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第二章 实数（复习讲义）
1. 了解实数、平方根、立方根、二次根式等概念，体会实数体系及各概念间整体联系。
2. 能用实数与数轴上点一一对应关系，解释相关数的几何意义；会求平方根、立方根，判断二次根式有
意义条件。
3. 理解实数的非负性、二次根式性质，利用其解决化简、求值等问题；掌握最简二次根式、同类二次根
式概念，能识别与区分。
4. 熟练运用二次根式乘、除、加、减及混合运算法则，进行准确运算；结合实数性质与根式运算，解决
实际与代数问题 。一、实数的概念和性质
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分： 按与0的大小关系分：
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
实数 实数
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数 的绝对值是非负数，即| |≥0；
a2
（2）任何一个实数 的平方是非负数，即 ≥0；
a 0 a0
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ( ).
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
二、平方根与立方根
类型
平方根 立方根
项目
被开方数 非负数 任意实数
符号表示 a 3 a
一个正数有两个平方根，且互为相反 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一
性质 数；零的平方根为零；负数没有平方 个负的立方根；零的立方根是零；
根；( a)2 a(a 0) (3 a)3 a
重要结论 a(a 0) 3 a3 a
a2 a
a(a 0)
3 a 3 a
三、二次根式
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为二次根
号．如 都是二次根式.
2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号 ；（2）被开方数必须是非负数.
3.二次根式有无意义的条件
①二次根式有意义：被开方数为非负数，即
；
②二次根式无意义：被开方数为负数，即
；
4.二次根式的性质
①二次根式 （ ）的非负性
（ ）表示 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 （ ）．
②二次根式 的性质： （ ）
二次根式 的性质：
③
四、最简二次根式与同类二次根式
1.最简二次根式
（1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
2.同类二次根式
（1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘
（2）法分配律，如
五、二次根式的运算
1.二次根式的乘法
（1）二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不
变）
（2）二次根式的乘法法则的推广:
①
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进
②
行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
（3）二次根式的乘法法则的逆用： （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算
数平方根的性质）
（4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：
2.二次根式的除法
（1）二次根式的除法法则： （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
（2）二次根式的除法法则的推广： .
3.二次根式的加减法
（1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
（2）二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
4.二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括
号里面的（或先去掉括号）题型一 无理数的识别
【例1】下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】实数 （相邻每个2之间依次多一个1）， ，其中无理数
的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1-2】实数 （相连两个1之间依次多一个0），其中无理数有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】在实数 （每两个1之间的3依次多1）中，其中无理数的个数
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型二 求一个数的平方根、算术平方根、立方根
【例2】 的立方根是 ，3的算术平方根是 ．
【变式2-1】 的立方根为 ． 的平方根是 ．
【变式2-2】 的平方根是 ， 的算术平方根是 ， 的立方根是 ．
【变式2-3】36的平方根是 ； 的算术平方根是 ；立方根和算术平方根都等于它本身的数是
．
题型三 实数与数轴
【例3】如图，数轴上点 表示的数可能是（ ）A． B． C． D．
【变式3-1】如图，将实数 表示在数轴上（ ）
A．R点 B．Q点 C．S点 D．T点
【变式3-2】如图，已知正方形 的面积为 ，点 在数轴上，且表示的数为 ．现以点 为圆心，
的长为半径画圆，和数轴交于点 （点 在点 的右侧），则点 表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】如图，把一块含 角的三角板放入 的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与
数轴上表示 的点重合，则数轴上点 所表示的数为（ ）
A． B．1.8 C． D．
题型四 实数大小比较
【例4】比较大小： （用“ ”或“ ”填空）．
【变式4-1】比较大小： ．【变式4-2】比较大小： ．（填“＞”“＝”或“＜”）
【变式4-3】比较大小： （填“ ”，“ ”或“=”）
题型五 无理数整数部分的有关计算
【例5】如果设 的整数部分为 ，则 的值为 ．
【变式5-1】若 的整数部分是a，小数部分是b，则 ．
【变式5-2】若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值为 ．
