文档内容
第 27 课 图形的相似（选填题 50 道）
一、单选题
1．下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．4cm，6cm，3cm．5cm
C．5cm，15cm，2cm．6cm D．3cm，4cm，2cm，5cm
【答案】C
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，
排除错误答案．
【解析】解：A、1×4≠2×3，故选项错误，该选项不符合题意；
B、3×6≠5×4，故选项错误，该选项不符合题意；
C、2×15=5×6，故选项正确，该选项符合题意；
D、2×5≠3×4，故选项错误，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外
两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
2．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把原式变形为 ，再代入，即可求解．
【解析】解：∵ ，
∴
故选：D【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，根据题意，把原式变形为 是解题的关键．
3．下列命题中，正确的是（ ）
A．所有的正方形都相似 B．所有的菱形都相似
C．边长相等的两个菱形都相似 D．对角线相等的两个矩形都相似
【答案】A
【分析】两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形，根
据相似多边形的定义逐项判断即可．
【解析】解：A.所有的正方形都相似，故选项正确，符合题意；
B.菱形的边成比例，但角不一定相等，故选项错误，不符合题意；
C.边长相等的两个菱形都不一定相似，故选项错误，不符合题意；
D.对角线相等的两个矩形边不一定成比例，所以不一定相似，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查命题、相似多边形的定义，解题的关键是熟练掌握相似多边形的概念．
4．一个四边形 各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形 最长边为15，则
的最短边长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】设四边形 最短边长为x，根据相似多边形的性质列得2：x=5：15，，从而求出x．
【解析】设四边形 最短边长为x，
∵四边形 相似四边形 ，
∴2：x=5：15，
解得x=6，
故选：C．
【点睛】考查了相似多边形的性质，理解并掌握相似多边形的性质是解题的关键．
5．如图，以点 为位似中心，把 放大2倍得到 ．下列说法错误的是( )A． B．
C． D．直线 经过点
【答案】B
【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可．
【解析】解：∵以点 为位似中心，把 放大2倍得到 ，
∴ ， ，直线 经过点 ， ，
∴ ，
∴A、C、D选项说法正确，不符合题意；B选项说法错误，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质．掌握位似三角形的性质是解题的关键．
6．在比例尺为1∶100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm，它的实际长度约为（ ）
A．100km B．2000m C．10km D．20km
【答案】B
【分析】根据实际距离=图上距离÷比例尺列出算式，再进行计算即可．
【解析】解：2÷ =200000（cm）=2（km），
答：甲、乙两地的实际距离是2000m．
故选：B．
【点睛】此题考查了比例线段，掌握图上距离、实际距离和比例尺的关系是解题的关键，注意单位的换算．
7．下列说法正确的是（ ）
A．两个直角三角形相似
B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似
C．有一个角为40°的两个等腰三角形相似
D．有一个角为100°的两个等腰三角形相似
【答案】D
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可得解．
【解析】解：A、∵两个直角三角形只有一组角相等，∴两个直角三角形不一定相似，故选项A不合题意；
B、∵两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，
∴两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形不一定相似，
故选项B不合题意；
C、∵底角为40°的等腰三角形和顶角为40°的等腰三角形不相似，
∴有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不合题意；
D、∵有一个角为100°的两个等腰三角形相似，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
8．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是（ ）
A． ＝ ＝ B． ＝
C． ＝ ＝ D． ＝
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质判断求解即可．
【解析】解：∵△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，
∴ ＝ ＝ ，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答的关键．
9．已知线段 ， ， ， 是成比例线段， ， ， ，那么 的值是（ ）
