解：当 是无理数的相反数时，则 的算术平方根是 ，
∴ ，
当 是有理数的负平方根时，则 的算术平方根的负平方根是 ，
∴ ，
综上所述， 的值为3或9．【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题
的关键．
题型八 平方根、算术平方根、立方根的综合
【例8】已知 的立方根是 ， 的算术平方根是3．
(1)求a，b的值；
(2)若 ，且c是整数，求 的平方根．
【答案】(1) ， ，
(2) ．
【知识点】加减消元法、算术平方根和立方根的综合应用、立方根概念理解、求一个数的平方根
【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根的定义、无理数的估算等知识点，熟练掌握相关知识是
解题的关键．
（1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出a，b的值；
（2）根据无理数的估算求出c的值，再代入求值即可．
【详解】（1）解：由题意得 ，解得： ．
（2）解：∵ ，
，
由（1）得 ， ，
．
，即 的平方根是 ．
【变式8-1】已知 的立方根是4， 的算术平方根是5．
(1)求a，b的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用、加减消元法【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
（1）根据立方根及算术平方根的定义建立方程组即可求得答案；
（2）将a，b的值代入 中计算后根据平方根的定义即可求得答案．
【详解】（1）解：∵ 的立方根是4， 的算术平方根是5，
∴ ，
解得： ；
（2）解：
，
则 的平方根是 ．
【变式8-2】已知a的算术平方根为3，ab的立方根为 ，b和c是互为相反数．
(1)求a、b、c的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1) ， ， ；
(2)
【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查了平方根和立方根和相反数，代数式求值，掌握相关概念和运算法则是解题关键
（1）根据算术平方根、立方根、相反数的定义求解即可；
（2）先将a、b、c的值代入代数式，再求出平方根即可．
【详解】（1）解： a的算术平方根为3，ab的立方根为 ，b和c是互为相反数，
， ， ，
， ；
（2）解：由（1）可知， ， ， ；
，
的平方根是 ．
【变式8-3】已知 的立方根是 ， 的算术平方根是2，c是 的相反数．(1)求a，b，c的值；
(2)求 的算术平方根．
【答案】(1) ， ，
(2)3
【知识点】求一个数的算术平方根、算术平方根和立方根的综合应用
【分析】本题考查了算术平方根和立方根的综合应用，熟记相关结论即可．
（1）根据 ， 的相反数是 即可求解；
（2）计算出 即可求解；
【详解】（1）解：∵ 的立方根是 ，
∴ ，
解得： ；
∵ 的算术平方根是2，
∴ ，
即 ，
∴ ．
∵c是 的相反数，
∴
故： ， ， ．
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 的算术平方根为3
题型九 判断是否为二次根式
【例9】下列是二次根式的是：（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数必是非负数成为解题的关键．
根据二次根式的被开方数必是非负数逐项判定即可．【详解】解：A、 无意义，不符合题意；
B、 ，当 时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、 ，当 时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意；
D、 ，a为任意实数， ，是二次根式，故此选项符合题意．
故选：D．
【变式9-1】下列式子是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式的定义，逐一判断即可，一般形如 的代数式叫做二次根式．当
时， 表示 的算术平方根；当 小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，
则无实数根）．
【详解】解：A、 无意义，故本选项不符合题意；
B、 的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意；
C、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意；
D、当 时，根式无意义，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式9-2】下列各式中，不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的概念和有意义的条件“二次根式的被开方数是非负
数”求解即可．【详解】解：A、 是二次根式，本选项不符合题意；
B、 ，故 是二次根式，本选项不符合题意；
C、 ，故 是二次根式，本选项不符合题意；
D、当 时， ，故 不是二次根式，本选项符合题意；
故选：D．
【变式9-3】下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
根据二次根式的概念，形如 的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、 是二次根式，不合题意；
B、 中 ，故不是二次根式，符合题意；
C、 是二次根式，不合题意；
D、 是二次根式，不合题意；
故选：B．
题型十 根据二次根式有意义条件求范围
【例10】要使式子 有意义，则x的值可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】根据“ 时，二次根式 有意义”求解即可．本题考查了二次根式 有意义的条件，对于二次根式 ，当 时有意义，熟练掌握以上知识是解题
的关键．
【详解】解：要使式子 有意义，
则 ，
解得 ．
故选：D．
【变式10-1】若二次根式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，如果一个式子中含有二次根式，那么它们有意义的条
件是：二次根式中的被开方数都必须是非负数．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义
的条件是分母不为零，列式解答即可．
【详解】解：∵二次根式 有意义，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
【变式10-2】在函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】D
【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的求解，根据分式有意义的条件，二次根式被开方数非负性质，
解一元一次不等式组，即可求解．
【详解】解：根据题意得： 且 ，
解得： 且 ，
故选：D．【变式10-3】若代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，明确二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为
零是解题关键． 根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．
【详解】解： 代数式 有意义，
， ．
解得∶ 且 ．
故选：D．
题型十一 根据二次根式有意义求值
【例11】已知x，y为实数，若满足 ，则 的值为 ．
【答案】5
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件
【分析】根据形如 的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可．
本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【详解】解： 有意义，
故 ，
解得 ，
故 ，
故 ，
故答案为：5.
