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第 29 课 相似三角形动点问题
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、解答题
1．如图①，在Rt△ABC中， ， ， ，点P由A点出发以1cm/s的速度向终点C
匀速移动，同时点Q由点C出发以2cm/s的速度向终点B匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之
停止移动．
(1)填空：在______秒时，△PCQ的面积为△ACB的面积的 ；
(2)经过几秒，以P，C，Q为顶点的三角形与△ACB相似？
(3)如图②，D为AB上一点，且 ，运动时间t为多少时， ？
【答案】(1) ；
(2)经过 秒或 秒，以P，C，Q为顶点的三角形与 ACB相似；
(3)运动时间 为1.2秒时，PQ⊥CD △
【分析】（1）分别表示出线段 和线段 的长后利用 列出方程求解；
（2）设运动时间为 ， 与 相似，当 与 相似时，可知 或
，则有 或 ，分别代入可得到关于 的方程，可求得 的值．
（3）由 ， ACD是等腰三角形，构造 ADE≌ ACE可知 从而通过相似比求出t．
(1) △ △ △
设经过 秒 PCQ的面积为 ACB的面积的 ，
△ △
由题意得：PC＝ ，CQ＝
则 ，解得： ．
故答案为：3．
(2)
设运动时间为 s，以P，C，Q为顶点的三角形与 ACB相似．
△
当 PCQ∽ ACB时，
则△有 △ ，
∴ ，
解得 ，
当 QCP∽ ACB时，
则△有 △ ，
∴ ，
解得 ．
因此，经过 秒或 秒，以P，C，Q为顶点的三角形与 ACB相似．
(3) △
如图②，过点A作 ，连接DE．
∵ ，
∴ ACD是等腰三角形，
∵ ，
△
∴∠DAE＝∠CAE，
∵AE＝AE
∴ ADE≌ ACE
∴DE＝CE，∠ADE＝∠ACE＝90°
△ △在Rt ACB中， ， ，
∴AB＝10cm
△
∴DB＝4cm
设CE＝ ，则DE＝ ，BE＝ ，
在Rt DEB中，
∴ △
解得 ＝3，即CE＝3
∵ ，
∴
∴ ，即
解得t＝1.2
因此，运动时间 为1.2秒时，PQ⊥CD．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解题关键是要读懂
题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
2．如图，在菱形 中， ，点E从点B出发沿折线 向终点D运动．过点E
作点E所在的边（ 或 ）的垂线，交菱形其它的边于点F，在 的右侧作矩形 ．
(1)如图1，点G在 上．求证： ．
(2)若 ，当 过 中点时，求 的长．
(3)已知 ，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与 相似
（包括全等）？
【答案】(1)见解析
(2) 或5
(3) 或 或 或
【分析】（1）证明 AFG是等腰三角形即可得到答案；
（2）记 中点为点O．分点E在 上和点E在 上两种情况进行求解即可；
△
（3）过点A作 于点M，作 于点N．分点E在线段 上时，点E在线段 上时，点E
在线段 上，点E在线段 上，共四钟情况分别求解即可．
（1）
证明：如图1，∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ．
∵FG BC，
∴ ，
∴ ，
∴ AFG是等腰三角形，
∴ ．
△
（2）
解：记 中点为点O．
①当点E在 上时，如图2，过点A作 于点M，
∵在 中， ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②当点E在 上时，如图3，过点A作 于点N．
同理， ，
，
∴ ．
∴ 或5．
（3）
解：过点A作 于点M，作 于点N．
①当点E在线段 上时， ．设 ，则 ，
ⅰ）若点H在点C的左侧， ，即 ，如图4，
．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是方程的根，
∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是方程的根，
∴ ．
ⅱ）若点H在点C的右侧， ，即 ，如图5，
．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
此方程无解．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是方程的根，
∴ ．②当点E在线段 上时， ，如图6， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
此方程无解．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是方程的根，
∵ ，
∴ 不合题意，舍去；
③当点E在线段 上时， ，如图7，过点C作 于点J，在 中， ．
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，符合题意，
此时， ．
④当点E在线段 上时， ，
∵ ，
∴ 与 不相似．
综上所述，s满足的条件为： 或 或 或 ．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性
质、锐角三角函数等知识，分类讨论方法是解题的关键．
3．如图，已知点 在 轴的负半轴上，点 在 轴的正半轴上， ， ，点 在线段 上，从
点 出发以每秒5个单位长度的速度向点 运动，设运动时间为 秒，过点 作 轴于点
．
(1)当 时，线段 的长为________；
(2)当 时，求 的值；(3)在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形，若存在，直接写出点 的坐标，若不存在，说明理
由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，M(-8，0)， (2，0)， (3，0)， ( ，0)
【分析】（1）由已知可得线段PQ为三角形的中位线，根据三角形中位线定理可以得到解答；
（2）由已知可得△BPQ∽△BAQ， ，把上面等式用含t的代数式表示出来，然后解方程即可；
（3）分MA=MB，AM=AB，BM=BA三种情况讨论．
（1）
解：由题意可得：当 时，PA=PB，且PQ∥AO，
∴ ，BQ=QO，
∴PQ为三角形ABO的中位线，
∴PQ= AO= ,
故答案为 ；
（2）
解：由题可知，PA=PQ=5t， ∴ PB=AB-PA=5-5t
∵PQ∥AO ∴∠BPQ=∠BAO
又∵BQP=∠BOA=90°
∴△BPQ∽△BAO
∴ 解得：t=
（3）
：由题意可设满足条件的M为（x，0），则可分三种情况：
如图，MA=MB，
则MA2=MB2，
∴（x+3）2=OM2+OB2=x2+AB2-AO2=x2+16，解之可得：x= ，
∴M为（ ，0）；
如图，AM=AB，
则有|x+3|=5，
解之可得：x=2或x=-8，
∴M为（2，0）或（-8，0）；
如图，BM=BA，
则BM2=BA2，
∴x2+16=25，
解之可得：x=3或x=-3（舍去），
∴M为（3，0）；
∴满足条件的M为：（-8，0)或 (2，0)或 (3，0)或 ( ，0)．
【点睛】本题考查三角形的动点问题，熟练掌握三角形中位线的定义和性质、三角形相似的判定和性质、
等腰三角形的性质、方程思想与勾股定理的应用是解题关键 ．
4．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿
AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个
点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．
设运动时间为t(s)(0<t<6)，解答下列问题：(1)当t为何值时，AP=PO；
(2)设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S OECQF：S ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存
五边形
在，请说明理由；
△
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)t= 时，AP=PO；
(2)S与t的函数关系式为S=- t2+ t+12；
(3)t=3或 时，S OECQF：S ACD=9：16；
五边形
△
(4)当t= 时，OD平分∠COP．
【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，过P作PM⊥AO，证明 APM∽△ACD，根据相似三
角形的性质即可得出答案；
△
（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，已知BE=PD，则可求 BOE的面积；可证得 DFQ∽△DOC，由相
