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第四章 图形的相似
4.6 利用相似三角形测高
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2020·浙江嘉兴·八年级期末）直角三角形两条直角边长分别是5和12，则斜边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先利用勾股定理求出斜边，然后利用直角三角形的面积求高即可．
【详解】∵直角三角形两条直角边长分别是5和12，
∴斜边为 ，
设斜边上的高为h，
，
解得 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理和直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2021·云南省个旧市第二中学八年级期中）如图，在 ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE
＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（ △）
A．BE是 ABD的中线 B．BD是 BCE的角平分线
△ △C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是 ABE的高
【答案】C △
【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解： 、 ， 是 的中线，正确；
、 平分 ， 是 的角平分线，正确；
、 是 的角平分线，
，
是中线，
，
不正确，符合题意；
、 ， 是 的高，正确．
故选： ．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线，高线，中线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键．
3．（2022·江苏·灌南县新知双语学校七年级阶段练习）如图， 中，AE是中线，AD是角平分线，
AF是高，则下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由中线的性质可得 ， ，由角平分线的定义可得 ；由AF是
的高，可得 ．
【详解】解： 是中线，
， ，故A、D说法正确；
是角平分线，
，
，故C说法错误；
是 的高，，
，故B说法正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线，中线和高，明确概念是本题的关键．
4．（2022·全国·九年级课时练习）如图， 的高 、 相交于O，如果 ，那么 的大
小为（ ）
A．35° B．105° C．125° D．135°
【答案】C
【分析】先根据三角形的内角和定理结合高的定义求得∠ABC+∠ACB、∠ABE、∠ACD的度数，即可求
得∠OBC+∠OCB的度数，从而可以求得结果．
【详解】解：∵∠A=55°，CD、BE是高
∴∠ABC+∠ACB=125°，∠AEB=∠ADC=90°
∴∠ABE=180°－∠AEB－∠A=35°，∠ACD=180°－∠ADC－∠A=35°
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）－（∠ABE＋∠ACD）=55°
∴∠BOC=180º－（∠OBC+∠OCB）=125°
故选C．
【点睛】此题考查的是三角形的内角和定理和高，三角形的内角和定理是初中数学的重点，贯穿于整个初
中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握．
5．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ， 分别是边 上的中线与高， ，
的面积为 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据三角形面积和高AE的长求出底边BC的长，再根据AD是中线得到CD= BC，求出CD
的长．
【详解】解：∵S = =24， AE=8，
ABC
△
∴BC=6，
∵AD是BC上的中线，
∴CD= BC=3．
故选：B．
【点睛】此题考查三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，根据已知得出BC的长是解题关键．
6．（2021·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，AD是高，角平分线BE交AD于点F，若
∠BAC=60°，∠C=70°，则∠DFB的度数为（ ）
A．75° B．65° C．60° D．55°
【答案】B
【分析】由三角形内角和求出∠ABC=50°，由BE平分∠ABC可求∠EBC = ，由高线AD⊥BC利用余
角关系可求∠BFD=65°．
【详解】解：∵∠BAC=60°，∠C=70°，∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-60°-70°=50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC = ，
∵AD⊥BC，
∴∠BFD= 90º-∠FBD=90°-25°=65°，
故选择：B．
【点睛】本题考查三角形内角和，角平分线，高线，余角关系，掌握三角形内角和定理，角平分线定义，
高线定义，余角关系性质是解题关键．
二、填空题
7．（2020·山东·胶州市第七中学九年级阶段练习）小明和小红在太阳光下行走，小明身高1.5m，他的影长
2.0m，小红比小明矮30cm，此刻小红的影长为______m．
【答案】1.6
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者
构成的两个直角三角形相似．
【详解】解：根据题意知，小红的身高为150-30=120（厘米），
设小红的影长为x厘米
则 ，
解得：x=160，
∴小红的影长为1.6米，
故答案为1.6
【点睛】此题主要考查了平行投影，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方
程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想．
8．如图，在高20米的建筑物CD的顶部C测得塔顶A的仰角为60°，测得塔底B的俯角为30°，则塔高
AB = ______米；
【答案】80【分析】过点C作CE⊥AB后，图中将有两个直角三角形．先在 BCE中，利用已知角的正切值求出
CE，然后在 CEA中，利用已知角的正切值求出AE即可解决问题△．
△
【详解】
解：作CE⊥AB，垂足为E．
在Rt BCE中，BE=CD=20,CE=BE÷tan30°=20 ，
△
在Rt ACE中，可得AE=CE×tan60°=20 =60，
△
故AB=AE+EB=60+20=80（米）．
故答案为80
【点睛】本题考查仰角、俯角的定义，要求学生能借助角度构造直角三角形并解直角三角形．
9．我军侦察员在距敌方100m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物物测量，机
灵的侦察员将自己的食E指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，
如图所示.若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm，则敌方建筑物的高度约是_______m.