【变式11-1】若 ，求 的值是 ．
【答案】2
【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件是解
题的关键；根据二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组，在求出y，代入 中即可解
答．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ，
则 ，
∴ ，
故答案为：2．
【变式11-2】若 、 都是实数，且 ，则 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得出 ，求出 ，得到 ，代入 计算即可得到答案．
【详解】解： ，
，
解得： ，
，
，
，
故答案为： ．
【变式11-3】已知 ，则 ．
【答案】
【知识点】有理数的乘方运算、二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确求出 、 的值是解题的关键，根据二次根式有意义列出 ，求出 的值，即可求出 的值，然后代入计算即可．
【详解】解：根据题意得， ，
解得 ，
，
，
故答案为： ．
题型十二 最简二次根式的判断
【例12】下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式
【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义对各选项分析判断，即可求解．
【详解】解：A、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 是最简二次根式，符合题意；
D、 ，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：C．
【变式12-1】下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【知识点】最简二次根式的判断
【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二
次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A、 是最简二次根式，故符合题意；
B、 中含有因数9，不是最简二次根式，故不合题意；
C、 中含有分母，不是最简二次根式，故不合题意；
D、 中含有分母，不是最简二次根式，故不合题意；
故选：A．
【变式12-2】下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式的判断
【分析】本题主要考查最简二次根式．根据最简二次根式的条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因
式；②被开方数不含分母，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、 被开方数是分数，不是最简二次根式，故选项A不符合题意；
B、 满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、 可以化简，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、 可以化简，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B．
【变式12-3】下列二次根式是最简二次根式的为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式的判断
【分析】本题考查最简二次根式定义与识别，最简二次根式必须满足：①被开方数不含能开方的因数；②
被开方数不含分母；根据最简二次根式定义逐项验证即可得到答案，熟记最简二次根式满足的条件是解决
问题的关键．
【详解】解：A、 中被开方数含有能开方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
B、 中被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
C、 是最简二次根式，符合题意；
D、 中被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
故选：C．
题型十三 同类二次根式的判断
【例13】下列二次根式中，不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式、二次根式的加减运算
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，同类二次根式的定义等知识点，能正确根据二次根式的性质
进行化简是解此题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A． ，能与 合并，不符合题意；
B． ，不能与 合并，符合题意；
C． ，能与 合并，不符合题意；D． ，能与 合并，不符合题意；
故选：B．
【变式13-1】下列二次根式中，化简后能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式
【分析】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根
式称为同类二次根式．根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二
次根式解答．
【详解】解：A． ，不能与 合并，不符合题意；
B． ，不能与 合并，不符合题意；
C． ，不能与 合并，不符合题意；
D． ，能与 合并，符合题意；
故选：D．
【变式13-2】下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键．含有相
同的被开方数的最简二次根式是同类二次根式，根据定义判断．
【详解】解：A、 和 被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
B、 和 不是同类二次根式，不符合题意；C、 和 被开方数相同，是同类二次根式，符合题意；
D、 和 被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【变式13-3】下列各组二次根式，化简后可以合并的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 和 D． 与