似三角形的面积比可求得 DFQ的面积，从而可求五边形OECQF的面积；
△ △
（3）根据题意列方程得到△t=3或t= ，可求解；
（4）由角平分线的性质得到DM=DN= ，根据勾股定理得到ON=OM= ，由三角形的面积公式得到
OP=5- t，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结论．
（1）
解：∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，
∴AC=10，AO= AC=5，
∵AP=PO=t，
过P作PM⊥AO，如图1所示：∴AM= AO= ，
∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，
∴△APM∽△ACD，
∴ ，即 ，
解得：t= ，
即t= 时，AP=PO；
（2）
解：过点O作OH⊥BC交BC于点H，
则OH= CD= AB=3cm．
由矩形的性质可知∠PDO=∠EBO，DO=BO，
在△DOP和△BOE中， ，
∴△DOP≌BOE（ASA），
∴BE=PD=8-t，
则S BOE= BE•OH= ×3（8-t）=12- t．
△
∵FQ∥AC，
∴△DFQ∽△DOC，相似比为 ，
∴ ，
∵S DOC= S ABCD= ×6×8=12(cm2)，
矩形
△∴S DFQ=12× = ，
△
∴S OECQF=S DBC-S BOE-S DFQ= ×6×8-（12- t）- =- t2+ t+12；
五边形
△ △ △
∴S与t的函数关系式为S=- t2+ t+12；
（3）
解：存在，
∵S ACD= ×6×8=24，
△
∴S OECQF：S ACD=（- t2+ t+12）：24=9：16，
五边形
△
解得t=3，或t= ，
∴t=3或 时，S OECQF：S ACD=9：16；
五边形
△
（4）
解：存在，理由如下：
如图3，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，
∵∠POD=∠COD，
∴DM=DN= ，
∴ON=OM= = ，
∵OP•DM=3PD，
∴OP=5- t，
∴PM= - t，
∵PD2=PM2+DM2，∴（8-t）2=（ - t）2+（ ）2，
解得：t=16（不合题意，舍去），t= ，
∴当t= 时，OD平分∠COP．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，图形
面积的计算，全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等
和三角形相似是解决问题的关键．
5．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8cm，DC＝6cm，AD＝11cm，点P以2cm/s的
速度沿DA边由点D向点A运动；同时点Q以1cm/s的速度沿CB边由点C向点B运动，而且当其中一点
停止运动时另一点也停止运动．设运动时间为t（s）．
(1)用含t的代数式表示下面线段的长度．
①CQ＝ cm；②PD＝ cm；③BQ＝ cm；④AP＝ cm；
(2)如图1，当t为 s时，PQ∥AB．
(3)如图2，是否存在某一时刻t，使得PQ⊥BD．若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)t；2t；（8﹣t）；（11﹣2t）
(2)3
(3)存在，
【分析】（1）由路程=速度×时间，可求QC，PD的长，即可求解；
（2）由题意可证四边形ABQP是平行四边形，可得BQ=AP，列出方程可求解；
（3）通过证明△OBQ∽△CBD，可得 ，可求BO= （8-t），通过证明△BQO∽△DPO，可得
，可求解．
(1)∵点P以2cm/s的速度沿DA边由点D向点A运动；同时点Q以1cm/s的速度沿CB边由点C向点B运动，
∴QC＝tcm，PD＝2tcm，
∵BC＝8cm，AD＝11cm，
∴BQ＝（8﹣t）cm，AP＝（11﹣2t）cm，
故答案为：t；2t；（8﹣t）；（11﹣2t）；
(2)
∵PQ∥AB，BC∥AD，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∴BQ＝AP，
∴8﹣t＝11﹣2t，
∴t＝3，
故答案为：3；
(3)
存在，
∵∠C＝90°，BC＝8cm，DC＝6cm，
∴ ，
∵PQ⊥BD，
∴∠BOQ＝90°＝∠C，
又∵∠DBC＝∠QBO，
∴△OBQ∽△CBD，
∴ ，
∴ ，
∴BO＝ （8﹣t），
∴ ，
∵BC∥AD，
∴△BQO∽△DPO，
∴ ，
∴
∴t＝ ，t＝8（不合题意舍去），
1 2
∴当t＝ 时，使得PQ⊥BD．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用参数表
示线段的长是解题的关键．6．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=3 cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀
速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为 cm/s；若设运动的时间为
t(s)(0＜t＜3)，解答下列问题
(1)如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；
(2)如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；
(3)如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出
BG长；若不存在请说明理由．
【答案】(1) ；理由见解析
(2)存在；理由见解析
(3)不存在；理由见解析
【分析】（1）结合直角三角形性质，由△APC∽△ACB，得 ，即可求解；
（2）过点P作PM⊥AC，根据线段垂直平分线性质，求QM，AM的表达式，证△APM∽△ABC，得
，即可求解；
（3）假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，则PQ∥BG，PQ=BG，由
△APQ∽△ABC，得 ，得BP=2t=3，故PQ≠BP.
(1)
在Rt ACB中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=3cm，
∴AB=△6，
由运动知，BP=2t，AQ= ，
∴AP=6﹣2t，
∵△APC∽△ACB，
∴t= ；(2)
存在，
理由：如图②，由运动知，BP=2t，AQ= ，
∴AP=6﹣2t，CQ= ，
∵点P是CQ的垂直平分线上，过点P作PM⊥AC
，∴QM=CM=
∴AM=AQ+QM= ，
∵∠ACB=90°，
∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC
∴ ，即
∴解得t=1；
(3)
不存在
理由：由运动知，BP=2t， ，
∴AP=6﹣2t，
假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，
∴PQ∥BG，PQ=BG，
∴△APQ∽△ABC，
，
∴BP=2t=3，
∴PQ≠BP，
∴平行四边形PQGB不可能是菱形．即：线段BC上不存在一点G，使得四边形PQGB为菱形．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质．解题关键时注意相似三角形的对应边成比例与分类讨论思想的应
用．
7．如图， 是等边三角形， ，点 从点 出发沿射线 以 的速度运动，过点 作
交射线 于点 ，同时点 从点 出发沿 的延长线以 的速度运动，连结 ．设
点 的运动时间为 ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)直接写出 的长（用含 的代数式表示）；
(3)当点 在边 上运动，且不与点 重合．
①求证： ；
②当 为何值时， ？
【答案】(1)见解析
(2)当 时， ；当 时， ．
(3)①见解析；②t=1
【分析】（1）利用 ， 是等边三角形，即可证得 是等边三角形；
（2）分两种情况进行讨论，①E点在AC上时，②E点在AC延长线上时，进行表示即可；
（3）①根据SAS证明 ； ②先判断出BP=CQ，进而列方程即可求t值．
（1）
解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
（2）
当 时，
当 时， ．
（3）
①当点 在边 上运动，则 ， ，
， ， ，
∴
∵ ，
∴ ，在 与 中，
∴ ，
②若 ，则 ，
∴
答：当 时，
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形、全等三角形的性质和判定及分类讨论的数学思
想，解题关键是深刻理解图形的运动过程．
8．如图1，在 ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，动点P在边AC上以5cm/s的速度从点A运动
