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第 29 课 相似三角形动点问题
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、解答题
1．如图①，在Rt△ABC中， ， ， ，点P由A点出发以1cm/s的速度向终点C
匀速移动，同时点Q由点C出发以2cm/s的速度向终点B匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之
停止移动．
(1)填空：在______秒时，△PCQ的面积为△ACB的面积的 ；
(2)经过几秒，以P，C，Q为顶点的三角形与△ACB相似？
(3)如图②，D为AB上一点，且 ，运动时间t为多少时， ？
【答案】(1) ；
(2)经过 秒或 秒，以P，C，Q为顶点的三角形与 ACB相似；
(3)运动时间 为1.2秒时，PQ⊥CD △
【分析】（1）分别表示出线段 和线段 的长后利用 列出方程求解；
（2）设运动时间为 ， 与 相似，当 与 相似时，可知 或
，则有 或 ，分别代入可得到关于 的方程，可求得 的值．
（3）由 ， ACD是等腰三角形，构造 ADE≌ ACE可知 从而通过相似比求出t．
(1) △ △ △
设经过 秒 PCQ的面积为 ACB的面积的 ，
△ △
由题意得：PC＝ ，CQ＝
则 ，解得： ．
故答案为：3．
(2)
设运动时间为 s，以P，C，Q为顶点的三角形与 ACB相似．
△
当 PCQ∽ ACB时，
则△有 △ ，
∴ ，
解得 ，
当 QCP∽ ACB时，
则△有 △ ，
∴ ，
解得 ．
因此，经过 秒或 秒，以P，C，Q为顶点的三角形与 ACB相似．
(3) △
如图②，过点A作 ，连接DE．
∵ ，
∴ ACD是等腰三角形，
∵ ，
△
∴∠DAE＝∠CAE，
∵AE＝AE
∴ ADE≌ ACE
∴DE＝CE，∠ADE＝∠ACE＝90°
△ △在Rt ACB中， ， ，
∴AB＝10cm
△
∴DB＝4cm
设CE＝ ，则DE＝ ，BE＝ ，
在Rt DEB中，
∴ △
解得 ＝3，即CE＝3
∵ ，
∴
∴ ，即
解得t＝1.2
因此，运动时间 为1.2秒时，PQ⊥CD．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解题关键是要读懂
题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
2．如图，在菱形 中， ，点E从点B出发沿折线 向终点D运动．过点E
作点E所在的边（ 或 ）的垂线，交菱形其它的边于点F，在 的右侧作矩形 ．
(1)如图1，点G在 上．求证： ．
(2)若 ，当 过 中点时，求 的长．
(3)已知 ，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与 相似
（包括全等）？
【答案】(1)见解析
(2) 或5
(3) 或 或 或
【分析】（1）证明 AFG是等腰三角形即可得到答案；
（2）记 中点为点O．分点E在 上和点E在 上两种情况进行求解即可；
△
（3）过点A作 于点M，作 于点N．分点E在线段 上时，点E在线段 上时，点E
在线段 上，点E在线段 上，共四钟情况分别求解即可．
（1）
证明：如图1，∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ．
∵FG BC，
∴ ，
∴ ，
∴ AFG是等腰三角形，
∴ ．
△
（2）
解：记 中点为点O．
①当点E在 上时，如图2，过点A作 于点M，
∵在 中， ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②当点E在 上时，如图3，过点A作 于点N．
同理， ，
，
∴ ．
∴ 或5．
（3）
解：过点A作 于点M，作 于点N．
①当点E在线段 上时， ．设 ，则 ，
ⅰ）若点H在点C的左侧， ，即 ，如图4，
．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是方程的根，
∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是方程的根，
∴ ．
ⅱ）若点H在点C的右侧， ，即 ，如图5，
．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
此方程无解．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是方程的根，
∴ ．②当点E在线段 上时， ，如图6， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
此方程无解．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是方程的根，
∵ ，
∴ 不合题意，舍去；
③当点E在线段 上时， ，如图7，过点C作 于点J，在 中， ．
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，符合题意，
此时， ．
④当点E在线段 上时， ，
∵ ，
∴ 与 不相似．
综上所述，s满足的条件为： 或 或 或 ．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性
质、锐角三角函数等知识，分类讨论方法是解题的关键．
3．如图，已知点 在 轴的负半轴上，点 在 轴的正半轴上， ， ，点 在线段 上，从
点 出发以每秒5个单位长度的速度向点 运动，设运动时间为 秒，过点 作 轴于点
．
(1)当 时，线段 的长为________；
(2)当 时，求 的值；(3)在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形，若存在，直接写出点 的坐标，若不存在，说明理
由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，M(-8，0)， (2，0)， (3，0)， ( ，0)
【分析】（1）由已知可得线段PQ为三角形的中位线，根据三角形中位线定理可以得到解答；
（2）由已知可得△BPQ∽△BAQ， ，把上面等式用含t的代数式表示出来，然后解方程即可；
（3）分MA=MB，AM=AB，BM=BA三种情况讨论．
（1）
解：由题意可得：当 时，PA=PB，且PQ∥AO，
∴ ，BQ=QO，
∴PQ为三角形ABO的中位线，
∴PQ= AO= ,
故答案为 ；
（2）
解：由题可知，PA=PQ=5t， ∴ PB=AB-PA=5-5t
∵PQ∥AO ∴∠BPQ=∠BAO
又∵BQP=∠BOA=90°
∴△BPQ∽△BAO
∴ 解得：t=
（3）
：由题意可设满足条件的M为（x，0），则可分三种情况：
如图，MA=MB，
则MA2=MB2，
∴（x+3）2=OM2+OB2=x2+AB2-AO2=x2+16，解之可得：x= ，
∴M为（ ，0）；
如图，AM=AB，
则有|x+3|=5，
解之可得：x=2或x=-8，
∴M为（2，0）或（-8，0）；
如图，BM=BA，
则BM2=BA2，
∴x2+16=25，
解之可得：x=3或x=-3（舍去），
∴M为（3，0）；
∴满足条件的M为：（-8，0)或 (2，0)或 (3，0)或 ( ，0)．
【点睛】本题考查三角形的动点问题，熟练掌握三角形中位线的定义和性质、三角形相似的判定和性质、
等腰三角形的性质、方程思想与勾股定理的应用是解题关键 ．
4．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿
AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个
点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．
设运动时间为t(s)(0