【答案】B
【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．根据同类二
次根式的定义--化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，逐项
分析即可．
【详解】解：A． 与 ，不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
B． 与 ，是同类二次根式，能合并，故B符合题意；
C． 与 ，整数和无理数不能合并，故C不符合题意；
D． 与 ，不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意．
故选：B．
题型十四 二次根式的混合运算
【例14】计算题：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)(2)
【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算、利用二次根式的性质
化简
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算：
（1）先化简二次根式，再进行加减运算即可；
（2）先利用乘法分配律及平方差公式计算，再合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式14-1】计算：
(1)
(2)
【答案】(1)0
(2)
【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先计算绝对值、乘方、二次根式的除法，再计算加减法即可；
（2）先计算完全平方公式、二次根式的化简、立方根，再去括号，计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：（2）解：
．
【变式14-2】计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】负整数指数幂、二次根式的混合运算
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式并注意运算顺序是解题关键．
（1）直接化简二次根式，负整数指数幂，化简绝对值，进而合并即可；
（2）直接化简二次根式，进而合并，再利用二次根式除法运算求出即可；
【详解】（1）解：
（2）解：【变式14-3】计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先算乘除法以及去括号，再计算加减，即可作答．
（2）先根据完全平方公式，平方差公式展开，再计算加减，即可作答．
【详解】（1）解：
（2）解
题型十五 二次根式中的新定义型问题
【例15】定义：已知 ， 都是实数，若 ，则称 与 是关于3的“实验数”．(1)4与_____是关于3的“实验数”， 与 是关于3的“实验数”，则 是_____，表示 的值的点落在
数轴上的位置位于_____．
(2)若 ，判断 与 是否是关于3的“实验数”，并说明理由．
【答案】(1) ； ；④
(2)是；理由见解析
【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的加减运算、新定义下的实数运算、实数与数轴
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算和加减运算．掌握本题的关键是：①能
理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
（1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与 是关于3的“实验数”；
（2）根据 进行计算，计算 与 的和，根据所求得结果即可判断．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 与 是关于 的“实验数”；
∵ ，
∴ 与 是关于 的“实验数”，即 ；
∵ ，
∴ ，
∴表示 的值的点落在数轴上的位置位于1和2之间，即位置④；
（2）解： 与 是关于 的“实验数”．理由如下：
∵ ，
∴
，
∴ 与 是关于 的“实验数”．【变式15-1】定义两种新运算，规定： ， ，其中 ， 为实数且 ．
(1)求 的值；
(2)化简 ．
【答案】(1)4
(2)
【知识点】二次根式的乘法、运用平方差公式进行运算、新定义下的实数运算
【分析】本题考查二次根式的混合运算．
（1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可；
（2）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式15-2】定义：若两个二次根式 ， 满足 ，且 是有理数．则称 与 是关于 的美好二
次根式．
(1)若 与 是关于6的美好二次根式，求 的值：
(2)若 与 是关于 的美好二次根式，求 和 的值．
【答案】(1) ；
(2) ， ．
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．（ ）利用二次根式的新定义运算解答即可求解
（ ）利用二次根式的新定义运算解答即可求解
【详解】（1）解：由题意可得， ，
∴ ；
（2）解：由题意可得， ，
整理得， ，
，
∴
∴ ，
∴ ．
【变式15-3】对于任意两个非零实数a、b，定义运算 如下：
如： ， ．
根据上述定义，解决下列问题：
(1) ______， ______；
(2)若 ，求x的值．
【答案】(1) ，
(2)
【知识点】利用平方根解方程、新定义下的实数运算、二次根式的混合运算、解分式方程（化为一元一
次）
【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，解分式方程：
（1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可；（2）分 和 ，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得： ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ， ；
（2）当 ，即： 时，则： ，解得： ，
经检验， 是原方程的解，
∵ ，
∴ （舍去）；
当 ，即： 时，则： ，