到点C，过点P作PD⊥AB于点D，将 APD沿着PD所在的直线对折后得到 ，设点P的运动时间
△
为x（s）．
△
(1)当点 恰好与点B重合时，x＝______；
(2)在动点P从点A运动到点C的过程中，若 是等腰三角形，试求x的值；
(3)如图2，将 APD绕PD的中点旋转180°后得到 ，在动点P从点A运动到点C的过程中，若
是以 为腰的等腰三角形，试求x的值．
△
【答案】(1)
(2) 或 或
(3) 或
【分析】（1）当点 恰好与点B重合时；在Rt ACB中，由勾股定理得：AB，当 与B重合时，此时
PD垂直平分BA，在 BCP中，BP= △ ，根据 列方程可得；
（2） 为等腰三△角形，分以下三种情况：
①如图1，若 cm．由 APD∽△ABC得： ，即可以列方程求解；
△
②如图2，若BC＝A'C＝3cm．过点C作CH⊥AB于点H，由面积法可求得 ．由 APD∽△ABC得：
△，列方程求解；
③如图3，若A'B＝A'C＝3cm．显然A'在线段BC的中垂线上，由于AC⊥CB，因为A'是AB的中点，得到
cm．所以 cm．由 APD∽△ABC， ，列方程可得；
（3） 是以 为腰的等腰三角形△，分以下两种情况：
①如图4，若BC＝BA'＝3cm．则过点A'作A'H⊥AB于点H．因为 ，所以 ， ．在
中，有方程 ，即可求解；
②如图5，若A'C＝A'B．则A'D是边BC的中垂线，根据点D是边AB的中点，从而 ．所以
，得到 ．
(1)
如图：当点 恰好与点B重合时；
在Rt ACB中，由勾股定理得：
AB= △ ，
当A＇与B重合时，此时PD垂直平分BA，
在 BCP中，
BP△= ，
∴
即
解得：x=
故答案为：
(2)
为等腰三角形，分以下三种情况：
①如图1，若 cm．∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，
∴AB＝5cm．
∴AD＝A'D＝1cm．
由 APD∽△ABC得： ，
△
即 ， ．②如图2，若BC＝A'C＝3cm．过点C作CH⊥AB于点H，由面积法
，
可求得 ．
∴ ．
∴ cm．
由△APD∽△ABC得： ，
即 ， ．
③如图3，若A'B＝A'C＝3cm．
显然A'在线段BC的中垂线上，由于AC⊥CB，
∴A'是AB的中点，
∴ cm．
∴ cm．
由△APD∽△ABC得： ，即 ，
．
综上，在动点P从点A运动到点C的过程中， 是等腰三角形，x的值为 或 或 ．
(3)
是以 为腰的等腰三角形，分以下两种情况：
①如图4，若BC＝BA'＝3cm．则过点A'作A'H⊥AB于点H．
∵ ，
∴ ， ．
在 中，有 ，
解得： ．
∵ ，
∴ ．
②如图5，若A'C＝A'B．则A'D是边BC的中垂线，
∴点D是边AB的中点，从而 ．
∴ ，
∴ ．
综上，x的值为 或 ．
【点睛】本题是几何变换，图形运动，的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，以及一元一次方程，一元二次方程等知识，解题的关键是分类要分准．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为 ， ， ， ．
动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒
2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．作 于点G，则运动过程中，AG的最大值为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【分析】连接OB交PQ于F，过点F作FH⊥OC于H，连接AF，设运动时间为t秒，则由已知易证明
△BFQ∽△OFP，则可得PQ过定点F；再证明△OFH∽△OBC，则可求得点F的坐标，进而求得AF的长，
则由垂线段最短可确定AG的最大值．
【解析】连接OB交PQ于F，过点F作FH⊥OC于H，连接AF，如图．
设运动时间为t秒，则BQ=2t，OP=3t，
∵B、C的纵坐标相同，
∴BC∥OA，
∴△BFQ∽△OFP，
∴ ，
∴PQ恒过定点F．
∵FH∥BC，
∴△OFH∽△OBC，
∴ ，
即 ，
∴ ，∴ ．
∴由勾股定理得： ．
∵PQ恒过定点F，且AG⊥PQ，
∴AG≤AF，
∴AG的最大值为AF，即AG的最大值为 ．
故选：A．
【点睛】本题是动点问题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，确定PQ过定点是问题的关键．
2．如图，在菱形 中， ， ，动点Р从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点B
运动，直到点B时停止；动点Q同时从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向点D运动，当点Р停止运
动时，点Q随之停止运动，连接PQ交AC于点H．那么在点P的运动过程中，线段QH的最小值是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由CQ//AP得到 CQH∽△APH，得QH：PH=2：3，进而得QH= PQ，再求PQ的最小值，即当
PQ与菱形ABCD的高相等△时PQ最小，根据面积求出菱形的高即PQ的最小值，从而得出QH的最小值．
【解析】解：在菱形ABCD中，CD//AB，
∴CQ//AP，
∴△CQH∽△APH；设点P运动的时间为t（秒），则CQ=2t，AP=3t，
∴ ，
∴QH= PQ；
当PQ⊥CD时，即当PQ与菱形ABCD的高相等时，PQ的长最小，
设菱形ABCD的高为h，
∵∠COD=90°，DO= BD=8，CO= AC=6，
∴ ，
∴10h= ×12×6，
解得h= ，
∴QH ＝ ，
最小
故选：B．
【点睛】此题应用的知识有菱形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理及平行线间的距离等，方法
主要是面积法，难度中等．
3．正方形 的边 上有一动点 ，以 为边作矩形 且边 过点 ．在点 从点 移动到点
的过程中，矩形 的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变小 D．保持不变
【答案】D
【分析】易证∆BCE~∆FCD，从而得 ，进而即可得到结论．
【解析】∵正方形ABCD和矩形ECFG中，∠DCB=∠FCE=90°，∠F=∠B=90°，
∴∠DCF=∠ECB，
∴∆BCE~∆FCD，∴ ，即： ，
∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等，即：矩形 的面积保持不变．
故选D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，掌握相似三角形的判定定理，是解题的关键．
4．如图，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，点E以0.5cm/s的速度从点B到点C，同时点F以0.4cm/s
的速度从点D到点B，当一个点到达终点时，则运动停止，点P是边CD上一点，且CP=1，且Q是线段
EF的中点，则线段QD+QP的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB．首先用t表示出点Q的坐标，发现点Q
在直线y=2上运动，求出PB的值，再根据PQ+PD=PQ+QB≥PB，可得结论．
【解析】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB．
∵四边形ABDC是矩形，
∴AC=BD=4cm，AB=CD=3cm，
∴C（-3，0），B（0，4），
∵∠CDB=90°，
∴BC= =5（cm），
∵EH∥CD，
∴ BEH∽△BCD，
∴△ ，
∴ ，∴EH=0.3t，BH=0.4t，
∴E（-0.3t，4-0.4t），
∵F（0，0.4t），
∵QE=QF，
∴Q（- t，2），
∴点Q在直线y=2上运动，
∵B，D关于直线y=2对称，
∴QD=QB，
∴QP+QD=QB+QP，
∵QP+QB≥PB，PB= =2 (cm)，
∴QP+QD≥2 ，
∴QP+QD的最小值为2 ．
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是
构建平面直角坐标系，发现点Q在直线y=2上运动．
5．如图，正方形 边长为8， 为 中点，线段 在边 上从左向右以1个单位/秒的速度运
动， ，从 点与 点重合时开始计时，到 点与 点重合时停止，设运动时间为 秒，连结
，在运动过程中，下列4个结论：①当 时， ；②只有当 时，以点
构成的三角形与 相似；③四边形 的周长最小等于 ；④四边形 的面积最大等于
38．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据“SAS”即可判断①；根据相似三角形的性质，列出比例式，即可判断②，用含t的代数式表
示出EP+ BQ，结合两点间的距离公式以及对称性，即可求出EP+ BQ的最小值，进而即可判断③；用含t