【答案】20
【分析】由题意知△ABC∽△ADE，然后根据相似三角形对边的比与对应高的比相等列式求解即可.
【详解】解：∵40cm=0.4m，8cm=0.08m
∵BC∥DE，AG⊥BC，AF⊥DE．
∴△ABC∽△ADE，
∴BC：DE=AG：AF，
∴0.08：DE=0.4：100，
∴DE=20m．故答案为20．
【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列出方
程，通过解方程求解即可．此题是实际应用题，解题时首先要理解题意，将实际问题转化为三角形相似问
题求解；相似三角形的对应边成比例．
10．（2022·全国·九年级单元测试）如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调
整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DE＝
8cm，DF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝________m．
【答案】7.5
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小颖同学的身高即可求得树高
AB．
【详解】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴ ，
∵DE＝8cm＝0.08m，DF＝10cm＝0.1m，AC＝1.5m，CD＝8m，
∴由勾股定理求得EF＝0.06m，
∴ ，
∴BC＝6米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+6＝7.5（米）．
故答案为：7.5．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
三、解答题
11．（2022·全国·九年级专题练习）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点
Q和S，使点P、Q、S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与直线PS垂直的直线a上选择适
当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，求PQ
的长．
【答案】PQ的长为120m
【分析】证△PQR∽△PST，利用对应边成比例建立方程求解即可．
【详解】解：设PQ＝xm，
由题意可知QR∥ST，
∴△PQR∽△PST
∴ ．
∴ ，
解得：x＝120．
∴PQ的长为120m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用对应边成比例建立方程是解题的关键．
12．（2022·全国·九年级课时练习）下表是小明填写的实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数
据，计算小河的宽度．
题目 测量小河的宽度
测量目标示意图相关数据 BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m
【答案】10m
【分析】利用BC//DE，可得到△ABC∽△ADE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AB的长．
【详解】解：∵BC//DE，
∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ，
即 ，
解得：AB＝10，
答：小河的宽度为10m．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2021·山东泰安·九年级期末）小明和他的同学在太阳下行走，小明身高 米，他的影长为 米，他
同学的身高为 米，则此时他的同学的影长为__________米．
【答案】2．
【分析】在同一时刻物高和影长成比例，列比例式求解即可．
【详解】解：设他的同学的影长为xm，
∵同一时刻物高与影长成比例，
∴ ，
解得，x=2,
经检验，x=2是原方程的解，
∴他的同学的影长为2m，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了同一时刻物高与影长成比例，利用同一时刻物高与影长成比例列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想．
2．（2022·全国·九年级单元测试）贺哲同学的身高1.86米，影子长3米，同一时刻金老师的影子长2.7米，
则金老师的身高为________米（结果保留两位小数）。
【答案】1.67
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者
构成的两个直角三角形相似．
【详解】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，设金老师的高度为xm，
则 ，
解得x=1.67．
故答案为：1.67．
【点睛】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力．
3．（2020·湖南·株洲县教学研究室九年级期中）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 ，
在近岸取点 ， ， ，使得 ， ，点 在 上，并且点 ， ， 在同一条直线上．
若测得 ， ， ，则河的宽度 等于_______．
【答案】
【分析】易证△ABE∽△DCE，即可求得．
【详解】∵∠ABE=∠DCE=90°，∠BEA=∠DEC
∴△ABE∽△DCE
∴
即
故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
4．（2020·陕西·交大附中分校九年级阶段练习）如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转
到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6