∴ 或 （舍去）；
∴ ．
题型十六 二次根式中的分母有理化
【例16】【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代
数式互为有理化因式．例如： ， ，我们称 和 互为有理化因式，
和 互为有理化因式．
【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母
中不含根号，这种变形叫作分母有理化．例： ．
结合上述材料，解决问题：
(1) 的有理化因式是 ， 的有理化因式是 ；(2)利用分母有理化化简： ．
【答案】(1) ；
(2)
【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算
【分析】本题主要考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的步骤和方法是解题的关键．
（1）根据有理化因式的定义即可求得答案；
（2）利用分母有理化进行化简即可求得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 的有理化因式是 ，
∵ ，
∴ 的有理化因式是 ；
故答案为： ； ；
（2）解：
．
【变式16-1】像 ， ，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次
根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如 与 ， 与 等都是互为“有理化因
式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．
(1)化简：① ．② ．(2)计算
(3)已知 ， ， ，试比较a，b，c的大小，并说明理
由．
【答案】(1)① ，②
(2)
(3)
【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小
【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，
二次根式的混合运算法则是解题的关键．
（1）①根据 ，再计算求解即可；②根据 ，再计算求解即可；
（2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可；
（3）由题意得 ，同理：
， ，则 ，进而可得 ．
【详解】（1）解：① ，
故答案为： ；
②解： ，
故答案为： ；
（2）解：．
（3）解： ；理由如下；
∵ ，
∴ ，
同理： ， ，
∴ ，
∴ ．
【变式16-2】观察下列式式子的化简过程：
① ；
② ；
③ ；…
(1)请直接写出第四个等式，并猜想第n个等式；
(2)求 的值．
【答案】(1) ， ；
(2) ．【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化
【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式的应用，正确得出 是解
题的关键．
（1）仿照解题过程的典例所揭示的规律，将分母有理化；
（2）仿照解题过程的典例所揭示的规律，将分母有理化；
（3））由 将原式化简，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：第四个等式为 ，
；
（2）∵
∴
．
【变式16-3】阅读下列分母有理化的过程：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；请完成下列问题：
(1)仿照上述解题过程计算： =__________； =__________；（注意结果化简）
(2)观察上面解题过程，请直接写出 的结果为_________；
(3)通过完成问题（1）（2），你得到的结论是： ；
(4)试利用上面所提供的思路，解方程： ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一）
(4)
【知识点】分母有理化
【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题关键．
（1）根据平方差公式，进行分母有理化即可；
（2）根据平方差公式，进行分母有理化即可；
（3）根据分母有理化的方法即可求解；
（4）根据平方差公式，分母有理化，根据实数的运算化简方程，解方程可得答案．
【详解】（1）解： ；
故答案为： ， ．
（2）（3） 可以利用平方差公式进行分母有理化；
相邻①两个自然数的算术平方根的和（或差）等于这两个自然数的算术平方根的差（或和）的倒数；
②
， 等等.（结论合理、正确就行）
③
故答案为：可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一）．
（4）解：
题型十七 二次根式中的规律探究问题
【例17】观察下列各式及其验证过程：
．验证： ．
．验证：
(1)按照上述规律，直接写出 的结果是___________
(2)针对上述各式反映的规律，写出用 为自然数，且 表示的等式，并给出证明．
【答案】(1)(2) （n为自然数，且 ），证明见解析
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题考查算术平方根、规律型问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
（1）根据规律，可得到答案．
（2）根据观察等式，可发现规律，根据规律，可得到答案．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解： （n为自然数，且 ），
证明：
【变式17-1】 ；
；
；
(1)写出 _________；
(2)猜想： _________；
(3)由以上规律，计算 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；(3) ．
【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简
【分析】（ ）观察已知等式找到规律，即可求解；
（ ）根据规律直接得出结果即可；
（ ）利用（ ）中结论及有理数的混合运算进行计算即可；
本题考查了二次根式及数字规律，根据题意找出相应规律是解题的关键．
【详解】（1）∵ ；
；
；
；
；
（2） ；
；
；
；
；
（3）由（ ）可得 ，．
【变式17-2】观察下列等式：
① ，