的代数式表示四边形 的面积，结合 ，即可判断④．
【解析】解：由题意得：当 时，CQ=8-3-1=4，AE= AD= ×8=4，
∴AE=CQ，
∵在正方形 中，∠A=∠C=90°，AB=CB，∴ ，故①正确；
∵∠D=∠C=90°，
∴点 构成的三角形与 相似时， 或 ，
∴ 或 ，解得： 或无解，
∴②正确；
∵EP= ，BQ=
∴EP+ BQ可以看作是点(t，0)到点(0，4)与点(5，8)的距离之和，
∴EP+ BQ的最小值=点(0，-4)与点(5，8)的距离= ，
∴四边形 的周长最小值=BE+PQ+13= +3+13= ，
故③正确；
∵四边形 的面积= =
= ，
又∵ ，
∴四边形 的面积最大值= ，
故④正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的性质以及两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式
以及相似三角形的性质是解题的关键．
6．如图所示，在 中， ， ， 于 ， 是线段 上一个动点，以
为直角顶点向下作等腰 ，连结 ， ，则 的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当 时，DE有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】连接AE
∵∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴E点的运动轨迹为射线AE
∴当DE最短时，
即当 时，DE有最小值
∵在 中，
∴
∵
∴ 是等腰直角三角形
∴
∴DE的最小值是2
故答案为：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质以线段的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、等腰直
角三角形的性质是解题的关键．
7．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿
AB运动到点B停止，过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，联结PF，设M是线段PF的中点，则点P运动
的整个过程中，线段DM长的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】连接BE、EM、BM，作BE的垂直平分线GH分别与DA的延长线、BC的延长线交于点G、H，
过D作DN⊥GH于点N，连接EH，过H作HK⊥AD，与AD的延长线交于点K，根据直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半，知BM＝EM，说明M点在BE的垂直平分线GH上，当M与N点重合时DM＝DN
的值最小，根据矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和相似三角形的性质求得DN便可．【解析】解：
连接BE、EM、BM，作BE的垂直平分线GH分别与DA的延长线、BC的延长线交于点G、H，过D作
DN⊥GH于点N，连接EH，过H作HK⊥AD，与AD的延长线交于点K，
∵∠ABC＝∠PEF＝90°，M是PF的中点，
∴BM＝EM，
∴无论P点运动到什么位置时，M点始终在BE的垂直平分线上，
∴M点在GH上，
当M与N点重合时，DM＝DN的值最小，
设EH＝x，
∵GH是BE的垂直平分线，
∴BH＝EH＝x，
∴∠EHG＝∠BHG，
∵GD∥BH，
∴∠EHG＝∠BHG＝∠G，
∴EG＝EH＝x，
∵∠ABH＝∠BAK＝∠K＝90°，
∴四边形ABHK为矩形，
∴AK＝BH＝x，AB＝KH＝6，
∵AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3，
∴AE＝2，ED＝6，
∴EK＝AK﹣AE＝x﹣2，
∵EH2﹣EK2＝KH2，
∴x2﹣（x﹣2）2＝62，
解得，x＝10，
∴GE＝x＝10，
GD＝EG+DE＝x+6＝10+6＝16，
∵OE∥DN，
∴△GEO∽△GDN，
∴ ，
∴DN＝ EO，
∵ ，
∴EO＝ BE＝ ，
∴ ，即线段DM长的最小值为 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、相似三角形、直角三角形的性质及勾股定理等，灵活运用所学
的知识点进行分析是解题的关键．
8．如图所示，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，
PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P
在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AP＝EF；③AH⊥EF；④AP2＝
PM•PH；⑤EF的最小值是 ．其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】由点P为BD中点时，MC=0≠MF，可得①错误；连接PC，交EF于O，由点P在BD上，可得
AP=PC，根据PF⊥CD，PE⊥BC，∠BCF=90°可得四边形PECF是矩形，可得EF=PC，即判断②正确；利
用SSS可证明 APD≌△CPD，可得∠DAP=∠DCP，由矩形的性质可得∠OCF=∠OFC，即可证明
∠DAP=∠OFC，可得∠DAP+∠AMD=∠OFC+∠AMD=90°，即可判断③正确；根据平行线的性质可得
△
∠DAP=∠H，可得∠DCP=∠H，由∠HPC是公共角可证明 CPM∽ HPC，根据相似三角形的性质可得
，根据PC=AP即可判断④正确，当PC⊥BD时P△C的值最△小，根据等腰直角三角形的性质可求出
PC的最小值为 ，根据EF=PC即可判断⑤正确；综上即可得答案.
【解析】当点P为BD中点时，点M与点C重合，MC=0≠MF，故①错误，
连接PC，交EF于O，
∵点P在BD上，BD为正方形ABCD的对角线，
∴AP=PC，
∵PF⊥CD，PE⊥BC，∠BCF=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF=PC，
∴AP=EF，故②正确，
∵AD=CD，AP=PC，PD=PD，
∴ APD≌ CPD，
∴∠DAP=∠DCP，
△ △
∵四边形PECF是矩形，
∴∠OCF=∠OFC，
∴∠DAP=∠OFC，∴∠DAP+∠AMD=∠OFC+∠AMD=90°，
∴∠FGM=90°，即AH⊥EF，故③正确，
∵AD//BH，
∴∠DAP=∠H，
∵∠DAP=∠DCP，
∴∠MCP=∠H，
∵∠CPH为公共角，
∴ CPM∽ HPC，
∴△ △，
∵AP=PC，
∴AP2= PM•PH，故④正确，
当PC⊥BD时，PC有最小值，PC= BD= ，
∵PC=EF
∴EF的最小值为 ，故⑤正确，
综上所述：正确的结论有②③④⑤，共4个，
故选C.
【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的
判定定理及正方形的性质是解题关键.
二、解答题
9．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AD=4cm，AB＝8cm，DE⊥AB于E．动点P从点A出发，以
1cm/s的速度沿边按A﹣B运动；同时动点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿边按A﹣D﹣C运动，其中一个
点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t（s），平行四边形ABCD位于直线PQ左侧的图形的
面积为S（cm2）．(1)DE＝_____cm，平行四边形ABCD的面积是_____cm2．
(2)①当t＝2时，S＝_____；
②当t＝6时，S＝_____．
(3)求S关于t的函数关系式．
【答案】(1) ， ；
(2)① ，② ；
(3)
【分析】（1）根据∠A=60°，DE⊥AB．可得∠ADE=30°，从而得到 ，再由勾股定理，即
可求解；
（2）①如图，作QF⊥AP于F. 可得△APQ是等边三角形，从而得到AF=1cm，再由勾股定理，即可求
解；②根据题意可得：当t=6时，AP=6cm，AD+DQ=6cm，从而得到DQ=2cm，再利用梯形的面积公式即
可求解；
（3）分两种情况：当0＜t≤4时和当4＜t≤8时，即可求解．
(1)
∵∠A=60°，DE⊥AB．
∴∠ADE=30°，
∴ ，
∴ ，
∴ 平行四边形ABCD的面积是 ；
(2)
①如图，作QF⊥AP于F.根据题意得：当t=2时，AQ=AP=2cm，
∵∠A=60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴AF=1cm，
∴ ，
∴ ；
②如图，当t=6时，AP=6cm，AD+DQ=6cm，
∴DQ=6-AD=2cm，
∴ ；
(3)
当0＜t≤4时，如图①．作QF⊥AP于F.
