文档内容
专题突破卷 15 三角形的“四心”及奔驰定理
1.内心问题
1．已知点 是 所在平面上的一点， 的三边为 ，若 ，则点 是
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
2．已知点O是 的内心， ， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
3．三角形的四心是指三角形的重心､外心､内心､垂心.三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点（或
三角形外接圆的圆心），三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点（或内切圆的圆心），三角形的垂
心是三角形三边上的高所在直线的交点，三角形的重心是三角形三条中线的交点.三角形的四心具有丰富的
数学知识与内在联系.当且仅当三角形是正三角形的时候，重心､垂心､内心､外心四心合一，称作正三角形
的中心.如图， 是 的垂心， 分别交 于 ，则 是 的（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
4．校考期末）已知 为 的内心，且满足 ，若 内切圆半径为2，则其外接圆
半径的大小为（ ）
A． B．3 C． D．4
5．在 中， ， ， ， 是 的内心，若 ，其中 ，
则动点 的轨迹所覆盖图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．设 为 的内心， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2.外心问题
7． 中， 为 边上的高且 ，动点 满足 ，则点 的轨迹一定过
的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
8．M为△ABC所在平面内一点，且 ，则动点M的轨迹必通过△ABC的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
9．已知点O为 所在平面内一点，在 中，满足 ， ，则点O为
该三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 210．在 中，设 ，那么动点 的轨迹必通过 的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
11．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
， ，则P的轨迹一定经过 的_____．(从“重心”，
“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）
12．在 中，动点P满足 ，则P点轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3.垂心问题
13．（多选）已知 ， 在 所在的平面内，且满足 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A． 为 的外心
B． 为 的垂心
C． 为 的内心
D． 为 的重心
14．（多选）已知 为 的垂心，面积为 ， ， ，则一定有（ ）
A． B． C． D．
15．已知 为 的垂心（三角形的三条高线的交点），若 ，则 _____.
16．已知 的垂心为点 ，面积为15，且 ，则 _____；若 ，则
_____.
17．若 是 内一点，且 ，则 为 的（ ）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34.重心问题
18．若 是 内一点， ，则 是 的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
19．已知 为 所在平面内一点， 是 的中点，动点 满足 ，则点
的轨迹一定过 的（ ）
A．内心 B．垂心 C．重心 D． 边的中点
20．边长为2的等边三角形ABC的重心为G，设平面内任意一点P，则 的最小值为_____．
21．已知 是平面上的4个定点， 不共线，若点 满足 ，其中 ，
则点 的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
22．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足： ＝
，则直线AP一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
23．O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足 ， ，
则P的轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心
5.奔驰定理
24．设点 在 内部，且 ，则 与 的面积之比为_____.
25．已知点A，B，C，P在同一平面内， ， ， ，则 等于（ ）
A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 426．已知 是 内的一点，若 的面积分别记为 ，则
.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 很相似，故形象地称其为“奔驰定
理”.如图，已知 是 的垂心，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
27．如图所示，点 是 内一点，若 ， ， ，且 ，则
_____.
28．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”
（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 是 内的一点，
， ， 的面积分别为 ， ， ，则 .若 是锐角 内
的一点， ， ， 是 的三个内角，且点 满足 .则（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5A． 为 的外心
B．
C．
D．
29．奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则
．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形
与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若 是锐角 内的一
点， ， ， 是 的三个内角，且点 满足 ，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 61．已知点O是边长为 的等边△ABC的内心，则 ＝_____．
2．已知点 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ，
，则点 的轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3．在 中， ，点D，E分别在线段 ， 上，且D为 中点， ，若
，则直线 经过 的（ ）.
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
4．在平行四边形 中， 为 的重心， ，则 _____．
5．设点O在 的内部，且 ，则的面积 与 的面积之比是_____
6．（多选）已知点 是 所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 ，则 为 的内心
C．若 为 的重心， 是 边上的中线，则
D．若 ，则
7．已知点 ， ， 在 所在平面内，且 ， ，
，则点 ， ， 依次是 的（ ）
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 78．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是平面△ABC上一点，且满足a b c
，则G是△ABC中的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
9．（多选） 中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，O为其重心， ， ， 分别是边a，b，c
上的高．若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D． 是钝角三角形
10．在平面直角坐标系中， ABC的顶点坐标分别为 ， ，点C在直线 上运动，O为
△
坐标原点，G为 ABC的重心，则 、 、 中正数的个数为n，则n的值的集合为
△
（ ）
A． B．
C． D．
11．如图所示，已知点 是 的重心.
(1)求 ；
(2)若 过 的重心 ，且 ， ， ， ，求证： .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 812．设点P在 内且为 的外心， ，如图.若 的面积分别为 ，x，
y，则 的最大值是_____.
13．（多选）已知 的重心为 ，外心为 ，内心为 ，垂心为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 是 中点，则
B．若 ，则
C． 与 不共线
D．若 ，则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9