A．1 B．1.6 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据成比例线段的概念，得a: b=c: d ，再根据比例的基本性质，求得d的值
【解析】∵线段a、 b、c、d成比例，
∴ a:b=c:d，∴
又∵ ， ， ，
∴
故选：D
【点睛】本题考查成比例线段的概念，要理解掌握成比例线段的概念，写比例式的时候，要特别注意按照
字母的顺序进行．
10．已知线段 ，点P是线段AB的黄金分割点 ，则线段AP的长为（ ）
A． B．－ C． D．
【答案】D
【分析】根据黄金分割的定义即可解答．
【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点 ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】此题考查了黄金分割，应该熟记黄金分割的公式：较长线段=原线段长的 倍．
11．如图，在△ABC中，DE∥BC， ＝ ，△ADE的面积是4，则△ABC的面积为（ ）
A．12 B．9 C．10 D．8
【答案】B
【分析】根据 的相似比可得到其面积比等于相似比的平方，即可根据此求得△ABC的面积．
【解析】解： ∵
∴ ，
∴
∴
∵
∴
故选：B
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，相似三角形的面积之比，理解并学会用相似比的求面积比
是解题的关键．
12．如果线段a=2cm，b=8cm，那么a、b的比例中项等于（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【答案】B
【分析】由比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，列出比例式
即可得出中项，注意线段不能为负．
【解析】解：设它们的比例中项是x，则
x2＝2×8，
x＝±4
∵线段是正数，x＝ ﹣4不合题意，舍去，
∴ x＝4
故选：B．
【点睛】此题考查了比例线段，理解比例中项的概念是解题的关键．
13．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE=2，AC=4，AD=3，
则AB为（ ）A．9 B．6 C．3 D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得
的对应线段成比例，据此可得结论．
【解析】解：∵ ，
∴根据平行线分线段成比例定理可得 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例运用，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长
线），所得的对应线段成比例．
14．如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）
A．①与② B．①与③ C．③与④ D．②与③
【答案】B
【分析】分别根据网格的特点求得各三角形三边的长，根据三边对应成比例判断两三角形相似即可．
【解析】解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为： ，2， ，②号三角形的三边长分别为： ， ，3，
③号三角形的三边长分别为：2， ， ，
④号三角形的三边长分别为： ，3， ，
，
①与③相似，故B选项正确，符合题意；其他选项不正确
故选：B．
【点睛】本题考查了网格中判断相似三角形，分别求得各三角形的边长是解题的关键．
15．已知 ，AB与DE的长度比为2：1，且 的面积为16，则 的面积为（ ）
A．4 B．8 C．32 D．16
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方，可知 的面积．
【解析】解：∵ ，AB与DE的长度比为2：1，
∴ ： = ：1=4∶1，
∵ =16，
∴ =4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的基本性质，掌握相似三角形的面积比与相似比的关系是解题的关
键．
16．如图，点P在 的边 上，下列条件中不能判断 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们
的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
【解析】解：A.∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，
∴△ABP∽△ACB，故选项不符合题意；
B.∵∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故选项不符合题意；
C.∵∠A＝∠A，AB2＝AP•AC，即 ，
∴△ABP∽△ACB，故选项不符合题意；
D.根据 和∠A＝∠A不能判断 ABP∽△ACB，故选项符合题意．
△
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与两边对应成比
例且夹角相等的三角形相似定理的应用．
17．如图， ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得 ，根据题意， ，进而求解．
【解析】∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用平行线分线段成比例定理是解本题的关
键．
18．如图，将 以O为位似中心，扩大到 ，各点坐标分别为 ， ， ，则点
C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先设比例系数为k，根据2k=6求出k值，进一步求出点C坐标．
【解析】解：设比例系数为k，则有2k=6，
解得k=3，
∴点C的坐标为（1×3，2×3），即为（3，6），
