文档内容
4.3 全等三角形
全等三角形的性质
知识点一
全等三角形的对应边相等，对应角相等
全等三角形的判定
知识点二
1.三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”.
2.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.
3.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.
4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.
5.直角边和斜边相等分别的两个直角三角形全等，简写成“HL”
题型一 全等三角形的性质
【例题 1】（2022秋•固始县期末）如图， 与 交于 ， ，添加一个条件，仍不能使
的是A． B． C． D．
【分析】要使 ，已知 ， ，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或
角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．
【解答】解： ， ，
当 时，则 ，依据 即可得到 ；
当 时，则 和 全等条件是 ，不能判定 ；
当 时，由于 ，则 ，依据 即可得到 ；
当 时，则 ，依据 即可得到 ；
故选： ．
解题技巧提炼
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有： ，
， ， ， ．添加时注意： ， 不能判定两个三角形全等，
不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
【变式1-1】（2022秋•代县期末）在 与 中， ， ，要使这两个三角形全等，
还需具备的条件是
A． B． C． D．
【分析】根据所给条件可知，应加已知边的夹角才可证明这两个三角形全等．
【解答】解： 、加上 ，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意；、加上 可得 ，即 ，根据 能证明这两
个三角形全等，故此选项符合题意；
、加上 ，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意；
、加上 ，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意．
故选： ．
【变式1-2】（2022秋•周口期中）如图，点 ， 分别在 的两边上，点 在 的角平分线
上，连接 ， ，下列不能保证 的条件是
A． B． C． D．
【分析】根据题意可得 ， ，再根据全等三角形的判定，逐项判断即可求解．
【解答】解： 点 在 的角平分线上，
，
，
、当 时，可利用边角边证得 ，故本选项不符合题意；
、当 时，满足边边角，无法证得 ，故本选项符合题意；
、当 时，可利用角边角证得 ，故本选项不符合题意；
、当 时， ，可利用角角边证得 ，故本选项不符合题意；
故选： ．
【变式1-3】（2022秋•无棣县期中）如图， ，只添加一个条件，使 ．下列
条件中正确的是
① ；② ；③ ；④ ．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④【分析】全等三角形的判定，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；
若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组
角，或找这个角的另一组对应邻边．
【解答】解：若添加 ，则由 可得， ，即可得到 ，依据 即可得出
．
若添加 ，则由 可得， ，即可得到 ，依据 即可得出
．
若添加 ，则由 可得， ，即可得到 ，依据 即可得出
．
若添加 ，则不能得到 ；
故选： ．
题型二 全等三角形的判定——SSS
【例题2】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB
上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即
是∠AOB的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是
．
【分析】由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方
法逐个验证．
【解答】解：由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，
{MO=NO
∵在△MCO和△NCO中 CO=CO，
NC=MC
∴△COM≌△CON（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC是∠AOB的平分线．故答案为：SSS．
解题技巧提炼
本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用
数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．
【变式2-1】如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木
桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．
【分析】用卷尺测量出BD＝CD，然后利用“SSS”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应角
相等可得∠ADB＝∠ADC，再求出∠ADB＝∠ADC＝90°，即可进行判定．
【解答】解：用卷尺测量出BD、CD，看它们是否相等，若BD＝CD，则AD⊥BC．
理由如下：∵在△ABD和△ACD中，
{AB=AC
BD=CD，
AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB＝∠ADC，
又∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
即AD⊥BC．
【变式2-2】如图△ABC中，点D在AC上，E在AB上，且AB＝AC，BC＝DC，AD＝DE＝BE．
（1）求证：△BCE≌△DCE；