∵∠A=∠A，∠AFQ=∠AED=90°，
∴ AFQ ∽ AED．
∴△ △．
即 ．
∴ ．
∴ ．
当4＜t≤8时，如图②．∴ ， ．
∴
= ．
综上所述：
【点睛】本题主要考查了四边形中的动点问题，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定等知识，熟
练掌握相关知识点是解题的关键．
10．如图1，在平面直角坐标系中，已知A(8，0)，B(0，4)，点P从点A出发，沿AO方向以2个单位长
度/秒的速度运动，点Q从点O出发，沿OB方向以1个单位长度/秒的速度运动，当点P到点O的位置
时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，△POQ的面积为3；
(2)当t为何值时，△POQ与△AOB相似；
(3)如图2，将线段BA绕点B逆时针旋转45°至BD，请直接写出点D的坐标．
【答案】(1)t＝1或3秒时，△POQ的面积为3
(2)t＝2或 秒时，△POQ与△AOB相似
(3)D(6 ，4+2 )
【分析】（1）由题意知：OQ=t，OP=8-2t，则 ×t×(8-2t)=3，解方程即可；（2）分 或 两种情形，分别代入计算；
（3）过点A作AE⊥AB交BD的延长线于E，作EF⊥x轴于F，利用K型全等求出点E的坐标，从而得出
BE的函数解析式，再利用两点间距离公式可表示出BD，从而解决问题．
(1)
解：（1）由题意知：OQ=t，OP=8-2t，
∴ ×t×(8-2t)=3，
解得t=1或3，
∴t=1或3时，△POQ的面积为3；
(2)
当△POQ与△AOB相似时，
∵∠POQ=∠AOB，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
解得t=2或 ，
∴t=2或 时，△POQ与△AOB相似；
(3)
如图，过点A作AE⊥AB交BD的延长线于E，作EF⊥x轴于F，
∵将线段BA绕点B逆时针旋转45°至BD，
∴∠ABD=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE=90°，AB=AE，
∴∠BAO+∠EAF=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠EAF=∠ABO，
在△AOB和△EFA中，
∴△AOB≌△EFA（AAS），
∴OA=EF=8，AF=OB=4，
∴E(12，8)，
设直线BE的解析式为y=kx+4，
将E(12，8)代入得12k+4=8，
解得k= ，
∴y= x+4，
设D(m， m+4)，
∵BD=BA= =4 ，
∴m2+( m+4-4)2=(4 )2，
解得m=6 （负值舍去），
∴D(6 ，4+2 )．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，待定
系数法求函数解析式等知识，求出直线BD的函数解析式是解题的关键．
11．如图（1）， 中， ， ， ， 的平分线OC交AB于C，过O
点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线 以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，
运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线 以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同
时停止运动．(1)求OC、BC的长；
(2)当PQ所在的直线垂直于ON时，求出t的值
(3)当P在OC上、Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时， 为等腰
三角形？求出所有满足条件的t值；
【答案】(1)OC＝2，BC＝2；
(2)当t=1或t= 时，PQ所在的直线垂直于ON；
(3)当t为 或 时，△OPM是等腰三角形．
【分析】（1）求出∠B，根据直角三角形性质求出OA，求出AB，在△AOC中，根据勾股定理得出关于
OC的方程，求出OC即可；
（2） 当点Q在OC上，PQ⊥ON时，由题意可知BP=CQ=t，则CP=OQ=2-t，如图1，证
得 即 ，即可求解；
当点Q在ON上，点P在OC上，PQ⊥ON时，由题意可知OP=4-t， OQ=t-2 ( ) ，如图2，证
得 即可求解；
（3）有三种情况：①OM＝PM时，求出OP＝2OQ，代入求出即可；②PM＝OP时，此时不存在等腰三
角形；③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，求出OG和QG的值，代入OG+QG＝t﹣2，即可求出答案．
(1)
解：∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2 ，
∴∠B＝30°，
∴OA＝ OB＝ ，
由勾股定理得：AB＝3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，
∴OC＝BC，
在△AOC中，AO2+AC2＝CO2，∴（ ）2+（3﹣OC）2＝OC2，
∴OC＝2＝BC，
∴OC＝2，BC＝2．
(2)
解： 当点Q在OC上，PQ⊥ON时，由题意可知BP=CQ=t，则CP=OQ=2-t，如图1，
∵PQ⊥ON，OB⊥ON，
∴ ，
∴∠CQP=∠COB，∠CPQ=∠B，
∴ ，
∴ 即 ，
解得t=1，
当点Q在ON上，点P在OC上，PQ⊥ON时，由题意可知OP=4-t， OQ=t-2 ( ) ，如图2，
∵PQ⊥ON，OB⊥ON， ，
∴∠PQO=∠BON=∠A=90°，
∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴∠COB=30°，
∴∠POQ=90°-30°=60°=∠AOB，
∴ ，
∴ 即 ，
解得t= ，综上所述，当t=1或t= 时，PQ所在的直线垂直于ON；
(3)
如图（2）所示：
∵ON⊥OB，
∴∠NOB＝90°，
∵∠B＝30°，∠A＝90°，
∴∠AOB＝60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°，
∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，
①OM＝PM时，
∠MOP＝∠MPO＝30°，
∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，
∴OP＝2OQ，
∴2（t﹣2）＝4﹣t，
解得：t＝ ，
②PM＝OP时，
此时∠PMO＝∠MOP＝30°，
∴∠MPO＝120°，
∵∠QOP＝60°，
∴此时不存在；
③OM＝OP时，
过P作PG⊥ON于G，
OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，
∴∠OPG＝30°，
∴GO＝ （4﹣t），PG＝ （4﹣t），
∵∠AOC＝30°，OM＝OP，
∴∠OPM＝∠OMP＝75°，
∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45°，∴PG＝QG＝ （4﹣t），
∵OG+QG＝OQ，
∴ （4﹣t）+ （4﹣t）＝t﹣2，
解得：t＝ ．
综合上述：当t为 或 时，△OPM是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的面积、相似三角形的判定及性
质、等腰三角形的性质及动点问题，熟练掌握以上知识点是解决此类综合性较强的问题的关键，同时解决
动点问题时要注意分情况考虑．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝9cm，对角线AC、BD相交于点O，点M从点D出发沿DA
方向向点A匀速运动，速度为4cm/s，点P同时从D出发，沿DC方向向点C匀速运动，速度为3cm/s．过
点M作MN∥BD交AC边于点E，交AB边于点N，连接PO并延长，交AB于Q，连接PM、MQ．设运动
时间为t（s）（0＜t＜ ）．
(1)当t＝ 时，求MN的长；
(2)设四边形MNQP的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，将△MQP沿MQ折叠时，使得点P落在直线AD上？若存在，求出此时t的值，若
不存在，说明理由．
【答案】(1)5cm
(2) （0＜t＜ ）
(3)
【分析】（1），先根据题意可得DM的长，进而得出AM，再根据勾股定理求出BD，然后根据相似三角
形的性质列出比例式，再代入数值即可得出答案；
（2），先求出 ，再表示出AM，然后根据相似三角形的性质列出比例式表示出AN，最后根据直角梯形的面积-2个直角三角形的面积得出关系式即可；
（3），先作QH⊥CD于H，并设△MQP沿MQ折叠后点P落在直线DA上的点F处，
由折叠的性质及勾股定理表示MF，进而得出AF，再说明DP＝BQ＝CH，可知AQ，最后根据勾股定理表
示出FQ2，PQ2，即可得出方程，并求出解即可．
(1)
当 时，DM＝4t＝6（cm），
∴AM＝9﹣6＝3（cm）．
∵在Rt△ABD中，AB＝12cm，BC＝9cm，
∴BD＝15（cm）．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴MN＝5（cm）；
(2)
∵PQ过矩形的中心O，
∴ （cm2）．
∵DM＝4t（cm），DP＝3t（cm），
∴AM＝（9﹣4t ）（cm）．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （cm），
∴ ，
∴ （0＜t＜ ）；
(3)
过点Q作QH⊥CD于H，设△MQP沿MQ折叠后点P落在直线DA上的点F处，则MP＝MF，QP＝FQ，
∵DM＝4t（cm），DP＝3t（cm），
∴MP＝MF＝5t（cm），
∴AF＝5t﹣（9﹣4t）＝（9t﹣9）（cm）．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴BO=DO， ，
∴∠OBQ=∠ODP．