故选：B．
【点睛】本题考查位似变化，掌握位似变换中点的坐标变化特征是解决问题的关键．
19．如图，△ABC中，点B，C是x轴上的点，且A（3，2），以原点O为位似中心，作△ABC的位似图
形△A′B′C′，且△ABC与A′B′C′的相似比是1：2，则点A′的坐标是（ ）
A．（﹣6，﹣4） B．（﹣1.5，﹣1）
C．（1.5，1）或（﹣1.5，﹣1） D．（6，4）或（﹣6，﹣4）
【答案】D【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解析】解：∵以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，且相似比是1：2，
A（3，2），
∴点A′的坐标是（3×2，2×2）或（3×（﹣2），2×（﹣2）），
即（6，4）或（﹣6，﹣4），
故选：D．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中利用位似性质求位似图形上点的坐标，熟练掌握位似定义和性质是解
决问题的关键．
20．将 沿 方向平移 得到 ， 与 重叠部分 的面积是 面积的 ，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】移动的距离可以视为 或 的长度，根据 与 重叠部分 的面积是 面积
的 ，得出 的方程，进而求解．
【解析】解： 将 沿 方向平移得到 ，
，
∽ ，
，
与 重叠部分 的面积是 面积的 ，
，
解得 ，
故选：B．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于求证 与阴影部分为相似三
角形．
21．如图是一架梯子的示意图，其中 ，且 ．为使其更稳固，将A，
间加一条安全绳（线段 ）， 分别交 ， 于点E，F，量得 ．则 的长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到 ，同理得到 ，计算即可．
【解析】解： ，
，
，
，
同理可得： ，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
22．如图，将含30°的直角三角尺放在矩形ABCD中，三角尺的30°角的顶点与点B重合，其余角的顶点分
别在AD和CD边的点E，F处，若点E恰好为AD的中点，则 的值是( )A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两个角相等可证明△ABE∽△DEF，得 ，再根据∠EBF＝30°，得BE＝
EF，设DF＝x，则AE＝ x，从而得出AB和CF的长度，即可解决问题．
【解析】解：∵∠BEF＝90°，
∴∠AEB+∠DEF＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠DEF＝∠ABE，
∵∠A＝∠D，
∴△ABE∽△DEF，
∴ ，
∵∠EBF＝30°，
∴BE＝ EF，
∴设DF＝x，则AE＝ x，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE＝ x，
∴AB＝3x，
∴CF＝CD﹣DF＝3x﹣x＝2x，∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，利用参数表示
各线段长是解题的关键．
23．如图，在 中，D在AC边上，AD:DC=1:2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若
BE=1，则EC=（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】过点D作 交BC于F，根据平行线分线段成比例定理可得， ， ，
再根据O是BD的中点，可得BE=EF，进而解答即可．
【解析】解：过点D作 交BC于F，如图，
∵ ，
∴ ，
∵O是BD的中点，
∴BO=OD，
∴BE=EF，∵ ，
∴ ，
∴CF=2EF，
∴BE:EC=BE:3BE=1:3，
∵BE=1，
∴EC=3，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平
行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键．
24．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是 ，点B的横坐标为 ，则矩形AOBC的面积为（ ）
A． B．5 C． D．3
【答案】A
【分析】分别过A、B两点作x轴的垂线，垂足分别为E、M，则易得△AOE∽△OBM，则可求得BM的长，
从而可得OB的长，再由勾股定理可得OA的长，最后可求得矩形的面积．
【解析】分别过A、B两点作x轴的垂线，垂足分别为E、M，如图所示，
∴∠AEO=∠BMO=90゜，
∴∠AOE+∠OAE=90°，
∵四边形AOBC是矩形，
∴∠AOB=90°，∴∠AOE+∠BOM=90°，
∴∠OAE=∠BOM，
∴△AOE∽△OBM，
∴ ．
∵点A的坐标是 ，点B的横坐标为 ，
∴OE=2，AE=1， ，
∴ ，
分别在Rt△AOE、Rt△BOM中，由勾股定理得： ， ，
∴矩形AOBC的面积为： ，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明两个三角形相似是问题
的关键．
25．如图，在 中， 、 分别是边 上两个三等分点， 、 分别交 、 、 于 、 、
，则 （ ）
A．3：2：1 B．5：3：2 C．6：5：4 D．5：4：3
【答案】B
【分析】过 作 ，交 于 ， 于 ，根据三角形中位线定理得到 ，得到 ，
，得到 、 与 的关系，求比即可．
【解析】解：过 作 ，交 于 ， 于 ，为 中点，
是 的中位线，
， ，
，
，
，
，
，
是 的中位线，