（2）求∠EDC的度数．【分析】（1）运用SSS定理易证明△BCE≌△DCE；
（2）设∠A＝x，根据题意得方程，5x＝180°，即可解得x＝36°，进而得到∠EDC的度数．
【解答】解：（1）证明：在△BCE和△DCE中，
{DE=BE
CE=CE，
BC=CD
∴△BCE≌△DCE（SSS）．
（2）∵AD＝DE，
∴∠A＝∠AED，
∴∠EDC＝∠A+∠AED＝2∠A，
设∠A＝x，根据题意得，
5x＝180°，
解得x＝36°，
∴∠EDC＝2∠A＝72°．
【变式2-3】如图，AB＝AC，AD＝AE，CD＝BE．求证：∠DAB＝∠EAC．
【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，可用SSS判定两个三角形全等．
【解答】证明：在△ADC与△AEB中，
{AB=AC
AD=AE，
CD=BE
∴△ADC≌△AEB（SSS），
∴∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC﹣∠BAC＝∠EAB﹣∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC
题型三 全等三角形的判定——SAS
【例题3】在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在
AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝ 度；
（2）设∠BAC＝ ，∠DCE＝ ．
①如图2，当点Dα在线段CB上β ，∠BAC≠90°时，请你探究 与 之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请α 将图β 3补充完整，写出此时 与 之间的
数量关系并证明． α β
【分析】（1）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，即可解题；
（2）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根据∠B+∠ACB＝180°﹣
即可解题； α
（3）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根据∠ADE+∠AED+ ＝
180°，∠CDE+∠CED+ ＝180°即可解题． α
【解答】解：（1）∵∠βBAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
{
AB=AC
∠BAD=∠CAE，
AD=AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B，∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝90°；
故答案为 90．
（2）∵∠BAD+∠DAC＝ ，∠DAC+∠CAE＝ ，
∴∠BAD＝∠CAE， α α
在△BAD和△CAE中，
{
AB=AC
∠BAD=∠CAE，
AD=AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B，
∵∠B+∠ACB＝180°﹣ ，
∴∠DCE＝∠ACE+∠AαCB＝180°﹣ ＝ ，
∴ + ＝180°； α β
（α3）β作出图形，
∵∠BAD+∠BAE＝ ，∠BAE+∠CAE＝ ，
∴∠BAD＝∠CAE，α α
在△BAD和△CAE中，
{
AB=AC
∠BAD=∠CAE，
AD=AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠ADE+∠AED+ ＝180°，∠CDE+∠CED+ ＝180°，
∠CED＝∠AEC+∠αAED， β
∴ ＝ ．
α β解题技巧提炼
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中
求证△BAD≌△CAE是解题的关键．
【变式3-1】如图，在△ABC中，AD，CE分别是BC、AB边上的高，AD与CE交于点F，连接BF，延
长AD到点G，使得AG＝BC，连接BG，若CF＝AB．
（1）求证：△ABG≌△CFB；
（2）在完成（1）的证明后，爱思考的琪琪想：BF与BG之间有怎样的数量关系呢？它们之间又有怎
样的位置关系？请你帮琪琪解答这一问题，并说明理由．
【分析】（1）根据SAS证明△ABG≌△CFB，再利用全等三角形的性质证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠G＝∠FBD，再证明即可．
【解答】（1）证明：∵AD，CE是高，
∴∠BAD+∠AFE＝∠BCF+∠CFD＝90°，
∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠BAD＝∠BCF，
在△ABG与△CFB中，
{
AG=BC
∠BAD=∠BCF，
CF=AB
∴△ABG≌△CFB（SAS）；
（2）解：BF＝BG，BF⊥BG，理由如下：
∵△ABG≌△CFB，
∴BF＝BG，∠G＝∠FBD，∵AD⊥BC，
∴∠BDG＝90°
∴∠G+∠DBG＝90°，
∴∠FBD+∠DBG＝90°，
∴∠FBG的度数为90°，
∴BF⊥BG．
【变式3-2】（1）如图1，已知在△ABC中，AD为中线，求证AB+AC＞2AD．
（2）如图2，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．
求证：BE+CF＞EF．
【分析】（1）根据SAS证明△ABD≌△CED，得出AB＝EC，由三角形三边关系得出答案；
（2）根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：（1）延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，如图1．
则AE＝2AD，
在△ABD与△ECD中，
{
AD=ED
∠ADC=∠EDB，
DB=DC
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝EC，
在△ACE中，有AC+CE＞AE，即AC+AB＞2AD；
（2）延长ED至点G，使DG＝DE，连接CG，FG，如图2．∵FD垂直平分EG，
∴EF＝FG，
在△EDB与△GDC中，
{
BD=CD