② ，
③ ，
…
解答下列问题：
(1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______；
(2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明．
【答案】(1)
(2) ；证明见解析
【知识点】数字类规律探索、异分母分式加减法、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关知识．
（1）根据 ， ， ，得出第⑤个等式中分母应为 ，根据规律得到答案；
（2）根据 ， ， ， ，得出规律 ，从而得到答案．【详解】（1）解：由第①个等式 ，得
由第②个等式 ，得
由第③个等式 ，得
∴第⑤个等式应为： ，得 ．
（2）解：第1个等式中分母为 ，
第2个等式中分母为 ，
第3个等式中分母为 ，
第4个等式中分母为 ，
得第 个等式中分母为应为：
∴第 个等式为： ，
∵左边 ，
右边 ，
∴左边 右边．
【变式17-3】观察下列各式
① ；② ；③ ……
请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题：
(1) _________；
(2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________；(3)用上述规律计算： ．
【答案】(1) 或 或
(2)
(3)
【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算
【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的运算，理解题意，找到题干中所给式子的规律是解题的
关键．
（1）根据所给算式的规律可直接得出答案；
（2）根据所给算式得出一般性规律即可；
（3）将被开方数变形，然后利用（2）中规律进行计算．
【详解】（1）解：根据题干所给算式的规律，可得
（或 或 ）
（2）解：根据题干所给算式的规律，可得
（3）解：基础巩固通关测
一、单选题
˙
1．有下列各数： 、 、 、 、 、 、
−0.3
、2.3030030003⋯⋯（相邻两个3之间0的个
数逐次增加1），其中无理数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】本题考查无理数．
根据无理数的定义，找出所有的无理数即可．
【详解】解：无理数有： 、 、2.3030030003⋯⋯，
∴无理数有 个，
故选： ．
2．下列运算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算，
逐项分析判断即可得出答案．
【详解】解：A、 和 不是同类二次根式，不能合并，故此选项运算错误；
B、 ，故此选项运算正确；
C、 ，故此选项运算错误；
D、 ，故此选项运算错误；
故选：B．3．如图，数轴上一点A，表示 ，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取 ，连结 ，以点O为
圆心， 为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，正确记忆勾股定理的公式解题关键．
先根据题意确定 ，再根据勾股定理求出 ，可得答案．
【详解】解：由题意可知 ，
根据勾股定理，得 ，
，
因为点 在x轴负半轴，
所以点 对应的实数为 ．
故选：C．
4．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．根据已知判断每一
步输出结果即可得到答案．
【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的算术平方根 ，是无理数，
则输出，
∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是 ．故选：A．
二、填空题
5．若式子 有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数的非负性得到 ，解不等式即
可得到答案．
【详解】解：∵式子 有意义，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
6． 的值是 ；8的立方根是 ．
【答案】 4 2
【分析】本题考查了算术平方根，立方根，根据算术平方根、立方根的定义求解即可，掌握算术平方根、
立方根的定义是解题的关键．
【详解】解： 的值是 ，8的立方根是 ，
故答案为： ．
7．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则m的值是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式的定义得出 ，即可求出m
的值，熟练掌握这两个定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意得 ，
解得 ，
故答案为：4．
8．观察下列等式，并解答下列问题．
等式1： ，等式2： ，等式3： …请写出等式6： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给等式得出第n个等式可表示为
为正整数 是解题的关键．根据所给等式，观察各部分的变化，发
现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为 ，…，
所以第n个等式可表示为： 为正整数
当 时，
等式6为： ，
故答案为： ．
三、解答题
9．（1）计算： ；
（2）求下列各式中x的值：
① ；
② ；
【答案】（1）0；（2）① 或 ；②
【分析】此题考查了平方根和立方根知识的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识，并进行正确地
计算．（1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减；
（2）①直接开平方即可；
②先移项，然后开立方即可．
【详解】解：（1）
；
（2）① ，
开平方，得： ，
解得 或 ；
② ，
移项，得： ，
开立方，得： ，
解得： ．
10．计算：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和
乘法公式是解决问题的关键．
（1）先根据二次根式的除法法则运算，然后化简各二次根式后合并同类二次根式；