，
，
，
， ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，解题的关键是灵活运用定理、找准
对应关系．
26．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2 ．点D和点E分别是BC边和AB边上两点，连
接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处，设DE与BB交于点F，则EF
＝（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AB AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，得到
AH＝B′H AB′，求得AH＝B′H＝1，根据勾股定理得到BB′ ，由折叠的
性质得到BF BB′ ，DE⊥BB′，根据相似三角形即可得到结论．
【解析】解：∵在等腰Rt ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2 ，
△
∴AB AC＝4，∠A＝∠B＝45°，
过B′作B′H⊥AB与H，
∴△AHB′是等腰直角三角形，
∴AH＝B′H AB′，
∵AB′ AC ，
∴AH＝B′H＝1，
∴BH＝3，
∴BB′ ，
∵将 BDE沿DE折叠，得到 B′DE，
△ △∴BF BB′ ，DE⊥BB′，
∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，
∵∠EBF＝∠B′BH，
∴△BFE∽△BHB′，
∴ ，
∴ ，
∴EF ，
故答案为： ．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，折叠问题，相似三角形的判定与性质，正确
作出辅助线是解题的关键．
27．如图，在 中， ， ， ，点P是边 上一动点，点D在边 上，且
，则 的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】延长 到点 ，使得 ，连接 ， ，过 作 于点 ，则
，当点 、 、 三点共线时， 为最小值，求得 的值便可．
【解析】解：延长 到点 ，使得 ，再连接 ， ，过 作 于点 ，如图，， ， ，
，
，
，
，
， ，
，
∴ ，
，
， ，
，
，
，
当点 、 、 三点共线时，取等号，
∴ 为 的最小值．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理、相似三角形的判定
与性质，解题的关键是掌握求 的最小值的方法．
28．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若 ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点H作 交DE于点Q，HG交DE于点N，
【解析】解：如图所示，过点H作 交DE于点Q，HG交DE于点N，设 利用
得到三角形相似，对应线段成比例，求出 从而得到 即可得出结
果．
∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，
设即
即
即
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形相似，得出对应线段成比例，由线段平行，得出三角形相似是解本题的关
键．
29．如图，在矩形ABCD中，DE平分 交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）．点P
为DE上一动点， ，将 绕点P逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA于H，G两点，有下
列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中一定正确的是
（ ）A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】D
【分析】根据旋转的性质判断得 ，可判断③正确，证 可判断④正确，
从而得出结果.
【解析】解：根据旋转的性质可知， ，
∵DE平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴PH=PD，
∵
∴
在 和 中，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故③正确；
∵ ，
∴
∴
即 ，
故④正确；
根据已知条件无法证明①DH=DE，②DP=DG.
故选：D．【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的全等、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关
键．
30．如图，正方形 ，点E，F分别在边 ， 上， ， ， 与 交于点
M， 与 交于点N．有如下结论：① ；② ；③ ；④
．上述结论中，所有正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】证明 ADF≌△DCE（SAS），得出∠ADF+∠DEC=90°，①正确；设AF=2，利用AB CD证明
△
AFN∽△CDN，即可判断②正确；设 ANF的面积为m，由AB CD，得到 ，
△ △
AFN∽△CDN，由此得到 AND的面积为3m， ADC的面积= ABC的面积=12m，由此判断③错误；证明
△ 即可判断④△正确． △ △
【解析】解：正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵AF=DE，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠AFD=∠DEC，
∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DEC=90°，
∴∠DME=90°，
∴CE⊥DF，故①正确；
设AF=2，则FB=4，AB=CD=AD=6，
∴ ，
∵AB CD，∴△AFN∽△CDN，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
设△ANF的面积为m，
∵AB CD，
∴ ，△AFN∽△CDN，
∴△AND的面积为3m，△CDN的面积为9m，
∴△ADC的面积=△ABC的面积=12m，
∴ ，故③错误；
由题可知 ，
四边形 为正方形，
，故④正确．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟记各定理是
解题的关键．二、填空题
31．若 ，则 ______．
【答案】
【分析】直接利用比例的性质进而用同一未知数表示出x，y，进而化简得出答案．
【解析】解：∵ ，
∴设x＝2a，y＝a，
则 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．
32．如图，已知 ＝ ，AD＝6 cm，DB＝4 cm，EC＝4 cm，则AC＝______ cm．
【答案】10
【分析】根据比例式代入相关数据求得AE的长即可．
【解析】解：∵ ＝ ，且AD＝6 cm，DB＝4 cm，EC＝4 cm，
∴ ＝ ，
∴AE＝6cm，
∴AC＝AE＋EC＝6＋4＝10cm，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是根据比例式求得相关未知线段长，难度不大．
33．如图，在河两岸分别有A，B两村，现测得A，B，D在一条直线上，A、C、E在一条直线上，
，若 米， 米， 米，则A、B两村间的距离为___________米．【答案】70
【分析】只要证得 ，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解．
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 米， 米， 米，
∴ ，解得 （米），
故答案为：70
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
34．如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；
③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，添加其中一个条件能满足△APC和△ACB相似的条件有 _____种情
况．
【答案】3
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对
应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．
【解析】①当∠ACP=∠B，
∵∠A=∠A，
∴ ，∴①符合题意；
②当∠APC=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴ ，
∴②符合题意；
③当 ，
即 ，
∵∠A=∠A
∴ ，
∴③符合题意；
④∵当 ，即 ，
而∠PAC=∠CAB，
以上条件不能判断△APC和△ACB相似，
∴④不符合题意；
即有①②③这三种情况可得出 ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组
角对应相等的两个三角形相似．
35．如图， AOB三个顶点的坐标分别为A(4，0)，O(0，0)，B(2，6)，以点O为位似中心，将 AOB在第
△ △
一象限缩小，若点B的对应点 的坐标(1，3)，则 的比值为_________．
【答案】 ##0.25
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解析】解：如图，
∵ 的坐标(1，3) ，B(2，6)
∴位似比为1：2
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决
问题．
36．如图，直线a∥b∥c， ＝5，则 ＝_____．
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解析】解：∵直线a∥b∥c，
∴ ，
∴ ．故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
37．如图， 分别为矩形 的边 ， 的中点，若矩形 与矩形 相似，则相似比等于
__________.
【答案】 （或 ）
【分析】根据矩形的性质可得EF=AB=CD，AE= AD= BC，根据相似的性质列出比例式，即可得出
，从而求出相似比.
【解析】解：∵ 分别为矩形 的边 ， 的中点，
∴EF=AB=CD，AE= AD= BC，
∵矩形 与矩形 相似
∴
∴
∴
∴相似比 ＝ （或 ）
故答案为： （或 ）.
【点睛】此题考查的是求相似多边形的相似比，掌握相似多边形的性质是解决此题的关键.
38．若两个相似多边形面积比为4：9，则它们的周长比是________．
【答案】2：3
【分析】根据相似多边形周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方解答即可．
【解析】∵两个相似多边形面积比为4：9，∴两个相似多边形相似比为2：3，∴两个相似多边形周长比为2：3．
故答案为2：3．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比
等于相似比的平方是解题的关键．
39．如图，四边形 与四边形 位似，其位似中心为点 ，且 ，则 ____．
【答案】
【分析】利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且 ，