【变式5-3】已知 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 ．
题型六 利用平方根与立方根的定义解方程
【例6】解方程：
(1) ；
(2) ．
【变式6-1】求下列各式中x的值．
(1)
(2)
【变式6-2】求下列各式中实数x的值：
(1) ；
(2) ．
【变式6-3】解方程：
(1) ；(2) ．
题型七 程序设计与实数运算
【例7】在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数 的运算程序如图所示，若输出的y值
为 时，则输入的实数x可取的负整数值是 ．
【变式7-1】有一个数值转换器，原理如下：
当输入的 时，输出的y等于 ．
【变式7-2】如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为 ，则输出y的值为 ．
【变式7-3】有一个数值转换器，运算流程如下：
(1)在 ，2，4，16中选择3个合适的数分别输入 ，求对应输出 的值．
(2)若输出 的值为 ，求输入 的值．
题型八 平方根、算术平方根、立方根的综合
【例8】已知 的立方根是 ， 的算术平方根是3．
(1)求a，b的值；(2)若 ，且c是整数，求 的平方根．
【变式8-1】已知 的立方根是4， 的算术平方根是5．
(1)求a，b的值；
(2)求 的平方根．
【变式8-2】已知a的算术平方根为3，ab的立方根为 ，b和c是互为相反数．
(1)求a、b、c的值；
(2)求 的平方根．
【变式8-3】已知 的立方根是 ， 的算术平方根是2，c是 的相反数．
(1)求a，b，c的值；
(2)求 的算术平方根．
题型九 判断是否为二次根式
【例9】下列是二次根式的是：（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】下列式子是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】下列各式中，不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
题型十 根据二次根式有意义条件求范围
【例10】要使式子 有意义，则x的值可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式10-1】若二次根式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【变式10-2】在函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【变式10-3】若代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
题型十一 根据二次根式有意义求值
【例11】已知x，y为实数，若满足 ，则 的值为 ．
【变式11-1】若 ，求 的值是 ．
【变式11-2】若 、 都是实数，且 ，则 ．
【变式11-3】已知 ，则 ．
题型十二 最简二次根式的判断
【例12】下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式12-1】下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式12-3】下列二次根式是最简二次根式的为（ ）
A． B． C． D．题型十三 同类二次根式的判断
【例13】下列二次根式中，不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【变式13-1】下列二次根式中，化简后能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【变式13-2】下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式13-3】下列各组二次根式，化简后可以合并的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 和 D． 与
题型十四 二次根式的混合运算
【例14】计算题：
(1) ；
(2) ．
【变式14-1】计算：
(1)
(2)
【变式14-2】计算：
(1) ；(2) ．
【变式14-3】计算：
(1) ；
(2) ．
题型十五 二次根式中的新定义型问题
【例15】定义：已知 ， 都是实数，若 ，则称 与 是关于3的“实验数”．
(1)4与_____是关于3的“实验数”， 与 是关于3的“实验数”，则 是_____，表示 的值的点落在
数轴上的位置位于_____．
(2)若 ，判断 与 是否是关于3的“实验数”，并说明理由．
【变式15-1】定义两种新运算，规定： ， ，其中 ， 为实数且 ．
(1)求 的值；
(2)化简 ．
【变式15-2】定义：若两个二次根式 ， 满足 ，且 是有理数．则称 与 是关于 的美好二
次根式．
(1)若 与 是关于6的美好二次根式，求 的值：
(2)若 与 是关于 的美好二次根式，求 和 的值．
【变式15-3】对于任意两个非零实数a、b，定义运算 如下：如： ， ．
根据上述定义，解决下列问题：
(1) ______， ______；
(2)若 ，求x的值．
题型十六 二次根式中的分母有理化
【例16】【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代
数式互为有理化因式．例如： ， ，我们称 和 互为有理化因式，
和 互为有理化因式．
【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母
中不含根号，这种变形叫作分母有理化．例： ．
结合上述材料，解决问题：
(1) 的有理化因式是 ， 的有理化因式是 ；
(2)利用分母有理化化简： ．
【变式16-1】像 ， ，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次
根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如 与 ， 与 等都是互为“有理化因
式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．
(1)化简：① ．② ．
(2)计算(3)已知 ， ， ，试比较a，b，c的大小，并说明理
由．
【变式16-2】观察下列式式子的化简过程：
① ；
② ；
③ ；…
(1)请直接写出第四个等式，并猜想第n个等式；
(2)求 的值．
【变式16-3】阅读下列分母有理化的过程：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
请完成下列问题：