（2）根据完全平方公式和二次根式的乘法法则运算，然后合并即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
11．已知 的立方根是3， 的算术平方根是4．求：
(1)x，y的值；
(2) 的平方根．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解
决本题的关键．
（1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题；
（2）根据平方根的定义解决此题．
【详解】（1）解：∵ 的立方根是3， 的算术平方根是4
∴ ， ．
∴ ， ；
（2）解：由（1）得， ， ，
∴
，∴ 的平方根为： ．
12．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式化简时，形如 、 这样的式子可以进一步化简：
； ；
以上化简过程称为分母有理化，其中 与 ， 与 互为有理化因式．
(1) 的有理化因式是 ； 的有理化因式是 ；
(2)化简： ；
(3)化简： ．
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化以及二次根式的混合运算；
（1）根据题意求得 和 的有理化因式，即可求解；
（2）分子分母都乘以 即可；
（3）分子分母都乘以 即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ 的有理化因式是 ； 的有理化因式是 ，故答案为： ； ．
（2）解： ；
（3）解：
13．观察下列各式：
； ； ； ；
(1)根据上述式子的规律填空： ______； ______；
(2)计算： ；
(3)请用含自然数 的代数式把上述规律表示出来．
【答案】(1) ； ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，数字规律，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）根据题意进行计算即可；
（ ）结合题意和（ ）的结论，以此类推计算即可；
（ ）结合（ ）和（ ）的结论，归纳规律表示代数式即可．
【详解】（1）解：∵ ；；
；
；
∴ ； ；
故答案为： ； ；
（2）解：∵ ；
；
；
；
∴ ；
（3）解：∵ ；
；
；
；
∴ ．14．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简： ．
解：隐含条件 ，解得： ， ．
原式 ．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简： ；
【类比迁移】
（2）实数 ， 在数轴上的位置如图所示，化简： ；
（3）已知 ， ， 为 的三边长．化简： ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边的关键：
（1）先根据题意得到 ，据此化简二次根式即可；
（2）先根据数轴得到 ，据此化简二次根式和绝对值即可；
（3）根据三角形三边的关系得到 ，据此化简二次根式即可．
【详解】解：（1）∵ 有意义，
∴ ，即 ，
∴
；
（2）由题意得， ， ，
∴ ，∴
；
（3）∵ ， ， 为 的三边长，
∴ ，
∴
．
能力提升进阶练
一、单选题
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义对各选
项分析判断，即可求解．
【详解】解：A中， ，含能开得尽方的因数4，故 不是最简二次根式，故不符合题意；
B中， ，含能开得尽方的因数4，故 不是最简二次根式，故不符合题意；
C中， ，被开方数含分母，故 不是最简二次根式，故不符合题意；D中， ，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数，故 是最简二次根式，故符合题意，
故选：D．
2．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查同类二次根式，解题的关键是根据把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被
开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式进行解答．
【详解】解：A、 与 是同类二次根式，故符合题意；
B、 与 不是同类二次根式，故不符合题意；
C、2与 不是同类二次根式，故不符合题意；
D、 与 不是同类二次根式，故不符合题意；
故选：A．
3．下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可．
【详解】解：A． 与 不是同类二次根式，不能合并，运算错误；
B． ，运算正确；
C． ，运算正确；
D． ，运算正确；
故选：A．
4．如图是一个程序框图，若输入 ，则输出y的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据程序写出代数式，再代入计算解答即可．
【详解】解：根据题意可知，
．
故选：B．
5．对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：
a⊕b=
{a(a≥b))
，
aⓧb=
{b(a≥b))
，并且定义新运算
b(a”，“<”或者“=”）．
【答案】<
【分析】本题考查了实数的大小比较．估算 的取值范围，然后比较 与1的大小即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：＜．
7．若 与 互为相反数，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了相反数的定义，算术平方根的非负数，立方根，根据几个非负数的和等于 0 ，则每
一个算式都等于 0 列式是解题的关键．
根据相反数的定义列式，然后根据非负数的性质列式求出 、 的值，再代入进行计算即可得解．
【详解】解：∵ 与 互为相反数，
，
，
解得 ，
，
故答案为：1．
8．已知 ，则 ．
【答案】3【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握被开方数的非负性是解题的关键．
利用被开方数的非负性可求出x的值，进而求出y的值，即可求出答案;
【详解】解：由题意得 ， ，解集为：
∴
∴
故答案为：3.