∠BDE=∠CDG，
ED=GD
∴△EDB≌△GDC（SAS），
∴BE＝CG，
在△FCG中，CF+CG＞FG，
即CF+BE＞EF．
【变式3-3】如图所示，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子
不够长，请你利用三角形全等的相关知识带他设计一种方案测量出A、B间的距离，写出具体的方案，
并解释其中的道理．
【分析】由题意知AC＝DC，BC＝EC，根据∠ACB＝∠DCE即可证明△ABC≌△DEC，即可得AB＝
DE，即可解题．
【解答】解：如图，先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝
AC；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A、B间的距离．
证明：由题意知AC＝DC，BC＝EC，且∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
{
AC=DC
∠ACB=∠DCE，
BC=EC
∴△ABC≌△DEC（SAS），∴DE＝AB．
∴量出DE的长，就是A、B两点间的距离．
题型四 全等三角形的判定——ASA
【例题4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．
（1）求证：△ABD≌△ECB．
（2）若∠BDC＝70°．求∠ADB的度数．
【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△ECB；
（2）由全等三角形的性质可得BD＝BC，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBE，
在△ABD和△ECB中，
{
∠A=∠BEC
AD=BE ，
∠ADB=∠CBE
∴△ABD≌△ECB（ASA）；
（2）∵△ABD≌△ECB，
∴BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝70°，
∴∠DBC＝40°，
∴∠ADB＝∠CBD＝40°．解题技巧提炼
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，还考查学生运用定理进行
推理的能力，题目比较典型，难度适中．
【变式4-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，连接AE，AF，∠BAF＝∠CAE，延长
AF至点D，使AD＝AC，连接CD．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，求∠ADC的度数．
【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEF＝∠AFE，从而可以
证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACF，
∵∠BAF＝∠CAE，
∴∠BAF﹣∠EAF＝∠CAE﹣∠EAF，
∴∠BAE＝∠CAF，
{
∠B=∠ACF
在△ABE和△ACF中， AB=AC ，
∠BAE=∠CAF
∴△ABE≌△ACF（ASA）；
（2）解：∵∠B＝∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，
∴∠BAE＝180°﹣130°﹣30°＝20°，
∵△ABE≌△ACF，∴∠CAF＝∠BAE＝20°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
180°−20°
∴∠ADC= =80°．
2
答：∠ADC的度数为80°．
【变式4-2】如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．
（1）求∠APC的度数；
（2）若AE＝4，CD＝4，求线段AC的长．
【分析】（1）利用∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，即可得出答案；
（2）由题中条件可得△APE≌△APF，进而得出∠APE＝∠APF，通过角之间的转化可得出
△CPF≌△CPD，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，
1
∴∠BAC+∠BCA＝120°，∠PAC+∠PCA= （∠BAC+∠BCA）＝60°，
2
∴∠APC＝120°．
（2）如图，在AC上截取AF＝AE，连接PF．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△APE和△APF中，{
AE=AF
∠EAP=∠FAP，
AP=AP
∴△APE≌△APF（SAS），
∴∠APE＝∠APF，
∵∠APC＝120°，
∴∠APE＝60°，
∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，
在△CPF和△CPD中，
{∠FPC=∠DPC
CP=CP ，
∠FCP=∠DCP
∴△CPF≌△CPD（ASA）
∴CF＝CD，
∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝4+4＝8．
【变式4-3】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的任意点，D为线段BE的中点，AB＝AE，
EF⊥AE，AF∥BC．
（1）求证：∠DAE＝∠C；
（2）求证：AF＝BC．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得∠C＝∠BAD，再证明∠BAD＝
∠DAE即可解决问题．
（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AC＝EF．
【解答】证明：（1）∵AB＝AE，D为线段BE的中点，
∴AD⊥BC，（三线合一没有学习到，可以用全等证明）
∴∠C+∠DAC＝90°，
∵∠BAC＝90°
∴∠BAD+∠DAC＝90°
∴∠C＝∠BAD，∵AB＝AE，AD⊥BE，
∴∠BAD＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠C
（2）∵AF∥BC
∴∠FAE＝∠AEB