∴ ，
则 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
40．已知点 、 的坐标分别为 、 ，以原点 为位似中心，按相似比 把 缩小，
△
则点 的对应点 的坐标为__________．
【答案】（-2，1）或（2，-1）##（-2，1）或（2，-1）
【分析】根据题意利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以 或 ，即可得出点 的对应点 的坐标．
【解析】解：∵点A（-4，2），B（-1，-1），以原点O为位似中心，相似比为 ，把 ABO缩小，
△
∴点A的对应点A'的坐标是：（-2，1）或（2，-1）．
故答案为：（-2，1）或（2，-1）．【点睛】本题主要考查位似图形的性质，根据题意得出位似图形对应点坐标性质是解题的关键．
41．如图，在 中， ，点D在 上（不与点A，C重合），只需添加一个条件即可证明
和 相似，这个条件可以是____________（写出一个即可）．
【答案】∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或 或BC2=AC·DC（答案不唯一）
【分析】相似三角形的判定定理：①两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；②两角对应相等的两
个三角形相似．据此解答即可．
【解析】解：∵∠C=∠C
∴添加∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或 或BC2=AC·DC．
故答案为：∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或 或BC2=AC·DC（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了补充条件使两个三角形相似．解题的关键是熟知相似三角形的判定定理，特别注意用
对应边成比例和一个角相等判定三角形相似的时候，其中相等的角一定要是这两条边的夹角．
42．如图，在△ABC中，DE∥BC，DC、BE交于点O，若 ＝ ，则S DEO∶S BOC=__________．
△ △
【答案】1：9##
【分析】根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，△ODE∽△OCB，根据相似三角形的性质利用相似比求出
面积比即可．
【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵ ＝ ，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴△ODE∽△OCB，
∵
∴S DEO∶S BOC=1：9
△ △
故答案为：1：9．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题关键是明确相似三角形的面积比等于相似比的平方．
43．如图，在 中， ，点D，E分别在边AB，AC上， ， 且
，则 ______．
【答案】 ##2.4
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出两三角形的相似比，从而对应边的比等于相
似比进行求解即可．
【解析】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方．
44．如图，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形HEFG的四个顶点均在△ABC的边上，则正方
形HEFG的边长为 ___．
【答案】4 cm
【分析】设正方形的边长为x cm，然后根据相似三角形的性质列出比例式即可求出答案．
【解析】解：设正方形的边长为xcm，
∴AP＝AD﹣PD＝6﹣x，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴ ，
∴ ＝ ，
解得：x＝4，
故答案为：4cm
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，设正方形的边长，
列出方程．45．如图，AD是 ABC的中线，M是AD的中点，延长BM交AC于点N，若AC=4，则AN=______．
【答案】 ##
【分析】作DE BN交AC于E，根据平行线分线段成比例定理得到NE＝EC和AN＝NE，即可得到答案．
【解析】解：如图，作DE BN交AC于E，
∵AD是 ABC的中线，
∴BD＝DC，
又∵DE BN，
∴ ，
∴NE＝EC，
∵DE∥BN，AM＝MD，
∴ ，
∴AN＝NE，
∴AN＝NE＝EC，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系得到相关的比例是解题的关键．
46．如图，菱形ABCD与菱形AEFG相似，AEFG的顶点G在ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点
H， ．若 ， ，则菱形ABCD的边长为______．
【答案】9
【分析】连接AC，首先证明 ABC是等边三角形，再证明 BGH∽△CAG，推出 ，由此构建方程
△ △
即可解决问题．
【解析】解：连接AC．
∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠B=∠E=∠AGF=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，设AB=BC=AC=a，则BH=a-7，BG=a-3，
∴∠ACB=60°，
∵∠AGB=∠AGH+∠BGH=∠ACG+∠CAG，
∵∠AGH=∠ACG=60°，∴∠BGH=∠CAG，
∵∠B=∠ACG，
∴△BGH∽△CAG，
∴ ，
∴ ，
∴a2-10a+9=0，