∵∠BOQ=∠DOP，
∴△OBQ≌△ODP，
∴DP＝BQ＝CH＝3t（cm），
∴AQ＝（12﹣3t）（cm），
∴FQ2＝（12﹣3t）2+（9t﹣9）2，PQ2＝（12﹣3t﹣3t）2+92，
∴（12﹣3t）2+（9t﹣9）2＝（12﹣3t﹣3t）2+92，
∴t＝0（舍去）； ，
1
∴t的值为 ．
【点睛】这是一道关于动点的综合问题，考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质，全等
三角形的性质和判定等．
13．如图，在直角坐标系中， 的直角顶点 在 轴上， ， ．动点 从点 出发，以
每秒 个单位长度的速度，沿 向终点 移动 同时点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度，沿
向终点 移动，当两个动点运动了 秒 时，解答下列问题：
（1）求点 的坐标 用含 的代数式表示
（2）设 的面积为 ，求 与 之间的函数表达式；
（3）在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使 是直角三角形？若存在，求出 的值；若
不存在，请说明理由．【答案】（1）（x， x）；（2） ；（3）存在，x的值是2秒或 秒．
【分析】（1）根据题意由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，则NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例
式 ，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；
（2）根据题意由三角形的面积公式即可得出S是x的二次函数；
（3）由题意分两种情况：①若∠OMN=90°，则MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即
可求出x的值；②若∠ONM=90°，则∠ONM=∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即
可．
【解析】解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，
在Rt△OAB中，由勾股定理得： ，
作NP⊥OA于P，如图1所示：
则NP∥AB，
∴△OPN∽△OAB，
∴ ，
即 ，
解得：OP=x，PN= x，
∴点N的坐标是（x， x）；
（2）在△OMN中，OM=4-x，OM边上的高PN= x，∴ ，
∴S与x之间的函数表达式为 ；
（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：
分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：
则MN∥AB，
此时OM=4-x，ON=1.25x，
∵MN∥AB，
∴△OMN∽△OAB，
∴ ，
即 ，
解得：x=2；
②若∠ONM=90°，如图3所示：
则∠ONM=∠OAB，
此时OM=4-x，ON=1.25x，
∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，
∴△OMN∽△OBA，
∴ ，
即 ，
解得：x= ；
综上所述：x的值是2秒或 秒．
【点睛】本题是相似形综合题目，考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形特征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数的解析式以及最值等知识；本题难度较大，综合性强，需要进
行分类讨论，通过证明三角形相似才能得出结果．
14．如图，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度
为2cm/s；与点P同时，点Q从D点出发，沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s；过点Q作QE∥AC，交DC
于点E．设运动时间为t（s），（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t＝ 时，BP长为 cm，AQ长为 cm；
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ平分∠APC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理
由；
（3）当0＜t＜ 时，是否存在某一时刻t，使△PQE是直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存
在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，当t= 秒时，PQ平分∠APC；（3）t= 或t= 时，△PQE
是直角三角形．
【分析】（1）根据题意可直接写出；
（2）根据角平分线性质，得出AP=AQ，运用勾股定理建立方程求解即可；
（3）分三种情况讨论：①当∠QEP=90°时，先证明△QDE∽△ECP，根据相似三角形性质建立方程求解即
可；②当∠PQE=90°时，如图4，过点P作线段PI⊥AD于点I，根据△QDE∽△PIQ，建立方程求解即可；
③当∠QPE=90°，不满足题意．
【解析】解：（1）由题意知：vP=2cm/s，vQ=1cm/s且P、Q运动时间均为t s，
∴BP=2t(cm)，DQ=tcm，
∴AQ=AD-DQ=8-t，
当 时，
故答案为：
（2）如图1，当PQ平分∠APC，则有∠APQ=∠CPQ，
∵矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∴AD∥BC，AD=BC=8cm，AB=CD=6cm，∠B=90°，
∴∠CPQ=∠AQP，
∴∠APQ=∠AQP=∠CPQ，
∴AP=AQ，
∴AP2=AQ2，
∵∠B=90°，
∴AP2=AB2+BP2=62+（2t）2，
∴62+（2t）2=（8-t）2，
解得：t= ，t= ，
1 2
∵0＜t＜4，
∴t= ，
即：当t= 秒时，PQ平分∠APC；
（3）①当∠QEP=90°，如图，
∵QE∥AC，
∴△DQE∽△DAC，
∴ ，
当运动时间为t s时，QD=t cm，
∴DE= t(cm)，
EC=DC-DE=（6- t）cm，
BP=2t cm，CP=（8-2t）cm，
∵∠QED+∠EQD=90°，∠CEP+∠EQD=90°，
∴∠CEP=∠EQD，
又∵∠QDE=∠ECP=90°，
∴△QDE∽△ECP，
∴ ，即 ，解得：t= 或t=0
∵0＜t＜ ，故t=0舍去，
∴t= ；
②当∠PQE=90°时，如图，过点P作线段PI⊥AD于点I，
∵∠EQD+∠PQI=90°，∠QED+∠EQD=90°，
∴∠PQI=∠QED，
又∵∠QDE=∠PIQ=90°，
∴△QDE∽△PIQ，
当运动时间为t s时，
QD=t cm，
由（2）可知，DE= t(cm)，
BP=AI=2t(cm)，
∴QI=AD-QD-AI=8-t-2t=（8-3t）cm，
PI=AB=6cm，
∴ ，即 ，
解得：t= 或t=0，
∵0＜t＜ ，故t=0舍去，
∴t= ；
③当∠QPE=90°，不满足题意，
综上所述，t= 或t= 时，△PQE是直角三角形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形性质，勾股定
理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用方程思想和
分类讨论思想思考问题是解题关键．
15．已知：线段 和矩形 如图①摆放（点 与点 重合），点 在边 上，
．如图②， 从图①的位置出发，沿 方向运动，速度为 ；动点
同时从点 出发，沿 方向运动，速度为 ．点 为 的中点，连接 与 相交于点 ，设运动时间为 ．解答下列问题：
(1)当 时，求 的值；
(2)设五边形 的面积为 ，求 与 的关系式；
(3)当 时，求线段 的长；
(4)当 为何值时，五边形 的周长最小，最小是多少？（直接写出答案即可）
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)当 时，五边形 的周长最小，最小是
【分析】（1）利用 ，得出 ，得出t的值即可；
（2）利用分割面积的方法得出五边形的面积；
（3）利用 ，得出AQ与AC的关系，即可解决问题；
（4）将军饮马问题，做对称点求最小值．
(1)
解：
∵ ,点 为 的中点
∴AM=2， AP=8-t
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
解得： ，
当 时， ，
(2)
(3)
延长 相交于点 ，
∵ ，
∴ ， ，
解得： ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∴ ；
(4)如图所示，作M关于BE的对称点 ，当 在同一直线上时五边形 的周长最小，由题意可
得： ， ，
∵
∴
∴
∴
解得：
当 时，五边形 的周长最小，最小是 ．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，矩形的性质以及最小值的问题，能够找到相似三角形
是解决本题的关键．
16．如图，在等腰 中， ， ，点D是边BC上的动点，连接AD，将 绕点A
顺时针旋转 得到 ，连FD交AB于点E．
(1)问题探究：
①先将问题特殊化，如图1，当 ，点D是BC的中点时，则 ______ ______．
②再将问题一般化，如图2，当 ，D是BC边上任一点，求证： ．
(2)问题拓展：如图3，若 ， ，点M为AB的中点，连接MF，在D点的运动过程中，直
接写出MF的最小值．
【答案】(1)① ； ；②见解析；
(2)
【分析】(1) ①根据旋转的性质及等边三角形的判定与性质，即可求得；②根据旋转的性质及等边三角形
的判定与性质，可证得 ，据此即可证得；(2) 首先由旋转的性质可得 ，可知点F在定直线BK上运动，可得当 时，
最小，过点A作 于点H，可求得AH的长， ，再证得 ，据