(1)仿照上述解题过程计算： =__________； =__________；（注意结果化简）
(2)观察上面解题过程，请直接写出 的结果为_________；
(3)通过完成问题（1）（2），你得到的结论是： ；
(4)试利用上面所提供的思路，解方程： ．
题型十七 二次根式中的规律探究问题
【例17】观察下列各式及其验证过程：．验证： ．
．验证：
(1)按照上述规律，直接写出 的结果是___________
(2)针对上述各式反映的规律，写出用 为自然数，且 表示的等式，并给出证明．
【变式17-1】 ；
；
；
(1)写出 _________；
(2)猜想： _________；
(3)由以上规律，计算 的值．
【变式17-2】观察下列等式：
① ，
② ，
③ ，
…
解答下列问题：(1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______；
(2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明．
【变式17-3】观察下列各式
① ；② ；③ ……
请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题：
(1) _________；
(2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________；
(3)用上述规律计算： ．
基础巩固通关测
一、单选题
˙
1．有下列各数： 、 、 、 、 、 、
−0.3
、2.3030030003⋯⋯（相邻两个3之间0的个
数逐次增加1），其中无理数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．下列运算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．如图，数轴上一点A，表示 ，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取 ，连结 ，以点O为
圆心， 为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（ ）A． B． C． D．
4．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题
5．若式子 有意义，则 的取值范围是 ．
6． 的值是 ；8的立方根是 ．
7．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则m的值是 ．
8．观察下列等式，并解答下列问题．
等式1： ，等式2： ，等式3： …
请写出等式6： ．
三、解答题
9．（1）计算： ；
（2）求下列各式中x的值：
① ；
② ；10．计算：
(1) ；
(2)
11．已知 的立方根是3， 的算术平方根是4．求：
(1)x，y的值；
(2) 的平方根．
12．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式化简时，形如 、 这样的式子可以进一步化简：
； ；
以上化简过程称为分母有理化，其中 与 ， 与 互为有理化因式．
(1) 的有理化因式是 ； 的有理化因式是 ；
(2)化简： ；
(3)化简： ．
13．观察下列各式：
； ； ； ；
(1)根据上述式子的规律填空： ______； ______；
(2)计算： ；
(3)请用含自然数 的代数式把上述规律表示出来．14．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简： ．
解：隐含条件 ，解得： ， ．
原式 ．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简： ；
【类比迁移】
（2）实数 ， 在数轴上的位置如图所示，化简： ；
（3）已知 ， ， 为 的三边长．化简： ．
能力提升进阶练
一、单选题
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C．2 D．
3．下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是一个程序框图，若输入 ，则输出y的值为（ ）A． B． C． D．
5．对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：
a⊕b=
{a(a≥b))
，
aⓧb=
{b(a≥b))
，并且定义新运算
b(a”，“<”或者“=”）．
7．若 与 互为相反数，则 ．
8．已知 ，则 ．
9．如图， 为原点， ， ，以点 圆心， 为半径画弧，交数轴的负半轴于点 ，则点
表示的数是 ．
10．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简 ．
三、解答题
11．解下列方程．(1) ；
(2)
12．计算：
(1) ；
(2) ．
13．把下列各数的序号填在相应的大括号内：
①0，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦ ， 1.020 220 222 0…（每两个0之间依次多1个
2）．
整数：{ }；
负分数：{ }；
无理数：{ }．
14．（1）已知 的小数部分为a， 的小数部分为b，求 的值．
（2）已知 的平方根是 ， 的平方根是 ，求 的平方根
15．对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定 ，
如 ．
(1) ___________， ___________；
(2)若 ，求x的值．
16．观察下列各式及验证过程：
① ；验证① ；
② ； ② ；③ ； ③ ；
(1)按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想 的变形结果，并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出 （ 为大于等于2的自然数）表示的等式．
17．【类比思想】解决问题：已知 ，求 的值．小明是这样分析与解答的：
因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ．
请根据小明的分析过程，解答以下问题：
(1)计算： ；
(2)计算：
(3)若 ，求 的值．
18．先阅读，再解答：由 可以看出，如果两个含有二次根式的代数
式相乘，积不含有二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有
理化因式，可以化去分母中的根号．例如： ．
请完成下列问题：(1) 的有理化因式是______；
(2)化去式子分母中的根号： ______；（直接写结果）
(3)利用你发现的规律计算： ．