∴a=9或1（舍弃），
∴AB=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相
似三角形解决问题．
47．如图，在 中， ， ， ，动点 以 的速度从 向 移动，
不与 重合 ，动点 以 的速度从 向 移动， 不与 重合 ，若 、 同时出发，经过______秒
后， 与 相似．
【答案】 或
【分析】设x秒后 PBQ与原三角形相似，则可用x表示出AP=2x，PB=12-2x，BQ=4x，由于 PBQ和
ABC有公共角∠△B，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，分两种△情况．
△
【解析】解：设 秒后 与 相似，则 ， ， ，
，
当 时， ∽ ，
即 ，解得 ；
当 时， ∽ ，
即 ，
解得 ．
即经过 秒或 秒后， 与 相似．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
48．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点D'处，折
痕为EF，则DD'的长为 _____．
【答案】
【分析】根据折叠的性质即可求得AD′=CD=6；连接AC，根据勾股定理求得AC=10，证得
（AAS），根据全等的性质得：D′F=BE，根据勾股定理列出关于线段BE的方程，解方程
求得BE的长，即可求得 ，然后通过证 ，利用相似三角形的性质即可求得DD′．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB= CD=6，
∵AD′=CD，
∴AD′=6；
连接AC，∵AB=6，BC=AD=8，∠ABC=90°，
∴由勾股定理得： ，
∵∠BAF=∠D′AE=90°，
∴∠BAE=∠D′AF，
在△BAE和△D′AF中
，
∴ （ASA），
∴D′F=BE，∠AEB=∠AFD′，
∴∠AEC=∠D′FD，
由题意知：AE=EC；
设BE=x，则AE=EC=8-x，
在Rt△ABE中，∠B=90°，由勾股定理得：
（8-x）2=62+x2，
解得： ，
∴BE= ，AE=8- = ，
∴ ，则： ，
∵∠AD′F=∠D′AE=90°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、
相似三角形的性质，勾股定理等几何知识点来解题．
49．如图，在 ABC中，AB=9、BC=6，∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB交于AB点D，点M是AC一动点
△
（AM＜ AC），将 ADM沿DM折叠得到 EDM，点A的对应点为点E，ED与AC交于点F，则CD的
△ △
长度是__________；若ME//CD，则AM的长度是___________；
【答案】 5 2.5
【分析】（1）根据已知条件可得∠ACD=∠A=∠BCD，所以AD=CD，然后证明 ABC∽△CBD，进而可以解
决问题； △
（2）由翻折可得AM=EM，∠CAD=∠E，，由ME∥CD，可得∠E=∠EDC，DF//BC，且DF=CF，进而得到
ΔADF∽ΔABC，求出DF、CF的长，再由AF：CF=AD：BD求出AF及MF的长， 再证明ΔMEF∽ΔCDF，
最后求得AM的长．
【解析】（1）∵∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD=∠CAD，
∵∠B=∠B，
∴ΔBCD∽ΔBAC，
∴BC：AB=BD：BC，
即6：9=BD：6，BD=4，
∴AD=CD=9-4=5；
（2）∵ ADM沿DM折叠得到ΔEDM，
∴AM=EM△，∠CAD=∠E，
∵ME//CD，∴∠E=∠CDE，
∵∠BCD=∠ACD=∠CAD，
∴∠CDE=∠BCD=∠ACD，
∴DF//BC，且DF=CF，
∴ΔADF∽ΔABC，
∴DF：BC=AD：AB，
即DF：6=5：9，
解得DF= ，
∴CF= ；
∵DF//BC，
∴AF：CF=AD：BD，
即AF： =5：4，
解得：AF= ，
设AM=ME=x，则MF= -x；
∵ME//CD，
∴ΔMEF∽ΔCDF，
∴ME：CD=MF：CF，
即x：5=（ -x）： ，
解得x=2.5；
故答案：5； 2.5；
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，解决本题的关键是得到CM=DE=5，然后由
ABC∽△CBD解决问题．
△50．如图，菱形 中， ，点 、 分别为边 、 上的点，且 ，连接 、
交于点 ，连接 交 于点 ， 则下列结论：① ≌ ，② ，③
，④ 中，正确的是______．【答案】①②③④
【分析】由菱形ABCD中，AB=AC，易证得 ABC是等边三角形，则可得∠B=∠EAC=60°，由SAS即可证
得 ABF≌△CAE；则可得∠BAF=∠ACE，利用△三角形外角的性质，即可求得∠AHC=120°；在HD上截取
HK△=AH，连接AK，易得点A，H，C，D四点共圆，则可证得 AHK是等边三角形，然后由AAS即可证得
AKD≌△AHC，则可证得AH+CH=DH；易证得 OAD∽△AHD，△由相似三角形的对应边成比例，即可得
△AD2=OD•DH． △
【解析】解：①∵四边形 是菱形，
，
，
，
即 是等边三角形，
同理： 是等边三角形
，
在 和 中，
，
≌ ；
故①正确；
②由①得 ，
，
；
故②正确；
③在 上截取 ，连接 ，，
点 ， ， ， 四点共圆，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
；
故③正确；
④∵ ， ，
∽ ，
： ： ，
．
故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的
判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