此即可求得．
(1)
①解：如图：
又
是等边三角形
点D是BC的中点
，
将 绕点A顺时针旋转 得到
， ，
是等边三角形，
点E是DF的中点，
故答案为： ；
②证明：如图：
，
，又
，即
(2)
解： 将 绕点A顺时针旋转 得到
点F在定直线BK上运动
当 时， 最小
如图：过点A作 于点H
， ，点M为AB的中点
，
，
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，最小值问题，找到MF最小时，
点F的位置是解决本题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、解答题
1．（2019·宁夏·中考真题）如图，在 中， ， ， ，点 分别是边 上
的动点（点 不与 重合），且 ，过点 作 的平行线 ，交 于点 ，连接 ，设
为 ．（1）试说明不论 为何值时，总有 ∽ ；
（2）是否存在一点 ，使得四边形 为平行四边形，试说明理由；
（3）当 为何值时，四边形 的面积最大，并求出最大值．
【答案】（1）见解析；（2）当 时，四边形 为平行四边形；（3）当 时，四边形
的面积最大，最大值为 ．
【分析】（1）根据题意得到∠MQB=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；
（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；
（3）根据勾股定理求出BC，根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM，根据梯形面积公式列出二次函
数解析式，根据二次函数性质计算即可．
【解析】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ∽ ；
（2）当 时，四边形 为平行四边形，
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形；
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ∽ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
∵ ，∴ ，即 ，
解得， ，
则四边形 的面积 ，
∴当 时，四边形 的面积最大，最大值为 ．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形
的判定定理、二次函数的性质是解题的关键．
2．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在 中， ， ， ，点D为边AC的中点．
动点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合
时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点 ，连结 、 ．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AD的长为 ．
（2）用含t的代数式表示线段BP的长．
（3）当点 在 内部时，求 的取值范围．
（4）当 与 相等时，直接写出 的值．
【答案】（1）2；（2）BP=5-t或者BP=t-5；（3） ；（4） 或 ．
【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长，再根据点D为AC的中点，得到结果；
（2）由AP=t，AB=5，得出结论；
（3）分情况计算出两个临界值，当点 在AB上时，DP⊥AB，△APD∽△ACB，根据对应边成比例求出
，当点 在AC上时，PD⊥AC，点A’与点C重合，△ADP∽△ACB，根据对应边成比例求出 ，最
后得出结论；
（4）根据要求画出图形，利用折叠全等与两角对应相等，两三角形相似，证明出三角形相似，再根据对
应边成比例计算出各边的长，最后得到结果．
【解析】解：（1）∵∠C=90︒， ， ，
∴ ，
∵点D为边AC的中点，
∴AD=2；
（2）当点P在AB上时，∵AP=t，AB=5，∴BP=5-t，
当点P在BC上时，BP=t-5，
∴BP=t-5或者BP=5-t ，
（3）如图，当点 在AB上时，DP⊥AB，
∴△APD∽△ACB
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，当点 在AC上时，PD⊥AC，点A’与点C重合，
∴△ADP∽△ACB
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点 在 内部时， ，
（4）①如图，∵点A关于直线PD的对称点 ，DE⊥AA’，
∴△ADE≌△A’DE，
∵∠ABC=∠DA’E，∠ACB=∠DEA’，
∴△ABC∽△DA’E，
∴ ，
∵DA=DA’=2，AC=4，BC=3，AB=5，
∴ ，
∴ ， ，
∵△ABC∽△DA’E，
∴∠EDA’=∠ADE=∠CAB，
∴AP=DP=t，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
②如图，
∵点A关于直线PD的对称点 ，PE⊥AA’，
∴△ADE≌△A’DE，
∵∠ABC=∠DA’E，∠ACB=∠DEA’，
∴△ABC∽△DA’E，∴ ，
∵DA=DA’=2，AC=4，BC=3，AB=5，
∴ ，
∴ ， ，
∵∠DEA=∠DCP，∠C=∠DEA，
∴△DEA∽△DCP，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ．
【点睛】本题主要考查了直角三角形中的动点问题、相似三角形的判断与性质、勾股定理，解题关键在于
根据题意画出图形，再根据两角对应相等，两三角形相似证明三角形相似，再结合勾股定理求出结论．
3．（2022·浙江金华·中考真题）如图，在菱形 中， ，点E从点B出发沿折线
向终点D运动．过点E作点E所在的边（ 或 ）的垂线，交菱形其它的边于点F，在 的
右侧作矩形 ．
(1)如图1，点G在 上．求证： ．
(2)若 ，当 过 中点时，求 的长．
(3)已知 ，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与 相似
（包括全等）？
【答案】(1)见解析
(2) 或5
(3) 或 或 或
【分析】（1）证明 AFG是等腰三角形即可得到答案；
△（2）记 中点为点O．分点E在 上和点E在 上两种情况进行求解即可；
（3）过点A作 于点M，作 于点N．分点E在线段 上时，点E在线段 上时，点E
在线段 上，点E在线段 上，共四钟情况分别求解即可．
（1）
证明：如图1，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ．
∵FG BC，
∴ ，
∴ ，
∴ AFG是等腰三角形，
∴ ．
△
（2）
解：记 中点为点O．
①当点E在 上时，如图2，过点A作 于点M，
∵在 中， ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②当点E在 上时，如图3，过点A作 于点N．
同理， ，
，
∴ ．
∴ 或5．
（3）
解：过点A作 于点M，作 于点N．
①当点E在线段 上时， ．设 ，则 ，
ⅰ）若点H在点C的左侧， ，即 ，如图4，
．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是方程的根，
∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是方程的根，
∴ ．
ⅱ）若点H在点C的右侧， ，即 ，如图5，
．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
此方程无解．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是方程的根，
∴ ．②当点E在线段 上时， ，如图6， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
此方程无解．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是方程的根，
∵ ，
∴ 不合题意，舍去；
③当点E在线段 上时， ，如图7，过点C作 于点J，在 中， ．
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，符合题意，
此时， ．
④当点E在线段 上时， ，
∵ ，
∴ 与 不相似．
综上所述，s满足的条件为： 或 或 或 ．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性
质、锐角三角函数等知识，分类讨论方法是解题的关键．
4．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，在菱形 中， 是锐角，E是 边上的动点，将射线
绕点A按逆时针方向旋转，交直线 于点F．
（1）当 时，
①求证： ；
②连结 ，若 ，求 的值；（2）当 时，延长 交射线 于点M，延长 交射线 于点N，连结 ，若
，则当 为何值时， 是等腰三角形．
【答案】（1）①见解析；② ；（2）当 或2或 时， 是等腰三角形．
【分析】（1）根据菱形的性质得到边相等，对角相等，根据已知条件证明出 ，得到
，由 ， ，得到AC是EF的垂直平分线，得到 ， ，
再根据已知条件证明出 ，算出面积之比；
（2）等腰三角形的存在性问题，分为三种情况：当 时， ，得到CE= ；当
时， ，得到CE=2；当 时， ，得到CE= ．
【解析】（1）①证明：在菱形 中，
，
，
，
，
∴ （ASA），
∴ ．
②解：如图1，连结 ．
由①知， ，
．
在菱形 中， ，
∴ ，
设 ，则 ．
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．（2）解：在菱形 中， ，
，
，
同理， ，
∴ ．
是等腰三角形有三种情况：
①如图2，当 时， ，
，