9．如图， 为原点， ， ，以点 圆心， 为半径画弧，交数轴的负半轴于点 ，则点
表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系，利用数形结合的思想解答，
根据圆的性质即可得 ，进而求出 的值．
【详解】解：∵以点 为圆心， 为半径画弧，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵交数轴负半轴于点 ，
∴点 表示的数是 ，
故答案为： ．
10．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简 ．
【答案】【分析】本题考查的是实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题
的关键．
根据题意判断出 ， 及b的符号，再把原式进行化简，合并同类项即可．
【详解】解：结合数轴，得 ， ，
， ，
故答案为：
三、解答题
11．解下列方程．
(1) ；
(2)
【答案】(1) 或
(2)
【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关
键．
（1）利用平方根的定义求解即可；
（2）利用立方根的定义求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
或 ；（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
12．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】考查了二次根式的混合运算．在二次根式的混合运算中，结合题目特点，灵活运用二次根式的性
质是解题的关键，混淆完全平方公式及平方差公式是解题的易错点．
（1）先计算二次根式的除法和化简二次根式，再计算加、减；
（2）利用完全平方公式和平方差公式去括号，再相加、减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．13．把下列各数的序号填在相应的大括号内：
①0，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦ ， 1.020 220 222 0…（每两个0之间依次多1个
2）．
整数：{ }；
负分数：{ }；
无理数：{ }．
【答案】见解析
【分析】本题考查了实数的分类、求算术平方根、绝对值，先根据算术平方根、绝对值进行计算，再根据
实数的分类求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解： ， ，
故整数：{ ①④⑥}；
负分数：{ ②⑤}；
无理数：{ }．
14．（1）已知 的小数部分为a， 的小数部分为b，求 的值．
（2）已知 的平方根是 ， 的平方根是 ，求 的平方根
【答案】（1）1
（2）
【分析】本题考查与无理数整数和小数部分有关的计算，平方根的定义，解一元一次方程，代数式求值．
熟知相关知识是解题的关键．
（1）先求出 ， ，从而得出 ， ，进而代入求值即可；
（2）根据平方根的定义可得出 ，解得 ；再得 ，即可求出 ，再代入求值
即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ， ，
∴ 的小数部分 ， 的小数部分 ，∴ ；
（2）∵ 的平方根是 ，
∴ ，
∴ ．
∵ 的平方根是 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
15．对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定 ，
如 ．
(1) ___________， ___________；
(2)若 ，求x的值．
【答案】(1) ，4
(2)
【分析】本题以新定义运算为载体，主要考查了实数的运算和二次根式的运算，弄清新定义运算的法则是
解题的关键；
（1）根据新定义运算法则计算即可；
（2）根据 可得： ，再解方程即可．
【详解】（1）解： ；
；
故答案为： ，4；
（2）解：由 可得： ，解得： ．
16．观察下列各式及验证过程：
① ；验证① ；
② ； ② ；
③ ； ③ ；
(1)按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想 的变形结果，并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出 （ 为大于等于2的自然数）表示的等式．
【答案】(1) ，验证见解析
(2) 且 ，验证见解析
【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右
两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式．
（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质 ，把根号内的移到根号
外；
（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、
分母之间的关系可得： ．
【详解】（1）解：验证：
；
（2）解： ．
验证：
．
17．【类比思想】解决问题：已知 ，求 的值．小明是这样分析与解答的：
因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ．请根据小明的分析过程，解答以下问题：
(1)计算： ；
(2)计算：
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，掌握分母有理化和整体代入思想是解题的关键；
（1）利用分母有理化，平方差公式计算即可；
（2）利用分母有理化，平方差公式计算即可；
（3）利用分母有理化求 ，整体代入计算即可
【详解】（1）解：原式
．
（2）原式 ．
（3）因为 ，
所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ．18．先阅读，再解答：由 可以看出，如果两个含有二次根式的代数
式相乘，积不含有二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有
理化因式，可以化去分母中的根号．例如： ．
请完成下列问题：
(1) 的有理化因式是______；
(2)化去式子分母中的根号： ______；（直接写结果）
(3)利用你发现的规律计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)2024
【分析】本题考查了二次根式的运算、分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据有理化因式的定义即可解答；
（2）利用有理化因式，化去分母中的根号即可；
（3）利用 的规律化简式子，再利用平方差公式即可计算．
【详解】（1）解： ，
所以 的有理化因式是 ．
故答案为： ；
（2）解： ．
故答案为： ；（3）解： ，
原式
．