∵AB＝AE
∴∠B＝∠AEB
∴∠B＝∠FAE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE
∴△ABC≌△EAF（ASA）
∴AC＝EF
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题
的关键．
题型五 全等三角形的判定——AAS
【例题5】如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，
（1）求证：△ABC≌△ADE；
1
（2）若AE∥BC，且∠E= ∠CAD，求∠C的度数．
3
【分析】（1）由∠1＝∠2＝∠3，可得∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，又∠1+∠B＝
∠ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE，已知AC＝AE，即可证得：△ABC≌△ADE；
（2）由题意可得，∠ADB＝∠ABD＝4x，在△ABD中，可得x+4x+4x＝180°，解答处即可；
【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，
又∵∠1+∠B＝∠ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE，
在△ABC和△ADE中{∠BAC=∠DAE
∠B=∠ADE ，
AC=AE
∴△ABC≌△ADE（AAS）；
（2）∵AE∥BC，
∴∠E＝∠3，∠DAE＝∠ADB，∠2＝∠C，
又∵∠3＝∠2＝∠1，令∠E＝x，
则有：∠DAE＝3x+x＝4x＝∠ADB，
又∵由（1）得 AD＝AB，∠E＝∠C，
∴∠ABD＝4x，
∴在△ABD中有：x+4x+4x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠E＝∠C＝20°．
解题技巧提炼
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相等
的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
【变式5-1】如图，若AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC＝
70°，∠BAD＝60°，则∠BAE的度数是 ．
【分析】证明△ABC≌△AED（AAS），得出∠BAC＝∠EAD，根据三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠B＝∠E＝90°，
{
∠B=∠C
在△ABC和△AED中， ∠ACB=∠ADE，
AB=AE
∴△ABC≌△AED（AAS），
∴∠BAC＝∠EAD，
∵∠ACD＝∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣40°＝20°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+∠BAC＝80°；
故答案为：80°．
【变式5-2】如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点
F，且AB＝DE．若BD＝8cm，则AC的长为 ．
【分析】由DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB＝90°，由
∠ACB＝90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A＝90°，根据同角的余角相等，可得∠A＝
∠DEB，然后根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到 BD＝BC，AC＝
1 1
BE，由E是BC的中点，得到BE= BC= BD＝4．
2 2
【解答】解：∵DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，
∴∠ABC+∠DEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝∠DEB，
在△ABC和△EDB中，
{∠ACB=∠DBC
∠A=∠DEB ，
AB=DE∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴BD＝BC，AC＝BE，
∵E是BC的中点，BD＝8cm，
1 1
∴BE= BC= BD＝4cm．
2 2
故答案为：4cm
【变式5-3】如图，把一个长为10m的梯子AB斜靠在墙上，测得BM＝6m，梯子沿墙下滑到CD位置，
测得∠ABM＝∠DCM，DM＝8m，求梯子下滑的高度．
【分析】由全等三角形的判定定理 AAS得到△ABM≌△DCM，则其对应边相等：BM＝CM，AM＝
DM，故AC＝DM﹣BM＝2m．
{∠AMB=∠DMC
【解答】解：∵在△ABM与△DCM中， ∠ABM=∠DCM，
AB=DC
∴△ABM≌△DCM（AAS），
∴BM＝CM＝6m，AM＝DM＝8m，
∴AC＝AM﹣CM＝2m．
即梯子下滑的高度是2m．
题型六 全等三角形的判定——HL
【例题6】如图， ， 分别是 的高，且 ，求证： ．【分析】根据高的定义求出 ，根据全等三角形的判定定理 推出即可．
【解答】证明： ， 分别是 的高，
，
在 和 中，
，
．
解题技巧提炼
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此
题的关键．
【变式6-1】如图， 于点 ， 于点 ，且 ．求证： ．
【分析】连接 ，由“ ”可证 ，可得 ．
【解答】证明：如图，连接 ，
， ，
，
在 和 中，
，．
【变式6-2】如图， ， ，点 是 上一点， 于 ， 于
， ，求证： ．
【分析】连接 ，由直角三角形全等的“ “判定定理证得 ，根据全等三角形的
性质得到 ，再由直角三角形全等的“ “判定定理即可证得 ．
【解答】解：连接 ，
，
在 和 中，
，
，
，
于 ， 于 ，
，
在 和 中，
，
．【变式6-3】已知：如图，点 、 在线段 上， ， ， ， ，求证：
．
【分析】此题只要先证明 即可，做题时要结合已知条件与全等的判定方法进行思考．
【解答】证明： ，
；
；
在 和 中
，
，
．
