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第四章 三角形
4.3 探索三角形全等的条件
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，在 和 中， ，
，添加一个条件后，仍然不能证明 ，这个条件可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定，利用 、 、 即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴当 时，由 可得 ，故A不符合题意；
当 时，则 ，由 可得 ，故B不符合题意；
当 时，则 ，由 可得 ，故C不符合题意；
当 时，不能得出 ，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定条件并灵
活运用．
2．（2023秋·江苏·八年级统考期末）如图， 与 中， ， ，则
添加下列条件后，能运用“ ”判断 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据（SAS）判断两个三角形全等的条件和图形推出剩下的条件即可．
【详解】∵ 与 中， ， ，已知一边与一角相等，要用“ ” 判定 ，
∴需找已知相等角的邻边相等，即 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形全等的条件，判定三角形全等要结合图形上的位置关系，根据
具体判定方法找条件．
3．（2022秋·浙江绍兴·八年级校考期中）如图，要测量河两岸相对两点 、 的距离，先
在 的垂线 上取两点 、 ，使 ，再作出 的垂线 ，使点 、 、
在同一直线上，可以说明 ，得 ，测得 的长就是 的长．判
定 的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要
根据已知选择判断方法．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有： 、 、
、 、 ，做题时注意选择．注意： 、 不能判定两个三角形全等，判
定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．（2022秋·福建福州·八年级校考阶段练习）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示
的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一
样的三角形玻璃？应该带第______块去（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．【详解】解：由图可知，带第4块去，满足全等三角形的判定 ，可以配一块与原来大
小一样的三角形玻璃，
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形判定方法的应用，熟练掌握三角形的判定方法是解答的关键．
5．（2022秋·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图所示的网格是由 个相同的小正方形拼
成的，图形的各个顶点均为格点，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图所示（见详解），证明 可得，
，在正方形 中， 是对角线，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在正方形 中， 是对角线，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查格点三角形的知识，掌握格点三角形中顶点与边的关系，证明三角
形全等，根据全等三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键．
6．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，在 与 中， ，再添
加一个下列条件，能判断 的是（ ）．A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用全等三角形的判定方法逐一判断即可．
【详解】A、 ， 不能证明 ，故不正确；
B、 ， ， 根据 证明 ，故正确；
C、 ， ， 不等证明 ，故不正确；
D、 ，则 ， 不能证明 ，故不正确；
故选B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握三角形全等的条件是解题的关键．
二、填空题
7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点E，C，F，B在一条直线上， ，
，当添加条件______时，可由“边角边”判定 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】用“边角边”证明两个三角形全等，已知条件给出两组边相等，因此只需要添加
一组对应角相等即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴用“边角边”证明 ，
∴需要添加条件是： ．
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，理解“边角边”定理是解题的关键．8．（2023秋·湖南长沙·八年级校联考期末）如图，点 在一条直线上， ，
，则 ____．
【答案】
【分析】根据边角边证明 ，由此即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，理解并掌握三角形全等的判定条件，全
等三角的性质是解题的关键．
9．（2020秋·江苏南京·八年级校考期中）如图，点 在 上， ，
，则根据______，就可以判定 ．
【答案】
【分析】根据等角的补角相等，得到 ，利用 ，就可以判定
．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
10．（2022秋·广东江门·八年级校考阶段练习）如图，已知 ，要说明
，若以“ ”为依据，则需添加一个条件是_______．
【答案】
【分析】根据 证明 ，即可．
【详解】解：添加 ，理由如下：
∵ ， ， ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关
键．
三、解答题
11．（2023春·全国·七年级专题练习）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，
， ，且 ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】首先求出 ，进而利用全等三角形的判定定理ASA证明两个三角形全等．
【详解】解：
，
，
在 和 中，
(ASA)．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
12．（2022秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图， ， ．求证：
．
【答案】见解析
【分析】根据 判定 ，然后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】证明：在 和 中，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形全等判定和性质，解题关键是掌握 证明三角形全等．
提升篇
一、填空题
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图， 的角平分线 、 相交于点 、若
， 交 于 、 交 于 ．直接写出 、 、 的数量关系
____________________．
【答案】
【分析】由三角形定理得 由角平分线定义得 ，
，在 上截取 ，连接 ，证明 进一步得出
，再证明 得出 ，从而可得出结论【详解】在 中，
∵ 平分 ， 平分
∴
∴
∴
∴
在 上截取 ，连接
在 和 中，
∴
∴
在 和 中，
∴
∵
∴
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的和与差，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键
2．（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在 中， 平分 交 于点
D，E是 上一点，且 ，连结 ，若 ， ， 的度数为
___________．
【答案】 ##30度
【分析】由 证明 得 ，再结合三角形外角的性质求解即
可．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
又 ， ，
∴
∴ ，
又 ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，正确证
明 是解答本题的关键．
3．（2023秋·安徽池州·八年级统考期末）如图，在 网格中， ___________．
【答案】 ##45度
【分析】由题意得， ， ， ,用SSS可证明 ，根据
全等三角形的性质和外角和内角之间的关系即可得．
【详解】如图解：由题意得， ， ， ，
在 和 中，
∴ （SSS），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角与内角的关系，解题的关键
是掌握全等三角形的判定与性质．
4．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在 中， 平分
交 于点D，若 ， ，则 __________．
【答案】6
【分析】延长 到E，使得 ，连接 ，可得 ，即可得
，进而解题即可．
【详解】如图，延长 到E，使得 ，连接 ，
则 ,
又∵
∴
∵ 平分∴
∵
∴
∴
∵ ,
∴
解得：
故答案为：6．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
5．（2022秋·新疆克孜勒苏·八年级校考阶段练习）如图，点 的坐标为 ，作
轴， 轴，垂足分别为 ，点 为线段 的中点，点 从点 出发，在线段 、
上沿 运动，当 时，点 的坐标为___________．
【答案】 或
【分析】分两种情况 当点 在正方形的边 上时，根据正方形的性质用 判断出
，得出 ，得出点 的坐标， 当点 在正方形的边 上时，同
的方法即可．
【详解】解： 当点 在正方形的边 上时，
在 和 中
，
，
，
点 是 中点，，
，
，
当点 在正方形的边 上时，
同 的方法，得出 ，
或
故答案为 或
【点睛】此题是全等三角形的判定和性质，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定
和性质，解本题的关键是判断出 ≌ ．
二、解答题
6．（2023秋·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，已知， ， ，
．求证： ．
【答案】见解析
【分析】首先由 ，可得 ，再根据 证明 ，
即可得出结论．
【详解】证明： ，
，即 ，
在 与 中
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三
角形全等是解题的关键．7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，四边形 的对角线 与 相交于点 ，
， 求证： ．
【答案】见解析
【分析】先根据 定理证明 ，由全等三角形的性质得到 ，证
明 ，根据全等三角形的性质证明结论．
【详解】在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理
是解题的关键．
8．（2023秋·陕西延安·八年级统考期末）如图，在四边形 中， ， 为
的中点，连接 并延长交 的延长线于点 ，求证： ．
【答案】见解析
【分析】证明 ，根据全等三角形的性质证明 即可．【详解】证明：∵ 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明
是解题关键．