，
，
．
②如图3，当 时，
，
，
，
∴ ．
③如图4，当 时，
，
，，
．
综上所述，当 或2或 时， 是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、相似三角形的判定与性质、菱形中等腰三角形的存在性问题，
解决本题的关键在于画出三种情况的等腰三角形（利用两圆一中垂），通过证明三角形相似，利用相似比
求出所需线段的长．
5．（2012·福建莆田·中考真题）(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．
求证：AB2＝AD·AC；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC
于点F． ，求 的值；
(3) 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点(点D不与B、C重合)，直线BE⊥ＡD
于点E，交直线AC于点F．若 ，请探究并直接写出 的所有可能的值(用含n的式子表
示)，不必证明．
【答案】(1)证明见解析(2)2(3) ①当点D在BC边上时， 的值为n2＋n；②当点D在BC延长线上时，
的值为n2－n；③当点D在CB延长线上时， 的值为n－n2．
【分析】（1）由证△ADB∽△ABC即可得到结论．
（2）过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，由已知用AAS证△BDE≌△CDG，得到EF是△ACG的中
位线，应用（1）的结论即可．
（3）分点D在BC边上、点D在BC延长线上和点D在CB延长线上三种情况讨论
【解析】解：(1)证明：如图①，∵ BD⊥AC，∠ABC=90°，∠ADB＝∠ABC，
又∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC ．
∴ ，∴ AB2＝AD·AC．
(2)如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G．∵ BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF．
又∵ ，
∴AB＝BC＝2BD＝2DC，BD＝DC．
又∵∠BDE＝∠CDG，∴△BDE≌△CDG（AAS）．
∴ED＝GD＝ ．
由(1)可得：AB2＝AE·AD，BD2＝DE·AD，
∴ ．∴ AE＝4DE．∴ ．
又∵CG∥BF，∴ ．
(3)
①当点D在BC边上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G．
∵ BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF．
∴△BDE∽△CDG．∴ ．
又∵ ，∴
∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nGD．
∴BC=（n＋1）DC，EG= ED．
由(1)可得：AB2＝AE·AD，BD2＝DE·AD，
∴ ．∴ AE＝ DE．∴ ．
又∵CG∥BF，∴ ．
②当点D在BC延长线上时，如图4，过点C作CH⊥AD交AD于点H．
∵ BE⊥AD，∴∠CHD＝∠BED＝90°，CH∥BF．
∴△BDE∽△CDH．∴
又∵ ，∴
∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nHD．
∴BC=（n－1）DC，EH= ED．
由(1)可得：AB2＝AE·AD，BD2＝DE·AD，
∴ ．∴ AE＝ DE．
∴ ．
又∵CH∥BF，∴ ．
③当点D在CB延长线上时，如图5，过点C作CI⊥AD交DA的延长线于点I．
∵ BE⊥AD，∴∠CID＝∠BED＝90°，CI∥BF．
∴△BDE∽△CDI．∴又∵ ，∴
∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nID．
∴BC=（1－n）DC，EI= ED．
由(1)可得：AB2＝AE·AD，BD2＝DE·AD，
∴ ．∴ AE＝ DE．
∴ ．
又∵CI∥BF，∴ ．
∴①当点D在BC边上时， 的值为n2＋n；
②当点D在BC延长线上时， 的值为n2－n；
③当点D在CB延长线上时， 的值为n－n2．
6．（2020·浙江金华·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正
半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F， 已知OB=8．
（1）求证：四边形AEFD为菱形．
（2）求四边形AEFD的面积．
（3）若点P在x轴正半轴上(异于点D)，点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P， Q，G为
顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）48；（3）点P的坐标为(12，0)，(24，0)，( ，0)，( ，0)，(16，0)
【分析】（1）结合正方形性质求得△ACE≌△ABD，从而得到AE=AD，根据邻边相等的平行四边形是菱形
证明即可．
（2）连接DE，求出 ADE的面积即可解决问题．
（3）首先证明AK=3DK，①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形．②当AP
△
为菱形的边，点Q在x轴的下方时，有图4，图5两种情形．③如图6中，当AP为菱形的对角线时，有图
6一种情形．分别利用相似三角形的性质求解即可．【解析】（1）∵DF∥AE，EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形.
∵四边形ABOC是正方形，
∴OB＝OC＝AB＝AC，∠ACE＝∠ABD＝90°.
∵点D，E是OB，OC的中点，
∴CE＝BD，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴AE＝AD，
∴ 是菱形
（2）如图1，连结DE
∵S ＝ AB·BD＝ ， S ＝ OD·OE＝ ，
ABD ODE
∴S△ ＝S －2 S － S △＝64－2 －8＝24，
AED 正方形ABOC ABD ODE
∴S ＝2S ＝48
菱形AEFD AED
△ △ △
（3）由图1，连结AF与DE相交于点K，易得 ADK的两直角边之比为1:3
△
△
1）当AP为菱形一边时，点Q在x轴上方，有图2、图3两种情况：
如图2，AG与PQ交于点H，
∵菱形PAQG∽菱形ADFE，
∴△APH的两直角边之比为1:3
过点H作HN⊥x轴于点N，交AC于点M，设AM=t
∵HN∥OQ，点H是PQ的中点，
∴点N是OP中点，
∴HN是 OPQ的中位线，
∴ON＝PN＝8－t
△
又∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PNH＝∠AMH＝90°，∴△HMA∽△PNH，
∴ ＝ ＝ ，
∴HN＝3AM＝3t，
∴MH＝MN－NH＝8－3t.
∵PN＝3MH，
∴8－t =3(8－3t)，解得t＝2
∴OP＝2ON＝2(8－t)＝12
∴点P的坐标为(12，0)
如图3， APH的两直角边之比为1:3
过点H作HI⊥y轴于点I，过点P作PN⊥x轴交IH于点N，延长BA交IN于点M
△
∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠AMH＝∠PNH，
∴△AMH∽△HNP，
∴ ＝ ＝ ，设MH＝t，
∴PN＝3MH＝3t，
∴AM＝BM－AB＝3t－8，
∴HN＝3AM＝3(3t－8) ＝9t－24
又∵HI是 OPQ的中位线，
∴OP＝2IH，
△
∴HI＝HN，
∴8＋t＝9t－24，解得 t＝4
∴OP＝2HI＝2(8＋t)＝24，
∴点P的坐标为(24，0)
2）当AP为菱形一边时，点Q在x轴下方，有图4、图5两种情况：
如图4， PQH的两直角边之比为1:3
过点H作HM⊥y轴于点M，过点P作PN⊥HM于点N
△∵MH是 QAC的中位线，
∴HM＝△ ＝4
又∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠HMQ＝∠N，
∴△HPN∽△QHM，
∴ ＝ ＝ ，则PN＝ ＝ ，
∴OM＝
设HN＝t，则MQ＝3t
∵MQ＝MC，
∴3t＝8－ ，解得t＝
∴OP＝MN＝4＋t＝ ，
∴点P的坐标为( ，0)
如图5， PQH的两直角边之比为1:3
过点H作HM⊥x轴于点M，交AC于点I，过点Q作NQ⊥HM于点N
△
∵IH是 ACQ的中位线，
∴CQ＝2HI，NQ＝CI＝4
△
∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PMH＝∠QNH，
∴△PMH∽△HNQ，∴ ＝ ＝ ＝ ，则MH＝ NQ＝
设PM＝t，则HN＝3t，
∵HN＝HI，
∴3t＝8+ ，解得 t＝
∴OP＝OM－PM＝QN－PM＝4－t＝ ，
∴点P的坐标为( ，0)
3）当AP为菱形对角线时，有图6一种情况：
如图6， PQH的两直角边之比为1:3
过点H作HM⊥y轴于点M，交AB于点I，过点P作PN⊥HM于点N
△
∵HI∥x轴，点H为AP的中点，
∴AI＝IB＝4，
∴PN＝4
∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PNH＝∠QMH＝90°，
∴△PNH∽△HMQ，
∴ ＝ ＝ ＝ ，则MH＝3PN＝12，HI＝MH－MI＝4
∵HI是 ABP的中位线，
∴BP＝2HI＝8，即OP＝16，
△
∴点P的坐标为(16，0)
综上所述，点P的坐标为(12，0)，(24，0)，( ，0)，( ，0)，(16，0)．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形
的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找相似三角形，利用相似三
角形的性质构建方程解决问题，属于中考压轴题．