米，那么栏杆端点D离地面的距离为____________米
【答案】2.4
【分析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结
论．
【详解】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，
则DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴ ，
∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，
∴CD=AB=3.5m，OD=OA=3m，CH=0.3m，
∴OC=0.5m，
∴ ，
∴DG=1.8m，
∵OE=0.6m，
∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6=2.4(m)．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
5．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为_____海里．
（结果保留根号）
【答案】40
【分析】根据题意画出草图，再利用三角函数就可以求解出 的距离．
【详解】解：作PC⊥AB于C，在Rt PAC中，
∵PA＝80，∠PAC＝30°， △
∴PC＝40海里，
在Rt PBC中，PC＝40，∠PBC＝∠BPC＝45°，
∴PB△＝40 海里，
故答案为40 ．
【点睛】本题主要考查三角函数的应用，通过构造直角三角形，利用三角函数来计算未知量，此类题目应
当引起注意，是经常的考题模式．
二、解答题6．（2022·全国·九年级单元测试）如图，小明同学为了测量路灯 的高度，先将长 的竹竿竖直立在水
平地面上的 处，测得竹竿的影长 ，然后将竹竿向远离路灯的方向移动 到 处，即 ，
测得竹竿的影长 （ 、 为竹竿）．求路灯 的高度．
【答案】路灯 的高度为7m
【分析】先根据AB⊥OF，CD⊥OP可知 EAB∽△EPO，同理可得 FCD∽△FPO，再由相似三角形的对
应边成比例即可得出OP的值． △ △
【详解】解：由已知得， m， m， m， m，
， ， ，
∴在 和 中，
，
∴ ∽
∴ ，即 ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ∽ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，即路灯 的高度为 ．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
7．（2022·全国·九年级课时练习）枣庄某学校九年级一班进行课外实践活动，王嘉同学想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，
具体测量情况如下：如示意图，王嘉边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这
栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得王嘉落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝
0.6m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知王嘉的身高EF是1.7m，请你帮王嘉求出楼高AB．
【答案】26.2米
【分析】过点D作DN⊥AB，垂足为N．交EF于M点，由四边形CDME、ACDN是矩形，得AN＝ME＝
CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），得MF＝EF﹣ME＝1.7﹣1.2＝0.5（m），依
题意知，EF∥AB，则 DFM∽△DBN， 解得BN＝25（m），即可AB＝BN+AN＝25+1.2＝26.2
△
（m）．
【详解】解：过点D作DN⊥AB，垂足为N．交EF于M点，
∴四边形CDME、ACDN是矩形，
∴AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），
∴MF＝EF﹣ME＝1.7﹣1.2＝0.5（m），
∴依题意知，EF∥AB，
∴△DFM∽△DBN，
∴ ，
即： ，∴BN＝25（m），
∴AB＝BN+AN＝25+1.2＝26.2（m）．
答：楼高为26.2m．
【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程
求解即可，体现了转化的思想．
8．（2022·全国·九年级单元测试）在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的两名同学选择了测量
学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作；
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为
1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
(1)在横线上直接填写甲树的高度为_____________米；
(2)画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度．
【答案】(1)5.1
(2)4.2米
【分析】（1）根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用比例式直接得出树高；
（2）根据辅助线作法得出假设没有墙时影子长度，即可求出答案．
（1）
解：根据题意得：
解得： （米），
故答案为：5.1．
（2）
解：假设 是乙树，∴ （米） （米）
∴ ，
∴ ，
∴ （米），
∴ ，
∴ （米），
答：乙树的高度为 米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙时求出影长是
解决问题的关键．
